第3课时 二次根式
1.(2024·云南)若❑√x在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为 ( )
A.x≥0 B.x≤0 C.x>0 D.x<0
√ 14
2.(2024·唐山三模)化简❑2 的结果为 ( )
25
8 6 2❑√7 ❑√7
A. B. C. D.
5 5 5 5
3.(2024·湖南)计算❑√2×❑√7的结果是 ( )
A.2❑√7 B.7❑√2 C.14 D.❑√14
4.(2024·石家庄新华区模拟)下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ( )
√1
A.❑ B.❑√5 C.❑√4 D.❑√0.8
2
5.(2024·济宁)下列运算正确的是 ( )
A.❑√2+❑√3=❑√5 B.❑√2×❑√5=❑√10
C.2÷ =1 D. =-5
❑√2 ❑√(-5)2
6.(2024·邯郸丛台区模拟)已知a= ,b= ,则√2b2= ( )
❑√2 ❑√6 ❑
a2
A.❑√6 B.❑√5 C.❑√3 D.❑√2
√ 1
7.将a❑- 根号外的因式移到根号内,得 ( )
a
A.❑√-a B.-❑√-a
C.-❑√a D.❑√a
8.(2024·河北三模)若a= ,则计算 的结果正确的是 ( )
❑√10 ❑√200a2
A.20❑√5 B.±20❑√5
C.±100❑√2 D.100❑√2
9.(2024·河北二模)已知a=❑√10,下面关于a的计算正确的是 ( )
A. =10 B.( )2=10
❑√a2 ❑√aC. = D.(- )2=-
❑√(-a)2 ❑√10 ❑√a ❑√10
10.(2024·河北二模)若❑√2x+❑√2y+❑√2z=❑√6,则2x+2y+2z的值为 ( )
A.❑√3 B.❑√6 C.2❑√3 D.2❑√6
11.(2024·邯郸模拟)现将一个面积为300 cm2的正方形的一组对边缩短8❑√3 cm,就成为一个矩形,
这个矩形的面积为 ( )
A.80 cm2 B.72 cm2
C.60 cm2 D.30 cm2
12.(2024·邯郸邱县一模)已知a=❑√2+1,b=❑√2-1,则❑√ab+7的值为 ( )
A.❑√2 B.2❑√2 C.❑√3 D.3
13.(2024·天津)计算(❑√11+1)(❑√11-1)的结果为 .
3
14.(2024·烟台)若代数式 在实数范围内有意义,则x的取值范围为 .
❑√x-1
15.(2024·唐山古冶区三模)若❑√a+❑√3=3❑√3,则a= .
16.(2024·威海)计算:❑√12-❑√8×❑√6= .
17.(2024·石家庄桥西区三模)若❑√10-a是整数,写出一个满足条件的正整数a的值: .
18.已知❑√19-2的整数部分是m,小数部分是n,则m= ,n= .
√3
19.(2024·兰州)计算:❑√27-❑ ×❑√8.
2
√3
20.(2024·甘肃)计算:❑√18-❑√12×❑ .
2
21.计算: ×√1-(-4)2 026×(1) 2 025.
❑√27 ❑
3 4
22.(2024·石家庄藁城区二模)已知两个实数:❑√3和❑√2.❑√2
(1)计算: .
❑√3
(2)若m为正整数,❑√3与❑√2这两个数的平方和小于m,求m的最小值.
