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2017 年北京市中考数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
x
2．（3分）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x-4
A．x=0 B．x=4 C．x≠0D．x≠4
3．（3分）如图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
4．（3分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论
是（ ）
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
5．（3分）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
第1页（共42页）4 a2
7．（3分）如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣ ）• 的值是（ ）
a a-2
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．（3分）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况．
2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图
（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）
根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）
A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
9．（3分）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返跑．在整个过
程中，跑步者距起跑线的距离 y（单位：m）与跑步时间t（单位：s）的对应关
系如图2所示．下列叙述正确的是（ ）
第2页（共42页）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
10．（3分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖
向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618附近摆动，显示出一
定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
第3页（共42页）③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000时，“钉尖向上”的概率一
定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．（3分）写出一个比3大且比4小的无理数： ．
12．（3分）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中
篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价
为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．若S =1，则
△CMN
S = ．
四边形ABNM
14．（3 分）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上的点，AD=CD．若
∠CAB=40°，则∠CAD= ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过
若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由△OCD 得到
△AOB的过程： ．
第4页（共42页）16．（3分）图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
1
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q
2
两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28
题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）计算：4cos30°+（1﹣√2）0﹣√12+|﹣2|．
第5页（共42页）{
&2(x+1)＞5x-7
18．（5分）解不等式组： x+10 ．
& ＞2x
3
19．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点
D．
求证：AD=BC．
20．（5分）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对
角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如
图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海
岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界
数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S =S ﹣（S +S ），S =S ﹣（ + ）．
矩形NFGD △ADC △ANF △FGC 矩形EBMF △ABC
易知，S =S ， = ， = ．
△ADC △ABC
可得S =S ．
矩形NFGD 矩形EBMF
第6页（共42页）21．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
22．（5分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，
∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
第7页（共42页）k
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与直线
x
y=x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2
k
于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y= （x＞0）的图象于点N．
x
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
24．（5分）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于
点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
第8页（共42页）25．（5分）某工厂甲、乙两个部门各有员工 400人，为了解这两个部门员工
的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百
分制）如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83
77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70
40
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x 40≤x≤ 50≤x≤ 60≤x≤ 70≤x≤ 80≤x≤8 90≤x
49 59 69 79 9 ≤100
人数
部门
甲 0 0 1 11 7 1
乙
（说明：成绩 80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60
﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部 平均数 中位数 众数
门
第9页（共42页）甲 78.3 77.5 75
乙 78 80.5 81
得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 ；b．可以推断出
部门员工的生产技能水平较高，理由为 ．（至少从两个不同的角度说明
推断的合理性）
26．（5分）如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点
M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离
为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值为
0）
小东根据学习函数的经验，对函数 y随自变量x的变化而变化的规律进行了探
究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 0 2.0 2.3 2.1 0.9 0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出
