文档内容
2012年辽宁省丹东市中考数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．（3分）﹣0.5的绝对值是（ ）
A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣2 D．2
2．（3分）用科学记数法表示数5230000，结果正确的是（ ）
A．523×104 B．5.23×104 C．52.3×105 D．5.23×106
3．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．三棱柱
4．（3分）不等式组 的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜4 B．3＜x≤4 C．﹣3＜x≤4 D．x＜4
5．（3分）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连
接OE，则线段OE的长等于（ ）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
6．（3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．打开电视机，正在播放动画片
C．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
D．三根长度为2cm，2cm，4cm的木棒能摆成三角形
7．（3分）如图，点A是双曲线y＝ 在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别是
点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
第1页（共26页）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2
8．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF＝1，
CE、DF交于点O．下列结论： ∠DOC＝90°， OC＝OE， tan∠OCD＝ ， S△ODC
① ② ③ ④
＝S四边形BEOF 中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，直线a∥b，∠1＝60°，则∠2＝ °．
10．（3分）分解因式：x3﹣2x2+x＝ ．
11．（3分）一组数据﹣1，﹣2，x，1，2的平均数为0，则这组数据的方差为 ．
12．（3分）如图，一个圆锥形零件，高为8cm，底面圆的直径为12cm，则此圆锥的侧面积是
．
第2页（共26页）13．（3分）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2
亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，则列出关于x的方程为
．
14．（3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线
于点F，且AB⊥AE．若AB＝5，AE＝6，则梯形上下底之和为 ．
15．（3分）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有
个五角星．
16．（3分）如图，边长为6的正方形ABCD内部有一点P，BP＝4，∠PBC＝60°，点Q为正方
形边上一动点，且△PBQ是等腰三角形，则符合条件的Q点有 个．
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值： ，其中x＝ ﹣1．
18．（8分）已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
第3页（共26页）（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A B C ，并直接写出C 点的坐标；
1 1 1 1
（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A BC ，使△A BC 与△ABC位似，且位似比为2：
2 2 2 2
1，并直接写出C 点的坐标及△A BC 的面积．
2 2 2
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）某小型企业实行工资与业绩挂钩制度，工人工资分为A、B、C、D四个档次．小明
对该企业三月份工人工资进行调查，并根据收集到的数据，绘制了如下尚不完整的统计表
与扇形统计图．
档次 工资（元） 频数（人） 频率
A 3000 20
B 2800 0.30
C 2200
D 2000 10
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）求该企业共有多少人？
（2）请将统计表补充完整；
（3）扇形统计图中“C档次”的扇形所对的圆心角是 度．
20．（10分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动．在一个不透明的箱子里放有4个完
第4页（共26页）全相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样．规定：顾
客在本商场同一日内，消费每满300元，就可以从箱子里先后摸出两个球（每次只摸出一
个球，第一次摸出后不放回）．商场根据两个小球所标金额之和返还相应价格的购物券，
可以重新在本商场消费．某顾客消费刚好满300元，则在本次消费中：
（1）该顾客至少可得 元购物券，至多可得 元购物券；
（2）请用画树状图或列表法，求出该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的 O经过点C．过点C作 O的
切线交AB的延长线于点P．点D为圆上一点，且 ＝ ⊙，弦AD的延长线交切线⊙PC于
点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若 O的半径为2，求AE的长．
⊙
22．（10分）暴雨过后，某地遭遇山体滑坡，武警总队派出一队武警战士前往抢险．半小时后，
第二队前去支援，平均速度是第一队的1.5倍，结果两队同时到达．已知抢险队的出发地
与灾区的距离为90千米，两队所行路线相同，问两队的平均速度分别是多少？
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）南中国海是中国固有领海，我渔政船经常在此海域执勤巡察．一天我渔政船停在
小岛A北偏西37°方向的B处，观察A岛周边海域．据测算，渔政船距A岛的距离AB长为
