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2015 年湖北省十堰市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（ ）
A．70° B．60° C．55° D．50°
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算中，不正确的是（ ）
A．﹣2x+3x=x B．6xy2÷2xy=3y
C．（﹣2x2y）3=﹣6x6y3 D．2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2
5．某校篮球队13名同学的身高如下表：
身高（cm） 175 180 182 185 188
人数（个） 1 5 4 2 1
则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（ ）
A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，182
6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，
相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）C.（﹣8，4）或（8，﹣4） D.（﹣2，1）或（2，﹣1）
7．当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
8．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动
的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．
如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正
六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（ ）
A．222 B．280 C．286 D．292
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3 ，且
∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．光的速度大约是300000千米/秒，将300000用科学记数法表示
12．计算；3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣ |= ．
13．不等式组 的整数解是 ．14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边
△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当 = 时，四边形ADFE是平行四
边形．
15．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过
来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，
BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、
F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为 米．（结
果保留根号）
16．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m
＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若
点A（﹣3，y ），点B（3，y ）都在抛物线上，则y ＜y ；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣
1 2 1 2
1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是 ．（只填写序号）
三、解答题（本题有9小题，共72分）
17.化简：（a﹣ ）÷（1+ ）
18.如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．19．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管
道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比
原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造
管道多少米？
20．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯．某校数学兴趣小组为了了
解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了50名同学进行问卷调查，经过统计后绘
制了两幅尚不完整的统计图（注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选
择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为 度；条形统计图
中，喜欢“糖馅”粽子的人数为 人；
（2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜
欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和；
（3）小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子．某天小霞带了重量、外包装完全
一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只．请用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子的概
率．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x 、x ，且满足x 2+x 2=31+|x x |，求实数m的值．
1 2 1 2 1 2
22．如图，点A（1﹣ ，1+ ）在双曲线y= （x＜0）上．
（1）求k的值；
（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平
行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调
查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式
y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每
亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润（z 元）与种植面积x（亩）之间
的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．
x（亩） 20 25 30 35
z（元） 1700 1600 1500 1400
（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系
式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的
最大值．
24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞
EC），且BD=2 ．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE= ，求图中阴影部分的面积；
（3）若 = ，DF+BF=8，如图2，求BF的长．
25．已知抛物线C ：y=ax2+bx+ （a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．
1
（1）求抛物线C 的解析式，并写出其顶点C的坐标；
1
（2）如图1，把抛物线C 沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C ，此时点A，
1 2
C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C 上且在x轴的下方，若△DEF是以EF
1
为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点
N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何