该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度
约为 cm．
第10页（共42页）27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于点A、B
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x ，y ），Q（x ，y ），与直线BC
1 1 2 2
交于点N（x ，y ），若x ＜x ＜x ，结合函数的图象，求x +x +x 的取值范围．
3 3 1 2 3 1 2 3
28．（7分）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点
B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于
点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
29．（8分）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若
在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形
M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
第11页（共42页）1 1 √3 5
①在点P （ ，0），P （ ， ），P （ ，0）中，⊙O的关联点是 ．
1 2 2 2 2 3 2
②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．
若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
第12页（共42页）2017 年北京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．（3分）（2017•北京）如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【考点】J5：点到直线的距离．
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【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
【解答】解：由题意，得
点P到直线l的距离是线段PB的长度，
故选：B．
【点评】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是解题关键．
x
2．（3 分）（2017•北京）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（
x-4
）
A．x=0 B．x=4 C．x≠0D．x≠4
【考点】62：分式有意义的条件．
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【分析】根据分式有意义的条件即可求出x的范围；
【解答】解：由意义可知：x﹣4≠0，
∴x≠4，
故选（D）
【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条
件，本题属于基础题型．
第13页（共42页）3．（3分）（2017•北京）如图是某个几何题的展开图，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．圆柱
【考点】I6：几何体的展开图．
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【分析】侧面为三个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
【解答】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱．
故选：A．
【点评】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的
理解．
4．（3分）（2017•北京）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，
则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b| D．b+c＞0
【考点】29：实数与数轴．
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【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b，c，d的大小，根据有理数的运
算，绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：由数轴上点的位置，得
a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．
A、a＜﹣4，故A不符合题意；
B、bd＜0，故B不符合题意；
C、|a|＞4=|d|，故C符合题意；
D、b+c＜0，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得处 a，b，c，d的
大小是解题关键．
第14页（共42页）5．（3分）（2017•北京）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转180度后两部分重合．
6．（3分）（2017•北京）若正多边形的一个内角是 150°，则该正多边形的边
数是（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【考点】L3：多边形内角与外角．
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【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）•180°=150n，
解得n=12，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键．
4 a2
7．（3分）（2017•北京）如果a2+2a﹣1=0，那么代数式（a﹣ ）• 的值是
a a-2
第15页（共42页）（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后对 a2+2a﹣1=0变
形即可解答本题．
4 a2
【解答】解：（a﹣ ）•
a a-2
a2-4 a2
= ⋅
a a-2
(a+2)(a-2) a2
= ⋅
a a-2
=a（a+2）
=a2+2a，
∵a2+2a﹣1=0，
∴a2+2a=1，
∴原式=1，
故选C．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方
法．
8．（3分）（2017•北京）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分
地区的贸易情况．
2011﹣2016年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图
第16页（共42页）（以上数据摘自《“一带一路”贸易合作大数据报告（2017）》）
根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（ ）
A．与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长
B．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长
C．2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4200亿美元
D．2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多
【考点】VD：折线统计图．
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【分析】利用折线统计图结合相应数据，分别分析得出符合题意的答案．
【解答】解：A、由折线统计图可得：
与2015年相比，2016年我国与东欧地区的贸易额有所增长，正确，不合题意；
B、由折线统计图可得：2011﹣2014年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长，
故此选项错误，符合题意；
C、2011﹣2016年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值为：
（3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4）÷6≈4358，
故超过4200亿美元，正确，不合题意，
D、∵4554.4÷1368.2≈3.33，
∴2016年我国与东南亚地区的贸易额比我国与东欧地区的贸易额的3倍还多，
故选：B．
【点评】此题主要考查了折线统计图，利用折线统计图获取正确信息是解题关
键．
9．（3分）（2017•北京）小苏和小林在如图1所示的跑道上进行4×50米折返
跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离 y（单位：m）与跑步时间t（单位：
