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2019年广西北海市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，毎小题3分，共36分，在毎小题给出的四个选项中只有一项
是符合要求的）
1．（3分）如果温度上升2℃记作+2℃，那么温度下降3℃记作（ ）
A．+2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃
2．（3分）如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
4．（3分）2019年6月6日，南宁市地铁3号线举行通车仪式，预计地铁3号线开通后日均客
流量为700000人次，其中数据700000用科学记数法表示为（ ）
A．70×104 B．7×105 C．7×106 D．0.7×106
5．（3分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
6．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（ab3）2＝a2b6 B．2a+3b＝5ab
第1页（共24页）C．5a2﹣3a2＝2 D．（a+1）2＝a2+1
7．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的
度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（3分）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从
“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆
的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）若点（﹣1，y ），（2，y ），（3，y ）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则y ，y ，y 的
1 2 3 1 2 3
大小关系是（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 2 1 1 3 2 2 3 1
10．（3分）扬帆中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的
区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程
为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝ ×20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30
C．30x+2×20x＝ ×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30
第2页（共24页）11．（3分）小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，
她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角
为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，
sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（ ）
A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米
12．（3分）如图，AB为 O的直径，BC、CD是 O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段
OB上的一个动点，连⊙接OD，CE，DE，已知A⊙B＝2 ，BC＝2，当CE+DE的值最小时，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每嗯题3分，共18分）
13．（3分）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay2＝ ．
15．（3分）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6．
甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是 ．（填“甲”
或“乙”）
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知
BO＝4，S菱形ABCD ＝24，则AH＝ ．
第3页（共24页）17．（3分）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的
《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁
中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画
出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的
直径为 寸．
18．（3分）如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD+∠ABD＝210°，则线
段AB，AC，BD之间的等量关系式为 ．
三、解答题共（本大题共8小题，共66分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：（﹣1）3+（ ）2﹣（﹣9）+（﹣6）÷2．
20．（6分）解不等式组： ，并利用数轴确定不等式组的解集．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，
﹣2），C（3，﹣3）
（1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）请画出与△ABC关于y轴对称的△A B C ；
2 2 2
（3）请写出A 、A 的坐标．
1 2
第4页（共24页）22．（8分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题
目共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数
据如下：
1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分数 60 70 80 90 100
人数
班级
1班 0 1 6 2 1
2班 1 1 3 a 1
3班 1 1 4 2 2
分析数据：
平均数 中位数 众数
1班 83 80 80
2班 83 c d
3班 b 80 80
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明
理由；
（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年
级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？
第5页（共24页）23．（8分）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB为 O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC
于点E，交 O于点D，⊙连接BD． ⊙
（1）求证：⊙∠BAD＝∠CBD；
（2）若∠AEB＝125°，求 的长（结果保留 ）．
π
24．（10分）某校喜迎中华人民共和国成立70周年，将举行以“歌唱祖国”为主题的歌咏比
赛，需要在文具店购买国旗图案贴纸和小红旗发给学生做演出道具．已知毎袋贴纸有50
张，毎袋小红旗有20面，贴纸和小红旗需整袋购买，每袋贴纸价格比每袋小红旗价格少5
元，用150元购买贴纸所得袋数与用200元购买小红旗所得袋数相同．
