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2014年辽宁省辽阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题所列出的四个选项中只有
一个是正确的）
1．（3分）（2015•北海）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2D．
2．（3分）（2014•辽阳）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014•辽阳）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5
C．2a2+3a2=5a6 D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2
4．（3分）（2014•辽阳）某校九年级三班的团员在爱心助残捐款活动中，捐款情况如下（单位：
元）：10、8、12、15、10、11、12、9、13、10，关于这组数据表述错误的是（ ）
A．众数是10元 B．中位数是10元 C．平均数是11元 D．极差是7元
5．（3分）（2014•辽阳）如图，将三角板的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=55°，∠2=60°，则
∠3的大小是（ ）
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A．55° B．60° C．65° D．75°6．（3分）（2014•辽阳）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象交于点A（m，3），则不等式2x＜
ax+5的解集是（ ）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
7．（3分）（2014•辽阳）某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难学
生400元，今年上半年发给了500元．设每半年发给的资助金额的平均增长率为x，则下面列
出的方程中正确的是（ ）
A．500（1+x）2=400B．400（1+x）2=500C．400（1+2x）=500 D．500（1+2x）=400
8．（3分）（2014•辽阳）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，他们分别标号为1，
2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2014•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），线段OA向右平移
得到线段O′A′，点A的对应点A′在函数y= （x＞0的图象上），则点O与其对应点O′之间的
距离是（ ）
A． B． C． D．3
10．（3分）（2014•辽阳）如图，边长为40cm的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC相切的扇
形AEF，切点为D，点E、F分别在AB、AC上，做成圆锥形圣诞帽，（重叠部分忽略不计），则
圆锥形圣诞帽的底面圆形半径是（ ）
2-1-c-n-j-yA． cm B． cmC． cmD． cm
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•辽阳）五湖四海，大中小学，每个学子心中都有一座逸夫楼．自1985年以来，
著名“慈善家”邵逸夫连年向内地教育捐赠巨款建设教育教学设施，迄今赠款金额近
4750000000元港币，用科学记数法表示为 元港币．
12．（3分）（2014•辽阳）2700″= °．
13．（3分）（2014•辽阳）5﹣ 的小数部分是 ．
14．（3分）（2014•辽阳）如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC=
°．
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15．（3分）（2014•辽阳）甲、乙丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为9.3环，
方差分别为 =0.55， =0.47， =0.62，则三人射击成绩最稳定的是 ．
16．（3分）（2014•辽阳）已知点A（3，y ），B（2，y ），C（﹣3，y ）都在反比例函数y= 的图象
1 2 3
上，则y ，y ，y 的大小关系是 （用“＜”连接）
1 2 3
17．（3分）（2014•辽阳）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，
AC=3，则DF的长为 ．18．（3分）（2014•辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都
与直线y= x相切，设半圆C 、半圆C 、半圆C …、半圆C 的半径分别为r 、r 、r …、r ，当
1 2 3 n 1 2 3 n
r =1时，r = （n＞1的自然数）
1 n
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）（2014•辽阳）先化简，再求值． ，÷其中x=4sin60°+2﹣1﹣
20140﹣ ．
20．（12分）（2014•辽阳）某市教育系统在开展党的群众路线教育实践活动中，号召党员教师
于贫困学生“手拉手”结成帮扶对子，市教育局从全市300所学校中随机抽取A、B、C、D、
E、F六所学校，对活动中各校的先进党员教师人数进行了分析统计，制订了如下两幅不完整
的统计图．
（1）市教育局采取的调查方式是 （填“普查”或“抽样普查”），市教育局所调
查的六所学校先进党员教师共有 人．请把图2补充完整，请估计全市360所学
校此次活动中共 先进党员教师的额 人．（2）市教育局决定从A、B两所学校先进党员教师中任意抽两人参加总结座谈会，用树状图
或列表法求抽出两名先进党员教师恰好来自同一所学校的概率．
四、解答题（本大共2小题，每小题12分，共24分）
