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考点 02 二次根式
一、二次根式及相关概念
√a
1．二次根式：形如 (a ≥ 0 )的式子叫做二次根式．
2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因或因式．
3．同类二次根式：几个二次根式化成 最简二次根式 后，如果 被开方数 相同，这几个二次根式称为
同类二次根式．如与是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．
二、二次根式的性质
√a
（1）( )2＝a(a≥0)．
√a2
（2） ＝＝
√ab √a √b
（3） ＝ · (a≥0，b≥0)．
√a √a
=
b √b
（4） (a≥0，b>0)．
√a
（5）双重非负性：二次根式 ⇒
三、二次根式的运算
1．二次根式的加减：先将各二次根式化为 最简二次根式 ，然后合并同类二次根式．
2．二次根式的乘除
√a
√a √b b
（1）二次根式的乘法： · ＝ (a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法： ＝ (a≥0，b＞0)；
（3）二次根式的运算结果一定要化成 最简二次根式或整式．√a2
3．二次根式的开方： ＝
4．二次根式的混合运算
在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：
（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去
括号；
（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适
用；
（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；
（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．
【考点1】二次根式的概念
【例1】（2022·江苏连云港）函数 中自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．
【解析】解：∵ ，∴ ．故选A．
√3
【例2】下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
√6 √9 √12 √18
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
√6 √3
【解析】A. 与 的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
√9=3 √3
B. ，与 不是同类二次根式；
√12=2√3 √3
C. ，与 被开方数相同，故是同类二次根式；
√12=3√2 √3
D. ，与 被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【例3】下列各式是最简二次根式的是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解析】解：A、 是最简二次根式，故选项正确；
B、 = ，不是最简二次根式，故选项错误；
C、 ，不是最简二次根式，故选项错误；
D、 ，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
牢记二次根式相关概念：
√a(a≥0)
1．二次根式：式子 叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.
2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二
次根式.
3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.
1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式 有意义，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．
【详解】根据题意知 ≥0，解得 ，故选：B．
2．（2022·广西桂林）化简 的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2 ．
【详解】解： ＝2 ，
故选：A．
3．下列各式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.
【详解】解：A、 和 是最简二次根式， 与 的被开方数不同，故A选项错误；
B、 ，3不是二次根式，故B选项错误；
C、 ， 与 的被开方数相同，故C选项正确；
D、 ， 与 的被开方数不同，故D选项错误；
故选：C.
4．（2022·云南）若代数式 有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】x≥﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x+1≥0，即可求得．
【详解】解：∵代数式 有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．
5．（2022·四川南充）若 为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据
为整数即可得 的值．【详解】解：∵ ∴
∵ 为正整数∴ 可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵ 为整数∴ 为4或7或8故答案为：4或7或8．
【考点2】二次根式的性质
【例4】（2021·湖南娄底市） 是某三角形三边的长，则 等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【分析】先根据三角形三边的关系求出 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解： 是三角形的三边，
，
解得： ，
，
故选：D．
1．（2022·四川凉山）化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先计算（-2）2=4，再求算术平方根即可．
【详解】解： ，故选：D．
2．（2022·河北·一模）已知 ，则代数式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的非负性可知 ，从而得到 ，代值求解即可．【详解】解：对于 ，
，
，解得 ，则 ，
，
故选：A．
3．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 ______．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出 ，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得： ，则
∴ = = = =2．
故答案为：2．
【考点3】二次根式的运算
【例5】（2022·山东青岛）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】解：故选：B．
【例6】（2022·四川宜宾）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角
形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂
乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为
．现有周长为18的三角形的三边满足 ，则用以上给出的公式
求得这个三角形的面积为______．
【答案】
【分析】根据周长为18的三角形的三边满足 ，求得 ，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足 ，设
∴ 解得
故答案为：
【例7】计算下列各题
（1） ；（2）
（3） ；（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）【分析】（1）先化为最简二次根式，再计算加减法；
（2）先算乘方和开方，去绝对值，再算加减法；
（3）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并计算；
（4）先化为最简二次根式，再算加减法，然后计算乘除，最后合并．
【详解】解：（1）
=
= ；
（2）
=
= ；
（3）
=
= ；
（4）
=
=
=二次根式运算的注意事项
1．在进行二次根式的运算时,一般先把二次根式化为最简二次根式,再利用二次根式的乘除法法则进行乘除
运算,同类二次根式之间可以进行加减运算(类似于合并同类项).
