文档内容
2016 年广东省梅州市中考数学试卷
一、选择题：每小题3分，共21分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）（2016•梅州）计算：（﹣3）+4的结果是（ ）
A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7
2．（3分）（2016•梅州）若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（3分）（2016•梅州）如图，几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2016•梅州）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（ ）
A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）2
5．（3分）（2016•梅州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
6．（3分）（2016•梅州）二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
7．（3分）（2016•梅州）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a b= ，这里等式右
⊗
边是实数运算．例如：1 3= ．则方程x （﹣2）= ﹣1的解是（ ）
⊗ ⊗
A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7
二、填空题：每小题3分，共24分．
8．（3分）（2016•梅州）比较大小：﹣2 ﹣3．
9．（3分）（2016•梅州）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小
球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为 ，那么口袋中小球共
有 个．
10．（3分）（2016•梅州）流经我市的汀江，在青溪水库的正常库容是6880万立方米．6880万
用科学记数法表示为 ．
11．（3分）（2016•梅州）已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是 ．
12．（3分）（2016•梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边
长为xcm，则可列方程为 ．
第1页（共21页）13．（3分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线
BD于点F，若S =3，则S = ．
DEC BCF
△ △
14．（3分）（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物
线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ．
15．（3分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB C
1 1
的位置，点B、O分别落在点B 、C 处，
1 1
点B 在x轴上，再将△AB C 绕点B 顺时针旋转到△A B C 的位置，点C 在x轴上，将
1 1 1 1 1 1 2 2
△A B C 绕点C 顺时针旋转到△A B C 的位置，点A 在x轴上，依次进行下去…．若点A（
1 1 2 2 2 2 2 2
，0），B（0，2），则点B 的坐标
2016
为 ．
三、解答下列各题：本题有9小题，共75分．解答应写文字说明、推理过程或演算步骤．
16．（7分）（2016•梅州）计算： ．
17．（7分）（2016•梅州）我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每
人交一件作品．现将从中挑选的50件参赛作品的成绩（单位：分）统计如下：
等级 成绩（用m表示） 频数 频率
第2页（共21页）A 90≤m≤100 x 0.08
B 80≤m＜90 34 y
C m＜80 12 0.24
合计 50 1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中x的值为 ，y的值为 ；（直接填写结果）
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A 、A 、A …表示．现该校决定从本次参赛作
1 2 3
品获得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到学生A 和A
1 2
的概率为 ．（直接填写结果）
18．（7分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交
AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）四边形ABEF是 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为 ，
∠ABC= °．（直接填写结果）
19．（7分）（2016•梅州）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例
函数y= 的图象上．一次函数y=x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．
（1）求k和b的值；
（2）设反比例函数值为y ，一次函数值为y ，求y ＞y 时x的取值范围．
1 2 1 2
20．（9分）（2016•梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，
∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
第3页（共21页）21．（9分）（2016•梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x 、x ．
1 2
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x 、x 满足x +x =﹣x •x ，求k的值．
1 2 1 2 1 2
22．（9分）（2016•梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD
上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
23．（10分）（2016•梅州）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从
点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB
△
边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
第4页（共21页）24．（10分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，
点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b= ，c= ，点B的坐标为 ；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件
的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连
接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
第5页（共21页）2016 年广东省梅州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共21分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．
1．（3分）（2016•梅州）计算：（﹣3）+4的结果是（ ）
A．﹣7B．﹣1C．1D．7
【考点】有理数的加法．
菁优网版权所有
【分析】根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，
可得答案．
【解答】解：原式=+（4﹣3）=1．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值的运算．
2．（3分）（2016•梅州）若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】众数；中位数．
菁优网版权所有
【分析】根据众数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出
最中间的数即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据3，x，4，5，6的众数是3，
∴x=3，