21．（12分）（2014•辽阳）某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，若单
独完成此项工程，甲工程对所用天数是乙工程队的2倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 （用含a的代数式表示）
可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队每天施工费2.5万元，求甲工程
队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64
万元．
22．（12分）（2014•辽阳）数学活动课上老师让学生以小组为单位测量学校旗杆AB的高度，
如图所示，“希望小组”在教学楼一楼地面D处测得旗杆顶部仰角为60°，在教学楼三楼地
面C处测得旗杆顶部仰角为30°，已知旗杆底部于教学楼一楼地面在同一水平线上，每层楼
高为3米，求旗杆AB高度．五、解答题（本题12分）
23．（12分）（2014•辽阳）巴西世界杯足球赛期间，某商店购进一批单价为30元的纪念品，如
果按每件40元出售，那么每天可销售100件．经市场调研发现，纪念品的销售单价每上涨1
元，其销售量每天相应减少5件，如果每件纪念品的利润不超过40%，设纪念品的销售单价
上涨x元，每天销售量为y件．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）将纪念品销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
六、解答题（本题12分）
24．（12分）（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点
D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．
七、解答题（本题12分）
25．（12分）（2014•辽阳）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过
点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置
时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．
（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点
A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．
②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形
ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写
出结果，不必写解答过程．八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2014•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），
（3，2），点B在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线上的一点，当S = S 时，求点P的坐标；
△PAB △ABC
（3）若点N由点B出发，以每秒 个单位的速度沿边BC、CA向点A移动， 秒后，点M也由
点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个
点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过
程．2014 年辽宁省辽阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题所列出的四个选项中只有
一个是正确的）
1．（3分）（2015•北海）﹣2的绝对值是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2D．
【考点】绝对值．
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【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数求解．
【解答】解：因为|﹣2|=2，
故选C．
2．（3分）（2014•辽阳）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图判断几何体．
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【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，即可得出
答案．
【解答】解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三
棱柱；
故选C．
3．（3分）（2014•辽阳）下列运算正确的是（ ）A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a5
C．2a2+3a2=5a6 D．（a+2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2
【考点】平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据合并同类项，可判断
C，根据平方差公式，可判断D．
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【解答】解：A、底数不变指数相加，故A错误；
B、底数不变指数相乘，故B错误；
C、系数相加字母部分不变，故C错误；
D、两数和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差，故D正确；
故选：D．
4．（3分）（2014•辽阳）某校九年级三班的团员在爱心助残捐款活动中，捐款情况如下（单位：
元）：10、8、12、15、10、11、12、9、13、10，关于这组数据表述错误的是（ ）
