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专题 04 二次根式
课标要求 考点 考向
1、了解二次根式的概念，能从具体的式子中正确识别 考点一
考向一 二次根式的定义和性质
出二次根式。即学生需要知道形如√a（a≥0）的代数式称 二次根
为二次根式，并且理解根号内的被开方数必须是非负数。 式的概
2、掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母 念和性 考向二 二次根式有意义的条件
的取值问题。例如，在含有二次根式的表达式中，根据二 质
次根式有意义的条件，确定字母的取值范围。 二次根式的乘除
3、利用二次根式的性质和四则运算的法则进行简单的
四则运算。这包括对二次根式进行加、减、乘、除等运 考向二 二次根式的加减
算，以及在运算过程中运用二次根式的性质进行化简。 考点二
4、通过实际生活中的问题，引导学生用含根号的式子表 二次根 考向三 二次根式的混合运算
示问题的结果，从而体会二次根式与实际生活的紧密联 式的运
系。 算
5、在二次根式的学习中，学生需要通过对具体问题的分 考向四 二次根式的应用
析和解决，逐步建立起对二次根式的抽象认识。
考点一 二次根式的概念和性质
易错易混提醒
（1）被开方数的条件：1、非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即a≥0。因为√a是要求开方的
数是非负的，否则就没有实数解。2、唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。
这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
（2）最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式；2. 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2。那么，这个根式叫做最简二次根式。
►考向一 二次根式的定义和性质
1．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是
（ ）
化简：甲同学：原式 ；
乙同学： ；
丙同学： ；
丁同学 ．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
【详解】解：
，
∴开始出现错误的同学是乙同学，
故选B．
2．（2024·四川乐山·中考真题）已知 ，化简 的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据 化简二次根式，然后再根据 去绝对值即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．3．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线 与 轴相交于点 ，以 为边作等边三角形
，点 在第一象限内，过点 作 轴的平行线与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，以 为边作
等边三角形 （点 在点 的上方），以同样的方式依次作等边三角形 ，等边三角形
，则点 的横坐标为 ．
【答案】
【分析】直线直线 可知，点 坐标为(1,0)，可得 ，由于 是等边三角形，可
得点 ，把 代入直线解析式即可求得 的横坐标，可得 ，由于 是等边三
角形，可得点 ；同理， ，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的
规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l： 与x轴负半轴交于点 ，
∴点 坐标为(1,0)，
∴ ，
过 ， ，作 轴交x轴于点M， 轴交 于点D，交x轴于点N，
∵ 为等边三角形，∴
∴ ，
∴
∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，解得： ，
∴ ；
而 ，
同理可得： 的横坐标为 ，
∴点 的横坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图
形点的坐标的规律，最简二次根式、掌握探究的方法是解本题的关键.
►考向二 二次根式有意义的条件
4．（2024·云南·中考真题）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ 的取值范围是 ．
故选：B．
5．（2024·江苏徐州·中考真题）若 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义
的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解： 二次根式 有意义，
，解得 ．
故选：A．
6．（2024·上海·中考真题）已知 ，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由
二次根式被开方数大于0可知 ，则可得出 ，求出x即可．
【详解】解：根据题意可知： ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：1．
考点二 二次根式的运算
易错易混提醒
（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相
加或相减。
（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相
乘。
（3）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化
►考向一 二次根式的乘除
7．（2024·湖南·中考真题）计算 的结果是（ ）
A． B． C．14 D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解： ，
故选：D
8．（2024·贵州·中考真题）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．
【详解】解：原式= = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则 （a≥0，b＞0）是解
题关键．
9．（2024·重庆·中考真题）估计 的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．
【详解】解：∵ ，
而 ，
∴ ，
故答案为：C
10．（2024·天津·中考真题）计算 的结果为 ．
【答案】
【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关
►考向二 二次根式的加减
11．（2024·重庆·中考真题）已知 ，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法
是解决此题的关键．先求出 ，即可求出m的范围．
【详解】解：∵ ，
∵ ，∴ ，
故选：B．
12．（2024·山东青岛·中考真题）计算： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角
函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
13．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法
则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】A. 不能合并，所以A选项错误；
B. ，所以B选项正确；
C. ，所以C选项错误；
D. ，所以D选项错误．
故选：B．
►考向三 二次根式的混合运算
14．（2024·甘肃·中考真题）计算： ．
【答案】0
【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】 ．15．（2024·上海·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次
根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
．
16．（2024·四川遂宁·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数
值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：
．
17．（2024·山西·中考真题）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（ ） ；（2） ， ．
【分析】（ ）根据有理数乘法，二次根式的性质，二次根式的除法，零指数次幂运算法则进行计算即可；
（ ）先算括号内的单项式乘以多项式，平方差公式，再合并同类项，最后算多项式除以单项式即可；
本题考查了实数的混合运算和整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式 ，
；
（2）原式
，
，当 时，
原式 ．
►考向四 二次根式的应用
18．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数 ，按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从
而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：第七行共有 个数，
则第八行左起第1个数是 ，
故选：C．
19．（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段 ，按以下步骤作图：①过点B作 ，使
，连接 ；②以点C为圆心，以 长为半径画弧，交 于点D；③以点A为圆心，以