变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．2015 年湖北省十堰市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选B．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
2．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（ ）A．70° B．60° C．55° D．50°
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质即可得出
结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°，
∴∠C=40°．
∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°．
故选A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等
3．如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看是一个大正方形，大正方形内部的左下角是一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．4．下列计算中，不正确的是（ ）
A．﹣2x+3x=x B．6xy2÷2xy=3y
C．（﹣2x2y）3=﹣6x6y3 D．2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2
【考点】整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【分析】根据同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及整式的乘法计算即可．
【解答】解：A、﹣2x+3x=x，正确；
B、6xy2÷2xy=3y，正确；
C、（﹣2x2y）3=﹣8x6y3，错误；
D、2xy2•（﹣x）=﹣2x2y2，正确；
故选C．
【点评】此题考查同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及整式的乘法，关键是根
据法则进行计算．
5．某校篮球队13名同学的身高如下表：
身高（cm） 175 180 182 185 188
人数（个） 1 5 4 2 1
则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（ ）
A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，182
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两
个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
【解答】解：由图表可得，众数是：182cm，
中位数是：180cm．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到
大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做
这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，
就会出错．6．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，
相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C.（﹣8，4）或（8，﹣4） D.（﹣2，1）或（2，﹣1）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比
为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，即可求得答案．
【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为 ，把
△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选：D．
【点评】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐
标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的
坐标比等于±k．
7．当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．16
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】由x=1时，代数式ax+b+1的值是﹣2，求出a+b的值，将所得的值代入所
求的代数式中进行计算即可得解．
【解答】解：∵当x=1时，ax+b+1的值为﹣2，
∴a+b+1=﹣2，
∴a+b=﹣3，
∴（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）=（﹣3﹣1）×（1+3）=﹣16．
故选：A．
【点评】此题考查整式的化简求值，运用整体代入法是解决问题的关键．8．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动
的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】根据蚂蚁在 上运动时，随着时间的变化，距离不发生变化，得出图象是
与x轴平行的线段，即可得出结论．
【解答】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过
半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；
到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条
半径OB时，S随t的增大而减小；
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象；根据随着时间的变化，到弧AB这一
段，蚂蚁到O点的距离S不变，得到图象的特点是解决本题的关键．
9．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．
如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正
六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（ ）
A．222 B．280 C．286 D．292
【考点】规律型：图形的变化类．【分析】设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个，根据搭建三角形和正六
边形共用了2016根火柴棍，并且三角形的个数比正六边形的个数多6个，列方程
组求解
【解答】解：设连续搭建三角形x个，连续搭建正六边形y个．
由题意得， ，
解得： ．
故选D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及图形的变化类问题，解答本题的关
键是读懂题意，仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组求解．
10．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3 ，且
∠ECF=45°，则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得
∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的
性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利
用勾股定理可得CF．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG=BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，
∴∠GCF=45°，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF=EF，
∵CE=3 ，CB=6，
∴BE= = =3，
∴AE=3，
设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，
∴EF= = ，
∴（9﹣x）2=9+x2，
∴x=4，
即AF=4，
∴GF=5，
∴DF=2，
∴CF= = =2 ，
故选A．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角
形，利用方程思想是解答此题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．光的速度大约是300000千米/秒，将300000用科学记数法表示为 3.0×1 0 5
