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专题 09 一次函数
1．一次函数与正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是
一次函数的特例，具有一次函数的性质.
2．一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到.它与x
( b )
− ,0
k
轴的交点为 ，与y轴的交点为(0,b).
3．一次函数的图象与性质
系数取 大致
函数 经过的象限 函数性质
值 图象
y=kx k>0 一、三 y随x增大而增大
(k≠0) k<0 二、四 y随x增大而减小
k>0
一、二、三
b>0
y随x增大而增大
k>0
y=kx+b 一、三、四
b<0
k<0
(k≠0)
一、二、四
b>0
y随x增大而减小
k<0 二、三、四b<0
4．确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
【考点1】一次函数图象与性质
【例1】（一次函数图像）（2022·安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的
图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分为 和 两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当 时，两个函数的函数值： ，即两个图像都过点 ，故选项A、C不符
合题意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、三象限，一次函数 经过一、二、三象限，
都与 轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、四象限，与 轴正半轴有交点，一次函数
经过一、三、四象限，与 轴负半轴有交点，故选项D符合题意．故选：D．
【例2】（一次函数图像性质）（2021·辽宁营口市·中考真题）已知一次函数 过点 ，则
下列结论正确的是（ ）A．y随x增大而增大 B．
C．直线过点 D．与坐标轴围成的三角形面积为2
【分析】将点 代入一次函数解析式，求出k的值，利用一次函数的图象与性质逐一判断即可．
【详解】
解：∵一次函数 过点 ，
∴ ，解得 ，
∴一次函数为 ，y随x增大而减小，故A和B错误；
当 时， ，故C正确；
该一次函数与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
∴与坐标轴围成的三角形面积为 ，故D错误；
故选：C．
【例3】（一次函数图像性质）（2022·浙江绍兴）已知 为直线 上的三个
点，且 ，则以下判断正确的是（ ）．
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线y=−2x+3
∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x，y)，(x，y)，(x，y)为直线y=−2x+3上的三个点，且x0，则x，x 同号，但不能确定yy 的正负，故选项A不符合题意；
1 2 1 2 1 3
若xx<0，则x，x 异号，但不能确定yy 的正负，故选项B不符合题意；
1 3 1 3 1 2若xx>0，则x，x 同号，但不能确定yy 的正负，故选项C不符合题意；
2 3 2 3 1 3
若xx<0，则x，x 异号，则x，x 同时为负，故y，y 同时为正，故yy>0，故选项D符合题意．
2 3 2 3 1 2 1 2 1 2
故选：D．
解答本考点的有关题目，关键在于掌握一次函数的图象与系数的关系. 注意以下要点：
（1）当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
（2）当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
（3）当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
（4）当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小.
1．（2022·四川凉山）一次函数y＝3x＋b（b≥0）的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据一次函数的性质可得其经过的象限，进而可得答案．
【详解】解：一次函数 ，
∵ ∴图象一定经过一、三象限，
∴当 时，函数图象一定经过一、二、三象限，
当 时，函数图象经过一、三象限，
∴函数图象一定不经过第四象限，故D正确．故选：D．
2．（2022·内蒙古包头）在一次函数 中，y的值随x值的增大而增大，且 ，则点
在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．
【详解】∵在一次函数 中，y的值随x值的增大而增大，∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，∴点 在第三象限，故选：B
3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求得解析式即可判断．
【详解】∵函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），
∴2＝a+a，解得a＝1，
∴y＝x+1，
∴直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），
故选：A．
4．（2021·江苏连云港市·中考真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的
一个特征．
甲：函数图像经过点 ； 乙：函数图像经过第四象限； 丙：当 时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：A.对于 ，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点 ；函数图象经过二、四象限；当
时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于 ，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点 ；函数图象分布在一、三象限；当 时，
y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；C.对于 ，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点 ；函数图象分布在一、二象限；当 时，y
