文档内容
2015年广东省中考数学试卷
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
2．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食
总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3573×106 B．1.3573×107 C．1.3573×108 D．1.3573×109
3．（3分）（2015•东莞）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．（3分）（2015•东莞）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
A．75° B．55° C．40° D．35°
5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
6．（3分）（2015•东莞）（﹣4x）2=（ ）
A．﹣8x2 B．8x2 C．﹣16x2 D．16x2
7．（3分）（2015•东莞）在0，2，（﹣3）0，﹣5这四个数中，最大的数是（ ）
A．0 B．2 C．（﹣3）0 D．﹣5
8．（3分）（2015•东莞）若关于x的方程x2+x﹣a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取
值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2
9．（3分）（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A
为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
1A．6 B．7 C．8 D．9
10．（3分）（2015•东莞）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，
且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上。
11．（4分）（2015•东莞）正五边形的外角和等于 （度）．
12．（4分）（2015•东莞）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是
．
13．（4分）（2015•东莞）分式方程 = 的解是 ．
14．（4分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ．
15．（4分）（2015•东莞）观察下列一组数： ，…，根据该组数的排列规律，
可推出第10个数是 ．
16．（4分）（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S =12，
△ABC
则图中阴影部分的面积是 ．
2三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）（2015•东莞）解方程：x2﹣3x+2=0．
18．（6分）（2015•东莞）先化简，再求值： ，其中 ．
19．（6分）（2015•东莞）如图，已知锐角△ABC．
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作
法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD= ，求DC的长．
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。
320．（7分）（2015•东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装
有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机
抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图
的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
21．（7分）（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE
沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
22．（7分）（2015•东莞）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别
为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A
型号和3台B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价
格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A
型号的计算器多少台？
五、解答题（三）：本大题3小题，每小题9分，共27分。
423．（9分）（2015•东莞）如图，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，
过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．
24．（9分）（2015•东莞）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过 的中点P作⊙O的直径PG
交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．
25．（9分）（2015•东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和
Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，
∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD= （cm），DC= （cm）
5（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿
A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过
程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．
（参考数据sin75°= ，sin15°= ）
2015 年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）（2015•东莞）|﹣2|=（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
考点：绝对值．
菁优网版权所有
分析：根据绝对值的性质可直接求出答案．
解答：解：根据绝对值的性质可知：|﹣2|=2．
故选：A．
点评：此题考查了绝对值的性质，要求掌握绝对值的性质及其定义，并能熟练运用到实际运
算当中．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的
绝对值是0．
62．（3分）（2015•东莞）据国家统计局网站2014年12月4日发布的消息，2014年广东省粮食
总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3573×106 B．1.3573×107 C．1.3573×108 D．1.3573×109
考点：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将13 573 000用科学记数法表示为：1.3573×107．
故选：B．
点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2015•东莞）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
考点：中位数．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：先把数据由小到大排列，然后根据中位数的定义求解．
解答：解：把数据由小到大排列为：2，2，4，5，6，
所以这组数据的中位数是4．
故选B．
点评：本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的
个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶
数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（3分）（2015•东莞）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