．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定
n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将300000用科学记数法表示为3.0×105．
故答案为：3.0×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．计算；3﹣1+（π﹣3）0﹣|﹣ |= 1 ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，
最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式= +1﹣ =1，
故答案为：1
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．不等式组 的整数解是 ﹣ 1 ， 0 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的整数解即可．
【解答】解： ，
解①得：x≥﹣1，
解②得：x＜1，
则不等式组的解集是：﹣1≤x＜1，
则整数解是：﹣1，0．
故答案是：﹣1，0．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，正确解不等式组是解题的关键．
14．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边
△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连接DF，当 = 时，四边形ADFE是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．
【分析】由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平
分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，再由一对直角相等，及AE=AB，利用
AAS即可得证△ABC≌△EAF；由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于
AB，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出
一组对边平行且相等，即可得证．
【解答】解：当 = 时，四边形ADFE是平行四边形．
理由：∵ = ，
∴∠CAB=30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC=AD，[来源:Zxxk.Com]
∴四边形ADFE是平行四边形．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判
定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
15．如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过
来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，
BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、
F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为 8 ﹣5.5 米．（结
果保留根号）[来源:学科网ZXXK]
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问
题．
【分析】把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B
和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为
AC长度．
【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形
BEHG．
∵i= = ，AB=8米，
∴BE= ，AE= ．
∵DG=1.6，BG=0.7，
∴DH=DG+GH=1.6+ =8，
AH=AE+EH= +0.7=5.5．
在Rt△CDH中，
∵∠C=∠FDC=30°，DH=8，tan30°= = ，
∴CH=8 ．
又∵CH=CA+5.5，
即8 =CA+5.5，
∴CA=8 ﹣5.5（米）．
答：CA的长约是（8 ﹣5.5）米．【点评】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直
角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解
决问题的关键．
16．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m
＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若
点A（﹣3，y ），点B（3，y ）都在抛物线上，则y ＜y ；④a（m﹣1）+b=0；⑤若c≤﹣
1 2 1 2
1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是 ③⑤ ．（只填写序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
专题： 数形结合．
【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a
＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可
对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对
称性和对称轴方程得到0＜﹣ ＜ ，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用
点A（﹣3，y ）和点B（3，y ）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线
1 2
上点的坐标特征得a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，两式相减得am2﹣a+bm+b=0，然后把
等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b=0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标
公式和抛物线对称轴的位置得到 ＜c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可
对⑤进行判断．
【解答】解：如图，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①的结论正确；
∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜﹣ ＜ ，
∴a+b＞0，所以②的结论正确；
∵点A（﹣3，y ）到对称轴的距离比点B（3，y ）到对称轴的距离远，
1 2
∴y ＞y ，所以③的结论错误；
1 2
∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），
∴a﹣b+c=0，am2+bm+c=0，
∴am2﹣a+bm+b=0，
a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）=0，
∴a（m﹣1）+b=0，所以④的结论正确；
∵ ＜c，
而c≤﹣1，
∴ ＜﹣1，
∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误．
故答案为③⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开
口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴
的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜
0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物
线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线
与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时
抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（本题有9小题，共72分）
17．化简：（a﹣ ）÷（1+ ）
【考点】分式的混合运算．