长为半径画弧，交 于点E．若 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得 ，再根据 ，设 ，然后在
中，利用勾股定理可得 ，再根据题意可得： ，从而利用线段
的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，设
∴ ，
∴ ，
由题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A
20．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形 的边长为1，M、N是边 、 上的动点．若
，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】将 顺时针旋转 得到 ，再证明 ，从而得到
，再设设 ， ，得到 ，利用勾股定理得到
，即 ，整理得到 ，从而利用完全平方公式得到
，从而得解．
【详解】解：∵正方形 的边长为1，
∴ ， ，将 顺时针旋转 得到 ，则 ，
∴ ， ， ， ，
∴点P、B、M、C共线，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
∴
，
当且仅当 ，即 ，也即 时， 取最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明 和得到 是解题的关键．
21．（2024·河北·中考真题）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到
的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线 ， 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉
的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段 的长；
（2）直接写出图3中所有与线段 相等的线段，并计算 的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的 边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出
裁剪线（线段 ）的位置，并直接写出 的长．
【答案】（1） ；（2） ， ； 的长为 或 ．【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合
运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．
（1）如图，过 作 于 ，结合题意可得：四边形 为矩形，可得 ，由拼接可
得： ，可得 ， ， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形，设
，则 ，再进一步解答即可；
（2）由 为等腰直角三角形， ；求解 ，再分别求解 ；可得答案，
如图，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，或以 圆心， 为
半径画弧，交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，再进一步求解 的长即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，
结合题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
由拼接可得： ，
由正方形的性质可得： ，
∴ ， ， 为等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
设 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵正方形的边长为 ，
∴对角线的长 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）∵ 为等腰直角三角形， ；
∴ ，∴ ，
∵ ，
，
∴ ；
如图，以 为圆心， 为半径画弧交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，
此时 ， ，符合要求，
或以 圆心， 为半径画弧，交 于 ，交 于 ，则直线 为分割线，
此时 ， ，
∴ ，
综上： 的长为 或 ．
22．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成
点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，
行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数， ， ），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总
长为________；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】分析问题：方案1： ； ； ；方案2： ；方案3： ；
解决问题：方案3路径最短，理由见解析
【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案
3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为 ，根据题意得一共有 列， 行，斜着铲相
当于有n条线段长，同时有 个，即可得出总路径长；
解决问题：利用作差法比较三种方案即可．
题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键．
【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，
∴每行铲的路径长为 ，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有 行，
∴铲除全部籽的路径总长为 ，
故答案为： ； ； ；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为 ，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，，
∴相当于有 列，
∴铲除全部籽的路径总长为 ，
故答案为： ；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为 ，
根据题意得一共有 列， 行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有 个，∴铲除全部籽的路径总长为： ；
解决问题
由上得： ，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵ ，
当 时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
一、单选题
1．（2024·广东江门·模拟预测）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：A. ，不是最简二次根式；
B. ，不是最简二次根式；
C. ，不是最简二次根式；
D. 是最简二次根式；
故选D．
2．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和 是同类二次根式．
【详解】A． 与 不是同类二次根式，故该选项错误；
B． 与 不是同类二次根式，故该选项错误；
C． 与 是同类二次根式，故该选项正确；
D． 与 不是同类二次根式，故该选项错误；
故选：C．
3．（2024·重庆·模拟预测）计算 的结果为（ ）
A．4 B．3 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则计算解答即可．
本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故选B．
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的运算，考查学生的运算能力，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算二次根
式的减法，再计算除法即可．
【详解】
，
故选：B．
5．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则逐项判断即
可解答，掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．
【详解】 、 ，原选项计算错误，不符合题意；、 与 不是同类二次根式，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、 ，原选项计算正确，符合题意；
、 ，原选项计算错误，不符合题意；
故选： ．
6．（2024·云南·模拟预测）估算 的结果在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的运算法则，进行计算，再利用夹逼
法求出无理数的范围即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
故选B．
7．（2024·河北秦皇岛·一模）若使算式 “ ” 的运算结果最小，则“ ”表示的运算符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算和大小比较，掌握二次根式的运算是解题的关键．
分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
【详解】解： ，
，
，
，
∵ ，
∴〇表示的运算符号是“ ”时，运算结果最小，
故选：B．