s）的对应关系如图2所示．下列叙述正确的是（ ）
第17页（共42页）A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程
D．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇2次
【考点】E6：函数的图象．
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【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏
路程
后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度= ，根据行程问题
时间
的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全
程的平均速度，根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两
人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．
【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林
先到达终点，故A错误；
根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用
路程
的时间多，而路程相同，根据速度= ，所以小苏跑全程的平均速度小于小
时间
第18页（共42页）林跑全程的平均速度，故B错误；
根据图象小苏前15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，故C错误；
小林在跑最后 100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图
象可知2次，故D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图
象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结
论．
10．（3分）（2017•北京）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次
实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，所以“钉尖
向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618附近摆动，显示出一
定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000时，“钉尖向上”的概率一
定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．① B．② C．①② D．①③
【考点】X8：利用频率估计概率．
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【分析】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：当投掷次数是 500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是 308，
所以此时“钉尖向上”的可能性是：308÷500=0.616，但“钉尖向上”的概率
第19页（共42页）不一定是0.616，故①错误，
随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618附近摆动，显示出一定
的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确，
若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为 1000时，“钉尖向上”的概率可能
是0.620，但不一定是0.620，故③错误，
故选B．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利
用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11．（3分）（2017•北京）写出一个比3大且比4小的无理数： π ．
【考点】26：无理数．
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【分析】根据无理数的定义即可．
【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π，
故答案为：π．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，
无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1
个0）等形式．
12．（3分）（2017•北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费
了435元，其中篮球的单价比足球的单价多 3元，求篮球的单价和足球的单价．
设篮球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意，可列方程组为
{&x- y=3
．
&4x+5 y=435
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
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【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=435元，
②篮球的单价﹣足球的单价=3元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
{&x- y=3
，
&4x+5 y=435
第20页（共42页）{&x- y=3
故答案为： ．
&4x+5 y=435
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解
题意，找出题目中的等量关系．
13．（3分）（2017•北京）如图，在△ABC中，M、N分别为AC，BC的中点．
若S =1，则S = 3 ．
△CMN 四边形ABNM
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理．
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1
【分析】证明 MN 是△ABC 的中位线，得出 MN∥AB，且 MN= AB，证出
2
△CMN∽△CAB，根据面积比等于相似比平方求出△CMN与△CAB的比，继而
可得出△CMN的面积与四边形ABNM的面积比．最后求出结论．
【解答】解：∵M，N分别是边AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
1
∴MN∥AB，且MN= AB，
2
∴△CMN∽△CAB，
S MN 1
∴ △CMN =（ ）2= ，
S AB 4
△CAB
S 1
∴ △CMN = ，
S 3
四 边 形ABNM
∴S =3S =3×1=3．
四边形ABNM △AMN
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟练掌握
三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
第21页（共42页）14．（3 分）（2017•北京）如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上的点，
AD=CD．若∠CAB=40°，则∠CAD= 25 ° ．
【考点】M5：圆周角定理．
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【分析】先根据 AD=CD得出^AD=C^D，再由AB为⊙O的直径，∠CAB=40°得出
^BC的度数，进而可得出^AC的度数，据此可得出结论．
【解答】解：∵AD=CD，
∴^AD=C^D．
∵AB为⊙O的直径，∠CAB=40°，
∴^BC=80°，
∴^AC=180°﹣80°=100°，
∴^AD=C^D=50°，
∴∠CAD=25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，弧、弦的关系，根据题意得出C^D的度数是
解答此题的关键．
15．（3分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作
是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一中由
△OCD得到△AOB的过程： △ OCD 绕 C 点旋转 90 ° ，并向左平移 2 个单位得到
△ AOB ．
第22页（共42页）【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；P6：坐标与图形变化﹣对称；Q3：坐标
与图形变化﹣平移．
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【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△OCD得到△AOB的过程．
