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2026年中考数学一轮复习 二次根式
一．选择题（共6小题）
1．下列选项中，计算正确的是（ ）
A．√7−√4=√3 B．5+2√3=7√3 C．√8÷√2=4 D．√5×√2=√10
2．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．√12 B．√13 C．√24 D．√0.6
3．要使二次根式√x−5有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x＞5 C．x≤5 D．x≥5
4．在下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．√32 B．√−10 C．√a2+1 D．√a
√1
5．化简√28× 的正确结果是（ ）
7
A．2 B．√5 C．√6 D．3
6．已知一个长方形面积是√24，宽是√2，则它的长是（ ）
A．2√3 B．4√2 C．3√2 D．4√3
二．填空题（共8小题）
√m−1
7．若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
m+2
8．若√18−n是整数，那么自然数n所有可能值的和是 ．
9．若a=√2+1，b=√2−1，则代数式a2b+ab2的值为 ．
√7+√5 √7−√5 √ y √ x
10．已知x= ，y= ， + = ．
2 2 x y
11．如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a−3|−√a2−4a+4= ．
12．南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积
1√ 1 c2+a2−b2
的方法用现在的语言表达为：△ABC的三条边为a，b，c，S△ABC = c2a2− ( ) 2．
2 4 2
若△ABC 的三条边 a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC 的面积 8.5（填“＞”“＜”或
“＝”）．
13．已知x，y是实数，且y=√x−3+√3−x+9，则﹣xy的立方根为 ．
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14．若式子√x−3有意义，则实数x的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题）
15．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|a|+|a+b|−√(c−a) 2−2√c2．
16．先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果m、n是正整数，且√16(2m+n)和最简二次根式m−n+ √1m+7在二次根式的加减法中可以合
并成一项，求m、n的值．
解：∵√16(2m+n)和m−n−√1m+7可以合并，
55
{m=
{ m−n−1=2 { m−n=3 47
∴ ，即 ，解得 ．
16(2m+n)=m+7 31m+16n=7 86
n=−
47
∵m、n是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2）给出正确的解答过程．
√x 1 5 √ 4
17．一个三角形的三边长分别为5 ， √20x， x ．
5 2 4 5x
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=(1+√2) 2．设a+b√2=（m+n√2）2
（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样
可以把部分．a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(m+n√3) 2，用含m、n的式子分别表示a、b，
得：a＝ ，b＝ ；
（2）找一组正整数a、b、m、n填空： + √5=（ + √5）
2；
1 1
（3）化简 − ．
√16−6√7 √11+4√7
19．观察下列各式：
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√ 1 1 1 1 1 √ 1 1 1 1 1
1+ + =1+ − =1 ； 1+ + =1+ − =1 ；
12 22 1 2 2 22 32 2 3 6
√ 1 1 1 1 1
1+ + =1+ − =1 ，…
32 42 3 4 12
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
√ 1 1
①猜想： 1+ + = ＝ ；
72 82
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 n（n 为正整数）表示的等式：
；
√82 1
③应用：计算 + ．
81 100
1
20．阅读材料：在解决问题“已知a= ，求2a2﹣4a+1的值”时，小芳是这样分析与解答的：
√2−1
1 √2+1
∵a= = =√2+1
√2−1 (√2−1)(√2+1)
∴a−1=√2
∴（a﹣1）2＝2
∴a2﹣2a+1＝2
∴a2﹣2a＝1
∴2a2﹣4a＝2
∴2a2﹣4a+1＝3
请根据小芳的方法探索解决下列问题：
1
（1）化简： ；
2−√5
1
（2）若a= ，求3a2﹣30a+18的值．
5+2√6
21．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（√a）2+（√b）2＝
m，√a•√b=√n，那么便有√m±2√n=√(√a±√b) 2=√a±√b（a＞b），例如：化简√7+4√3．
解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（√4）2+（√3）2＝7，√4•√3=√12，
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∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4) 2+(√3) 2+2×√4×√3=2+√3．
由上述例题的方法化简：
（1）√13−2√42；
（2）√7−√40；
（3）√2−√3．
22．阅读下列解题过程：
1 1×(√2−1) √2−1
= = =√2−1；
√2+1 (√2+1)×(√2−1) (√2) 2−12
1 1×(√3−√2) √3−√2