10海里．此时位于A岛正西方向C处的我渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏
东50°的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号．渔政船接警后，立即沿BC航线以每
小时30海里的速度前往救助，问渔政船大约需多少分钟能到达渔船所在的C处？（参考
数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin53°≈0.80，
cos53°≈0.60，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）
第5页（共26页）24．（10分）甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等．如图是两队所修水
渠长度y（米）与修筑时间x（时）的函数图象的一部分．请根据图中信息，解答下列问题：
（1） 直接写出甲队在0≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ；
直接①写出乙队在2≤x≤5的时间段内，y与x之间的函数关系式 ；
②（2）求开修几小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在修筑5小时后，施工速度因故减少到5米/时，结果两
队同时完成任务，求乙队从开修到完工所修水渠的长度为多少米？
七、（本题12分）
25．（12分）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC＝∠ADE＝ ，线段BD、CE交于点M．
（1）如图1，若AB＝AC，AD＝AE α
问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；
①求∠BMC的大小（用 表示）；
（②2）如图2，若AB＝BC＝αkAC，AD＝ED＝kAE，则线段BD与CE的数量关系为 ，
∠BMC＝ （用 表示）；
（3）在（2）的条件下，α把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接EC并延长交BD于点M．则∠BMC＝
（用 表示）．
α 第6页（共26页）八、（本题14分）
26．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标
是（﹣1，0），O是坐标原点，且|OC|＝3|OA|
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD＝2，以OD为边作正方形ODEF．将正方
形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与
△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）．
求： s与t之间的函数关系式；
在①运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说
②明理由．
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、
N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
第7页（共26页）2012年辽宁省丹东市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的．每小题3分，共24分）
1．【分析】根据正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可
判断．
【解答】解：|﹣0.5|＝0.5．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质，是一个基础题．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：5230000＝5.23×106．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：俯视图为圆的有球，圆锥，圆柱等几何体，主视图和左视图为三角形的只有圆
锥．
故选：B．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面
的考查．
4．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解： ，
由 得，x＞﹣3；
由①得，x＜4，
故②此不等式组的解集为：﹣3＜x＜4．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；
大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
第8页（共26页）5．【分析】先求出菱形的边长AB，再根据菱形的对角线互相平分判断出OE是△ABD的中位
线，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．
【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴边长AB＝24÷4＝6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴BO＝DO，
又∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝ AB＝ ×6＝3cm．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线定理，是基础题，求出
OE等于菱形边长的一半是解题的关键．
6．【分析】根据必然事件的定义：一定发生的事件就是必然事件，即可判断．
【解答】解：A、是随机事件，故选项错误；
B、是随机事件，故选项错误；
C、是一定发生的，是必然事件，故选项正确；
D、一定不会发生的，是不可能事件，故选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机
事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，
一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的
事件．
7．【分析】先判定出四边形ABCD是矩形，再根据反比例函数的系数的几何意义，用k表示出
四边形ABCD的面积，然后求解即可．