专题： 计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法
法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式= ÷ = • = ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求证：AB=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．【分析】如图，首先证明∠ACB=∠DCE，这是解决问题的关键性结论；然后运用
AAS公理证明△ABC≌△DEC，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE；在△ABC与△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（AAS），
∴AB=DE．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是
牢固掌握全等三角形的判定方法，这是灵活运用、解题的基础和关键．
19．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管
道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比
原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管
道多少米？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设原来每天改造管道x米，则引进新设备前工程队每天改造管道
（1+20%）x米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间+引进了新设备
改造540米所用时间=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：
+ =27，
解得：x=30，
经检验：x=30是原分式方程的解，
（1+20%）x=1.2×30=36．答：引进新设备前工程队每天改造管道36米．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的
等量关系，列出方程，注意分式方程不要忘记检验．
20．端午节是我国的传统节日，人们有吃粽子的习惯．某校数学兴趣小组为了了
解本校学生喜爱粽子的情况，随机抽取了50名同学进行问卷调查，经过统计后绘
制了两幅尚不完整的统计图（注：每一位同学在任何一种分类统计中只有一种选
择）
请根据统计图完成下列问题：
（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为 14 4 度；条形统计图中，喜
欢“糖馅”粽子的人数为 3 人；[来源:Z*xx*k.Com]
（2）若该校学生人数为800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中“很喜
欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和；
（3）小军最爱吃肉馅粽子，小丽最爱吃糖馅粽子．某天小霞带了重量、外包装完全
一样的肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子各一只，让小军、小丽每人各选一只．请
用树状图或列表法求小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子的概
率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）用周角乘以很喜欢所占的百分比即可求得其圆心角，直接从条形统
计图中得到喜欢糖馅的人数即可；
（2）利用总人数800乘以所对应的百分比即可；
（3）利用列举法表示，然后利用概率公式即可求解【解答】解：（1）扇形统计图中，“很喜欢”所对应的圆心角为360°×40%=144度；
条形统计图中，喜欢“糖馅”粽子的人数为 3人；
（2）学生有800人，估计该校学生中“很喜欢”和“比较喜欢”粽子的人数之和
为800×（1﹣25%）=600（人）；
（3）肉馅、糖馅、枣馅、海鲜馅四种粽子分别用A、B、C、D表示，画图如下：
∵共12种等可能的结果，其中小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的
粽子有4种，
∴P（小军、小丽两人中有且只有一人选中自己最爱吃的粽子）= = ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不
同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每
个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x 、x ，且满足x 2+x 2=31+|x x |，求实数m的值．
1 2 1 2 1 2
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不
等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x +x =2m+3，x x =m2+2，再变形已知条件得到
1 2 1 2
（x +x ）2﹣4x x =31+|x x |，代入即可得到结果．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥﹣ ；（2）根据题意得x +x =2m+3，x x =m2+2，
1 2 1 2
∵x 2+x 2=31+|x x |，
1 2 1 2
∴（x +x ）2﹣2x x =31+|x x |，
1 2 1 2 1 2
即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，
解得m=2，m=﹣14（舍去），
∴m=2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜
0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
22．如图，点A（1﹣ ，1+ ）在双曲线y= （x＜0）上．
（1）求k的值；
（2）在y轴上取点B（0，1），为双曲线上是否存在点D，使得以AB，AD为邻边的平
行四边形ABCD的顶点C在x轴的负半轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，
请说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）直接利用反比例函数图象上点的坐标性质代入求出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出D点纵坐标，进而代入函数解析式得出D点横坐
标即可．
【解答】解：（1）∵点A（1﹣ ，1+ ）在双曲线y= （x＜0）上，
∴k=（1﹣ ）（1+ ）=1﹣5=﹣4；（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形ABCD，
∴DC AB，
∵A（1﹣ ，1+ ），B（0，1），
∴BE= ，
由题意可得：DF=BE= ，
则 = ，
解得：x= ，
∴点D的坐标为：（﹣ ， ）．
【点评】此题主要考查了反比例函数综合以及平行四边形的性质，得出D点纵坐
标是解题关键．
23．为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调
查得知，种植草莓不超过20亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式
y=1500m；超过20亩时，y=1380m+2400．而当种植樱桃的面积不超过15亩时，每
亩可获得利润1800元；超过15亩时，每亩获得利润（z 元）与种植面积x（亩）之间
的函数关系如下表（为所学过的一次函数、反比例函数或二次函数中的一种）．
x（亩） 20 25 30 35
z（元） 1700 1600 1500 1400
（1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为P元，直接写出P关于x的函数关系
式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积x（亩）满足0＜x＜20时，求小王家总共获得的利润w（元）的
最大值．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据图表的性质，可以得出P关于x的函数关系式和出x的取值范围
（2）根据利润=亩数×每亩利润，可得①当0＜x≤15时 ②当15＜x＜20时，利润的
函数式，即可解题；
【解答】解：（1）观察图表的数量关系，可以得出P关于x的函数关系式为：P=
（2）∵利润=亩数×每亩利润，