= = =√3−√2．
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2) (√3) 2−(√2) 2
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
1 1
① = ；② = ；
√7+√6 √n+√n−1
1 1 1 1 1
（2）应用：求 + + + +⋯+ 的值；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4 √10+√9
1 1 1 1
（3）拓广： − + − = ．
√3−1 √5−√3 √7−√5 √9−√7
√ 1 √1 √ 1 √1 √ 1 √1
23．观察下列各式：① 1+ =2 ，② 2+ =3 ；③ 3+ =4 ，…
3 3 4 4 5 5
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
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2026年中考数学一轮复习 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列选项中，计算正确的是（ ）
A．√7−√4=√3 B．5+2√3=7√3 C．√8÷√2=4 D．√5×√2=√10
【答案】D
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：√7与√4不是同类二次根式，不能合并，故选项A不符合题意；
5和2√3不能合并，故选项B不符合题意；
√8÷√2=√4=2，故选项C不符合题意；
√5×√2=√10，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
2．下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A．√12 B．√13 C．√24 D．√0.6
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、√12=2√3，故A不符合题意；
B、√13是最简二次根式，故B符合题意；
C、√24=2√6，故C不符合题意；
√3 √15
D、√0.6= = ，故D不符合题意；
5 5
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．要使二次根式√x−5有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠5 B．x＞5 C．x≤5 D．x≥5
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣5≥0，
∴x≥5．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．在下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
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A．√32 B．√−10 C．√a2+1 D．√a
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义作出选择：式子√a（a≥0）叫做二次根式．
【解答】解：A、是三次根式；故本选项符合题意；
B、被开方数﹣10＜0，不是二次根式；故本选项不符合题意；
C、被开方数a2+1＞0，符合二次根式的定义；故本选项符合题意；
D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的定义．式子√a（a≥0）叫做二次根式，特别注意a≥0，a是
一个非负数．
√1
5．化简√28× 的正确结果是（ ）
7
A．2 B．√5 C．√6 D．3
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案．
√ 1
【解答】解：原式= 28× =√4=2．
7
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，掌握相应的运算法则是关
键．
6．已知一个长方形面积是√24，宽是√2，则它的长是（ ）
A．2√3 B．4√2 C．3√2 D．4√3
【答案】A
【分析】依据题意，由一个长方形面积是√24，宽是√2，则它的长为：√24÷√2=√12=2√3，
进而得解．
【解答】解：由题意，∵一个长方形面积是√24，宽是√2，
∴它的长为：√24÷√2=√12=2√3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
二．填空题（共8小题）
√m−1
7．若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 m ≥ 1 ．
m+2
【答案】m≥1．
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{m−1≥0
【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到 ，再求解即可．
m+2≠0
【解答】解：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可得：
{m−1≥0
，
m+2≠0
解得：m≥1，
∴m的取值范围是m≥1，
故答案为：m≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方
数非负，分式有意义则分母不为0是解题的关键．
8．若√18−n是整数，那么自然数n所有可能值的和是 6 0 ．
【答案】60．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出m的取值范围，再根据√18−n是整数，即可
得出答案．
【解答】解：由条件可知18﹣n≥0，且18﹣n是完全平方数，
∴①18﹣n＝1，即，n＝17，
②18﹣n＝4，即n＝14，
③18﹣n＝9，即n＝9，
④18﹣n＝16，即n＝2，
⑤18﹣n＝0，即n＝18，
综上自然数n的值可以是，2，9，14，17，18，
2+9+14+17+18＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
9．若a=√2+1，b=√2−1，则代数式a2b+ab2的值为 2√2 ．
【答案】2√2．
【分析】先求出ab和a﹣b的值，再将代数式变形为ab（a+b），最后将数值代入求出答案．