【解答】解：∵点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点，
∴四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD的面积是8，
∴4×|﹣k|＝8，
解得|k|＝2，
又∵双曲线位于第二、四象限，
第9页（共26页）∴k＜0，
∴k＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标
作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，利用k表示出四边形的面积是解题的关键．
8．【分析】由正方形ABCD的边长为4，AE＝BF＝1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全
等三角形的对应角相等，易证得 ∠DOC＝90°正确； 由线段垂直平分线的性质与正方
形的性质，可得 错误；易证得∠①OCD＝∠DFC，即可②求得 正确；由 易证得 正确．
【解答】解：∵②正方形ABCD的边长为4， ③ ① ④
∴BC＝CD＝4，∠B＝∠DCF＝90°，
∵AE＝BF＝1，
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
在△EBC和△FCD中，
∵ ，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD＝∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC＝∠BCE+∠CFD＝90°，
∴∠DOC＝90°；
故 正确；
若①OC＝OE，
∵DF⊥EC，
∴CD＝DE，
∵CD＝AD＜DE（矛盾），
故 错误；
∵②∠OCD+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DFC＝90°，
∴∠OCD＝∠DFC，
∴tan∠OCD＝tan∠DFC＝ ＝ ，
故 正确；
∵③△EBC≌△FCD，
第10页（共26页）∴S△EBC ＝S△FCD ，
∴S△EBC ﹣S△FOC ＝S△FCD ﹣S△FOC ，
即S△ODC ＝S四边形BEOF ．
故 正确．
故④选：C．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三
角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由邻补角的性质即可得出∠2的度数．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝﹣180°﹣60°＝120°．
故答案为：120．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
10．【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2．
故答案为：x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解
题关键．
11．【分析】先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．
【解答】解：由平均数的公式得：（﹣1﹣2+1+2+x）÷5＝0，
第11页（共26页）解得x＝0；
∴方差＝[（﹣1﹣0）2+（﹣2﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]÷5＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差
是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．
12．【分析】利用圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求得圆锥的侧面积．
【解答】解：底面直径为12cm，则底面周长＝12 cm，由勾股定理得，母线长＝10cm，侧面
π
面积＝ ×12 ×10＝60 cm2．
π π
故答案为：60 cm2
【点评】本题π利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
13．【分析】由于某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．
设每年投资的平均增长率为x，那么2011年初投资2（1+x），2012年初投资2（1+x）2，由
2012年初投资的金额不变即可列出方程．
【解答】解：由题意，有
2（1+x）2＝3．
故答案为2（1+x）2＝3．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握增长率问题
中的一般公式为a（1+x）n＝b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，
b是增长了n年后的数据．
14．【分析】由在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，易证得△ADE≌△FCE，即可得EF
＝AE＝6，CF＝AD，又由AB⊥AE，AB＝5，AE＝6，由勾股定理即可求得BF的长，继而可
求得梯形上下底之和．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠F＝∠DAE，∠ECF＝∠D，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
第12页（共26页）∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD，EF＝AE＝6，
∴AF＝AE+EF＝12，
∵AB⊥AE，
∴∠BAF＝90°，
∵AB＝5，
∴BF＝ ＝13，
∴AD+BC＝BC+CF＝BF＝13．
故答案为：13．
【点评】此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，
注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
15．【分析】分析数据可得：第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数
为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n
个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10＝