随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于 ，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点 ；函数图象经过二、四象限；当 时，y
随x的增大而增大．故选项D符合题意；
5．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．
【详解】由题意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
故选：B．
6．（2022·天津）若一次函数 （b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是
___________（写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一，满足 即可）
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴
故答案为：1答案不唯一，满足 即可）
7．（2022·甘肃武威）若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=_________（写
出一个满足条件的值）．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k＞0，写出一个正数即可．【详解】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大，
∴k＞0，∴k=2（答案不唯一）．
故答案为：2（答案不唯一）．
【考点2】一次函数解析式的确定
【例4】（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）某物体在力 的作用下，沿力的方向移动的距离
为 ，力对物体所做的功 与 的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意及图象可设该函数解析式为 ，然后把 代入求解即可．
【详解】
20,160
解：由题意及图象可设该函数解析式为 ，则把 代入得：
20k 160，解得：k =8，
∴该函数解析式为W 8S ；
故选C．
【例5】（2022·四川广安）在平面直角坐标系中，将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的
函数的解析式是（ ）
A．y=3x+5 B．y=3x﹣5 C．y=3x+1 D．y=3x﹣1
【答案】D
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律即可求解．
【详解】解：将函数y=3x +2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析式是y=3x﹣1,
故选：D【例6】（2022·浙江丽水）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车
从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是 ．两车离甲
地的路程 与时间 的函数图象如图．
（1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程 与时间 的函数表达式；
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
【答案】(1)1.5(2)s=100t-150(3)1.2
【分析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a的值；
（2）将（a，0）和（3，150）代入s=kt+b中，待定系数法解出k和b的值即可；
（3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案．
(1)由图中可知，货车a小时走了90km，
∴a= ；
(2)设轿车离甲地的路程 与时间 的函数表达式为s=kt+b，
将（1.5，0）和（3，150）代入得，
，解得， ，
∴轿车离甲地的路程 与时间 的函数表达式为s=100t-150；
(3)将s=330代入s=100t-150，解得t=4.8，
两车相遇后，货车还需继续行驶： h，
到达乙地一共：3+3=6h，6-4.8=1.2h，
∴轿车比货车早1.2h时间到达乙地．1．（2022·四川泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形
ABEF是菱形，且tan∠ABE= ．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，
则直线l的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，利用三角函数求得EG=8，BG 6，AG=4，再求得点E的坐标为(4，
12)，根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，根据中点坐标
公式以及待定系数法即可求解．
【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G，
∵矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，
∴AB=BE=10，点D的坐标为(0，4)，点C的坐标为(10，0)，
在Rt△BEG中，tan∠ABE= ，BE=10，∴sin∠ABE= ，即 ，∴EG=8，BG= 6，∴AG=4，∴点E的坐标为(4，12)，
根据题意，直线l经过矩形OABC的对角线的交点H和菱形ABEF的对角线的交点D，
点H的坐标为( ， )，点D的坐标为( ， )，
∴点H的坐标为(5，2)，点D的坐标为(2，8)，设直线l的解析式为y=kx+b，
把(5，2)，(2，8)代入得 ，解得： ，
∴直线l的解析式为y=-2x+12，故选：D．
2．（2021·内蒙古呼和浩特市）在平面直角坐标系中，点 ， ．以 为一边在第一象限作
正方形 ，则对角线 所在直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点 作 轴于点 ，先证明 ，再由全等三角形对应边相等的性质
解得 ，最后由待定系数法求解即可．
【详解】解：正方形 中，过点 作 轴于点 ，
设直线 所在的直线解析式为 ，
代入 ， 得，
故选：A．