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，4，5，6，
最中间的数是4，则这组数据的中位数为4；
故选B．
【点评】本题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，
最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握
得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错；众数是一组数据中出现次数最多的数．
3．（3分）（2016•梅州）如图，几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
菁优网版权所有
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，几何体的俯视图是 ．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．
第6页（共21页）4．（3分）（2016•梅州）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（ ）
A．b（a+b）（a﹣b）B．b（a﹣b）2C．b（a2﹣b2）D．b（a+b）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
菁优网版权所有
【分析】直接提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2b﹣b3
=b（a2﹣b2）
=b（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关
键．
5．（3分）（2016•梅州）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（ ）
A．55°B．45°C．35°D．25°
【考点】平行线的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据垂直的定义得到∠ACB=90°，得到∠BCE=90°，根据平行线的性质求出
∠BCD=55°，计算即可．
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
∵CD∥AB，∠B=55°，
∴∠BCD=∠B=55°，
∴∠1=90°﹣55°=35°，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同
旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
6．（3分）（2016•梅州）二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≥2D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件．
菁优网版权所有
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得2﹣x≥0，
解得，x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题
的关键．
第7页（共21页）7．（3分）（2016•梅州）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a b= ，这里等式右
⊗
边是实数运算．例如：1 3= ．则方程x （﹣2）= ﹣1的解是（ ）
⊗ ⊗
A．x=4B．x=5C．x=6D．x=7
【考点】分式方程的解．
菁优网版权所有
【专题】新定义．
【分析】所求方程利用题中的新定义化简，求出解即可．
【解答】解：根据题意，得 = ﹣1，
去分母得：1=2﹣（x﹣4），
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故选B．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
二、填空题：每小题3分，共24分．
8．（3分）（2016•梅州）比较大小：﹣2 ＞ ﹣3．
【考点】有理数大小比较．
菁优网版权所有
【分析】本题是基础题，考查了实数大小的比较．两负数比大小，绝对值大的反而小；或者直接
想象在数轴上比较，右边的数总比左边的数大．
【解答】解：在两个负数中，绝对值大的反而小，可求出﹣2＞﹣3．
故答案为：＞．
【点评】（1）在以向右方向为正方向的数轴上两点，右边的点表示的数比左边的点表示的数
大．
（2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数．
（3）两个正数中绝对值大的数大．
（4）两个负数中绝对值大的反而小．
9．（3分）（2016•梅州）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小
球．如果口袋中装有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为 ，那么口袋中小球共
有 1 5 个．
【考点】概率公式．
菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】设口袋中小球共有x个，根据概率公式得到 = ，然后利用比例性质求出x即可．
【解答】解：设口袋中小球共有x个，
根据题意得 = ，解得x=15，
所以口袋中小球共有15个．
故答案为15．
第8页（共21页）【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有
可能出现的结果数．
10．（3分）（2016•梅州）流经我市的汀江，在青溪水库的正常库容是6880万立方米．6880万
用科学记数法表示为 6.88×10 7 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整
数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：6880万=68800000=6.88×107．
故答案为：6.88×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．（3分）（2016•梅州）已知点P（3﹣m，m）在第二象限，则m的取值范围是 m ＞ 3 ．
【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，求解即可．
【解答】解：∵点P（3﹣m，m）在第二象限，
∴ 解得：m＞3；
故答案为：m＞3．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的
符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象
限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
12．（3分）（2016•梅州）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边
长为xcm，则可列方程为 x （ 20﹣ x ） =6 4 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】本题可根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
【解答】解：设矩形的一边长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为=（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）=64．
故答案为：x（20﹣x）=64．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要掌握运用长方形的面积计算公式
S=ab来解题的方法．
13．（3分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线
BD于点F，若S =3，则S = 4 ．
DEC BCF
△ △
第9页（共21页）【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的
面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ， =（ ）2，
∵E是边AD的中点，
∴DE= AD= BC，
∴ = ，
∴△DEF的面积= S =1，
DEC
△
∴ = ，
∴S =4；
BCF
故答案为：4．
△
【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定
定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方．
14．（3分）（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物