A．75° B．55° C．40° D．35°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．
菁优网版权所有
7分析：根据平行线的性质得出∠4=∠1=75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度
数．
解答：解：∵直线a∥b，∠1=75°，
∴∠4=∠1=75°，
∵∠2+∠3=∠4，
∴∠3=∠4﹣∠2=75°﹣35°=40°．
故选C．
点评：本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
5．（3分）（2015•东莞）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正三角形
考点：中心对称图形；轴对称图形．
菁优网版权所有
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分
能够重合；
即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它
的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：A．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称
轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合．
6．（3分）（2015•东莞）（﹣4x）2=（ ）
A．﹣8x2 B．8x2 C．﹣16x2 D．16x2
考点：幂的乘方与积的乘方．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．
8解答：解：原式=16x2，
故选D．
点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）（2015•东莞）在0，2，（﹣3）0，﹣5这四个数中，最大的数是（ ）
A．0 B．2 C．（﹣3）0 D．﹣5
考点：实数大小比较；零指数幂．
菁优网版权所有
分析：先利用a0=1（a≠0）得（﹣3）0=1，再利用两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负
实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小即可得出结果．
解答：解：在0，2，（﹣3）0，﹣5这四个数中，最大的数是2，
故选B．
点评：本题考查了有理数的大小比较和零指数幂，掌握有理数大小比较的法则和a0=1（a≠0）
是解答本题的关键．
8．（3分）（2015•东莞）若关于x的方程x2+x﹣a+ =0有两个不相等的实数根，则实数a的取
值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a＜2
考点：根的判别式．
菁优网版权所有
分析：
根据判别式的意义得到△=12﹣4（﹣a+ ）＞0，然后解一元一次不等式即可．
解答：
解：根据题意得△=12﹣4（﹣a+ ）＞0，
解得a＞2．
故选C．
点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关
系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个
实数根；当△＜0时，方程无实数根．
9．（3分）（2015•东莞）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A
为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
9A．6 B．7 C．8 D．9
考点：扇形面积的计算．
菁优网版权所有
分析：由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB =
，计算即可．
解答：解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB = = ×6×3=9．
故选D．
点评：
此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB = ．
10．（3分）（2015•东莞）如图，已知正△ABC的边长为2，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，
且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．
菁优网版权所有
分析：根据题意，易得△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE=x，AG=2
﹣x；可得△AEG的面积y与x的关系；进而可判断出y关于x的函数的图象的大致形
状．
解答：解：根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，
10故BE=CF=AG=2﹣x；
故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．
在△AEG中，AE=x，AG=2﹣x．
则S = AE×AG×sinA= x（2﹣x）；
△AEG
故y=S ﹣3S
△ABC △AEG
= ﹣3× x（2﹣x）= （3x2﹣3x+1）．
故可得其大致图象应类似于抛物线，且抛物线开口方向向上；
故选：D．
点评：本题考查动点问题的函数图象问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
二、填空题：本大题6小题，每小题4分，共24分。请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上。
11．（4分）（2015•东莞）正五边形的外角和等于 36 0 （度）．
考点：多边形内角与外角．
菁优网版权所有
分析：根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
解答：解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．
故答案为：360°．
点评：本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是
360°．
12．（4分）（2015•东莞）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是 6
．
考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
分析：由菱形ABCD中，∠ABC=60°，易证得△ABC是等边三角形，继而求得对角线AC的
长．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
11∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6．
故答案为：6．
点评：此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABC是等边三角
形是关键．
13．（4分）（2015•东莞）分式方程 = 的解是 x= 2 ．
考点：解分式方程．
菁优网版权所有
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
解答：解：去分母得：3x=2x+2，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
故答案为：x=2．
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为
整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
14．（4分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 4 ： 9 ．
考点：相似三角形的性质．
菁优网版权所有
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相
似比的平方求解即可．
解答：解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
点评：本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
1215．（4分）（2015•东莞）观察下列一组数： ，…，根据该组数的排列规律，
可推出第10个数是 ．
考点：规律型：数字的变化类．
菁优网版权所有
分析：由分子1，2，3，4，5，…即可得出第10个数的分子为10；分母为3，5，7，9，11，…即可
得出第10个数的分母为：1+2×10=21，得出结论．
