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专题 02 二次根式
（时间：60分钟，满分120分）
一、填空题（每题3分，共30分）
1．（2021·湖南）将 化为最简二次根式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州贵阳）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
3．下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5．（2022·河北）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖北恩施）函数 的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D．
7．（2022·重庆南开中学三模）估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间
C．6和7之间 D．7和8之间
8．（2022·上海崇明·二模）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么x的值是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·湖南常德）我们发现： ， ， ，…，，一般地，对于正整数 ， ，如果满足 时，
称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完美方根数对．则下面4个结论：① 是完美方根
数对；② 是完美方根数对；③若 是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则
点 在抛物线 上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022·广东番禺中学三模）若 ，则 等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
二、填空题（每题4分，共28分）
11．（2022·湖北武汉）计算 的结果是_________．
12．（2022·广西）化简： =_____．
13．（2022·湖南娄底）函数 的自变量 的取值范围是_______．
14．一个三角形的三边长a，b，c满足|a﹣8|+ +（c﹣10）2＝0，则这个三角形最长边上的高为 ___．
15．（2022·四川广安·二模）如图所示，化简 的结果是___________．
16．（2022·湖北随州）已知m为正整数，若 是整数，则根据 可知
m有最小值 ．设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
17．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求
积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝.已知△ABC的三边长分别
为，2，2，则△ABC的面积为 ．三、简答题（共66分）
18. （8分）计算：
（1） ；
（2） ．
19. （8分）计算：
（1） ；（2） ．
20. （8分）计算：
（1） ；（2） ．
21. （12分）观察下列等式：
； ； ；按照上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第6个等式：________________；
（2）请写出第n个等式：________________；
（3）求 的值．
22．（12分）阅读下面的材料：
小明在学习完二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2.
善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋
2mn.所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 a，b，m，n 均为正整数时，若 a＋b＝(m＋n)2，用含 m，n 的式子分别表示 a，b，得 a＝
________，b＝________；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：______＋______＝(______＋______)2；
（3）若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
23. （12分）先阅读，后解答： ；像上述解
题过程中， 与 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上
述解题过程也称为分母有理化，
（1） 的有理化因式是 ； 的有理化因式是 ．（2）将下列式子进行分母有理化：
① = ；② = ．
（3）计算：