（1）求每袋国旗图案贴纸和每袋小红旗的价格各是多少元？
（2）如果给每位演出学生分发国旗图案贴纸2张，小红旗1面．设购买国旗图案贴纸a袋
（a为正整数），则购买小红旗多少袋能恰好配套？请用含a的代数式表示．
（3）在文具店累计购物超过800元后，超出800元的部分可享受8折优惠．学校按（2）中的
配套方案购买，共支付w元，求w关于a的函数关系式．现全校有1200名学生参加演出，
需要购买国旗图案贴纸和小红旗各多少袋？所需总费用多少元？
25．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），
连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求
的值．
第6页（共24页）26．（10分）如果抛物线C 的顶点在拋物线C 上，抛物线C 的顶点也在拋物线C 上时，那么
1 2 2 1
我们称抛物线C 与C “互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C ：y ＝ x2+x与C ：
1 2 1 1 2
y ＝ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C ，C 的顶点，抛物线C 经
2 1 2 2
过点D（6，﹣1）．
（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C 的解析式；
2
（2）抛物线C 上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；
2
如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F（﹣6，3）在抛物线C 上，点M，N分别是抛物线C ，C 上的动点，且点M，
1 1 2
N的横坐标相同，记△AFM面积为S（当点M与点A，F重合时S ＝0），△ABN的面积为
1 1
S（当点N与点A，B重合时，S ＝0），令S＝S +S ，观察图象，当y ≤y 时，写出x的取值范
2 2 1 2 1 2
围，并求出在此范围内S的最大值．
第7页（共24页）2019年广西北海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，毎小题3分，共36分，在毎小题给出的四个选项中只有一项
是符合要求的）
1．【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解；
【解答】解：上升2℃记作+2℃，下降3℃记作﹣3℃；
故选：D．
【点评】本题考查正数和负数；能够根据实际问题理解正数与负数的意义和表示方法是解
题的关键．
2．【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案．
【解答】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可
得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．
故选：D．
【点评】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几
何体的主视图的被纵向分成的一半．
3．【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解．解决此类问题，要学会关注身边的事物，
并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．用到的知识点为：
必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
4．【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n（1≤a＜10），即可求解；
【解答】解：700000＝7×105；
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
5．【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三
第8页（共24页）角形内角和解题皆可．
【解答】解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
【点评】主要考查了一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°和三角形外角的性质．
本题容易，解法很灵活．
6．【分析】利用完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项的法则进行解题即可；
【解答】解：2a+3b不能合并同类项，B错误；
5a2﹣3a2＝2a2，C错误；
（a+1）2＝a2+2a+1，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项
的法则是解题的关键．
7．【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG⊥AB，则CG平分∠ACB，利用∠A＝
∠B和三角形内角和计算出∠ACB，从而得到∠BCG的度数．
【解答】解：由作法得CG⊥AB，
∵AC＝BC，
∴CG平分∠ACB，∠A＝∠B，
∵∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BCG＝ ∠ACB＝50°．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一
个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的
垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
第9页（共24页）8．【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9
种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．
9．【分析】k＜0，在每个象限内，y随x值的增大而增大，（﹣1，y ）在第二象限，（2，y ），（3，
1 2
y ）在第四象限，即可解题；
3
【解答】解：∵k＜0，
∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，
∴当x＝﹣1时，y ＞0，
1
∵2＜3，
∴y ＜y ＜y
2 3 1
故选：C．
【点评】本题考查反比函数图象及性质；熟练掌握反比函数的图象及x与y值之间的关系
是解题的关键．
10．【分析】根据空白区域的面积＝ 矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝ ×20×30，
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积
的相等关系．
11．【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数
的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．
第10页（共24页）【解答】解：过点O作OE⊥AC于点E，延长BD交OE于点F，
设DF＝x，
∵tan65°＝ ，
∴OF＝xtan65°，
∴BF＝3+x，
∵tan35°＝ ，
∴OF＝（3+x）tan35°，
∴2.1x＝0.7（3+x），
∴x＝1.5，
∴OF＝1.5×2.1＝3.15，
∴OE＝3.15+1.5＝4.65，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于
中等题型．
12．【分析】延长CB到F使得BC＝CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，
此时CE+DE＝DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得
BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得 ，便可得解．