A．众数是10元 B．中位数是10元 C．平均数是11元 D．极差是7元
【考点】中位数；算术平均数；众数；极差．
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【分析】根据中位数、众数、极差的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：8、9、10、10、10、11、12、12、13、15，
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则众数为10，
中位数为： =10.5，
极差为：15﹣8=7，
平均数为： =11．
故选B．
5．（3分）（2014•辽阳）如图，将三角板的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=55°，∠2=60°，则
∠3的大小是（ ）
21教育名师原创作品A．55° B．60° C．65° D．75°
【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．
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【分析】根据三角形内角和定理求出∠4，得出∠5，根据平行线的性质得出∠3=∠5，即可得出
答案．
【解答】解：
∵∠1=55°，∠2=60°，
∴∠5=∠4=180°∠1∠2=65°，
∵a∥b，
∴∠3=∠5=65°，
故选C．
6．（3分）（2014•辽阳）如图，函数y=2x和y=ax+5的图象交于点A（m，3），则不等式2x＜
ax+5的解集是（ ）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
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【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图得到当x＜ 时，y=ax+5的
图象都在直线y=2x的上方，由此得到不等式2x＜ax+5的解集．
【解答】解：把A（m，3）代入y=2x得2m=3，解得m= ，
所以A点坐标为（ ，3），当x＜ 时，2x＜ax+5．
故选A．
7．（3分）（2014•辽阳）某校成立“情暖校园”爱心基金会，去年上半年发给每个经济困难学
生400元，今年上半年发给了500元．设每半年发给的资助金额的平均增长率为x，则下面列
出的方程中正确的是（ ）
A．500（1+x）2=400B．400（1+x）2=500C．400（1+2x）=500 D．500（1+2x）=400
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
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【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年
上半年发放的钱数，令其等于500即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难
学生400（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生400（1+x）2元，
由题意，得：400（1+x）2=500．
故选B．
8．（3分）（2014•辽阳）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，他们分别标号为1，
2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
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【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总
数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据题意可得：大于3的有4，5三个球，共5个球，
任意摸出1个，摸到大于3的概率是 ．
故选B．
9．（3分）（2014•辽阳）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），线段OA向右平移
得到线段O′A′，点A的对应点A′在函数y= （x＞0的图象上），则点O与其对应点O′之间的
距离是（ ）A． B． C． D．3
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平移的性质．
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【分析】直接把y=2代入函数y= ，求出x的值即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），
∴A′的纵坐标为2，
∴2= ，解得x=3，
∴O与其对应点O′之间的距离是3．
故选D．
10．（3分）（2014•辽阳）如图，边长为40cm的等边三角形硬纸片，小明剪下与边BC相切的扇
形AEF，切点为D，点E、F分别在AB、AC上，做成圆锥形圣诞帽，（重叠部分忽略不计），则
圆锥形圣诞帽的底面圆形半径是（ ）
A． cm B． cmC． cmD． cm
【考点】圆锥的计算．
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【分析】连结AD，如图，根据切线的性质得AD⊥BC，再根据等边三角形的性质得
∠BAC=∠B=60°，BD= BC=20，所以AD= BD=20 ，设圆锥形圣诞帽的底面圆形半径为rcm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr= ，再解方程即可．
【解答】解：连结AD，如图，
∵边BC相切于扇形AEF，切点为D，
∴AD⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，BD= BC= ×40=20，
∴AD= BD=20 ，
设圆锥形圣诞帽的底面圆形半径为rcm，
∴2πr= ，解得r= （cm），
即圆锥形圣诞帽的底面圆形半径为 cm．