【解答】解：∵a=√2+1，b=√2−1，
∴ab＝1，a+b＝2√2．
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝1×2√2
＝2√2．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是先求出ab和a+b的值．
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√7+√5 √7−√5 √ y √ x
10．已知x= ，y= ， + = √14 ．
2 2 x y
【答案】√14．
√7+√5 √7−√5 √ y √ x x+ y
【分析】依据题意，由x= ，y= ，则 + = ，进而代入计算可以得
2 2 x y √xy
解．
√7+√5 √7−√5
【解答】解：∵x= ，y= ，
2 2
√ y √ x
∴ +
x y
y x
= +
√xy √xy
x+ y
=
√xy
√7+√5 √7−√5
+
2 2
=
√√7+√5 √7−√5
⋅
2 2
√7
=
√1
2
=√14．
故答案为：√14．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、分母有理化，解题时要熟练掌握并能准确计算是
关键．
11．如图，数轴上点A表示的数为a，化简|a−3|−√a2−4a+4= 1 ．
【答案】1．
【分析】利用数轴表示数的方法得到a＜2，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然
后去绝对值后合并即可．
【解答】解：由条件可得：
|a−3|−√a2−4a+4
＝|a﹣3|﹣|a﹣2|
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＝﹣（a﹣3）+（a﹣2）
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，熟练掌握以上知识点是关键．
12．南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积
1√ 1 c2+a2−b2
的方法用现在的语言表达为：△ABC的三条边为a，b，c，S△ABC = c2a2− ( ) 2．
2 4 2
若△ABC的三条边a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积 ＞ 8.5（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】＞．
【分析】根据三角形面积的独特求法——三斜求积，代入计算，即可解答．
【解答】解：由条件可得：
1√ 1 c2+a2−b2
∵S△ABC = c2a2− ( ) 2，a＝3，b＝5，c＝6，
2 4 2
√299
∴S△ABC =
2
17 √289
∵8.5= =
2 2
√299 √289
∴ ＞
2 2
故答案为：＞．
【点评】本题考查三角形面积的独特求法——三斜求积公式，正确运用该公式是解题关键．
13．已知x，y是实数，且y=√x−3+√3−x+9，则﹣xy的立方根为 ﹣ 3 ．
【答案】﹣3
【分析】根据二次根式有意义的条件，立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵√x−3与√3−x有意义，
∴x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x＝3，
∴y＝9，
∴﹣xy的立方根为√3−xy=√3−27=−3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根．熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．若式子√x−3有意义，则实数x的取值范围是 x ≥ 3 ．
【答案】x≥3．
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【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【解答】解：∵式子√x−3在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
故答案为：x≥3．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共9小题）
15．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|＝|b|，化简|a|+|a+b|−√(c−a) 2−2√c2．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据数轴上点的位置判断出实数a，b，c的符号，然后利用二次根式与绝对值的性质求
解即可求得答案．
【解答】解：由题意得：c＜a＜0＜b，
又∵|a|＝|b|，
∴a+b＝0，c﹣a＜0，
∴|a|+|a+b||−√(c−a) 2−2√c2
＝﹣a+0+c﹣a+2c
＝3c﹣2a．
【点评】此题考查了实数与数轴，二次根式以及绝对值的性质，合并同类项，熟练掌握各自的意
义是解本题的关键．
16．先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果m、n是正整数，且√16(2m+n)和最简二次根式m−n+ √1m+7在二次根式的加减法中可以合
并成一项，求m、n的值．
解：∵√16(2m+n)和m−n−√1m+7可以合并，
55
{m=
{ m−n−1=2 { m−n=3 47
∴ ，即 ，解得 ．
16(2m+n)=m+7 31m+16n=7 86
n=−
47
∵m、n是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2）给出正确的解答过程．
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【答案】（1）不正确，原因：见解答过程；
（2）见解答过程．
【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．
（2）先把√16(2m+n)转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进
行求解即可．
【解答】解：（1）不正确，
原因是没有把√16(2m+n)转化为最简二次根式；
（2）正确解答过程如下：
∵√16(2m+n)=4√2m+n，√16(2m+n)和m−n+ √1m+7可以合并，