解答：解：∵分子为1，2，3，4，5，…，
∴第10个数的分子为10，
∵分母为3，5，7，9，11，…，
∴第10个数的分母为：1+2×10=21，
∴第10个数为： ，
故答案为： ．
点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题
是解答此题的关键．
16．（4分）（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S =12，
△ABC
则图中阴影部分的面积是 4 ．
考点：三角形的面积．
菁优网版权所有
分析：根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部
分的面积的3倍．
解答：解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S =S = S ，S =S = S ，
△CGE △AGE △ACF △BGF △BGD △BCF
∵S =S = = ×12=6，
△ACF △BCF S△ABC
∴S = S = ×6=2，S = S = ×6=2，
△CGE △ACF △BGF △BCF
13∴S阴影=S
△CGE
+S
△BGF
=4．
故答案为4．
点评：根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，该图中，△BGF的面积
=△BGD的面积=△CGD的面积，△AGF的面积=△AGE的面积=△CGE的面积．
三、解答题（一）：本大题3小题，每小题6分，共18分。
17．（6分）（2015•东莞）解方程：x2﹣3x+2=0．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
菁优网版权所有
分析：把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x﹣1）（x﹣2），再利用积为0的特点求解
即可．
解答：解：∵x2﹣3x+2=0，
∴（x﹣1）（x﹣2）=0，
∴x﹣1=0或x﹣2=0，
∴x =1，x =2．
1 2
点评：本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方
程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点
解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
18．（6分）（2015•东莞）先化简，再求值： ，其中 ．
考点：分式的化简求值．
菁优网版权所有
分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统
一为乘法运算，注意化简后，将 ，代入化简后的式子求出即可．
解答：
解：
= ÷（ + ）
= ÷
= ×
= ，
14把 ，代入原式= = = = ．
点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统
一为乘法运算是解题关键．
19．（6分）（2015•东莞）如图，已知锐角△ABC．
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作
法）；
（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD= ，求DC的长．
考点：作图—复杂作图；解直角三角形．
菁优网版权所有
专题：作图题．
分析：（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD；
（2）先在Rt△ABD中利用∠BAD的正切计算出BD，然后利用BC﹣BD求CD的长．
解答：解：（1）如图，
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，∵tan∠BAD= = ，
∴BD= ×4=3，
∴CD=BC﹣BD=5﹣3=2．
点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是
结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的
15性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了解直
角三角形．
四、解答题（二）：本大题3小题，每小题7分，共21分。
20．（7分）（2015•东莞）老师和小明同学玩数学游戏．老师取出一个不透明的口袋，口袋中装
有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字外其余都相同，老师要求小明同学两次随机
抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．于是小明同学用画树状图
的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果．如图是小明同学所画的正确树状图的一部分．
（1）补全小明同学所画的树状图；
（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率．
考点：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
分析：（1）根据题意可得此题是放回实验，即可补全树状图；
（2）由树状图可求得所有等可能的结果与小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）补全小明同学所画的树状图：
（2）∵共有9种等可能的结果，小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的有4种
情况，
∴小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率为： ．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．
21．（7分）（2015•东莞）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE
沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
16（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
菁优网版权所有
分析：（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出
△ABG≌△AFG即可；
（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；
解答：解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴△ABG≌△AFG（HL）；
（2）∵∴△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则GC=6﹣x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x，
∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，
∴BG=2．
17点评：此题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出
对应线段相等是解题关键．
22．（7分）（2015•东莞）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别
为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A
型号和3台B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价
格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A
型号的计算器多少台？
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
菁优网版权所有
分析：（1）首先设A种型号计算器的销售价格是x元，A种型号计算器的销售价格是y元，根
据题意可等量关系：①5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；②销售6台
A型号和3台B型号计算器，可获利润120元，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）根据题意表示出所用成本，进而得出不等式求出即可．
解答：解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由
题意得：
，
解得： ；
