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专题07 二次根式
一、二次根式的基本性质与化简
【高频考点精讲】
1．二次根式有意义的条件
（1）二次根式中的被开方数必须是非负数；
（2）如果所给式子中含有分母，那么除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。
2．二次根式的基本性质
（1） ≥0； a≥0（双重非负性）。
（2）（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）。
（3） ＝ ＝
3．二次根式的化简
（1）利用二次根式的基本性质进行化简。
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
＝ • （a≥0，b≥0） ＝ （a≥0，b＞0）
【热点题型精练】
1．（2022•雅安中考）使 有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵ 有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2，
答案：B．
2．（2022•绥化中考）若式子 +x﹣2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≤﹣1且x≠0
解：∵x+1≥0，x≠0，
∴x≥﹣1且x≠0，
答案：C．
3．（2022•日照中考）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x ≤ ．
解：由题意得：3﹣2x≥0，
解得：x≤ ，
答案：x≤ ．
4．（2022•常德中考）要使代数式 有意义，则x的取值范围为 x ＞ 4 ．
解：由题意得：x﹣4＞0，
解得：x＞4，
答案：x＞4．
5．（2021•杭州中考）下列计算正确的是（ ）
A． ＝2 B． ＝﹣2 C． ＝±2 D． ＝±2
解：A. ，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意，
答案：A．
6．（2022•聊城中考）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式 v＝ 进行计算，其中a为子弹的加速度，s
为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A．0.4×103m/s B．0.8×103m/s C．4×102m/s D．8×102m/s
解：v＝ ＝ ＝8×102（m/s），
答案：D．7．（2022•广西中考）化简： ＝ 2 ．
解： ＝ ＝ ＝2 ．
答案：2 ．
8．（2022•遂宁中考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ 2 ．
解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣ +
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2
答案：2
二、同类二次根式及分母有理化
【高频考点精讲】
1．同类二次根式
（1）一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么把这几个二次根式叫做同类
二次根式。
（2）合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变。
2．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去，分母有理化是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方
差公式。
① ＝ ＝ ； ② ＝ ＝ ．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式互为有理化因式。
【热点题型精练】
9．（2022•泉州模拟）下列二次根式中，不能与 合并的是（ ）A． B． C． D．
解：A、 ＝2 ，不符合题意；
B、 ＝3 ，符合题意；
C、 ＝3 ，不符合题意；
D、 ＝4 ，不符合题意．
答案：B．
10．（2022•广安模拟）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则a＝ 5 ．
解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴3a﹣8＝17﹣2a，解得：a＝5．
答案：5．
11．（2022•上海模拟）在下列各式中，二次根式 的有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
解：∵ × ＝a﹣b，
∴二次根式 的有理化因式是： ．
答案：C．
12．（2022•荆州模拟）若x为实数，在“（ +1）□x”的“□”中添上一种运算符号（在“+，﹣，×，÷”中
选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ）
A． B． ﹣1 C． D．
解：A．（ +1）﹣（ +1）＝0，故本选项不合题意；
B．（ +1）﹣ ＝1，故本选项不合题意；
C．（ +1）与2 无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意；
D．（ +1）（1﹣ ）＝﹣2，故本选项不合题意．答案：C．
13．（2022•随州模拟）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ＝ ＝7+4
，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ﹣
，设x＝ ﹣ ，易知 ＞ ，故x＞0，由x2＝（ ﹣ ）2＝3+
+3﹣ ﹣2 ＝2，解得x＝ ，即 ﹣ ＝ ．根据以上方法，化简
+ ﹣ 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
解：设x＝ ﹣ ，且 ＞ ，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3 ﹣2 +6+3 ，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝ ，
∵ ＝5﹣2 ，
∴原式＝5﹣2 ﹣
＝5﹣3 ，
答案：D．
14．（2022•南京模拟）计算 的结果是 +1 ．解：原式＝ ＝ ＝ +1．
答案： +1．
15．（2022•黄石模拟）观察下列等式：
第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1；
1
第2个等式：a ＝ ＝ ﹣ ；
2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ；
3
第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2；
4
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a ＝ ＝ ﹣ ；
n
（2）a +a +a +…+a ＝ ﹣ 1 ．
1 2 3 n
解：（1）∵第1个等式：a ＝ ＝ ﹣1，
1
第2个等式：a ＝ ＝ ﹣ ，
2
第3个等式：a ＝ ＝2﹣ ，
3
第4个等式：a ＝ ＝ ﹣2，
4
∴第n个等式：a ＝ ＝ ﹣ ；
n
（2）a +a +a +…+a
1 2 3 n
＝（ ﹣1）+（ ﹣ ）+（2﹣ ）+（ ﹣2）+…+（ ﹣ ）
＝ ﹣1．
答案： ＝ ﹣ ； ﹣1
三、二次根式混合运算与化简求值
【高频考点精讲】1．与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；
2．在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”。
【热点题型精练】
16．（2022•湖北中考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、 与 不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
答案：D．
17．（2022•安顺中考）估计（ + ）× 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
解：原式＝2+ ，
∵3＜ ＜4，
∴5＜2+ ＜6，
答案：B．
18．（2022•泰安中考）计算： • ﹣3 ＝ 2 ．
解：原式＝ ﹣3×
＝4 ﹣2
＝2 ，
答案：2 ．
19．（2022•荆州中考）若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+ a）•b的值是 2 ．解：∵1＜ ＜2，
∴1＜3﹣ ＜2，
∵若3﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝1，b＝3﹣ ﹣1＝2﹣ ，
∴（2+ a）•b＝（2+ ）（2﹣ ）＝2，
答案：2．
20．（2022•内蒙古中考）已知x，y是实数，且满足y＝ + + ，则 的值是 ．
解：∵y＝ + + ，
∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x＝2，y＝ ，
则原式＝ × ＝ ＝ ，
答案：
21．（2022•甘肃中考）计算： × ﹣ ．
解：原式＝ ﹣2
＝﹣ ．
22．（2022•济宁）已知a＝2+ ，b＝2﹣ ，求代数式a2b+ab2的值．
解：∵a＝2+ ，b＝2﹣ ，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2+ ）（2﹣ ）（2+ +2﹣ ）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4＝﹣4
四、二次根式的应用
【高频考点精讲】
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念，性质和运算方法。
【热点题型精练】
23．（2022•淄博模拟）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，则图中
空白部分的面积为（ ）cm2．
A．2 +1 B．1 C．8 ﹣6 D．6 ﹣8
解：如图．
由题意知： （cm2）， ．
∴HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝ ．
∴S空白部分 ＝S矩形HLFG +S矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（3﹣ ）×
＝ （cm2）．
答案：D．
24．（2022•苏州模拟）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可由公式S＝ 求得，其
中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a＝3，b+c＝5，
则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
解：∵三角形的边长满足a＝3，b+c＝5，
∴p＝ （a+b+c）＝4，
∴c＝5﹣b，
∴S＝
＝
＝2
＝2 ，
当b＝ 时，S有最大值为2 ＝3，
答案：B．
25．（2022•济南模拟）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边
上，正三角形和正方形的面积分别是2 和2，则图中阴影部分的面积是 2 ．
解：设正三角形的边长为a，则 a2× ＝2 ，
解得a＝2 ．
则图中阴影部分的面积＝2 × ﹣2＝2．
答案：2．26．（2022•九江模拟）俊俊和霞霞共同合作将一张长为 ，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次），裁剪
出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是1”；俊俊说：
“有一个等腰三角形的腰长是 ﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 1 或 或 2 ﹣ ．
解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是 或 ；
如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．
答案：1或 或2﹣ ．