{ m−n+1=2
∴ ，
2m+n=m+7
{m=4
解得： ，
n=3
经检验m＝4，n＝3符合题意，
∴m＝4，n＝3．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的
二次根式称为同类二次根式．
√x 1 5 √ 4
17．一个三角形的三边长分别为5 ， √20x， x ．
5 2 4 5x
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题目中的数据可以求得该三角形的周长；
（2）根据（1）中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
√x 1 5 √ 4
【解答】解：（1）∵一个三角形的三边长分别为5 ， √20x， x ，
5 2 4 5x
∴这个三角形的周长是：
√x 1 5 √ 4
5 + √20x+ x
5 2 4 5x
√5x
=√5x+√5x+
2
5√5x
= ；
2
5√5x 5×√5×20
（2）当x＝20时，这个三角形的周长是： = =25．
2 2
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式的意义．
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18．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=(1+√2) 2．设a+b√2=（m+n√2）2
（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样
可以把部分．a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(m+n√3) 2，用含m、n的式子分别表示a、b，
得：a＝ m 2 + 3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）找一组正整数a、b、m、n填空： 2 1 + 4 √5=（ 1 + 2 √5）2；
1 1
（3）化简 − ．
√16−6√7 √11+4√7
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将（m+n√3）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设a+b√5=(m+n√5) 2，则(m+n√5) 2=m2+2√5mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b
√5，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，
再合并同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：（1）∵a+b√3=(m+n√3) 2，(m+n√3) 2=m2+2√3mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b√5=(m+n√5) 2．
则(m+n√5) 2=m2+2√5mn+5n2．
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4．
故答案为：21，4，1，2．
1 1
（3） −
√16−6√7 √11+4√7
1 1
= −
√(3−√7) 2 √(√7+2) 2
1 1
= −
3−√7 √7+2
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3+√7 √7−2
= −
(3−√7)(3+√7) (√7+2)(√7−2)
3+√7 √7−2
= −
2 3
3 2 √7 √7
= + + −
2 3 2 3
13 √7
= + ．
6 6
【点评】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓
展应用，本题具有一定的计算难度．
19．观察下列各式：
√ 1 1 1 1 1 √ 1 1 1 1 1
1+ + =1+ − =1 ； 1+ + =1+ − =1 ；
12 22 1 2 2 22 32 2 3 6
√ 1 1 1 1 1
1+ + =1+ − =1 ，…
32 42 3 4 12
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
√ 1 1 1 1 1
①猜想： 1+ + = 1+ − ＝ 1 ；
72 82 7 8 56
②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用 n（n 为正整数）表示的等式：
√ 1 1 1 1 n2+n+1
1+ + = 1 + − = ；
n2 (n+1) 2 n n+1 n2+n
√82 1
③应用：计算 + ．
81 100
【答案】见试题解答内容
【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；
②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；
③利用发现的规律将原式变形得出答案．
√ 1 1 1 1 1
【解答】解：①猜想： 1+ + =1+ − =1 ；
72 82 7 8 56
1 1 1
故答案为：1+ − ，1 ；
7 8 56
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②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：
√ 1 1 1 1 n2+n+1
1+ + =1+ − = ；
n2 (n+1) 2 n n+1 n2+n
√82 1
③应用： +
81 100
√ 1 1
= 1+ +
81 100
√ 1 1
= 1+ +
92 102
1 1
＝1+ −
9 10
1
＝1 ．
90
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确发现数字变化规律是解题关键．
1
20．阅读材料：在解决问题“已知a= ，求2a2﹣4a+1的值”时，小芳是这样分析与解答的：
√2−1
1 √2+1
∵a= = =√2+1
√2−1 (√2−1)(√2+1)
∴a−1=√2
∴（a﹣1）2＝2
∴a2﹣2a+1＝2
∴a2﹣2a＝1
∴2a2﹣4a＝2
∴2a2﹣4a+1＝3
请根据小芳的方法探索解决下列问题：