8．（2024·辽宁·模拟预测）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的化简、二次根式的混合运算、完全平方公式，掌握二次根式的运算法则
是解题的关键．
A将二次根式化简到最简即可；B根据加法法则运算即可；C根据 计算即可；D结合完全平
方公式和二次根式的运算法则计算即可．【详解】解：A、 ，故选项不符合题意．
B、 ，故选项不符合题意．
C、 ，故选项不符合题意．
D、 ，故选项符合题意．
故选：D．
9．（2024·河北张家口·三模）若 ，则计算 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据 求出 ，即可求解．
【详解】∵
∴
∴
故选：A．
10．（2024·湖北·模拟预测）如图，在菱形 中，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ，
分别以 ， 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ．连接 ，
若 ， ，则菱形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得知 ，由菱形的性质可得出 ， ．设 ，则
，由勾股定理解出 ，最后根据菱形的性质求面积即可．
【详解】解：由作图知， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
设 ，
，∴ ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
或 （舍去），
， ，
菱形 的面积 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂线的尺规作图，菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质， 勾股定理，熟练掌
握矩形的性质与判定定理以及菱形的性质是解题的关键．
11．（2024·河南新乡·模拟预测）如图1， 中 ， ．D是斜边上一动点，从点
B运动到点C停止，连接 ，过点A作 ，且使 （点E在直线 右侧），点F是
中点，连接 ，设 ， ，y随x变化的图象如图2所示，b为曲线最低点的纵坐标，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 并延长，过点A作 ，交 于点H，过点F作 于点G，连接 ，证明
，得出 ，说明点E在过点C垂直 的直线上，根据垂线段最短，得
出当点E在点G处时， 最小，即 ；当点D在点C处时， 在点H处，此时 最大，求出
，最后求出结果即可．
【详解】解：连接 并延长，过点A作 ，交 于点H，过点F作 于点G，连接 ，
如图所示：∵ 中 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在过点C垂直 的直线上，
∵垂线段最短，
∴当点E在点G处时， 最小，
∵点F为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，即 ；
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
当点D在点C处时， 在点H处，此时 最大，
∵ ，∴ 的最大值为 ，即 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解
题的关键是作出辅助线，分别求出a、b的值．
12．（2024·湖南·模拟预测）设 ，则不
超过 的最大整数为（ ）
A．2027 B．2026 C．2025 D．2024
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据 把原式的对应项化简，然
后计算求解即可．
【详解】解：对于正整数 ，有
，
∴ ，
∴
，
，
∴不超过 的最大整数为2024．
故选：D．
二、填空题13．（2024·吉林长春·二模） 与最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式定义可知 ，求出解即
可．
【详解】∵ 与最简二次根式 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ．
故答案为：3．
14．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是倒数的含义，二次根式的化简，先求解 ，再化简 即可．
【详解】解：∵a的倒数是 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
15．（2024·山东泰安·一模）如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的
边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是 ．
【答案】24
【分析】题目主要考查二次根式的应用，理解题意，根据正方形的面积确定大正方形的边长即可求解．
【详解】解：∵两个面积分别为8和18的小正方形，
∴大正方形的边长为： ，
∴大正方形的面积为： ，
∴剩余的面积为： ，
∴阴影部分的面积是24，
故答案为：24．
16．（2024·湖南·模拟预测）斐波那契数列中的第n个数可以用 表示．通过计算
求出斐波那契数列中的第2个数为 ．【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算与化简求值，把 代入式子计算即可得出答案，熟练掌握运算方
法是解此题的关键．
【详解】解：由题意得：当 时，
，
故答案为： ．
17．（2024·吉林·模拟预测）比较大小： 6．（填“＞”或“＜”）
【答案】＜
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数 负实数，两个正实
数，平方大的这个数也大．
首先求出 、6的平方的值，比较出它们的平方的大小关系；然后根据两个正实数，平方大的这个数也
大，判断出 与6的大小关系即可．
【详解】解： ， ，
，
．
故答案为： ．
18．（2024·广东·模拟预测）若恒有式子 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的性质，根据 ，列出不等式求解即可．
【详解】解： ，
，
解得： ，
故答案为： ．
19．（2024·湖北·模拟预测）当x取何值时，二次根式 有意义： ．
【答案】 且 ．【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据条件列出不等式是解决此题的关
键．
二次根式有意义的条件：被开方数 ，分式有意义的条件分母 ，列出不等式即可．
【详解】解：由题意可得：
，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
三、解答题
20．（2024·北京·模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算等知识．熟练掌
握完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的减法运算是解题的关键．
根据 ，计算求解即可．
【详解】解：
．
21．（2024·陕西西安·模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】此题主要考查二次根式的运算及实数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．先计算二次根式乘
法，化简二次根式，计算零指数幂，化简绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式
．
22．（2024·全国·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化．根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把
的值代入计算得到答案．【详解】解：
，
当 时，原式 ．
23．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法
则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．
【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的
和一定为较大数的平方．
（1）举例验证：当 则
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设 ， m、n是连续的正整数，
∴ ； ∵ ， ∴ ．
∴ 一定是正数n的平方数．
【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．
请你举例验证及推理证明；
【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数．
【答案】见解析
【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简；
类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可；
深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得 ， ，然后代入计算即可．
【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则
（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：
设 ， m、n是连续的正整数，
∴ ；
∵ ，
∴ ．
∴ 一定是正数 的平方数．
深入思考：∵m， n为两个连续奇数， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴p一定是偶数．
