文档内容
2026 年中考数学一轮复习精讲精练
模块一 数与式
专题3 二次根式及其运算
知识梳理
【考点一】二次根式的有关概念
概念 定义与条件
二次根式 把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，而√a有意义的条件是a≥0。
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么我们把这样的二次根式叫
做最简二次根式：
最简二次根式
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。
【考点二】二次根式的性质与化简
1.二次根式的性质：
2.二次根式的化简方法：
（1）利用二次根式的基本性质进行化简；
（2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．√ab =√a•√b （a≥0，b≥0），
√a √a
= （a≥0，b＞0）
b √b3.化简二次根式的步骤：
（1）把被开方数分解因式；
（2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术
平方根的积；
（3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【考点三】二次根式的运算
1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：√ab =√a•√b （a≥0，b≥0）.
√a √a
2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： = （a≥0，b＞0）.
√b b
3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.
【口诀】一化、二找、三合并.
4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.
【分母有理化方法】
1 √a √a
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： = =
√a √a•√a a
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.
1 √a+√b √a+√b
即： = = ；
√a−√b (√a−√b)(√a+√b) a−b
5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．
例题讲解
【题型一】二次根式的有关概念
◇典例：下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如 是二次根式，据此
逐项判断即可．
【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义；
B、 为常数 π，不符合二次根式的定义；C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义；
D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义．
故选 ：D．
◆变式训练
下列式子中，不一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，
需判断被开方数是否恒大于等于 ：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项 的被开方数不
恒非负，进而确定其不一定是二次根式．
【详解】解：二次根式定义要求被开方数 ，
： ，被开方数 ，总是二次根式；
： 中 ，故总是二次根式；
： ，当 时， ，无意义，不一定是二次根式；
： 中 ，故总是二次根式．
故选： ．
◇典例2：当 时，下列式子有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”和二次根式有意义的条件“二次根式的被开
方数是非负的”，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根
式的被开方数是非负的逐项判断即可得．
【详解】解：A、当 时，分式 的分母 ，分式无意义，则此项不符合题意；
B、当 时，分式 的分母 ，分式有意义，则此项符合题意；C、当 时，二次根式 的被开方数 ，二次根式无意义，则此项不符合题意；
D、当 时，分式 的分子 的被开方数 ，无意义，则此项不符合题意；
故选：B．
◆变式训练
函数y 中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于0，
分母不等式0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得， ，
解得 ．
故选：A．
◇典例3：下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√4
A．√32 B．√0.4 C． D．√15
3
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：A. √32=4√2，不是最简二次根式；
√10
B. √0.4= ，不是最简二次根式；
5
√4 2
C. = √3，不是最简二次根式；
3 3
D. √15是最简二次根式；
故选D．
◆变式训练
下列各式中，最简二次根式为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．即被开方数中不
含开方开的尽的数或因式是最简二次根式．先化简各二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得结果．
【详解】A、 ，是最简二次根式，故本选项正确；
B、 ，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、 中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、 ，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A．
◇典例4：若最简二次根式 与 能合并，则k的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 能合并，
∴ ，
解得： ．
故选：C
◆变式训练
下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是 （ ）
√1
A．√6 B．√81 C． D．√18
3
【答案】C
【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和√3是同类二次根式．
【详解】A．√6与√3不是同类二次根式，故该选项错误；
B．√81=9与√3不是同类二次根式，故该选项错误；
√1 √3
C． = 与√3是同类二次根式，故该选项正确；
3 3
D．√18=3√2与√3不是同类二次根式，故该选项错误；
故选：C．
【题型二】二次根式的性质与化简
◇典例1：若 ，则a的值可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：
，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值可以是 ．
故选：D．
◆变式训练
化简： ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的化简，直接根据二次根式的性质 求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：5．◇典例2：下列计算正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质和运算法则逐项判断即可求解，掌握以
上知识点是解题的关键．
【详解】解： 、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项错误，不合题意；