120个．
【解答】解：第1个图形中小五角星的个数为3；
第2个图形中小五角星的个数为8；
第3个图形中小五角星的个数为15；
第4个图形中小五角星的个数为24；
则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．
故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10＝120个．
故答案为120．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先
应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，并从已知的特殊个体推理得出一般
规律．即可解决此类问题．
16．【分析】分别以BP为腰B为顶点、以BP为腰P为顶点和以BP为底作三角形即可得到满
足条件的Q的个数．
【解答】解：如右图所示，分以下情形：
（1）以BP为腰，P为顶点时：
以P为圆心，BP长为半径作圆，分别与正方形的边交于Q ，Q ，Q ．此时 P与CD边相
1 2 3
⊙
第13页（共26页）切；
（2）以BP为腰，B为顶点时：
以B为圆心，BP长为半径作圆，与正方形的边交于Q 和Q ；
4 1
（3）以BP为底时：
作BP的垂直平分线交正方形的边于Q 和Q ．
5 1
综上所述，共有5个点，
故答案为5．
【点评】本题综合考查了等腰三角形、等边三角形、圆的切线、正方形等重要知识点，解决
本题的关键是分三种情况讨论，只有这样才能不重不漏．注意△PBQ 是等边三角形，因此
1
在上述三种情形中，均有一个点重合于BC边上的点Q ．
1
三、解答题（每小题8分，共16分）
17．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ •x
＝x2+x，
当x＝ ﹣1时，
原式＝（ ﹣1）2+（ ﹣1）
＝2+1﹣2 + ﹣1
＝2﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
18．【分析】（1）根据网格结构，找出点A、B、C向下平移4个单位的对应点A 、B 、C 的位置，
1 1 1
然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C 的坐标；
1
（2）延长BA到A ，使AA ＝AB，延长BC到C ，使CC ＝BC，然后连接A C 即可，再根据
2 2 2 2 2 2
平面直角坐标系写出C 点的坐标，利用△A BC 所在的矩形的面积减去四周三个小直角
2 2 2
第14页（共26页）三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求，C （2，﹣2）；
1 1 1 1
（2）如图，△A BC 即为所求，C （1，0），
2 2 2
△A BC 的面积：
2 2
6×4﹣ ×2×6﹣ ×2×4﹣ ×2×4
＝24﹣6﹣4﹣4
＝24﹣14
＝10．
【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用平移变换作图，以及网格内三角形的面积的
求解，根据网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，网格内的三角形的面积通常利
用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，一定要熟练掌握并灵活
运用．
四、（每小题10分，共20分）
19．【分析】（1）根据档次是A的工人，在扇形统计图中对应的扇形的圆心角是72°，则A所占
的比例是： ，而档次是A的有20人，据此即可求得总人数；
（2）A的频率是： ＝0.20，利用B的频率0.30乘以总人数即可求得B的频数，同理求得
D的频率，然后根据各档次的频率的和是1，即可求得C的频率，进而求得频数；
（3）利用C的频率乘以360°，即可求解．
【解答】解：（1）20÷ ＝100（人）
第15页（共26页）∴该企业共有100人；
（2）填表如下：
档次 工资（元） 频数（人） 频率
A 3000 20 0.20
B 2800 30 0.30
C 2200 40 0.40
D 2000 10 0.10
（3）360×0.4＝144°．
【点评】本题考查了频数分布表以及扇形统计图，正确理解扇形的圆心角的计算方法，以
及频率的公式：频率＝ ，是关键．
20．【分析】（1）根据题意即可求得该顾客至少可得的购物券，至多可得的购物券的金额；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与该顾客所获购物券的金
额不低于50元的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：该顾客至少可得购物券：0+10＝10（元），至多可得购物券：
30+50＝80（元）．
故答案为：10，80． …2′
（2）列表得：
0 10 30 50
0 ﹣ （0，10） （0，30） （0，50）
10 （10，0） ﹣ （10，30） （10，50）
30 （30，0） （30，10） ﹣ （30，50）
50 （50，0） （50，10） （50，30） ﹣
∵两次摸球可能出现的结果共有12种，每种结果出现的可能性相同，而所获购物券的金
额不低于50元的结果共有6种． …8′
∴该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率是： ．…10′
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步
第16页（共26页）以上完成的事件；注意此题是不放回实验．
五、（每小题10分，共20分）
21．【分析】（1）首先连接OC，由PC切 O于点C，可得∠OCP＝90°，又由∠BAC＝30°，即
可求得∠COP＝60°，∠P＝30°，然后根⊙据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一
半，证得OB＝BP；
（2）由（1）可得OB＝ OP，即可求得AP的长，又由 ＝ ，即可得∠CAD＝∠BAC＝
30°，继而求得∠E＝90°，继而在Rt△AEP中求得答案．
【解答】解：（1）OB＝BP．
理由：连接OC，
∵PC切 O于点C，
∴∠OCP⊙＝90°，
∵OA＝OC，∠OAC＝30°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠COP＝60°，
∴∠P＝30°，
在Rt△OCP中，OC＝ OP＝OB＝BP；
（2）由（1）得OB＝ OP，
∵ O的半径是2，
∴⊙AP＝3OB＝3×2＝6，
