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2015 年宁夏中考数学试卷
一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24
分）
1．（3分）（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B． =2 C．（ ）﹣1= D．（ ﹣1）2=2
2．（3分）（2015•宁夏）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数
据0.00000432用科学记数法表示为（ ）
A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7
3．（3分）（2015•宁夏）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所
示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•宁夏）某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况
如下表：
人数 2 3 4 1
分数 80 85 90 95
那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.5
5．（3分）（2015•宁夏）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
m≥ m≤ m≥ m≤
6．（3分）（2015•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，
则∠BCD的度数是（ ）
第1页（共30页）A．88° B．92° C．106° D．136°
7．（3分）（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划
在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周
边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方
程是（ ）
A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0
8．（3分）（2015•宁夏）函数y= 与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•宁夏）因式分解：x3﹣xy2= ．
10．（3分）（2015•宁夏）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一
个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是 ．
11．（3分）（2015•宁夏）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐
标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 ．
第2页（共30页）12．（3分）（2015•宁夏）已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为 ，则此扇形
的面积是 ．
13．（3分）（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接
BC．若AB=2 ，∠BCD=30°，则⊙O的半径为 ．
14．（3分）（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），
△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y= x上一点，
则点B与其对应点B′间的距离为 ．
15．（3分）（2015•宁夏）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点
E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的
长为 ．
第3页（共30页）16．（3分）（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从
港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测
得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 ．
三、解答题（每题6分，共36分）
17．（6分）（2015•宁夏）解方程： =1．
18．（6分）（2015•宁夏）解不等式组 ．
19．（6分）（2015•宁夏）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机
抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级
优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完
整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人
数有多少？
（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少？
第4页（共30页）20．（6分）（2015•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A
（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△A B C 的位似图形△A B C ，使
1 1 1 2 2 2
△A B C 与△A B C 的相似比为2：1．
2 2 2 1 1 1
21．（6分）（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．
第5页（共30页）22．（6分）（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校
捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70
元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包
各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果至少
购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
23．（8分）（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一
点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
第6页（共30页）24．（8分）（2015•宁夏）已知点A（ ，3）在抛物线y=﹣ x的图象上，设
点A关于抛物线对称轴对称的点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求∠AOB度数．
25．（10分）（2015•宁夏）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产
品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件）30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存
在一次函数关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是
20元/件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
第7页（共30页）26．（10分）（2015•宁夏）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，
∠A=60°，∠B=30°；在△A B C 中，∠C =90°，∠A =45°，∠B =45°，且A B =CB．
1 1 1 1 1 1 1 1
若将边A C 与边CA重合，其中点A 与点C重合．将三角板A B C 绕点C（A ）
1 1 1 1 1 1 1