故选A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）（2014•辽阳）五湖四海，大中小学，每个学子心中都有一座逸夫楼．自1985年以来，
著名“慈善家”邵逸夫连年向内地教育捐赠巨款建设教育教学设施，迄今赠款金额近
4750000000元港币，用科学记数法表示为 4.75×1 0 9 元港币．
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【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
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【解答】解：将4750000000用科学记数法表示为：4.75×109．
故答案为：4.75×109．12．（3分）（2014•辽阳）2700″= 0.7 5 °．
【考点】度分秒的换算．
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【分析】根据小的单位化大的单位除以进率，可得答案．
【解答】解：2700″=2700÷60=45′÷60=0.75°，
故答案为：0.75．
13．（3分）（2014•辽阳）5﹣ 的小数部分是 2﹣ ．
【考点】估算无理数的大小．
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【分析】根据1＜ ＜2，不等式的性质3，可得﹣ 的取值范围，再根据不等式的性质1，可
得答案．
【解答】解：由1＜ ＜2，得
﹣2＜﹣ ＜﹣1．
不等式的两边都加5，得
5﹣2＜5﹣ ＜5﹣1，
即3＜5﹣ ＜4，
5﹣ 的小数部分是（5﹣ ）﹣3=2﹣ ，
故答案为：2﹣ ．
14．（3分）（2014•辽阳）如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC= 10 0 °．
【考点】圆周角定理．
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【分析】首先在优弧 上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，即
可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：在优弧 上取点E，连接BE，CE，
∵∠BDC=130°，
∴∠E=180°﹣∠BDC=50°，
∴∠BAC=2∠E=100°．故答案为：100°．
15．（3分）（2014•辽阳）甲、乙丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为9.3环，
方差分别为 =0.55， =0.47， =0.62，则三人射击成绩最稳定的是 乙 ．
【考点】方差．
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【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表
明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵ =0.55， =0.47， =0.62，
∴ ＜ ＜ ，
∴三人射击成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．
16．（3分）（2014•辽阳）已知点A（3，y ），B（2，y ），C（﹣3，y ）都在反比例函数y= 的图象
1 2 3
上，则y ，y ，y 的大小关系是 y ＜ y ＜ y （用“＜”连接）
1 2 3 3 1 2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】分别把各点代入反比例函数的解析式，求出y ，y ，y 的值，再比较出其大小即可．
1 2 3
【解答】解：∵点A（3，y ），B（2，y ），C（﹣3，y ）都在反比例函数y= 的图象上，
1 2 3
∴y = =1，y = ，y =﹣ =﹣1，
1 2 3
∵﹣1＜1＜ ，
∴y ＜y ＜y ．
3 1 2
故答案为：y ＜y ＜y ．
3 1 217．（3分）（2014•辽阳）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，
AC=3，则DF的长为 1 ．
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【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
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【分析】延长CF交AB于G，由对称性判断出△AGC是等腰三角形，求出AG=AC，CF=GF，
再求出BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF= BG．
【解答】解：如图，延长CF交AB于G，
∵AE是角平分线，CF⊥AE，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，CF=GF，
∴BG=AB﹣AG=5﹣3=2，
∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴DF是△BCG的中位线，
∴DF= BG= ×2=1．
故答案为：1．18．（3分）（2014•辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都
与直线y= x相切，设半圆C 、半圆C 、半圆C …、半圆C 的半径分别为r 、r 、r …、r ，当
1 2 3 n 1 2 3 n
r =1时，r = 3 n﹣ 1 （n＞1的自然数）
1 n www-2-1-cnjy-com
【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】过C 、C 、C 、…、C 作直线y= x的垂线，垂足分别为A 、A 、A 、A ，如图，根据切
1 2 3 n 1 2 3 n
线的性质得C
1