∴①当0＜x≤15时，W=1800x+1380（40﹣x）+2400=420x+55200；
当x=15时，W有最大值，W =6300+55200=61500；
最大
②当15＜x＜20，W=﹣20x+2100+1380（40﹣x）+2400=﹣1400x+59700；
∵﹣1400x+59700＜61500；
∴x=15时有最大值为：61500元．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关
键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是一次函数的性质．
24．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞
EC），且BD=2 ．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，DE= ，求图中阴影部分的面积；
（3）若 = ，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【考点】圆的综合题．
专题： 综合题．
【分析】（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定
理得到 = ，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线
的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形
得到∠ODB=60°，OB=BD=2 ，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形
三边的关系，在Rt△DBP中得到PD= BD= ，PB= PD=3，接着在Rt△DEP中利
用勾股定理计算出PE=2，由于OP⊥BC，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用
△BDE∽△ACE，通过相似比可得到AE= ，再证明△ABE∽△AFD，利用相似比可得
DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S =S ﹣S =S ﹣（S ﹣
阴影部分 △BDF 弓形BD △BDF 扇形BOD
S ）进行计算；
△BOD
（3）连结CD，如图2，由 = 可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，由 = 得到CD=BD=2
，先证明△BFD∽△CDA，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB∽△FAD，利用相似
比得到16﹣4y=xy，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．
【解答】证明：（1）连结OD，如图1，
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴ = ，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠ODB=60°，OB=BD=2 ，
∴∠BDF=30°，
∵BC∥DF，
∴∠DBP=30°，
在Rt△DBP中，PD= BD= ，PB= PD=3，
在Rt△DEP中，∵PD= ，DE= ，
∴PE= =2，
∵OP⊥BC，
∴BP=CP=3，
∴CE=3﹣2=1，
易证得△BDE∽△ACE，
∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1： ，
∴AE=
∵BE∥DF，
∴△ABE∽△AFD，
∴ = ，即 = ，解得DF=12，
在Rt△BDH中，BH= BD= ，
∴S =S ﹣S
阴影部分 △BDF 弓形BD=S ﹣（S ﹣S ）
△BDF 扇形BOD △BOD
= •12• ﹣ + •（2 ）2
=9 ﹣2π；
（3）连结CD，如图2，由 = 可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，
∵ = ，
∴CD=BD=2 ，
∵∠F=∠ABC=∠ADC，
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，
∴△BFD∽△CDA，
∴ = ，即 = ，
∴xy=4，
∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，
而∠DFB=∠AFD，
∴△FDB∽△FAD，
∴ = ，即 = ，
整理得16﹣4y=xy，
∴16﹣4y=4，解得y=3，
即BF的长为3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定
定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算
线段的长．
25．已知抛物线C ：y=ax2+bx+ （a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0）．
1
（1）求抛物线C 的解析式，并写出其顶点C的坐标；
1
（2）如图1，把抛物线C 沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C ，此时点A，
1 2
C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C 上且在x轴的下方，若△DEF是以EF
1
为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点
N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何
变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶
点坐标；（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式为y=x+1，根据题意求得EF=4，求得
EF∥y轴，设F（m，﹣ m2+m+ ），则E（m，m+1），从而得出（m+1）﹣（﹣ m2+m+ ）
=4，解方程即可求得F的坐标；
（3）①先求得四边形DFBC是矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后根据
△EGN∽△EMC，对应边成比例即可求得tan∠ENM= =2；
②根据勾股定理和三角形相似求得EN= ，然后根据三角形中位线定理即可求
得．
【解答】解：（1）∵抛物线C ：y=ax2+bx+ （a≠0）经过点A（﹣1，0）和B（3，0），
1
∴ 解得 ，
∴抛物线C 的解析式为y=﹣ x2+x+ ，
1
∵y=﹣ x2+x+ =﹣ （x﹣1）2+2，
∴顶点C的坐标为（1，2）；
（2）如图1，作CH⊥x轴于H，
∵A（﹣1，0），C（1，2），
∴AH=CH=2，
∴∠CAB=∠ACH=45°，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，[来源:学科网ZXXK]
∴∠DEF=∠ACH，
∴EF∥y轴，
∵DE=AC=2 ，
∴EF=4，设F（m，﹣ m2+m+ ），则E（m，m+1），
∴（m+1）﹣（﹣ m2+m+ ）=4，
解得m=±3，
∴F（﹣3，﹣6）；
（3）①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
如图2，∵DF⊥AC，BC⊥AC，
∴DC∥BC，
∵DF=BC=AC，
∴四边形DFBC是矩形，
作EG⊥AC，交BF于G，
∴EG=BC=AC=2 ，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN=90°，
∵∠CEG=90°，
∴∠CEM=∠NEG，
∴△EGN∽△EMC，
∴ = ，
∵F（﹣3，﹣6），EF=4，
∴E（﹣3，﹣2），
∵C（1，2），
∴EC= =4 ，
∴ = =2，
∴tan∠ENM= =2；
∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
②点P经过的路径是线段P P ，如图3，
1 2
∵四边形BCEG是矩形，GP =CP ，
2 2∴EP =BP ，
2 2
∵△EGN∽△ECB，
∴ = ，
∵EC=4 ，EG=BC=2 ，
∴EB=2 ，
∴ = ，
∴EN= ，
∵P P 是△BEN的中位线，
1 2
∴P P = EN= ；
1 2
∴点M到达点C时，点P经过的路线长为 ．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次
函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股
定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线．