1
（1）化简： ；
2−√5
1
（2）若a= ，求3a2﹣30a+18的值．
5+2√6
【答案】（1）﹣2−√5；
（2）15．
【分析】（1）根据分母有理化的步骤化简即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算，再代入求值即可．
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2+√5
【解答】解：（1）原式=
(2−√5)(2+√5)
2+√5
=
4−5
＝﹣2−√5；
1 5−2√6
（2）∵a= = = 5﹣2√6，
5+2√6 (5+2√6)(5−2√6)
∴原式＝3（a2﹣10a+6）
＝3（a2﹣10a+25）﹣3×19
＝3（a﹣5）2﹣57
＝3×24﹣57
＝15．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算和化简求值，分母有理化和平方差公式，熟练掌握其
运算法则是解题的关键．
21．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（√a）2+（√b）2＝
m，√a•√b=√n，那么便有√m±2√n=√(√a±√b) 2=√a±√b（a＞b），例如：化简√7+4√3．
解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（√4）2+（√3）2＝7，√4•√3=√12，
∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4) 2+(√3) 2+2×√4×√3=2+√3．
由上述例题的方法化简：
（1）√13−2√42；
（2）√7−√40；
（3）√2−√3．
【答案】（1）√7−√6；
（2）√5−√2；
√6−√2
（3） ．
2
【分析】先把各题中的无理式变成√m±2√n 的形式，进而可得出结论．
【解答】解：（1）√13−2√42=√(√7−√6) 2=√7−√6；
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（2）√7−√40=√7−2√10=√(√5−√2) 2=√5−√2；
√8−4√3 √6−√2
（3）√2−√3= = ．
4 2
【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根
式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，
所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
22．阅读下列解题过程：
1 1×(√2−1) √2−1
= = =√2−1；
√2+1 (√2+1)×(√2−1) (√2) 2−12
1 1×(√3−√2) √3−√2
= = =√3−√2．
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2) (√3) 2−(√2) 2
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
1 1
① = √7−√6 ；② = √n−√n−1 ；
√7+√6 √n+√n−1
1 1 1 1 1
（2）应用：求 + + + +⋯+ 的值；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4 √10+√9
1 1 1 1
（3）拓广： − + − = ﹣ 1 ．
√3−1 √5−√3 √7−√5 √9−√7
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．
1 1×(√7−√6)
【解答】解：（1）① = =√7−√6；
√7+√6 (√7+√6)(√7−√6)
1 1×(√n−√n−1)
② = =√n−√n−1；
√n+√n−1 (√n+√n−1)(√n−√n−1)
故答案为：√7−√6；√n−√n−1；
1 1 1 1 1
（2） + + + +⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √5+√4 √10+√9
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=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√10−√9
=√10−1；
1 1 1 1
（3） − + −
√3−1 √5−√3 √7−√5 √9−√7
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7
= − + −
(√3−1)(√3+1) (√5−√3)(√5+√3) (√7−√5)(√7+√5) (√9−√7)(√9+√7)
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7
= − + −
2 2 2 2
√3+1−√5−√3+√7+√5−√9−√7
=
2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题关键．
√ 1 √1 √ 1 √1 √ 1 √1
23．观察下列各式：① 1+ =2 ，② 2+ =3 ；③ 3+ =4 ，…
3 3 4 4 5 5
√ 1 √1
（1）请观察规律，并写出第④个等式： 4+ =5 ；
6 6
√ 1 √ 1
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： n+ = （ n + 1 ） ；
n+2 n+2
（3）请证明（2）中的结论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
√ 1 √1
【解答】解：（1） 4+ =5 ；
6 6
√ 1 √ 1
（2） n+ =（n+1） ；
n+2 n+2
√ 1
（3） n+
n+2
√n2+2n 1
= +
n+2 n+2
√n2+2n+1
=
n+2
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√(n+1) 2
=
n+2
√ 1
＝（n+1） ．
n+2
√ 1 √1
故答案为：（1） 4+ =5 ；
6 6
√ 1 √ 1
（2）） n+ =（n+1） ．
n+2 n+2
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得
出其规律并根据规律进行求解即可．
18