A 1⊥OA
1
，C
2
A 2⊥OA
2
，C
3
A 3⊥OA，…，C
n
A n⊥OA
n
，再确定直线y= x与x轴的
正半轴的夹角为30°，接着利用两圆相切的性质得到C C =r +r ，C C =r +r ，…，然后根据含
1 2 1 2 2 3 2 3
30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OC
1
A
1
中得到OC
1
=2C
1
A
1
=2，在Rt△OC
2
A
2
中得到
2+1+r
2
=2r
2
，解得r
2
=3=31，在Rt△OC
3
A
3
中得到6+3+r
3
=2r
3
，解得r
3
=9=32，再观察计算出来的
半径得到半径都是3的正整数指数幂，且指数比序号数小1，于是得r =3n﹣1．
n 【版权所有：21教育】
【解答】解：过C 、C 、C 、…、C 作直线y= x的垂线，垂足分别为A 、A 、A 、A ，如图，
1 2 3 n 1 2 3 n
∵a个半圆弧都与直线y= x相切，
∴C
1
A 1⊥OA
1
，C
2
A 2⊥OA
2
，C
3
A 3⊥OA，…，C
n
A n⊥OA
n
，
∵x=1时，y= x= ，
∴直线y= x与x轴的正半轴的夹角为30°，
∵a个半圆弧依次相外切，
∴C C =r +r ，C C =r +r ，…，
1 2 1 2 2 3 2 3
在Rt△OC
1
A
1
中，OC
1
=2C
1
A
1
=2，
在Rt△OC
2
A
2
中，OC
2
=2C
2
A
2
，则2+1+r
2
=2r
2
，解得r
2
=3=31，
在Rt△OC
3
A
3
中，OC
3
=2C
3
A
3
，则6+3+r
3
=2r
3
，解得r
3
=9=32，在Rt△OC
4
A
4
中，OC
4
=2C
4
A
4
，则18+9+r
4
=2r
4
，解得r
4
=27=33，
由此可得r =3n﹣1．
n
故答案为r =3n﹣1．
n
三、解答题（19题10分，20题12分，共22分）
19．（10分）（2014•辽阳）先化简，再求值． ，÷其中x=4sin60°+2﹣1﹣
20140﹣ ．
【考点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【分析】先把分子分母因式分解，约分后得到原式=x+ ，然后根据零指数幂、负整数指数幂与
特殊角的三角函数值计算出x的值为﹣ ，再把x=﹣ 代入计算即可．
【解答】解：原式= • +x+2
=x+
∵x=4sin60°+2﹣1﹣20140﹣
=4• + ﹣1﹣2
=﹣ ，
∴原式=2．
20．（12分）（2014•辽阳）某市教育系统在开展党的群众路线教育实践活动中，号召党员教师
于贫困学生“手拉手”结成帮扶对子，市教育局从全市300所学校中随机抽取A、B、C、D、E、F六所学校，对活动中各校的先进党员教师人数进行了分析统计，制订了如下两幅不完整
的统计图．
（1）市教育局采取的调查方式是 抽样普查 （填“普查”或“抽样普查”），市教育局所调
查的六所学校先进党员教师共有 2 0 人．请把图2补充完整，请估计全市360所学校此次
活动中共 先进党员教师的额 120 0 人．
（2）市教育局决定从A、B两所学校先进党员教师中任意抽两人参加总结座谈会，用树状图
或列表法求抽出两名先进党员教师恰好来自同一所学校的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
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【分析】（1）根据题意得到此次调查为抽样调查，用F学校的人数除以其所占的百分比即可
求出总人数，由此估计全市360所学校此次活动中共 先进党员教师的总人数，进而可补全
频率分布直方图；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两名先进党员教师恰好来自同一所学校数目，
即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）由题意可知市教育局采取的调查方式是“抽样普查”，
因为F学校的人数是4人，其百分比为20%，所以六个学校的总人数为4÷20%=20（人），
所以D校的人数为20﹣2﹣2﹣3﹣5﹣4=4（人），
所以估计全市360所学校此次活动中共先进党员教师的额为20÷ =1200（人），
如图所示：故答案为：抽样普查，20，1200；
（2）设从A、B两所学校先进党员教师分别为红 ，红 ，黄，蓝，
1 2
画树状图如下：
由树形图可知：抽出两名先进党员教师恰好来自同一所学校的概率是 ．
四、解答题（本大共2小题，每小题12分，共24分）
21．（12分）（2014•辽阳）某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，若单
独完成此项工程，甲工程对所用天数是乙工程队的2倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 天 （用含a的代数式表示）
可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天1万元，乙工程队每天施工费2.5万元，求甲工程
队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费不超过64
万元．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
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【分析】（1）根据题意结合总工作量为1，进而表示出两队每天完成的工作情况，进而得出答
案；
（2）首先表示出甲、乙两工程队合作的天数，进而利用两队施工费用得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需要x天，
由题意得： + = ，解得：x=30，
经检验：x=30是原分式方程的解，
2x=60．
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
（2）甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作：（1﹣a× ）÷（ + ）= （天），