按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A C 与边AB的交点为M，
1 1
设AC=a．
（1）计算A C 的长；
1 1
（2）当α=30°时，证明：B C ∥AB；
1 1
（3）若a= ，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；
（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．
（参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2﹣ ，sin75°= ，
cos75°= ，tan75°=2+ ）
2015 年宁夏中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
第8页（共30页）1．（3分）（2015•宁夏）下列计算正确的是（ ）
A． B． =2 C．（ ）﹣1= D．（ ﹣1）2=2
考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据
负整数整数幂对B进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
解答：解： 与 不能合并，所以A选项错误；
B、原式= =2，所以B选项正确；
C、原式= = ，所以C选项正确；
D、原式=3﹣2 +1=4﹣2 ，所以D选项正确．
故选B．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的
乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂．
2．（3分）（2015•宁夏）生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据
0.00000432用科学记数法表示为（ ）
A．0.432×10﹣5 B．4.32×10﹣6 C．4.32×10﹣7 D．43.2×10﹣7
考点：科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科
学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前
面的0的个数所决定．
解答：解：0.00000432=4.32×10﹣6，
故选：B．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数
左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）（2015•宁夏）如图，放置的一个机器零件（图1），若其主视图如（图2）所示，则其俯
视图为（ ）
第9页（共30页）A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．菁优网版权所有
分析：俯视图是从上面看所得到的图形，此几何体从上面看可以看到一个长方形，中间有一
个长方形．
解答：
解：其俯视图为 ．
故选：D．
点评：此题主要考查了画三视图，关键是掌握俯视图所看的位置，注意要把所看到的棱都要
用实线画出来．
4．（3分）（2015•宁夏）某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如下表：
人数 2 3 4 1
分数 80 85 90 95
那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.5
考点：众数；中位数．菁优网版权所有
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）
为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．
解答：解：在这一组数据中9是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是85，90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位
数是 =87.5；
故选：C．
点评：本题为统计题，考查极差、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从
大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的
中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
第10页（共30页）5．（3分）（2015•宁夏）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数根，则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
m≥ m≤ m≥ m≤
考点：根的判别式．菁优网版权所有
分析：方程有实数根，则△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
解答：解：由题意知，△=1﹣4m≥0，
∴m≤ ，
故选D．
点评：本题考查了根的判别式，总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
⇔
6．（3分）（2015•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD
的度数是（ ）
A．88° B．92° C．106° D．136°
考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：首先根据∠BOD=88°，应用圆周角定理，求出∠BAD的度数多少；然后根据圆内接四
边形的性质，可得∠BAD+∠BCD=180°，据此求出∠BCD的度数是多少即可．
解答：解：∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°，
即∠BCD的度数是136°．
故选：D．
点评：（1）此题主要考查了圆内接四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要
第11页（共30页）明确：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角
（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆
或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．（3分）（2015•宁夏）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建
两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行
通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是（ ）
A．x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0 C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：几何图形问题．
分析：设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．
解答：解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．
点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60
米2得出等式是解题关键．
8．（3分）（2015•宁夏）函数y= 与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
专题：压轴题；数形结合．
第12页（共30页）分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是
否一致．
解答：解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、
抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根
据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点