线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 （ 1+\sqrt{2 } ， 2 ）或（ 1
﹣\sqrt{2} ， 2 ） ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．
菁优网版权所有
【专题】动点型．
第10页（共21页）【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D
坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐
标．
【解答】解：
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1± ，
∴P点坐标为（1+ ，2）或（1﹣ ，2），
故答案为：（1+ ，2）或（1﹣ ，2）．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的
关键．
15．（3分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB C
1 1
的位置，点B、O分别落在点B 、C 处，
1 1
点B 在x轴上，再将△AB C 绕点B 顺时针旋转到△A B C 的位置，点C 在x轴上，将
1 1 1 1 1 1 2 2
△A B C 绕点C 顺时针旋转到△A B C 的位置，点A 在x轴上，依次进行下去…．若点A（
1 1 2 2 2 2 2 2
，0），B（0，2），则点B 的坐标
2016
为 （ 604 8 ， 2 ） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
菁优网版权所有
【专题】规律型．
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B 、B …，即可得每偶数
2 4
之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B 的坐标．
2016
【解答】解：∵AO= ，BO=2，
∴AB= = ，
∴OA+AB +B C =6，
1 1 2
∴B 的横坐标为：6，且B C =2，
2 2 2
∴B 的横坐标为：2×6=12，
4
∴点B 的横坐标为：2016÷2×6=6048．
2016
∴点B 的纵坐标为：2．
2016
∴点B 的坐标为：（6048，2）．
2016
第11页（共21页）故答案为：（6048，2）．
【点评】此题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关
键．
三、解答下列各题：本题有9小题，共75分．解答应写文字说明、推理过程或演算步骤．
16．（7分）（2016•梅州）计算： ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式
的值是多少即可．
【解答】解：
=1+ × ﹣3+2
=1+1﹣3+2
=1
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实
数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，
有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律
在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；
②00≠1．
（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=
（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底
数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
（4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．
17．（7分）（2016•梅州）我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每
人交一件作品．现将从中挑选的50件参赛作品的成绩（单位：分）统计如下：
等级 成绩（用m表示） 频数 频率
A 90≤m≤100 x 0.08
B 80≤m＜90 34 y
C m＜80 12 0.24
合计 50 1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中x的值为 4 ，y的值为 0.6 8 ；（直接填写结果）
（2）将本次参赛作品获得A等级的学生依次用A 、A 、A …表示．现该校决定从本次参赛作
1 2 3
品获得A等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到学生A 和A
1 2
的概率为 \frac{1}{6 } ．（直接填写结果）
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表．
菁优网版权所有
【专题】计算题．
第12页（共21页）【分析】（1）利用频（数）率分布表，利用频数和分别减去B、C等级的频数即可得到x的值，
然后用B等级的频数除以总数即可得到y的值；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到学生A 和A 的结果数，然后
1 2
根据概率公式求解．
【解答】解：（1）x=50﹣12﹣34=4，y= =0.68；
故答案为4，0.68；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到学生A 和A 的结果数为2，
1 2
所以恰好抽到学生A 和A 的概率= = ，
1 2
故答案为4，0.68； ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
也考查了频（数）率分布表．
18．（7分）（2016•梅州）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交
AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF．
（1）四边形ABEF是 菱形 ；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为 10\sqrt{3 } ，
∠ABC= 12 0 °．（直接填写结果）
【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的性质；作图—基本作图．
菁优网版权所有
【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出
∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
第13页（共21页）∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
故答案为菱形．
（2）∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，
∵AB=10，
∴AB=2BO，∵∠AOB=90°
∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，
∴AO= BO=5 ，∠ABC=2∠ABO=120°．
故答案为 ，120．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关
键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．（7分）（2016•梅州）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例
函数y= 的图象上．一次函数y=x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B．
（1）求k和b的值；
（2）设反比例函数值为y ，一次函数值为y ，求y ＞y 时x的取值范围．
1 2 1 2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）把A（2，5）分别代入 和y=x+b，即可求出k和b的值；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求出交点坐标，进而结合图形求出y ＞y 时x的
1 2
取值范围．
【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入 和y=x+b，
得 ，
解得k=10，b=3；
第14页（共21页）（2）由（1）得，直线AB的解析式为y=x+3，
反比例函数的解析式为 ．
由 ，解得： 或 ．
则点B的坐标为（﹣5，﹣2）．
由图象可知，当y ＞y 时，x的取值范围是x＜﹣5或0＜x＜2．
1 2
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出k和b的值，