2．运算结果要化成最简形式.
2
√a2 (√a)
3．在二次根式的运算中,要注意 与次 的区别.
① 取值不同:前者的a为任意实数,后者的a为非负数;
√a2 √a2
② 化简结果不同: =|a|, =a.
1．（2022·黑龙江哈尔滨）计算 的结果是___________．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
=
= ，
故答案为： ．
2．（2022·天津）计算 的结果等于___________．
【答案】18
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】解： ，故答案为：18．
3．（2022·湖南衡阳）计算： ＝_____．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】 ．故答案为： ．
4．（2022·山西）计算 的结果是________．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案．
【详解】解：原式＝ ＝ ＝3．故答案为：3．
5．（2022·重庆）估计 的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】先化简 ，利用 ，从而判定即可．
【详解】 ，
∵ ，∴ ，∴ ，故选：B．
6．列各式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【详解】 ，A选项成立，不符合题意；
，B选项成立，不符合题意；，C选项不成立，符合题意；
，D选项成立，不符合题意；
故选C．
7．（2022·甘肃武威）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式 .
8．（2022·贵州遵义）（1）计算：
（2）先化简 ，再求值，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的
值代入求解．
【详解】（1）解：原式＝ ；
（2）解：原式＝ ；
当 时，原式 ．
【考点4】二次根式综合运用【例8】（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）若三个实数x，y，z满足 ，且 ，则有：
（结论不需要证明）
例如：
根据以上阅读，请解决下列问题：
【基础训练】
（1）求 的值；
【能力提升】
（2）设 ，求S的整数部分．
【拓展升华】
（3）已知 ，其中，且 ．当 取得最小值时，
求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)S的整数部分2019
(3)代数式取得最小值时，x的取值范围是
【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可；
（2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分；
（3）将原式化简为 ，再根据 ||取最小值时，确定x的取值范围．
(1)(2)
，
∴S的整数部分2019；
(3)由已知得： ，且 ，
，
∵ ，
∴原式 ，当 时，
；
当 时，
；
∴当 ，即 时， 取得最小值为2，
∴代数式取得最小值时，x的取值范围是： ．
1. 阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取
长补短，威力无比．
在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如： ， ，它
们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次
根式除法可以这样理解：如： ， ．像这样，
通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1） 的有理化因式可以是___________， 分母有理化得___________．
（2）计算：
①已知 ， ，求 的值；
② ．【答案】（1） ， ；（2）①14；②
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
②原式各项分母有理化，合并即可得到结果．
【详解】解：（1） 的有理化因式可以是 ，
，
故答案为： ， ；
（2）①当 ，
时，
．
②原式
．
2. 阅读下面问题：
＝ ＝ －1；1/ ＋ ＝1×( － )/ ( ＋ )/ ( － )＝ － ；
1/ ＋ ＝1×( － )/ ( ＋ )/ ( － )＝ － ；
试求：
（1） ＝________；
（2）当n为正整数时， ＝________；
（3）求 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ 的值．
【答案】（1） （2） （3）9
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（2）根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
（3）先将所求式子变形，然后计算即可．
【详解】
（1）解： ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
（3）．
3．观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为： ；
（2）求 的值；
（3）请直接写出 的结果．
【解答】解：
（1）依题意：接下来的第4个算式为：
故答案为
（2）原式
（3）原式