【解答】解：延长CB到F使得BF＝BC，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点
E，此时CE+DE＝DF值最小，
连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，
第11页（共24页）则OC⊥BD，OC＝ ，
∵OB•BC＝OC•BG，
∴ ，
∴BD＝2BG＝ ，
∵OD2﹣OH2＝DH2＝BD2﹣BH2，
∴ ，
∴BH＝ ，
∴ ，
∵DH∥BF，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判
定，勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的
关键．
二、填空题（本大题共6小题，每嗯题3分，共18分）
13．【分析】根据被开方数x+4≥0即可求解；
【解答】解：x+4≥0，
∴x≥﹣4；
故答案为x≥﹣4；
【点评】本题考查二次根式的意义；熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题
的关键．
14．【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继
续分解．
【解答】解：3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．
第12页（共24页）故答案为：3a（x+y）（x﹣y）
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差
公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
15．【分析】先计算出甲的平均数，再计算甲的方差，然后比较甲乙方差的大小可判定谁的成
绩稳定．
【解答】解：甲的平均数 ＝ （9+8+9+6+10+6）＝8，
所以甲的方差＝ [（9﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2]＝ ，
因为甲的方差比乙的方差小，
所以甲的成绩比较稳定．
故答案为甲．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为 ，则方差S2＝
1 2 n
（[ x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越
1 2 n
大，反之也成立．
16．【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形
的面积即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD ＝ AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝ AC＝3，
∴BC＝ ＝5，
∵S菱形ABCD ＝BC×AH＝24，
∴AH＝ ；
故答案为： ．
第13页（共24页）【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾
股定理求出BC是解题的关键．
17．【分析】设 O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r
﹣1）2，解⊙方程即可．
【解答】解：设 O的半径为r．
在Rt△ADO中，⊙AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，
则有r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13寸，
∴ O的直径为26寸，
故⊙答案为：26．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
问题，属于中考常考题型．
18．【分析】过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，则四边形ACDE是平行四边形，
得出DE＝AC，∠ACD＝∠AED，证明△ABE为等边三角形得出BE＝AB，求得∠BDE＝
360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝90°，由勾股定理得出BE2＝DE2+BD2，即可得出结果．
【解答】解：过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，如图所示：
则四边形ACDE是平行四边形，
∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED，
∵∠AOC＝60°，AB＝CD，
∴∠EAB＝60°，CD＝AE＝AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB，
∵∠ACD+∠ABD＝210°，
∴∠AED+∠ABD＝210°，
∴∠BDE＝360°﹣（∠AED+∠ABD）﹣∠EAB＝360°﹣210°﹣60°＝90°，
∴BE2＝DE2+BD2，
第14页（共24页）∴AB2＝AC2+BD2；
故答案为：AB2＝AC2+BD2．
【点评】本题考查了勾股定理、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行
线的性质、四边形内角和等知识，熟练掌握平行四边形的性质、通过作辅助线构建等边三
角形与直角三角形是解题的关键．
三、解答题共（本大题共8小题，共66分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤）
19．【分析】分别运算每一项然后再求解即可；
【解答】解：（﹣1）3+（ ）2﹣（﹣9）+（﹣6）÷2
＝﹣1+6+9﹣3
＝11．
【点评】本题考查实数的运算；熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．
20．【分析】分别解两个不等式得到x＜3和x≥﹣2，再利用数轴表示，从而得到不等式组的解
集
【解答】解：
解 得x＜3，
解①得x≥﹣2，
用②数轴表示为：
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3．
【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等
式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集
的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；
第15页（共24页）（3）利用所画图象得出对应点坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A B C ，即为所求；
1 1 1
（2）如图所示：△A B C ，即为所求；
2 2 2
（3）A （2，3），A （﹣2，﹣1）．
1 2
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22．【分析】（1）根据众数和中位数的概念求解可得；
（2）分别从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）由题意知a＝4，
b＝ ×（90+60+70+80+80+80+80+90+100+100）＝83，
2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100，
∴c＝ ＝85，d＝90；
（2）从平均数上看三个班都一样；
从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85；
从众数上看，1班和3班都是80，2班是90；
综上所述，2班成绩比较好；
（3）570× ＝76（张），
第16页（共24页）答：估计需要准备76张奖状．
【点评】本题主要考查众数、平均数、中位数，掌握众数、平均数、中位数的定义及其意义是
解题的关键．
23．【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得
∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD；
（2）解：连接OD，
∵∠AEB＝125°，
∴∠AEC＝55°，
∵AB为 O直径，
∴∠ACE⊙＝90°，
∴∠CAE＝35°，
∴∠DAB＝∠CAE＝35°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝70°，
∴ 的长＝ ＝ ．
π
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是
解题的关键．
24．【分析】（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有 ，即可求解；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b＝2：1，即可求解；
（3）如果没有折扣，W＝ ，分别求出a与b即可求解．
第17页（共24页）【解答】解：（1）设每袋国旗图案贴纸为x元，则有 ，
解得x＝15，
经检验x＝15时方程的解，
∴每袋小红旗为15+5＝20元；
答：每袋国旗图案贴纸为15元，每袋小红旗为20元；
（2）设购买b袋小红旗恰好与a袋贴纸配套，则有50a：20b＝2：1，
解得b＝ a，
答：购买小红旗 a袋恰好配套；
（3）如果没有折扣，则W＝15a+20× a＝40a，
依题意得40a≤800，
解得a≤20，
当a＞20时，则W＝800+0.8（40a﹣800）＝32a+160，
即W＝ ，
国旗贴纸需要：1200×2＝2400张，
小红旗需要：1200×1＝1200面，
则a＝ ＝48袋，b＝ ＝60袋，
总费用W＝32×48+160＝1696元．
【点评】本题考查分式方程，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用
的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
25．【分析】（1）先判断出∠GCB+∠CBG＝90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE＝
90°＝∠A，BC＝AB，即可得出结论；
（2）设AB＝CD＝BC＝2a，先求出EA＝EB＝ AB＝a，进而得出CE＝ a，再求出BG＝
a，CG═ a，再判断出△CHD≌△BGC（AAS），进而判断出GH＝CH，即可得出
结论；
第18页（共24页）（3）先求出CH＝ a，再求出DH＝ a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM＝ a，再用
勾股定理求出GH＝ a，最后判断出△GHN∽△CHG，得出HN＝ ＝ a，即可得出
结论．
【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠CGB＝90°，
∴∠GCB+∠CBG＝90，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB，
∴∠FBA+∠CBG＝90，
∴∠GCB＝∠FBA，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H，
设AB＝CD＝BC＝2a，
∵点E是AB的中点，
∴EA＝EB＝ AB＝a，
∴CE＝ a，
在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB，
∴BG＝ a，
∴CG＝ ＝ a，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，∠CBF+∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠CBF，
∵CD＝BC，∠CHD＝∠CGB＝90°，
∴△CHD≌△BGC（AAS），
∴CH＝BG＝ a，
∴GH＝CG﹣CH＝ a＝CH，
第19页（共24页）∵DH＝DH，∠CHD＝∠GHD＝90°，
∴△DGH≌△CDH（SAS），
∴CD＝GD；
（3）解：如图3，过点D作DQ⊥CE于Q，
S△CDG ＝ •DQ•CG＝ CH•DG，
∴CH＝ ＝ a，
在Rt△CQD中，CD＝2a，
∴DH＝ ＝ a，
∵∠MDH+∠HDC＝90°，∠HCD+∠HDC＝90°，
∴∠MDH＝∠HCD，
∴△CHD∽△DHM，
∴ ＝ ，
∴HM＝ a，
在Rt△CHG中，CG＝ a，CH＝ a，
∴GH＝ ＝ a，
∵∠MGH+∠CGH＝90°，∠HCG+∠CGH＝90°，
∴∠CGH＝∠CNG，
∴△GHN∽△CHG，
∴ ，
∴HN＝ ＝ a，
∴MN＝HM﹣HN＝ a，
第20页（共24页）∴ ＝
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定
和性质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．
26．【分析】（1）由抛物线C ：y ＝ x2+x可得A（﹣2，﹣1），将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入
1 1
y ＝ax2+x+c，求得y ＝﹣ +x+2，B（2，3）；
2 2
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1， 若B为直角顶点，BE⊥AB，E（6，﹣1）； 若A为
① ②
直角顶点，AE⊥AB，E（10，﹣13）； 若E为直角顶点，设E（m，﹣ m2+m+2）不符合题意；
③
（3）由y ≤y ，得﹣2≤x≤2，设M（t， ），N（t， ），且﹣2≤t≤2，易求直
1 2
线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S ＝ ，设
1
AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S ＝2﹣ ，所以S＝S +S ＝4t+8，当t＝2时，S的最
2 1 2
大值为16．
第21页（共24页）【解答】解：由抛物线C ：y ＝ x2+x可得A（﹣2，﹣1），
1 1
将A（﹣2，﹣1），D（6，﹣1）代入y ＝ax2+x+c
2
得 ，
解得 ，
∴y ＝﹣ +x+2，
2
∴B（2，3）；
（2）易得直线AB的解析式：y＝x+1，
若B为直角顶点，BE⊥AB，k •k ＝﹣1，
BE AB
①∴k
BE
＝﹣1，
直线BE解析式为y＝﹣x+5
联立 ，
解得x＝2，y＝3或x＝6，y＝﹣1，
∴E（6，﹣1）；
若A为直角顶点，AE⊥AB，
②同理得AE解析式：y＝﹣x﹣3，
联立 ，
解得x＝﹣2，y＝﹣1或x＝10，y＝﹣13，
∴E（10，﹣13）；
若E为直角顶点，设E（m，﹣ m2+m+2）
③
由AE⊥BE得k •k ＝﹣1，
BE AE
即 ，
，
第22页（共24页），
（m﹣2）2（m﹣6）（m+2）＝﹣16（m+2）（m﹣2），
（m+2）（m﹣2）[（m﹣2）（m﹣6）+16]＝0，
∴m+2＝0或m﹣2＝0，或（m﹣2）（m﹣6）+16＝0（无解）
解得m＝2或﹣2（不符合题意舍去），
∴点E的坐标E（6，﹣1）或E（10，﹣13）；
（3）∵y ≤y ，
1 2
∴﹣2≤x≤2，
设M（t， ），N（t， ），且﹣2≤t≤2，
易求直线AF的解析式：y＝﹣x﹣3，
过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，
则Q（﹣ ），
S ＝ QM•|y ﹣y |
1 F A
＝
设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），
S ＝ PN•|x ﹣x |
2 A B
＝2﹣
S＝S +S ＝4t+8，
1 2
当t＝2时，
S的最大值为16．
第23页（共24页）【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函
数的性质是解题的关键．
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