由题意可得：1•a+（1+2.5）• ≤64，
解得：a≥36，
答：甲工程队要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工程费
不超过64万元．
故答案为： 天．
22．（12分）（2014•辽阳）数学活动课上老师让学生以小组为单位测量学校旗杆AB的高度，
如图所示，“希望小组”在教学楼一楼地面D处测得旗杆顶部仰角为60°，在教学楼三楼地
面C处测得旗杆顶部仰角为30°，已知旗杆底部于教学楼一楼地面在同一水平线上，每层楼
高为3米，求旗杆AB高度．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，则四边形ADCE为矩形，AE=CD=6米，AD=CE．设
BE=x米，先解Rt△BCE，得出CE= x米，AD= x米，再解Rt△ABC，得出AB=3x米，然
后根据AB﹣BE=AE，列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD=6米，AD=CE．
设BE=x米．
在Rt△BCE中，∵∠BEC=90°，∠BCE=30°，
∴CE= BE= x（米），
∴AD=CE= x（米）．
在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠ADB=60°，
∴AB= AD= × x=3x（米），
∵AB﹣BE=AE，
∴3x﹣x=6，
∴x=3，
AB=3×3=9（米）．
答：旗杆AB的高度为9米．
五、解答题（本题12分）
23．（12分）（2014•辽阳）巴西世界杯足球赛期间，某商店购进一批单价为30元的纪念品，如
果按每件40元出售，那么每天可销售100件．经市场调研发现，纪念品的销售单价每上涨1
元，其销售量每天相应减少5件，如果每件纪念品的利润不超过40%，设纪念品的销售单价
上涨x元，每天销售量为y件．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式．
（2）将纪念品销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
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【分析】（1）根据“销售量=原来销售量+减少销售量”列出二次函数即可；
（2）根据“总利润=单件利润×销量”列出函数关系式求最值即可．【解答】解：（1）由题意得：y=100﹣5x；
（2）设销售单价定位z元，由题意得：总利润=（z﹣30）[100﹣5（z﹣40）=﹣5（z﹣45）2+1125，
21cnjy.com ]
∵每件纪念品的利润不超过40%，
∴定价的最大值为30（1+40%）=42元，
∴当z=42时，总利润=﹣5（42﹣45）2+1125=1080元，
∴当销售单价定为42元时有最大利润是1080元．
六、解答题（本题12分）
24．（12分）（2014•辽阳）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点
D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．
【考点】切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
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【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形
两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，∴∠1= ∠CAB．
∵∠CBF= ∠CAB，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，
∴sin∠1= ，
∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，
∴BE=AB•sin∠1= ，
∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=2 ，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= =2 ，
∴sin∠2= = = ，cos∠2= = = ，
在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，
∴AG=3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴
∴BF= =七、解答题（本题12分）
25．（12分）（2014•辽阳）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过
点O的直线l与边AB、CD分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置
时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．
（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，
①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点
A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．
②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形
ABCD沿AE折叠，点B的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写
出结果，不必写解答过程．
【考点】几何变换综合题．
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【分析】（1）连接AF、CE，根据三角形全等证明出OE=OF，结合AC⊥EF即可证明四边形
AECF是菱形；