3．（2022·黑龙江大庆）写出一个过点 且y随x增大而减小的一次函数关系式_______．
【答案】y=-x+1（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的性质，k＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小，然后解答即可．
【详解】解：∵函数值y随自变量x的增大而减小，
∴设一次函数关系式为y=-x+b，
把点（0，1）代入得，b=1，∴一次函数关系式为y=-x+1．
故答案为：y=-x+1（答案不唯一）．
4．（2022·湖北鄂州）在“看图说故事”话动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育
场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时
间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 km，小明跑步的平均速度为 km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．【答案】(1)2.5； ；
(2)
(3)当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min
【分析】（1）根据函数图象结合路程=时间×速度进行求解即可；
（2）分当 时和当 时两种情况讨论求解即可；
（3）分当小明处在去体育馆的途中离家2km时，当小明从体育馆去商店途中离家2kn时两种情况讨论求
解即可．
【解析】(1)解：由函数图象可知小明在离家15分钟时到底体育馆，此时离家的距离为2.5km，
∴小明家离体育馆的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为 ，
故答案为：2.5； ；
(2)
解：由函数图象可知当 时， ，
当 时，此时y是关于x一次函数，设 ，
∴ ，
解得 ，
∴此时 ，
综上所述，
(3)
解：当小明处在去体育馆的途中离家2km时，
；
当小明从体育馆去商店途中离家2km时，∴ ，
解得 ；
综上所述，当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或37.5min．
【考点3】一次函数与方程、不等式的关系
【例7】（一次函数与方程）（2022·浙江杭州）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交
点坐标是（1，2），则方程组 的解是_________．
【答案】
【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），
∴联立y=3x-1与y=kx的方程组 的解为： ，
即 的解为： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的
关系是解题的关键．
【例8】（一次函数与不等式）（2022·江苏扬州）如图，函数 的图像经过点 ，则关于
的不等式 的解集为________．【答案】
【分析】观察一次函数图象，可知当y>3时，x的取值范围是 ，则 的解集亦同．
【详解】由一次函数图象得，当y>3时， ，
则y=kx+b>3的解集是 ．
1．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，直线 和 与x轴分别相交于点 ，点
，则 解集为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】根据图像以及两交点 ，点 的坐标得出即可．
【详解】解：∵直线 和 与x轴分别相交于点 ，点 ，
∴观察图像可知 解集为 ，
故选：A．
2．（2021·广西贺州市·中考真题）直线 （ ）过点 ， ，则关于 的方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】关于 的方程 的解为函数 的图象与x轴的交点的横坐标，由于直线
过点A(2,0)，即当x=2时，函数 的函数值为0，从而可得结论．
【详解】直线 （ ）过点 ，表明当x=2时，函数 的函数值为0，即方程
的解为x=2．
故选：C．
3．（2021·福建中考真题）如图，一次函数 的图象过点 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先平移该一次函数图像，得到一次函数 的图像，再由图像即可以判断出
的解集．
【详解】解：如图所示，将直线 向右平移1个单位得到 ，该图
像经过原点，
由图像可知，在y轴右侧，直线位于x轴上方，即y>0，
因此，当x>0时， ，
故选：C．4．（2021·湖北鄂州市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 与直
线 相交于点 ．根据图象可知，关于 的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可．
【详解】解：由题意可知，
当 时，
直线 的图像位于直线 图像的上方，
即关于 的不等式 的解集为： ．
故选：C．
5．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线 不经过第一象限，则关于
的方程 的实数根的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个【答案】D
【分析】直线 不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根．
【详解】∵直线 不经过第一象限，
∴m=0或m＜0，
当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；
当m＜0时，方程 是一元二次方程，且△= ，
∵m＜0，
∴-4m＞0,
∴1-4m＞1＞0,
∴△＞0,
故方程有两个不相等的实数根，
综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，
故选D．
【考点4】一次函数的实际应用
1
【例9】（几何运用）如图，直线l 的解析式为y= x+1，且l 与x轴交于点D，直线l 经过定点A、B，直
1 2 1 2
线l 与l 交于点C．
1 2
（1）求直线的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理
由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l 的函数解析式；
2
（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解；
