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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.4 二次根式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次根式的有关概 数学中考中，有关二次根式的部分，每年考查1~2
☆☆
念及性质 道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答
题的形式考查。二次根式的运算的考查多是体现在
考点2 二次根式的运算 ☆☆☆ 其他解答题里。二次根式的估值虽然不常见，但属
于能力亮点问题，估计会成为今后高频考点。
考点3 二次根式的估值 ☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
夯实基础考点1. 二次根式的有关概念及性质
1.二次根式的概念
√a(a≥0)
我们把形如 的式子叫做二次根式．其中符号“ ”叫做二次根号，二次根号下的
数叫做_______．注意：a可以是数，也可以是式.
2.二次根式有意义的条件
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数_____，列不等式求解即可.若二次根式
为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为_____。
3. 最简二次根式：_______所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根
式，叫做最简二次根式．
4. 同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数______的几个二次根式，叫做同类二次根式．
5．二次根式的性质
√a
a
（1） ≥ 0（ ≥0）(二次根式双重______)；
【解读】二次根式中,a≥0且 ≥0, 即为二次根式的双重非负性。
1）正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2， (a≥0)．
2）若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
如：若a2+|b|+ =0，则a2=0，|b|=0， =0，可得a=b=c=0．中考经常出现利用这个性质来解决
问题。
(√a) 2 =a(a≥0)
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
【方法总结】归纳总结二次根式问题考点类型及解题方法（十分重要）
【类型1】判断根式是否是二次根式。判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．
【类型2】 根据二次根式有意义求字母的取值范围。含二次根式的式子有意义的条件：
(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保
证分母不为零．
【类型3】 利用二次根式的非负性求解。二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为 0，
这几个非负数都为0.
【类型4】和二次根式有关的规律探究性问题。解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母
和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．
考点2. 二次根式的运算
1.二次根式的加减
（1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为_____的二次根式，再将被开方数
相同的根式进行合并。
（2）二次根式的混合运算
1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；
2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
2.二次根式的乘除
乘法法则： ；
除法法则： ．
3.二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号
内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【补充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的______化去，叫做分母有理化。
2.常见类型：
b b⋅√a b√a
= =
常见类型一：
√a √a⋅√a a
．
c c⋅(√a−√b) c(√a−√b)
= =
√a+√b (√a+√b)(√a−√b) a−b
常见类型二： ．√n an−1 √ n a √a−√b √a+√b
其中，我们称 是 的“有理化因子”， 是 的“有理化因子”．分母有理化
的关键是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因
式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
4.熟记一些常见的有理化因式：
√9 √54 √3 √3
√12 ÷ 12 × 6的有理化因式是12 ；
√3 √3
6 的有理化因式是 3 ；
3 √3 √9 √12 √3
4 的有理化因式是√12 × 54 × 6；
√3 60
6 的有理化因式是13 ；
(a+b) 2 =c2 +2ab 2−m
的有理化因式是 。
5.分母有理化十法
分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，
需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。
通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。
【二次根式加减乘除运算方法总结】
【类型1】被开方数相同的最简二次根式。根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据
同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．
【类型2】 二次根式的加减运算。二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被
开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．
【类型3】 二次根式的化简求值。化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简
时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．
【类型4】 二次根式加减运算在实际生活中的应用。利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分
析题意，注意计算的正确性与结果的要求．
【二次根式的乘法类型题及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的乘法法则成立的条件。运用二次根式的乘法法则：·＝(a≥0，b≥0)，必须
注意被开方数均是非负数这一条件．【类型2】 二次根式的乘法运算。在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分
数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．
【类型3】积的算术平方根的性质。利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．
主要运用公式＝·(a≥0，b≥0)和＝a(a≥0)对二次根式进行化简．
【类型4】二次根式乘法的综合应用。把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体
现了转化思想．
【二次根式的除法问题类型及解题方法总结】
【类型1】 二次根式的除法运算。利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零
的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．
【类型2】 二次根式的乘除混合运算。二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相
同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．
【类型3】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围。运用商的算术平方根的性质：＝(a＞
0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．
【类型4】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。被开方数中的带分数要化为假分数，被开方
数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．
【类型5】最简二次根式。解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两
个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【类型6】二次根式除法的综合运用。解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运
算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．
考点3. 二次根式的估值
1．比较二次根式的大小方法
比较两个二次根式大小的方法：可_____为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后
移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以
采用平方法.