是否符合要求．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）（2015•宁夏）因式分解：x3﹣xy2= x （ x﹣ y ）（ x+ y ） ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
分析：先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：x3﹣xy2
=x（x2﹣y2）
=x（x﹣y）（x+y）．
故答案为：x（x﹣y）（x+y）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因
式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
10．（3分）（2015•宁夏）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则
这个两位数能被3整除的概率是 ．
考点：列表法与树状图法．菁优网版权所有
分析：根据所抽取的数据拼成两位数，得出总数及能被3整除的数，求概率．
解答：解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共6种情况，其中能被3整除的
第13页（共30页）有24，42两种，
∴组成两位数能被3整除的概率为= = ．
故答案为： ．
点评：本题考查了求概率的方法：列表法和树状图法．关键是通过画表格（图）求出组成两位
数的所有可能情况及符合条件的几种可能情况．
11．（3分）（2015•宁夏）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，
若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为 （ ，﹣ ） ．
考点：正多边形和圆；坐标与图形性质．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么∠GOE=30°；在
Rt△GOE中，则GE= ，OG= ．即可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐
标，其他坐标类似可求出．
解答：解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．
∴GE= ，OG= ．
∴A（﹣1，0），B（﹣ ，﹣ ），C（ ，﹣ ）D（1，0），E（ ， ），F（﹣ ， ）．
第14页（共30页）故答案为：（ ，﹣ ）
点评：本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定
理等知识．
12．（3分）（2015•宁夏）已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为 ，则此扇形的面积是
．
考点：扇形面积的计算；弧长的计算．菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出扇形的半径，即可确定出扇形的
面积．
解答：
解：∵扇形的圆心角为120°，所对的弧长为 ，
∴l= = ，
解得：R=4，
则扇形面积为 Rl= ，
故答案为：
点评：此题考查了扇形面积的计算，以及弧长公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
13．（3分）（2015•宁夏）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC．若
AB=2 ，∠BCD=30°，则⊙O的半径为 ．
第15页（共30页）考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．菁优网版权所有
分析：连接OB，根据垂径定理求出BE，求出∠BOE=60°，解直角三角形求出OB即可．
解答：
解：
连接OB，
∵OC=OB，∠BCD=30°，
∴∠BCD=∠CBO=30°，
∴∠BOE=∠BCD+∠CBO=60°，
∵直径CD⊥弦AB，AB=2 ，
∴BE= AB= ，∠OEB=90°，
∴OB= = ，
即⊙O的半径为 ，
故答案为： ．
点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形外角性质的应用，能
根据垂径定理求出BE和解直角三角形求出OB长是解此题的关键，难度适中．
14．（3分）（2015•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向
右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′是直线y= x上一点，则点B与其对应点B′间的距
离为 5 ．
第16页（共30页）考点：一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．菁优网版权所有
分析：根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，
所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度．
解答：解：如图，连接AA′、BB′．
∵点A的坐标为（0，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，
∴点A′的纵坐标是4．
又∵点A的对应点在直线y= x上一点，
∴4= x，解得x=5．
∴点A′的坐标是（5，4），
∴AA′=5．
∴根据平移的性质知BB′=AA′=5．
故答案为：5．
点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性
质得到BB′=AA′是解题的关键．
15．（3分）（2015•宁夏）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，
将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为 ．
第17页（共30页）考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
分析：设CE=x，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出
BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长
度，进而求出DF的长度；然后在Rt△DEF根据勾股定理列出关于x的方程即可解决
问题．
解答：解：设CE=x．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．
∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD﹣CE=3﹣x．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=52﹣32=16，
∴AF=4，DF=5﹣4=1．
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3﹣x）2+12，
解得：x= ，
故答案为 ．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和
大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、矩形的性质、方程思
想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
16．（3分）（2015•宁夏）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，
沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的
方向，则该船航行的距离（即AB的长）为 2 km ．
第18页（共30页）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网版权所有
分析：
过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD= OA=2km，再由△ABD是等腰直
角三角形，得出BD=AD=2km，则AB= AD=2 km．
解答：解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，