答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；
（2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70﹣a）台，
则30a+40（70﹣a）≤2500，
解得：a≥30，
答：最少需要购进A型号的计算器30台．
点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，根据题意得出总
的进货费用是解题关键．
五、解答题（三）：本大题3小题，每小题9分，共27分。
23．（9分）（2015•东莞）如图，反比例函数y= （k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，
过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．
18（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．
菁优网版权所有
分析：（1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；
（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，得到C（′ ﹣
， ），求得直线C′D的解析式为y=﹣ x+1+ ，直线与y轴的交点即为所求．
解答：解：（1）∵A（1，3），
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=2，
∴D（1，1）
将D坐标代入反比例解析式得：k=1；
（2）由（1）知，k=1，
∴反比例函数的解析式为；y= ，
解： ，
解得： 或 ，
∵x＞0，
∴C（ ， ）；
19（3）如图，作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，
∴C′（﹣ ， ），
设直线C′D的解析式为：y=kx+b，
∴ ，∴ ，
∴y=（3﹣2 ）x+2 ﹣2，
当x=0时，y=2 ﹣2，
∴M（0，2 ﹣2）．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定
系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本
题的关键．
24．（9分）（2015•东莞）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过 的中点P作⊙O的直径PG
交弦BC于点D，连接AG、CP、PB．
（1）如图1，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
（2）如图2，在DG上取一点K，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；
（3）如图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB．
考点：圆的综合题．
菁优网版权所有
分析：（1）由垂径定理得出PG⊥BC，CD=BD，再由三角函数求出∠BOD=60°，证出AC∥PG，
得出同位角相等即可；
20（2）先由SAS证明△PDB≌△CDK，得出CK=BP，∠OPB=∠CKD，证出AG=CK，再证明
AG∥CK，即可得出结论；
（3）先证出DH∥AG，得出∠OAG=∠OHD，再证OD=OH，由SAS证明△OBD≌△HOP，
得出∠OHP=∠ODB=90°，即可得出结论．
解答：（1）解：∵点P为 的中点，AB为⊙O直径，
∴BP=PC，PG⊥BC，CD=BD，
∴∠ODB=90°，
∵D为OP的中点，
∴OD= OP= OB，
∴cos∠BOD= = ，
∴∠BOD=60°，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
（2）证明：由（1）知，CD=BD，
在△PDB和△CDK中， ，
∴△PDB≌△CDK（SAS），
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK，
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
又∵∠G=∠OBP，
∴AG∥CK，
∴四边形AGCK是平行四边形；
（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，
即DH∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG，
21∴DH∥AG，
∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH，
在△OBD和△HOP中， ，
∴△OBD≌△HOP（SAS），
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH⊥AB．
点评：本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等
三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是
（3）中，需要通过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论．
25．（9分）（2015•东莞）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和
Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，
∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm
（1）填空：AD= 2 （cm），DC= 2 （cm）
（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿
A→D，C→B方向运动，点N到AD的距离（用含x的式子表示）
（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过
程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．
（参考数据sin75°= ，sin15°= ）
考点：相似形综合题．
菁优网版权所有
22分析：
（1）由勾股定理求出AC，由∠CAD=30°，得出DC= AC=2 ，由三角函数求出AD即
可；
（2）过N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，则NE=DF，求出
∠NCF=75°，∠FNC=15°，由三角函数求出FC，得NE=DF= x+2 ，即可得出
结果；
（3）由三角函数求出FN，得出PF，△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的
面积﹣△PNF的面积，得出y是x的二次函数，即可得出y的最大值．
解答：解：（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4cm，
∴AC= = =4 ，
∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴DC= AC=2 ，
∴AD= DC=2 ；
故答案为：2 ，2 ；
（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC，交DC的延长线于F，如图所示：
则NE=DF，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，∠CAD=30°，
∴∠ACB=45°，∠ACD=60°，
∴∠NCF=180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC=15°，
∵sin∠FNC= ，NC=x，
∴FC= x，
∴NE=DF= x+2 ，
∴点N到AD的距离为 x+2 ；
（3）∵sin∠NCF= ，
∴FN= x，
∵P为DC的中点，
∴PD=CP= ，
∴PF= x+ ，
∴△PMN的面积y=梯形MDFN的面积﹣△PMD的面积﹣△PNF的面积
23= （ x+2 ﹣x）（ x+2 ）﹣ （2 ﹣x）× ﹣ （ x+
）（ x）
= x2+ x+2 ，
即y是x的二次函数，
∵ ＜0，
∴y有最大值，
当x=﹣ = 时，
y有最大值为 = ．
点评：本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的
最值、等腰直角三角形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需
要通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能得出结果．
24