【解答】解：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB（答案不
唯一）．
故答案为：△OCD绕C点旋转90°，并向左平移2个单位得到△AOB．
【点评】考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移
的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为
对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
16．（3分）（2017•北京）图1是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图
过程
已知：Rt△ABC，∠C=90°，求作Rt△ABC的外接圆．
作法：如图2．
1
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于 P，Q
2
两点；
（2）作直线PQ，交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．
请回答：该尺规作图的依据是 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂
直平分线上； 90 ° 的圆周角所的弦是直径 ．
第23页（共42页）【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．
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【专题】13 ：作图题．
【分析】由于90°的圆周角所的弦是直径，所以 Rt△ABC的外接圆的圆心为AB
的中点，然后作AB的中垂线得到圆心后即可得到Rt△ABC的外接圆．
【解答】解：该尺规作图的依据是到线段两端点的距离相等的点在这条线段的
垂直平分线上；90°的圆周角所的弦是直径．
故答案为到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；90°的圆周
角所的弦是直径．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进
行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键
是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本
作图，逐步操作．
三、解答题（本题共72分，第17题-26题，每小题5分，第27题7分，第28
题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（5分）（2017•北京）计算：4cos30°+（1﹣√2）0﹣√12+|﹣2|．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分
别化简得出答案．
√3
【解答】解：原式=4× +1﹣2√3+2
2
=2√3﹣2√3+3
=3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
第24页（共42页）{
&2(x+1)＞5x-7
18．（5分）（2017•北京）解不等式组： x+10 ．
& ＞2x
3
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
{
&2(x+1)＞5x-7①
【解答】解： x+10 ，
& ＞2x②
3
由①式得x＜3；
由②式得x＜2，
所以不等式组的解为x＜2．
【点评】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取
较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19．（5 分）（2017•北京）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分
∠ABC交AC于点D．
求证：AD=BC．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质．
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【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到
∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．
【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，
第25页（共42页）∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，
∴AD=BD=BC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关
键，注意三角形内角和定理的应用．
20．（5分）（2017•北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的
“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形
面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原
理复原了《海岛算经》九题古证．
（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界
数学泰斗刘徽》）
请根据该图完成这个推论的证明过程．
证明：S =S ﹣（S +S ），S =S ﹣（ S + S
矩形NFGD △ADC △ANF △FGC 矩形EBMF △ABC △AEF △FCM
）．
易知，S =S ， S = S ， S = S ．
△ADC △ABC △ANF △AEF △FGC △FMC
可得S =S ．
矩形NFGD 矩形EBMF
【考点】LB：矩形的性质．
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【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此
即可证明结论．
【解答】证明：S =S ﹣（S +S ），S =S ﹣（
矩形 NFGD △ADC △ANF △FGC 矩形 EBMF △ABC
S +S ）．
△ANF △FCM
易知，S =S ，S =S ，S =S ，
△ADC △ABC △ANF △AEF △FGC △FMC
可得S =S ．
矩形NFGD 矩形EBMF
故答案分别为 S ，S ，S ，S ，S ，S ．
△AEF △FCM △ANF △AEF △FGC △FMC
第26页（共42页）【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分
成面积相等的两部分这个性质，属于中考常考题型．
21．（5分）（2017•北京）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k﹣1）2≥0，由此
可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 x =2、x =k+1，根据方程有一根
1 2
小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程 x2﹣（k+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣
4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，
∴x =2，x =k+1．
1 2
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
【点评】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次
不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0 时，方程有两个实数根”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于 1，找出关于k的一元
一次方程．
22．（5 分）（2017•北京）如图，在四边形 ABCD 中，BD 为一条对角线，
第27页（共42页）AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．
【考点】LA：菱形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线．
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【分析】（1）由 DE=BC，DE∥BC，推出四边形 BCDE 是平行四边形，再证明
BE=DE即可解决问题；
（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，
∴DE=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD=90°，AE=DE，