、 ，该选项正确，符合题意；
故选： ．
◆变式训练
下列各式中，对任意实数a都成立的是（ ）
A． B． C． D．若 ，则
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
利用二次根式有意义的条件和二次根式的性质即可判断．
【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意；
B.当 时，该选项不成立，不符合题意；
C. 当 时，该选项不成立，不符合题意；
D. 当 时，取 ，此时 成立，但 在实数范围内无意义，故该选项不成立，不
符合题意；
故选：A．
◇典例3：已知x，y为实数，若满足 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9【答案】D
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出 ，是
解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出 ，由此得到y的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
◆变式训练
若代数式 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：
且 ，求解即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ 且 ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
【题型三】二次根式的运算
◇典例1：计算： ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握相关运算法则是解题关键．先计算除法，再计算乘法即可．
【详解】解：故答案为： ．
◆变式训练
计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是
解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
◇典例2：下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的化简步骤和运
算法则．
利用二次根式的化简步骤和运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A. ，不是同类二次根式无法合并，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意；
故选：B．◆变式训练
已知 ，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法
是解决此题的关键．先求出 ，即可求出m的范围．
【详解】解：∵ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
◇典例3：计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用二次根式乘法法则计算，化简后合并即可得到结果．熟练掌
握二次根式的加减乘除运算法则是关键．
【详解】解： ，
故选：D．
◆变式训练
计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先逆用积的乘方，进行平方差公式的计算，再去括号，合并同类
二次根式即可．【详解】解：原式 ；
故答案为： ．
◇典例4：已知实数x满足√(2021−x) 2+√x−2022=x，求x−20212的值．
【答案】2022
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先根据二次根式有意义的条件得到x≥2022，据此化简二
次根式得到x−2022=20212，则x−20212=2022．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知x−2022≥0，即x≥2022，
∵√(2021−x) 2+√x−2022=x，
∴x−2021+√x−2022=x，
∴√x−2022=2021，
∴x−2022=20212，
∴x−20212=2022．
◆变式训练
已知 ， ．
(1)求 的值．
(2)若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求
出a、b的值是解此题的关键．
（1）先进行分母有理化，再求 和 的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可；
（2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，，
∴ ， ，
∴
；
（2）∵ ，
∴ ， ，
由（1）知 ， ，
∴ ， ，
∵x的小数部分为a，y的小数部分为b，
∴ ， ，
∴
．
◇典例5：用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为 的矩形纸片“丁”紧密拼接形
成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ）A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为 ，即
可求出丁纸片的长为 ，进而得到乙纸片的边长为 ，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲
纸片的边长．
【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2，
丙纸片的边长为 ，
丁纸片的宽为 ，
∵丁纸片的面积为 ，
丁纸片的长为 ，
乙纸片的边长为 ，
甲纸片的边长为 ，
故选：B．
◆变式训练
据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间 与下落高度 近似满足公式 ，
一物体从 高空自由落下，则关于物体下落的时间 ，说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的应用．掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
先把 代入公式求出t值，再估算其大小即可求解．
【详解】解：把 代入公式，得
，
∵ ，
∴ ，
即 ．
故选：B．
真题在线
一、单选题
1．（2025·西藏·中考真题）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行
求解即可．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
，
，
故选：D．
2．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： （ ）
A．6 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解： ，故选：B．
3．（2025·河北·中考真题）计算： （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
4．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：A． 与 不是同类二次根式，不能合并，运算错误；
B． ，运算正确；
C． ，运算正确；
D． ，运算正确；
故选：A．
5．（2023·河北·中考真题）若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】把 代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．
6．（2025·四川凉山·中考真题）若 ，则 的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根