∴AD= OA=2km．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=2km，
∴AB= AD=2 km．
即该船航行的距离（即AB的长）为2 km．
故答案为2 km．
点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角
形是解题的关键．
三、解答题（每题6分，共36分）
17．（6分）（2015•宁夏）解方程： =1．
考点：解分式方程．菁优网版权所有
分析：因为x2﹣1=（x+1）（x﹣1），所以可确定最简公分母（x+1）（x﹣1），然后方程两边同乘
最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．
第19页（共30页）解答：解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），
得x（x+1）﹣（2x﹣1）=（x+1）（x﹣1），
解得x=1．
经检验x=1是增根，原方程无解．
点评：本题考查了解分式方程，解分式方程要注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思
想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．（3）去分母
时要注意符号的变化．
18．（6分）（2015•宁夏）解不等式组 ．
考点：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：先解不等式组中每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间
找”即可确定结果．
解答：
解：
由①得：x≥2，
由②得：x＜4，
所以这个不等式组的解集为：2≤x＜4．
点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便方法就是利用口诀求解．求不
等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解
集）．
19．（6分）（2015•宁夏）为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分
学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：
及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息
解答下列问题：
（1）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（2）如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少？
（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少？
第20页（共30页）考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式．菁优网版权所有
分析：（1）首先根据题意求得总人数，继而求得A级与D级占的百分比，求得C级与D级的
人数；则可补全统计图；
（2）根据题意可得：估计不及格的人数有：4500×20%=900（人）；
（3）由概率公式的定义，即可求得这名学生成绩是D级的概率．
解答：解：（1）总人数为：12÷30%=40（人），
A级占： ×100%=15%，D级占：1﹣35%﹣30%﹣15%=20%；
C级人数：40×35%=14（人），D级人数：40×20%=8（人），
补全统计图得：
（2）估计不及格的人数有：4500×20%=900（人）；
（3）从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是：20%．
点评：此题考查了概率公式的应用以及扇形统计图与条形统计图的知识．用到的知识点为：
第21页（共30页）概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）（2015•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B
（3，﹣2 ），C（6，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△AB C ；
1 1 1
（2）以M点为位似中心，在网格中画出△AB C 的位似图形△AB C ，使△AB C 与
1 1 1 2 2 2 2 2 2
△AB C 的相似比为2：1．
1 1 1
考点：作图-位似变换；作图-轴对称变换．菁优网版权所有
分析：（1）利用轴对称图形的性质进而得出对应点位置进而画出图形即可；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而画出图形即可．
解答：解：（1）如图所示：△AB C ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△AB C ，即为所求．
2 2 2
第22页（共30页）点评：此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21．（6分）（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值．
考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析：（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可
得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证得△BEF∽△AFD，即可求得EF：FA的值．
解答：证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠B=∠D，
∴∠DAE=∠D；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
第23页（共30页）∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△AFD，
∴ ，
∵E为BC的中点，
∴BE= BC= AD，
∴EF：FA=1：2．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性
质是解题的关键．
22．（6分）（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女
两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果至少购买两种款
式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
分析：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，根据题意得：50x+70（60﹣x）
=3400，即可解答；
（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80﹣y）个，根据题意得：70y+50（80﹣y）
≤4800，即可解答．
解答：解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，
根据题意得：50x+70（60﹣x）=3400，
解得：x=40，
60﹣x=60﹣40=20，
答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．
（2）设女款书包最多能买y个，则男款书包（80﹣y）个，
根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，
解得：y≤40，
∴女款书包最多能买40个．
第24页（共30页）点评：本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出
方程和不等式．
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分）
23．（8分）（2015•宁夏）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接
PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2 ，求BC的长．
考点：切线的判定．菁优网版权所有