（3）求得C关于y轴的对称点，然后求得经过这个点和B点的直线解析式，直线与x轴的交点就是E．
【详解】解：（1）设l 的解析式是y＝kx+b，
2
{4k+b=0 {k=−1
根据题意得： ，解得 ，
−k+b=5 b=4
则函数的解析式是：y＝﹣x+4；
1
（2）在y= x+1中令y＝0，
2
1
即y= x+1＝0，解得：x＝﹣2，
2
则D的坐标是（﹣2，0）．
{y=−x+4
{x=2
解方程组 1 ，解得 ，
y= x+1 y=2
2
则C的坐标是（2，2）．
1 1
则S = ×AD×y = ×6×2＝6；
△ADC 2 C 2
（3）存在，理由：
设C（2，2）关于y轴的对称点C′（2，﹣2），
连接BC′交x轴于点E，则点E为所求点，
△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+C′E＝BC+BC′为最小，7
{m=−
{2m+n=−2 3
设经过（2，﹣2）和B的函数解析式是y＝mx+n，则 ，解得： ，
−m+m=5 8
n=
3
7 8
则直线的解析式是y=− x+ ，
3 3
7 8 8
令y＝0，则y=− x+ =0，解得：x= ．
3 3 7
8
则E的坐标是（ ，0）．
7
【例10】（路程问题）（2022·浙江湖州）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．
大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知大巴行驶的速度是40千米/小时，轿车
行驶的速度是60千米/小时．
（1）求轿车出发后多少小时追上大巴？此时，两车与学校相距多少千米？
（2）如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的
函数关系的图象．试求点B的坐标和AB所在直线的解析式；
（3）假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值．
【答案】(1)轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米
(2)点B的坐标是 ，s＝60t－60(3) 小时
【分析】(1)设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为 小时，根据路程两车行驶的路程相等
得到 即可求解；
(2)由(1)中轿车行驶的时间求出点B的坐标是 ，进而求出直线AB的解析式；(3)根据大巴车行驶路程与小轿车行驶路程相等即可得到 ，进而求出a的值
(1)解：设轿车行驶的时间为x小时，则大巴行驶的时间为 小时．
根据题意，得: ,
解得x＝2．
则 千米，
∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距120千米．
(2)解：∵轿车追上大巴时，大巴行驶了3小时，
∴点B的坐标是 ．
由题意，得点A的坐标为 ．
设AB所在直线的解析式为 ，
则：
解得k＝60，b＝－60．
∴AB所在直线的解析式为s＝60t－60．
(3)解：由题意，得 ，
解得： ，
故a的值为 小时．
【例11】（最大利润）（2021·江苏连云港市）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A
型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的 ，请设计出最
省钱的购买方案，并求出最少费用．
【分析】
（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间
的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．
【详解】
解：（1）设 种消毒液的单价是 元， 型消毒液的单价是 元．
由题意得： ，解之得， ，
答： 种消毒液的单价是7元， 型消毒液的单价是9元．
（2）设购进 种消毒液 瓶，则购进 种 瓶，购买费用为 元．
则 ，
∴ 随着 的增大而减小， 最大时， 有最小值．
又 ，∴ ．
由于 是整数， 最大值为67，
即当 时，最省钱，最少费用为 元．
此时， ．
最省钱的购买方案是购进 种消毒液67瓶，购进 种23瓶．
1．（2022·黑龙江牡丹江）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级
通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带
一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两
组的所走路程y （千米）、y （千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供
甲 乙
的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了___小时；
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多
少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计
算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
【答案】(1)1.9(2)270(3)按图象所表示的走法符合约定，理由见解析
【分析】（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间
为1.9时．（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，从而
求得直线EF和直线BD的解析式，即可求出B点的坐标．（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在
B和D相距最远，在两点处时， ，分别同25比较即可．
(1)4.9-3=1.9小时；故答案为：1.9
(2)设直线EF的解析式为y =kx+b，
乙
∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，
∴ ，解得 ．
∴直线EF的解析式是y =80x﹣100．
乙
∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，
∴点C的纵坐标为80×6﹣100=380．
∴点C的坐标是（6，380）．
设直线BD的解析式为y =mx+n；
甲
∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，∴ ，解得 ．
∴BD的解析式是y =100x﹣220．
甲
∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y 得B（4.9，270），
甲
∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
(3)符合约定．理由如下：
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，
在点B处有y ﹣y =80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米，
乙 甲
在点D有y ﹣y =100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米，
甲 乙
∴按图象所表示的走法符合约定．
2．（2022·黑龙江牡丹江）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，
y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐
标．
【答案】（1）C（0，6）．（2）y= x+6．（3）P（4，3），P（ ）P（ ），P（
1 2 3 4
）．
【详解】试题分析：（1）通过解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．则C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的
方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（3）需要分类讨论：PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标．根据等腰三角形的性质、两点间的距离
公式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答．试题解析：（1）解方程x2-14x+48=0得x=6，x=8
1 2
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根
∴OC=6，OA=8∴C（0，6）
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0） 由（1）知，OA=8，则A（8，0）
∵点A、C都在直线MN上
∴ 解得 ，∴直线MN的解析式为y=- x+6
（3）
∵A（8，0），C（0，6）∴根据题意知B（8，6）
∵点P在直线MN y=- x+6上∴设P（a，-- a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P（4，3）；
1
②当PC=BC时，a2+（- a+6-6）2=64
解得，a=± ，则P（- ， ），P（ ， ）
2 3
③当PB=BC时，（a-8）2+（- a+6-6）2=64
解得，a= ，则- a+6=- ∴P（ ， ）
4
综上所述，符合条件的点P有：P（4，3），P(- ， )，P( ， )，P（ ，- ）
1 2 3 4
3．（2020•乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成
都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
车型 每车限载人数（人） 租金（元/辆）商务车 6 300
轿车 4
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的
情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？
【分析】（1）设租用一辆轿车的租金为x元，根据“单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320
元”列方程解答即可；
（2）分三种情况讨论：①只租用商务车；②只租用轿车；③混和租用两种车．分别求出每种情况所需
租金，再比较大小即可解答．
【解析】（1）设租用一辆轿车的租金为x元，
由题意得：300×2+3x＝1320，
解得 x＝240，
答：租用一辆轿车的租金为240元；
（2）①若只租用商务车，
34 2
∵ =5 ，
6 3
∴只租用商务车应租6辆，所付租金为300×6＝1800（元）；
②若只租用轿车，
34
∵ =8.5，
4
∴只租用轿车应租9辆，所付租金为240×9＝2160（元）；
③若混和租用两种车，设租用商务车m辆，租用轿车n辆，租金为W元．
{ 6m+4n=34
由题意，得 ，
W =300m+240n
由6m+4n＝34，得 4n＝﹣6m+34，
∴W＝300m+60（﹣6m+34）＝﹣60m+2040，
∵﹣6m+34＝4n≥0，
17
∴m≤ ，
3
∴1≤m≤5，且m为整数，∵W随m的增大而减小，
∴当m＝5时，W有最小值1740，此时n＝1．
综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．
4．（2021·云南中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线 ，射线 分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资 （单位：
元）和 （单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（ ）的函数关系．
（1）分别求 ﹑ 与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这
个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】
（1）根据图像中l 和l 经过的点，利用待定系数法求解即可；
1 2
（2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可．
【详解】
解：（1）根据图像，l 经过点（0，0）和点（40，1200），
1
设 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴l 的解析式为 ，
1
设 的解析式为 ，
由l 经过点（0，800），（40，1200），
2
则 ，解得： ，
∴l 的解析式为 ；
2
（2）方案一： ，即 ，
解得： ；
方案二： ，即 ，即 ，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资．