据非负性，得到关于 的二元一次方程组，两个方程相减后求出 的值，再根据平方根的定义，进行
求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，得： ，
∴ 的平方根是 ；
故选：C．
7．（2023·广东广州·中考真题）如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B
点出发由西向东航行10 到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离
为（ ）A． B． C．20 D．
【答案】D
【分析】连接 ，此题易得 ，得 ，再利用勾股定理计算 即可．
【详解】解：连接 ，
由已知得： ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ （ ），
故选：D
【点睛】此题考查的知识点是勾股定理的应用，直角三角形30度角的性质，关键是掌握勾股定理的计算．
8．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数 ，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从
而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有 个数，则第八行左起第1个数是 ，
故选：C．
二、填空题
9．（2025·湖南·中考真题）化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
10．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出 且 ，即可求解．
【详解】解：依题意， 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
11．（2024·江苏南京·中考真题）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除，根据二次根式的乘除运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是
解此题的关键．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和 ，则其斜边的长为
．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵一个直角三角形两直角边的长分别为1和 ，
∴斜边为 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（2024·甘肃·中考真题）计算： ．
【答案】0
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】 ．
14．（2025·吉林长春·中考真题）先化简．再求值： ，其中 ．
【答案】 ，4
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把 代
入计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
15．（2023·江苏·中考真题）在 张相同的小纸条上，分别写有：① ；② ；③ ；④乘法；⑤加法．
将这 张小纸条做成 支签，①、②、③放在不透明的盒子 中搅匀，④、⑤放在不透明的盒子 中搅匀．
(1)从盒子 中任意抽出 支签，抽到无理数的概率是______；(2)先从盒子 中任意抽出 支签，再从盒子 中任意抽出 支签，求抽到的 个实数进行相应的运算后结果
是无理数的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先判断盒子 中无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可；
（2）根据题意画出所有的组合情况，再计算出对应的运算结果，得到运算结果是无理数的个数，再根据
概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
故 和 均为无理数，
故盒子 中任意抽出 支签，抽到无理数的概率是 ．
故答案为： ．
（2）解：树状图画出所有情况为：
即抽签的组合有 种，分别为：
组合情况 运算结果 运算结果是否是无理数
第一种组合 ， ，乘法 否
第二种组合 ， ，加法 是
第三种组合 ， ，乘法 是
第四种组合 ， ，加法 是
第五种组合 ， ，乘法 否第六种组合 ， ，加法 是
第七种组合 ， ，乘法 是
第八种组合 ， ，加法 是
第九种组合 ， ，乘法 是
第十种组合 ， ，加法 是
第十一种组合 ， ，乘法； 是
第十二种组合 ， ，加法 是
对应的组合运算结果共 个，其中运算结果为无理数的有 个，
故抽到的 个实数进行相应的运算后结果是无理数的概率为 ．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图求概率，无理数的定义等，解题的关键是求所有情况下运
算的结果，判断结果是无理数的个数．
专项练习
一、单选题
1．若式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断．
【详解】解：A、 ，被开方数 ，符合定义；
B、 ，被开方数 ，符合定义；
C、 ，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数 ，故该式子不一定是二次根式，不符合定义；
D、 ，被开方数 ，符合定义；
故选：C．
3．最简二次根式 与 是同类二次根式，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是利用“同类二次根式的被开方数相同”这一性质列
方程求解．
根据同类二次根式的定义，令两个最简二次根式的被开方数相等，列方程求解并验证．
【详解】解：因为最简二次根式 与 是同类二次根式，
所以同类二次根式的被开方数相同，可得方程： ，
解得： ，
验证：当 时， ，均为最简二次根式且被开方数相同，符合题意．
故选：B．
4．下列根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是最简二次根式的识别，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的
因数，根据定义判断即可.
【详解】解： A选项， ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；B选项， ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
D选项， ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C选项， ，13是质数，无平方因数，是最简二次根式．
故选：C．
5．已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，理解其性质是解题的关键．
根据二次根式的性质解题即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ 原式 ．
故选：C．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：A、 不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算错误，不符合题意；
C、 ，原计算错误，不符合题意；
D、 ，原计算正确，符合题意；
故选：D．7．若 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件 ， ，简化根式 ，需利用平
方根的性质和绝对值的意义进行化简．
【详解】解：∵ ， ，
∴ （负数的立方为负），
故 ，从而 ，根式有意义．
∵ ，
∴ ，
又∵ ，且 ，∴ ，
∴原式 ，
即 ，与选项A一致．
故选：A．
8．把 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的符号，