分析：连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出
∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
解答：（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2 ，
∴OB=2 ，AC=4 ，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
第25页（共30页）∴ ，
即 ，
∴BC=8．
点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练
掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
24．（8分）（2015•宁夏）已知点A（ ，3）在抛物线y=﹣ x的图象上，设点A关于
抛物线对称轴对称的点为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求∠AOB度数．
考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．菁优网版权所有
分析：（1）首先求得抛物线的对称轴，然后确定点A关于对称轴的交点坐标即可；
（2）根据确定的两点的坐标确定∠AOC和∠BOC的度数，从而确定∠AOB的度数．
解答：
解：（1）∵y=﹣ x=﹣ （x﹣2 ）2+4，
∴对称轴为x=2 ，
∴点A（ ，3）关于x=2 的对称点的坐标为（3 ，3）；
（2）如图：
第26页（共30页）∵A（ ，3）、（3 ，3），
∴BC=3 ，AC= ，OC=3，
∴tan∠AOC= = ，tan∠BOC= = = ，
∴∠AOC=30°，∠BOC=60°，
∴∠AOB=30°．
点评：本题考查了二次函数图象上的点的坐标及二次函数的性质，能够确定抛物线的对称轴
是解答本题的关键，难度不大．
25．（10分）（2015•宁夏）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的
价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计，得到如下数据：
单价（元/件） 30 34 38 40 42
销量（件） 40 32 24 20 16
（1）计算这5天销售额的平均数（销售额=单价×销量）；
（2）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量y（件）与单价x（元/件）之间存在一次函数
关系，求y关于x的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；
（3）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（2）中的关系，且该产品的成本是20元/件．
为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？
考点：二次函数的应用．菁优网版权所有
专题：应用题．
分析：（1）根据题中表格中的数据列出算式，计算即可得到结果；
（2）设y=kx+b，从表格中找出两对值代入求出k与b的值，即可确定出解析式；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，列出W与x的二次函数解析式，利用二次
函数性质求出W最大时x的值即可．
解答：
解：（1）根据题意得： =934.4（元）；
（2）根据题意设y=kx+b，
把（30，40）与（40，20）代入得： ，
解得：k=﹣2，b=100，
则y=﹣2x+100；
（3）设定价为x元时，工厂获得的利润为W，
根据题意得：W=（x﹣20）y=（x﹣20）（﹣2x+100）=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）
2+450，
第27页（共30页）∵当x=35时，W最大值为450，
则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为35元．
点评：此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定一次函数解析式，以及二次函数的性质，
熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
26．（10分）（2015•宁夏）如图，是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，
∠B=30°；在△AB C 中，∠C =90°，∠A=45°，∠B =45°，且AB =CB．若将边AC 与边CA
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
重合，其中点A 与点C重合．将三角板AB C 绕点C（A）按逆时针方向旋转，旋转过的角为
1 1 1 1 1
α，旋转过程中边AC 与边AB的交点为M，设AC=a．
1 1
（1）计算AC 的长；
1 1
（2）当α=30°时，证明：B C ∥AB；
1 1
（3）若a= ，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分图形的面积；
（4）当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分图形的面积．
（参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2﹣ ，sin75°= ，cos75°=
，tan75°=2+ ）
考点：几何变换综合题．菁优网版权所有
专题：创新题型．
分析：（1）在Rt△ABC中，由特殊锐角三角函数值，先求得BC的长，然后在Rt△A B C 中利
1 1 1
用特殊锐角三角函数即可求得AC 的长；
1 1
（2）利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°，然后利用同位角相等，两直线平行进
行判定即可；
（3）两个三角板重叠部分图形的面积=△A B C 的面积﹣△BC M的面积；
1 1 1 1
（4）两个三角板重叠部分图形的面积=△CC B 的面积﹣三角形FB C的面积﹣三角形
1 1 1
DC M的面积．
1
第28页（共30页）解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，
由特殊锐角三角函数可知： ，
∴BC= ．
∴B C=
1
在Rt△A B C ，∠B =∠45°，
1 1 1 1
∴ ．
∴AC = = ．
1 1
（2）∵∠ACM=30°，∠A=60°，
∴∠BMC=90°．
∴∠C =∠BMC．
1
∴B C ∥AB．
1 1
（3）如下图：
由（1）可知：AC = = =3+
1 1
∴△AB C 的面积= =
1 1 1
∵∠AB C =45°，∠ABC=30°
1 1 1
∴∠MBC =15°
1
在Rt△BC M中，C M=BCtan15°=（3+ ）（2﹣ ）=3﹣ ，
1 1
∴Rt△BC M的面积= = =3．
1
∴两个三角板重叠部分图形的面积=△A B C 的面积﹣△BC M的面积=3 +3．
1 1 1 1
（4）如下图：过点B 作B E⊥BC，垂足为E．
1 1
第29页（共30页）由（1）可知：BC= ，AC = ，
1 1
∵∠MCA=60°，∠A=60°，
∴∠AMC=60°
∴MC=AC=MA=a．
∴C M=C A﹣MC= ．
1 1 1
∵∠MCA=60°，
∴∠C AB=30°，
1 1
∴∠C MD=∠B+∠C AB=60°
1 1 1
在Rt△DC M中，由特殊锐角三角函数可知：DC =C M•tan60°= a，
1 1 1
∴三角形DC M的面积= C M•DC a2，
1 1 1=
在Rt△BB C中，C B=BC= ，∠BCB =15°，由特殊锐角三角函数可知：
1 1 1
B E=C B•sin15°= ，
1 1
在Rt△FC C中，C C= ，∠CC F=30°，由特殊锐角三角函数可知：CF=CC ÷ =
1 1 1 1
．
∴三角形FB C的面积= = ．
1
两个三角板重叠部分图形的面积=△A C B 的面积﹣三角形FB C的面积﹣三角形
1 1 1 1
DC M的面积= ．
1
点评：本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用，难度较大，解答本题的关键是
灵活应用锐角函数求得相关线段的长度．
第30页（共30页）