∴BE=DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，
∴AB=BC=1，
∵AD=2BC=2，
1
∴sin∠ADB= ，
2
∴∠ADB=30°，
∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，
第28页（共42页）在Rt△ACD中，∵AD=2，
∴CD=1，AC=√3．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角
函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
k
23．（5分）（2017•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞
x
0）的图象与直线y=x﹣2交于点A（3，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2
k
于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y= （x＞0）的图象于点N．
x
①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）将A点代入y=x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反
比例函数中即可求出k的值．
第29页（共42页）（2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN＞PM，从而可知PN≥2，根据图
象可求出n的范围．
【解答】解：（1）将A（3，m）代入y=x﹣2，
∴m=3﹣2=1，
∴A（3，1），
k
将A（3，1）代入y= ，
x
∴k=3×1=3，
（2）①当n=1时，P（1，1），
令y=1，代入y=x﹣2，
x﹣2=1，
∴x=3，
∴M（3，1），
∴PM=2，
3
令x=1代入y= ，
x
∴y=3，
∴N（1，3），
∴PM=2
∴PM=PN，
②P（n，n），
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x﹣2于点M，
M（n+2，n），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∴0＜n≤1或n≥3
第30页（共42页）【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比
例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
24．（5分）（2017•北京）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E
作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
【考点】MC：切线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；
（ 2 ） 作 DF⊥ AB 于 F ， 连 接 OE ． 只 要 证 明 ∠ AOE=∠ DEF ， 可 得
AE 4
sin∠DEF=sin∠AOE= = ，由此求出AE即可解决问题．
AO 5
【解答】（1）证明：∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD=90°，
第31页（共42页）∴∠OBE+∠EBD=90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE+∠CEA=90°，
∵∠CEA=∠DEB，
∴∠EBD=∠BED，
∴DB=DE．
（2）作DF⊥AB于F，连接OE．
∵DB=DE，AE=EB=6，
1
∴EF= BE=3，OE⊥AB，
2
在Rt△EDF中，DE=BD=5，EF=3，
∴DF=√52-32=4，
∵∠AOE+∠A=90°，∠DEF+∠A=90°，
∴∠AOE=∠DEF，
AE 4
∴sin∠DEF=sin∠AOE= = ，
AO 5
∵AE=6，
15
∴AO= ．
2
15
∴⊙O的半径为 ．
2
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三
角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解
决问题，属于中考常考题型．
第32页（共42页）25．（5分）（2017•北京）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这
两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
收集数据
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百
分制）如下：
甲 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83
77
乙 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70
40
整理、描述数据
按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x 40≤x≤ 50≤x≤ 60≤x≤ 70≤x≤ 80≤x≤8 90≤x
49 59 69 79 9 ≤100
人数
部门
甲 0 0 1 11 7 1
乙 1 0 0 7 1 0 2
（说明：成绩 80分及以上为生产技能优秀，70﹣﹣79分为生产技能良好，60
﹣﹣69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
分析数据
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部 平均数 中位数 众数
门
甲 78.3 77.5 75
乙 78 80.5 81
得出结论：a．估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 20 0 ；b．可以推断出
甲或乙 部门员工的生产技能水平较高，理由为 ① 甲部门生产技能测试中，
平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
② 甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技
能水平较高．
或 ① 甲部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较
第33页（共42页）高；
② 甲部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
【考点】W5：众数；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；W2：加
权平均数；W4：中位数．
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【分析】根据收集数据填写表格即可求解；
用乙部门优秀员工人数除以20乘以400即可得出答案，根据情况进行讨论分析，
理由合理即可．
【解答】解：填表如下：
成绩x 40≤x≤ 50≤x≤ 60≤x≤ 70≤x≤ 80≤x≤8 90≤x
49 59 69 79 9 ≤100
人数
部门
甲 0 0 1 11 7 1
乙 1 0 0 7 10 2
12
a. ×400=240（人）．
20
故估计乙部门生产技能优秀的员工人数为 200；
b．答案不唯一，理由合理即可．
可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技
能水平较高．
或可以推断出乙部门员工的生产技能水平较高，理由为：
①甲部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
故答案为：1，0，0，7，10，2；
200；甲或乙，①甲部门生产技能测试中，平均分较高，表示甲部门员工的生产
技能水平较高；
②甲部门生产技能测试中，没有技能不合格的员工，表示甲部门员工的生产技
能水平较高；
或①甲部门生产技能测试中，中位数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较
第34页（共42页）高；
②甲部门生产技能测试中，众数较高，表示乙部门员工的生产技能水平较高．
【点评】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数
的定义以及用样本估计总体是解题的关键．
26．（5 分）（2017•北京）如图，P 是 AB 所对弦 AB 上一动点，过点 P 作
PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．已知AB=6cm，设
A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B
重合时，y的值为0）
小东根据学习函数的经验，对函数 y随自变量x的变化而变化的规律进行了探