1.(2024·石家庄一模)不等式x-1<❑√6的正整数解的个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.已知m=( ❑√3)×(-2 ),则有 ( )
- ❑√21
3
A.-6<m<-5 B.-5<m<-4 C.4<m<5 D.5<m<6
3.(2024·保定二模)若a+❑√12=❑√27,则表示实数a的点会落在数轴的 ( )
A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上
4.(2024·石家庄平山县一模)下列算式结果最小的是 ( )
A.❑√3+(-2❑√3) B.❑√3-(-2❑√3)
C.❑√3×(-2❑√3) D.❑√3÷(-2❑√3)
❑√75-3
5.(2024·邢台威县三模)计算 ×(5+❑√3)的结果是 ( )
❑√3
A.2 B.22 C.25+2❑√3 D.25-2❑√3
6.(2024·邯郸三模)如图,将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为❑√8π,宽为❑√2π的矩形,若将这根铁
丝展开重新首尾相接围成一个圆形,则该圆的面积是 ( )
A.12π B.18π C.24π D.36π
7.若a❑√2-❑√b=❑√2,且b是2π+2的整数部分,则a的值是 .❑√a+b ❑√3+2
8.对于任意两个不相等的数a,b,定义一种新运算“⊕”如下:a⊕b= .如3⊕2= =❑√5,那
❑√a-b ❑√3-2
么
12⊕4= .
9.在如下方格中,若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果,则2个空格的实数之
积为 .
3❑√2 2 ❑√3
1 6
3 ❑√2
10.(2024·石家庄模拟)我市某中学举办剪纸艺术大赛,要求参赛作品的面积在20 dm2以上.如图是
小悦同学的参赛作品(单位:dm).
(1)小悦的作品是否.符合参赛标准? (填“是”或“否”)
(2)小涵给小悦提出建议:在参赛作品周围贴上金色彩条,这样参赛作品更漂亮,则需要彩条的长度
约为 dm.(彩条的宽度忽略不计,结果保留一位小数,参考数据:❑√2≈1.41)【详解答案】
基础夯实
1.A 解析:∵❑√x在实数范围内有意义,∴x≥0.故选A.
√ 14 √64 8
2.A 解析:❑2 =❑ = .故选A.
25 25 5
3.D 解析:❑√2×❑√7=❑√14.故选D.
√1 ❑√2
4.B 解析:A.❑ = ,不是最简二次根式,故此选项错误;
2 2
B.❑√5是最简二次根式,故此选项正确;
C.❑√4=2,不是最简二次根式,故此选项错误;
√4 2❑√5
D.❑√0.8=❑ = ,不是最简二次根式,故此选项错误.故选B.
5 5
5.B 解析:选项A:❑√2和❑√3不是同类二次根式,不能合并,不合题意;
选项B:❑√2×❑√5=❑√10,正确,符合题意;
选项C:2÷❑√2=❑√2≠1,∴C错误,不合题意;
选项D:∵ ≥0,∴ =5,故D错误,不合题意.故选B.
❑√a ❑√(-5)2
6.A 解析:√2b2 ·|b| ·|❑√6| .故选A.
❑ =❑√2 =❑√2 =❑√6
a2 a ❑√2
7.B 解析:a ❑ √ - 1=- ❑ √ a2× ( - 1)=- ❑√-a .故选B.
a a
8.A 解析:∵a=❑√10,∴a2=10,
∴ =20 .故选A.
❑√200a2=❑√200×10=❑√100×4×5 ❑√5
9.C 解析:A. =|a|= ,故本选项计算错误,不符合题意;
❑√a2 ❑√10
B.(❑√a)2=a=❑√10,故本选项计算错误,不符合题意;
C. =|a|= ,故本选项计算正确,符合题意;
❑√(-a)2 ❑√10
D.(-❑√a)2=a=❑√10,故本选项计算错误,不符合题意.故选C.
10.C 解析:∵❑√2x+❑√2y+❑√2z=❑√6,
∴❑√2(x+y+z)=❑√6,
∴x+y+z=❑√3,∴2x+2y+2z=2(x+y+z)=2❑√3.故选C.
11.C 解析:∵正方形面积为300 cm2,
∴正方形边长为❑√300=10❑√3 cm,
将其一组对边缩短8❑√3 cm,
即这组对边长度变为10❑√3-8❑√3=2❑√3(cm),
∴矩形面积为2❑√3×10❑√3=60(cm2).故选C.