2.用有理数估算二次根式的大致范围
用有理数估算二次根式的大致范围时,一般采用“______”法,即用两个相邻数的平方与被开方
数比较,若被开方数介于这两个相邻数的平方之间,则这个二次根式的值就在这两个相邻数之间,估算
的精确度可由相邻数的精确度来确定.
3.二次根式估值一般步骤
（1）一般先对根式进行平方，如 ；
（2）找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4<5<9；（3）对以上两个整数开方，如 ， ；
（4）这个根式的值在这两个相邻整数之间，如 ．
考点1. 二次根式的有关概念及性质
【例题1】（2024黑龙江绥化）若式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【对点变式练1】（2024内蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
(1)； (2)； (3)；(4)； (5)；
(6)(x≤3)；(7)(x≥0)；(8)；(9)；(10)(ab≥0)．
【对点变式练2】（2024哈尔滨一模）若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【对点变式练3】（2024吉林长春一模）若 ，则(a+b)2025= ．
考点2. 二次根式的运算
【例题2】 （2024甘肃威武）计算： ．
【对点变式练1】（2024哈尔滨二模）计算 ﹣2 的结果是 ．
【对点变式练2】（2024沈阳一模）计算·的结果是________．
【对点变式练3】（2024湖南一模）化简：
(a＞0，b＞0，c＞0)．
考点3. 二次根式的估值
【例题3】 （2024河北省）已知a，b，n均为正整数．
（1）若 ，则 ______；
（2）若 ，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个．【对点变式练1】（2024辽宁一模）估计 的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【对点变式练2】（2024广州一模）下列各数中比3大比4小的无理数是（ ）
A． B． C．3.1 D．
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1. （2024四川德阳）化简： ＝__________．
2. （2024江苏连云港）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
3. （2024上海市）已知 ，则 ___________．
考点2. 二次根式的运算
1. （2024湖南省）计算 的结果是（ ）
A. B. C. 14 D.
2. （2024四川乐山）已知 ，化简 的结果为（ ）
A. B. 1 C. D.
3. （2024山东威海）计算： ________．
4. （2024贵州省）计算 的结果是________．
5. （2024天津市）计算 的结果为___．
6. （2024河南省）计算： ；
7. （2024上海市）计算： ．
考点3. 二次根式的估值1. （2024重庆市A）已知 ，则实数 的范围是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川资阳）若 ，则整数m的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. （2024重庆市B）估计 的值应在（ ）
A. 8和9之间 B. 9和10之间 C. 10和11之间 D. 11和12之间
4. （2024江苏盐城）矩形相邻两边长分别为 、 ，设其面积为 ，则S在哪两个连
续整数之间（ ）
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
5. （2024内蒙古赤峰）请写出一个比 小的整数_____________
6. （2024深圳）如图所示，四边形 ， ， 均为正方形，且 ，
，则正方形 的边长可以是________．（写出一个答案即可）
考点1. 二次根式的有关概念及性质
1. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______．
2.若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
考点2. 二次根式的运算
1．下列各式是最简二次根式的是（ ）√5
A．√13 B．√12 C．√a3 D．
3
2.把下列式子的分母有理化：
3．已知a＝，b＝，求a2－ab＋b2的值．
4. 若实数m，n满足 ，则 _______．
5. 计算 的结果是_________．
6. 若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7.(1)已知a、b满足＋|b－|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根．
8. 计算： ．
9．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10. 从 ，﹣ ，﹣ 这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
11. 已知x为实数时，化简＋.
12.计算：
(1)9÷3×；
(2)a2··b÷.
13. 计算： ．
考点3. 二次根式的估值
1．估计 的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．若a＝ ，b＝ ，c＝2，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c3．已知 ，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．比较大小： ___
【例题4】先观察下列等式，再回答下列问题．
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出的结果；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式(n为正整数)．