此题难度不大．
20．（9分）（2016•梅州）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，
∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC = ．
在Rt OCD中，
∵ △ ，
∴ ．
∴ ．
∴图中阴影部分的面积为： ．
第15页（共21页）【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
21．（9分）（2016•梅州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x 、x ．
1 2
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x 、x 满足x +x =﹣x •x ，求k的值．
1 2 1 2 1 2
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出x +x =﹣（2k+1），x •x =k2+1，根据x +x =﹣x •x 得出﹣
1 2 1 2 1 2 1 2
（2k+1）=﹣（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得：k＞ ，
即实数k的取值范围是k＞ ；
（2）∵根据根与系数的关系得：x +x =﹣（2k+1），x •x =k2+1，
1 2 1 2
又∵方程两实根x 、x 满足x +x =﹣x •x ，
1 2 1 2 1 2
∴﹣（2k+1）=﹣（k2+1），
解得：k =0，k =2，
1 2
∵k＞ ，
∴k只能是2．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此
题的关键，题目比较好，难度适中．
22．（9分）（2016•梅州）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD
上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；
（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
第16页（共21页）∴DC∥AB，
∴∠OBE=∠ODF．
在△OBE与△ODF中，
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO=DO．
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．
∴AE=GE
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°．
∴DG=DO，
∴OF=FG=1，
由（1）可知，OE=OF=1，
∴GE=OE+OF+FG=3，
∴AE=3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．
23．（10分）（2016•梅州）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从
点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB
△
边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
【考点】相似形综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）由已知条件得出AB=10， ． 由题意知：BM=2t， ，
，由BM=BN得出方程 ，解方程即可；
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可
得出tt的值；
②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出tt的值；
第17页（共21页）（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．
四边形ACNM的面积y= ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函
数的性质即可得出结果．
△
【解答】解：（1）∵在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
△
∴AB=2AC=10， ．
由题意知：BM=2t， ，
∴ ，
∵BM=BN，
∴ ，
解得： ．
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，
则 ，即 ，
解得： ．
②当△NBM∽△ABC时，
则 ，即 ，
解得： ．
综上所述：当 或 时，△MBN与△ABC相似．
（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，
∴△BMD∽△BAC，
∴ ，
即 ，
解得：MD=t．
设四边形ACNM的面积为y，
∴= = =
．
∴根据二次函数的性质可知，当 时，y的值最小．
此时， ．
第18页（共21页）【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的
性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．
24．（10分）（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，
点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）b= ﹣ 2 ，c= ﹣ 3 ，点B的坐标为 （﹣ 1 ， 0 ） ；（直接填写结果）
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件
的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连
接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得
点B的坐标；
（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P ，P 两点先求得AC的解析式，然后可求
1 2
得P C和P A的解析式，最后再求得P C和P A与抛物线的交点坐标即可；
1 2 1 2
（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点
D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得：b=﹣2，
c=﹣3．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵令x2﹣2x﹣3=0，解得：x =﹣1，x =3．
1 2
∴点B的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．
（2）存在．
第19页（共21页）理由：如图所示：
①当∠ACP =90°．
1
由（1）可知点A的坐标为（3，0）．
设AC的解析式为y=kx﹣3．
∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1，
∴直线AC的解析式为y=x﹣3．
∴直线CP 的解析式为y=﹣x﹣3．
1
∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x =1，x =0（舍去），
1 2
∴点P 的坐标为（1，﹣4）．
1
②当∠P AC=90°时．
2
设AP 的解析式为y=﹣x+b．
2
∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3．
∴直线AP 的解析式为y=﹣x+3．
2
∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x =﹣2，x =3（舍去），
1 2
∴点P 的坐标为（﹣2，5）．
2
综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．
（3）如图2所示：连接OD．
由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
第20页（共21页）由（1）可知，在Rt AOC中，
∵OC=OA=3，OD⊥AC，
△
∴D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴ ．
∴点P的纵坐标是 ．
∴ ，解得： ．
∴当EF最短时，点P的坐标是：（ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函
数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得P C和P A的解析式是解答问题（2）
1 2
的关键，求得点P的纵坐标是解答问题（3）的关键．
第21页（共21页）