究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 0 2.0 2.3 2.1 1. 6 0.9 0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出
该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度
约为 2. 2 cm．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；
（2）利用描点法，画出函数图象即可；
（3）作出直线y=x与图象的交点，交点的横坐标即可AP的长．
【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x﹣4时，y=1.6cm，
第35页（共42页）故答案为1.6．
（2）利用描点法，图象如图所示．
（3）当△PAN 为等腰三角形时，x=y，作出直线 y=x 与图象的交点坐标为
（2.2，2.2），
∴△PAN为等腰三角形时，PA=2.2cm．
故答案为2.2．
【点评】本题考查圆综合题、坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题
意，学会用测量法、图象法解决实际问题，属于中考压轴题．
27．（7分）（2017•北京）在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=x2﹣4x+3与x
轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x ，y ），Q（x ，y ），与直线BC
1 1 2 2
交于点N（x ，y ），若x ＜x ＜x ，结合函数的图象，求x +x +x 的取值范围．
3 3 1 2 3 1 2 3
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【分析】（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直
第36页（共42页）线BC的表达式即可；
（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．
【解答】解：（1）由y=x2﹣4x+3得到：y=（x﹣3）（x﹣1），C（0，3）．
所以A（1，0），B（3，0），
设直线BC的表达式为：y=kx+b（k≠0），
{&b=3
则 ，
&3k+b=0
{&k=-1
解得 ，
&b=3
所以直线BC的表达式为y=﹣x+3；
（2）由y=x2﹣4x+3得到：y=（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴是x=2，顶点坐标是（2，﹣1）．
∵y =y ，
1 2
∴x +x =4．
1 2
令y=﹣1，y=﹣x+3，x=4．
∵x ＜x ＜x ，
1 2 3
∴3＜x ＜4，即7＜x +x +x ＜8．
3 1 2 3
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答（2）题时，利用了“数形结
合”的数学思想，降低了解题的难度．
28．（7分）（2017•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上
一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q
作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
第37页（共42页）（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．
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【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，
由直角三角形的性质即可得出结论；
（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB
是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；
（2）PQ=√2MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，{∠MQE=∠PAC ¿∠ACP=∠QEM ¿AP=QM ¿，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC=ME，
∴△AEB是等腰直角三角形，
第38页（共42页）1 √2
∴ PQ= MB，
2 2
∴PQ=√2MB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、
勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问
题的关键．
29．（8分）（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如
下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，
则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
1 1 √3 5
①在点P （ ，0），P （ ， ），P （ ，0）中，⊙O的关联点是 P ， P
1 2 2 2 2 3 2 2 3
．
②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．
若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【考点】FI：一次函数综合题．
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1 1 √3 5 1
【分析】（1）①根据点P （ ，0），P （ ， ），P （ ，0），求得P =
1 2 2 2 2 3 2 1 2
5
，P =1，OP = ，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P
2 3 2
到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公
式得到即可得到结论；
第39页（共42页）（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C
（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为 D，得到C（1﹣√2，
0），于是得到结论；如图 3，当圆过点 A，则 AC=1，得到C（2，0），如图
4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2√2，0），于是得到结论．
1 1 √3 5
【解答】解：（1）①∵点P （ ，0），P （ ， ），P （ ，0），
1 2 2 2 2 3 2
1 5
∴OP = ，OP =1，OP = ，
1 2 2 3 2
3
∴P 与⊙O的最小距离为 ，P 与⊙O的最小距离为1，OP 与⊙O的最小距离为
1 2 2 3
1
，
2
∴⊙O，⊙O的关联点是P ，P ；
2 3
故答案为：P ，P ；
2 3
②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合
题意，
∴设P（x，﹣x），当OP=1时，
由距离公式得，OP=√(x-0) 2+(-x-0) 2=1，
√2
∴x=± ，
2
当OP=3时，OP=√(x-0) 2+(-x-0) 2=3，
3√2
解得：x=± ；
2
3√2 √2 √2 3√2
∴点P的横坐标的取值范围为：﹣ ≤≤﹣ ，或 ≤x≤ ；
2 2 2 2
（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，1），
如图1，
第40页（共42页）当圆过点A时，此时，CA=3，
∴C（﹣2，0），
如图2，
当直线AB与小圆相切时，切点为D，
∴CD=1，
∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，
∴直线AB与x轴的夹角=45°，
∴AC=√2，
∴C（1﹣√2，0），
∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x ≤1﹣√2；
C
如图3，
第41页（共42页）当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），
如图4，
当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，
∴OC=√32-1=2√2，
∴C（2√2，0）．
∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x ≤2√2；
C
综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x ≤1﹣√2或2≤x ≤2√2．
C C
【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点
间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．
第42页（共42页）