再正确移动根号外的因式．
先根据二次根式有意义的条件确定 的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方移入根号内进行化简．
【详解】解：∵ ，
∴ ．∴ = ．
故选：C．
9．已知 是实数，且满足 ，则相应的 的值为( )
A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式的有意义的条件，得出 ，根
据 ，得到 的值，再代入 计算．
【详解】解：根据二次根式的有意义的条件，得
或 或
解得 或 或
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
的值为 或 或 ．
故选：D．
10．如图，正方形 ，顶点 在数轴上表示的数为1，若点 在数轴上（点 在点 的右侧），且
，则点 所表示的数为 ，则正方形 的面积为（ ）
A． B．7 C． D．10【答案】B
【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出 ．根据题意得出
，得出正方形 的面积为 ．
【详解】解： 顶点 在数轴上表示的数为1， ，点 所表示的数为 ，
，
正方形 的面积为 ，
故选： ．
二、填空题
11．使式子 有意义的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．
要使分式有意义，分母不能为零，且分母中的二次根式被开方数必须非负．结合两者，被开方数必须大于
零．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ 且 ，
即 且 ，
∴ ．
故答案为： ．
12．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的
关键．
根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解 的值．
【详解】解：∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
13．若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，零指数幂，有理数乘方，代数式求值，由题意，得 且
，解得 ，再代入求出 的值，最后计算代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意，得 且 ，
解得 ，
当 时， ，
所以 ，
故答案为： ．
14．已知实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简 ．
【答案】
【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出 ，
进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴得 ，
， ， ，
，
故答案为： ．
15．已知 ， ，则代数式 的值是 ；
【答案】181
【分析】本题为二次根式的化简求值，考查了分母有理数，完全平方公式的变形，二次根式的混合运算等
知识，综合性强，难度较大．先化简 ， ，从而计算出 ， ，把变形为 ，整体代入即可求解．
【详解】解： ，
；
∴ ，
，
∴
．
16．下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第5行的最后一个数是 ；第n（n
为整数且 ）行从左向右数第 个数是 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，观察可知第n行有 个数，且这些数字是从1开始的连
续的正整数的算术平方根，据此求出前五行一共有多少个数字即可得到第一空的答案；先求出前 行的数字的个数，再加上 ，所得结果取算术平方根即可得到第二空的答案．
【详解】解：第一行有 个数，
第二行有 个数，
第三行有 个数，
……，
以此类推，可知，第n行有 个数，
∴前五行一共有 个数，
∵这些数字是从1开始的连续的正整数的算术平方根
∴第5行的最后一个数是 ；
前 行一共有 个数，
∴第n（n为整数且 ）行从左向右数第 个数是 ，
故答案为： ； ．
三、解答题
17．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键．
（1）先根据二次根式的乘除运算法则和立方根定义，结合二次根式性质计算，再加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再加减运算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
18．已知 ， ，解答下列各题：
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)19
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化．
（1）先进行分母有理化，再进行加减即可；
（2）利变形为 ，再代入求值即可．
【详解】（1）解：（2）解：由（1）知
， ，
．
19．如图，小华家有一块长方形空地 ，空地的长 为 ，宽 为 ，小华准备在空地中
划出一块长为 ，宽为 的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．
(1)求长方形空地 的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)求种植青菜部分的面积．
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查了二次根式的应用，涉及到二次根式的混合运算，根据题意正确列式是解题的关键．
（1）利用长方形的周长公式，即可列式作答；
（2）长方形 的面积减去种植香菜的面积即为种植青菜的面积，即可列式作答．
【详解】（1）解：长方形空地 的周长
；
（2）解：种植青菜部分的面积
．
20．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律．
第①个等式： ；
第②个等式： ；
第③个等式： ；
第④个等式： ：
(1)计算： _____； _____；
(2)若 ，则正整数 _____；
【规律应用】
(3)根据上述等式规律，化简：．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)
【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键．
（1）根据规律运算即可；
（2）根据规律运算即可；
（3）根据规律运算即可．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）
解：原式
．
21．阅读材料与综合实践：
通过分子、分母同乘一个式子把分母的根号化去或根号中的分母化去，叫做分母有理化．
如： ， ．
解决问题：
(1)将下列式子分母有理化：
， ， ；
(2)比较大小： （直接填“ 或 或 ”）；(3)定义：两个二次根式 满足 ，且 是有理数，则称 与 是关于 的“友好二次根式”．若
与 是关于 的“友好二次根式”，求 的值．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的大小比较，新定义运算等知识点，正确地完成分母有理化是
解题的关键．
（ ）根据题意分母有理化即可求解．
（ ）先分母有理化，再比较大小即可求解．
（ ）由新定义可得 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，
；
；
故答案为： ， ， ；（2）解： ；
；
∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）解：∵ 与 是关于 的“友好二次根式”，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