12.B 解析:∵a=❑√2+1,b=❑√2-1,
∴ab=(❑√2+1)(❑√2-1)
=2-1
=1,
∴❑√ab+7=❑√8=2❑√2.故选B.
13.10 解析:原式=(❑√11)2-12=11-1=10.
3
14.x>1 解析:∵代数式 在实数范围内有意义,∴x-1>0,解得x>1.
❑√x-1
15.12 解析:由题意可得,❑√a=3❑√3-❑√3=2❑√3=❑√12,∴a=12.
16.-2❑√3 解析:原式=2❑√3-❑√48=2❑√3-4❑√3=-2❑√3.
17.1(答案不唯一) 解析:由题可知,❑√10-a是整数,
则a=1或a=6或a=9或a=10.故a的值可以为1(答案不唯一).
18.2 ❑√19-4 解析:∵❑√19-2的整数部分是m,小数部分是n,4<❑√19<5,
∴m=2,n=❑√19-2-2=❑√19-4.
19.解:原式=3❑√3-2❑√3=❑√3.
20.解:原式=3❑√2-3❑√2=0.
2 025
21.解:原式=√ 1 [ 1] ×(-4)
❑27× - (-4)×
3 4
=❑√9-(-1)2 025×(-4)
=3-(-1)×(-4)
=3-4
=-1.
❑√2 ❑√2×❑√3 ❑√6
22.解:(1) = = .
❑√3 ❑√3×❑√3 3
(2)由题意得:(❑√3)2+(❑√2)2<m,解得m>5,又∵m为正整数,
∴m的最小值为6.
能力提升1.A 解析:∵x-1<❑√6, ∴x<1+❑√6,
∴不等式的正整数解为1,2,3,共有3个.故选A.
2.D 解析:m=( ❑√3)×(-2 )=2 .
- ❑√21 ❑√7=❑√28
3
∵25<28<36,∴5<❑√28<6,即5<m<6.故选D.
3.B 解析:∵a+❑√12=❑√27,
∴a=❑√27-❑√12=3❑√3-2❑√3=❑√3,
∵❑√1<❑√3<❑√4,
∴1<❑√3<2,即1<a<2,
故表示实数a的点会落在数轴的段②上.故选B.
4.C 解析:❑√3+(-2❑√3)=-❑√3,❑√3-(-2❑√3)=❑√3+2❑√3=3❑√3,
1
❑√3×(-2❑√3)=-6,❑√3÷(-2❑√3)=- .故选C.
2
❑√75-3 5❑√3-3
5.B 解析: ×(5+❑√3)= ×(5+❑√3)=(5-❑√3)×(5+❑√3)=25-3=22.故选B.
❑√3 ❑√3
6.B 解析:这根铁丝的周长为2(❑√8π+❑√2π)=6❑√2π,
6❑√2π
∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形,则半径为 =3❑√2,
2π
∴面积为π(3❑√2)2=18π.故选B.
7.3 解析:∵b是2π+2的整数部分,∴b=8,
∵a❑√2-❑√b=❑√2,
即a❑√2-2❑√2=❑√2,
∴(a-2)❑√2=❑√2,
∴a-2=1,解得a=3.
8. 解析:由题意,得12⊕4=❑√12+4 ❑√16 √16 .
❑√2 = =❑ =❑√2
❑√12-4 ❑√8 8
6❑√6
9.6❑√2 解析:由题意,得第一行三个数的乘积为3❑√2×2×❑√3=6❑√6.∴2个空格的实数之积为 =6❑√2.
❑√3
10.(1)是 (2)19.7 解析:(1)由题意可知,❑√18×❑√32=❑√18×32=24(dm2),
∵24>20,∴小悦的作品符合参赛标准.
(2)由题意可得2×(❑√18+❑√32)
=2×(3❑√2+4❑√2)
=14❑√2≈19.7(dm),
则需要彩条的长度约为19.7 dm.