（2）①过D′作D′H⊥CF于H，设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，根据折叠的性质得到
D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，由勾股定理求出x的值，根据等面积知识求出
D′H的长，进而求出△DFD′的面积；
②分类讨论E点的位置，画出图形后，利用勾股定理和折叠的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）猜想：当l⊥AC时，四边形AECF是菱形，
如图1，连接AF、CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠FCO=∠EAO，
又∵∠FOC=∠EOA，
∴△COF≌△AOE，
∴OE=OF，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=4，AD=BC=3，
设DF=xcm，则CF=（4﹣x）cm，
由折叠性质可知：
D′F=DF=x，CD′=AD=3，∠CD′F=∠ADC=90°，
由勾股定理得（4﹣x）2=32+x2，
解得x= ，
∴D′F=DF= ，
∴CF=4﹣ = ，
如图2，过D′作D′H⊥CF于H，由面积相等可得，CF•D′H=D′F•CD′，
∴D′H= ，
∴S = × × = （cm2）
△DFD′
②如图①，设BE=xcm，CE=（3﹣x）cm，AC=5cm，B′C=5﹣4=1cm，
根据勾股定理可得B′C2+B′E2=CE2，
解得x= cm，
如图②，设BE=xcm，则CE=（3﹣x）cm，AB′=4cm，B′E=xcm，
在Rt△ADB′中，
由勾股定理可得BD′= cm，B′C=（4﹣ ）cm，
在Rt△CB′E中，B′C2+B′E2=CE2，
即16﹣8 +7+x2=9﹣6x+x2，
解得x= cm，
如图③，
当四边形ABEB′是正方形时，点B和点B′关于直线AE对称，△B′EC是直角三角形，
此时CE=1cm，BE=4cm；
如图④
BE=xcm，AB′=4cm，AD=3cm，CE=（x﹣3）cm，
在Rt△ADB′中，B′D= cm，
B′C= +4，
在Rt△B′CE中，7+8 +16+x2﹣6x+9=x2，
解得x= cm，
综上，BE的长为 cm或 cm或4cm或 cm．八、解答题（本题14分）
26．（14分）（2014•辽阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（﹣1，2），
（3，2），点B在x轴上，点B的坐标为（3，0），抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．
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（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是抛物线上的一点，当S = S 时，求点P的坐标；
△PAB △ABC
（3）若点N由点B出发，以每秒 个单位的速度沿边BC、CA向点A移动， 秒后，点M也由
点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个
点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写出解答过
程．
【来源：21·世纪·教育·网】
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，把（﹣1，2），（3，2）代入y=﹣x2+bx+c
计算即可；
【出处：21教育名师】
（2）先求出 y =﹣ x+ ，再求出 S =5，分两种情况讨论：
AB △ABC
当P在AB上方时，根据S =S +S =2PQ得出2[（﹣x2+2x+5）﹣（﹣ x+ ）=5；
△PAB △PAQ △PBQ
]
当P在AB下方时，根据S =S ﹣S =2PQ得出2（[ ﹣ x+ ）﹣（﹣x2+2x+5）=5，再
△PAB △PQB △PQA
]
分别求解即可；
（3）当点N在BC上时，设MN与AB交于点D，若MN⊥AB，根据△BMN∽△CBA，得出 =
，再根据BN= 5t，BM=t﹣ ，得出 = ，当点N在CA上时，设MN与AB交于点
D，过点N作NE⊥x轴于点E，则CN=EB，根据△ACB∽△NEM，得出 = ，求出EM=1，再
求出EB=t﹣ ，再根据CN= t﹣2，得出 t﹣2=t﹣ ，再分别求出t即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，∴把（﹣1，2），（3，2）代入得：
，
解得： ，
∴该抛物线所对应的函数关系式为：y=﹣x2+2x+5；
（2）由A（﹣1，2）B（3，0）可得：y =﹣ x+ ，
AB
∵S = AC•BC= ×4×2=4，
△ABC
∴ S = ×4=5，
△ABC
如图1，当P在AB上方时，
S =S +S = PQ•AE+ PQ•CE= PQ•AC= •PQ×4=2PQ=2（[ ﹣x2+2x+5）﹣（﹣ x+
△PAB △PAQ △PBQ
） =5，
]
解得：x = ，x = ，
1 2
则P （ ， ）P （ ， ）
1 2
如图2，当P在AB下方时，
S =S ﹣S = PQ•BG﹣ PQ•GF= PQ•AC= •PQ×4=2PQ=2[（﹣ x+ ）﹣（﹣
△PAB △PQB △PQA
x2+2x+5） =5，
]
解得：x =﹣ ，x =4，
1 2
则P （﹣ ，﹣ ），P （4，﹣3），
3 4
综上所述：P（ ， ），P（ ， ），P（﹣ ，﹣ ），P（4，﹣3）；
1 2 3 4
（3）如图3，当点N在BC上时，设MN与AB交于点D，
若MN⊥AB，
∵∠BDN=∠BCA，∠B=∠B，∴∠BND=∠BAC，
∵∠MBC=∠ACB=90°，
∴△BMN∽△CBA，
∴ = ，
∵BN= 5t，BM=t﹣ ，
∴ = ，
∴t= （秒），
如图4，当点N在CA上时，设MN与AB交于点D，
过点N作NE⊥x轴于点E，则CN=EB，
若MN⊥AB，则∠A=∠MNE，
∵∠ACB=∠MEN，
∴△ACB∽△NEM，
∴ = ，
∴ = ，
∴EM=1，
∴EB=MB﹣EM=t﹣ ﹣1=t﹣ ，
∵CN= t﹣2，∴ t﹣2=t﹣ ，
∴t= ．