∵ ＝ ，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∵∠P＝30°，
∴∠E＝90°，
在Rt△AEP中，AE＝ AP＝ ×6＝3．
第17页（共26页）【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意
掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
22．【分析】设第一队的平均速度是x千米/时，则第二队的平均速度是1.5x千米/时．根据半小
时后，第二队前去支援，结果两队同时到达，即第一队与第二队所用时间的差是 小时，
即可列方程求解．
【解答】解：设第一队的平均速度是x千米/时，
则第二队的平均速度是1.5x千米/时．
根据题意，得：
解这个方程，得
x＝60
经检验，x＝60是所列方程的根，
1.5x＝1.5×60＝90（千米/时）．
答：第一队的平均速度是60千米/时，第二队的平均速度是90千米/时．
【点评】本题考查了列方程解应用题，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相
等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，
而另一个则用来设未知数．
六、（每小题10分，共20分）
23．【分析】首先B点作BD⊥AC，垂足为D，根据题意，得：∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝
∠BCN＝50°，然后分别在Rt△ABD与Rt△CBD中，利用余弦函数求得BD与BC的长，继
而求得答案．
【解答】解：过B点作BD⊥AC，垂足为D．
根据题意，得：∠ABD＝∠BAM＝37°，∠CBD＝∠BCN＝50°，
在Rt△ABD中，
第18页（共26页）∵cos∠ABD＝ ，
∴cos37°＝ ≈0.80，
∴BD≈10×0.8＝8（海里），
在Rt△CBD中，
∵cos∠CBD＝ ，
∴cos50°＝ ≈0.64，
∴BC≈8÷0.64＝12.5（海里），
∴12.5÷30＝ （小时），
∴ ×60＝25（分钟）．
答：渔政船约25分钟到达渔船所在的C处．
【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解题的关键是利用方向角构造直角三角
形，然后解直角三角形，注意数形结合思想的应用．
24．【分析】（1）甲的图象是过原点的直线，过（5，50），乙队在2≤x≤5的时间段内是一次函
数，可以利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）乙队修筑的水渠长度开始超过甲队，则20x﹣30＞10x，据此即可求得x的范围；
（3）乙队从开修到完工所修水渠的长度为m米，乙队在修筑5小时后，甲剩余m﹣50米，
乙剩余（m﹣70）米，根据两队同时完成任务，即时间相等，即可列方程求解．
【解答】解：（1） 设函数的解析式是y＝kx，根据题意得：5k＝50，解得：k＝10，
则甲的函数解析式是①：y＝10x．
设函数的解析式是：y＝mx+b，
②
第19页（共26页）根据题意得： ，
解得： ．
则函数解析式是：y＝20x﹣30．
（2）根据题意得：20x﹣30＞10x，
20x﹣10x＞30，
解得：x＞3．
故开修3小时后，乙队修筑的水渠长度开始超过甲队．
（3）由图象得，甲队的速度是50÷5＝10（米/时）
设：乙队从开修到完工所修水渠的长度为m米．
根据题意得： ＝ ，
解得：m＝90．
答：乙队从开修到完工所修水渠的长度为90米．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，待定系数法求函数的解析式，以及列方
程解应用题，此类题是近年中考中的热点问题．
七、（本题12分）
25．【分析】（1） 先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝
∠BAC，则∠B①AD＝∠CAE，再根据SAS证明△ABD≌△ACE，从而得出BD＝CE；
先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA＝∠CEA，再根据三角形的外角性质即可得
②出∠BMC＝∠DAE＝180°﹣2 ；
α
第20页（共26页）（2）先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC＝90°
﹣ ，则∠BAD＝∠CAE，再由AB＝kAC，AD＝kAE，得出AB：AC＝AD：AE＝k，则根据两
α
边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似证出△ABD∽△ACE，得出BD＝kCE，∠BDA
＝∠CEA，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC＝∠DAE＝90°﹣ ；
α
（3）先在备用图中利用SSS作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三
角形内角和定理得出∠DAE＝∠BAC＝90°﹣ ，由AB＝kAC，AD＝kAE，得出AB：AC＝
α
AD：AE＝k，从而证出△ABD∽△ACE，得出∠BDA＝∠CEA，然后根据三角形的外角性质
即可得出∠BMC＝90°+ ．
α
【解答】解：（1）如图1．
BD＝CE，理由如下：
①∵AD＝AE，∠ADE＝ ，
∴∠AED＝∠ADE＝ ，α
∴∠DAE＝180°﹣2∠αADE＝180°﹣2 ，
同理可得：∠BAC＝180°﹣2 ， α
∴∠DAE＝∠BAC， α
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
∵△ABD≌△ACE，
②∴∠BDA＝∠CEA，
∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC＝∠MCD+∠CEA＝∠DAE＝180°﹣2 ；
α
第21页（共26页）（2）如图2．
∵AD＝ED，∠ADE＝ ，
α
∴∠DAE＝ ＝90°﹣ ，
α
同理可得：∠BAC＝90°﹣ ，
α
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE，
即：∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝kAC，AD＝kAE，
∴AB：AC＝AD：AE＝k．
在△ABD与△ACE中，
∵AB：AC＝AD：AE＝k，∠BDA＝∠CEA，
∴△ABD∽△ACE，
∴BD：CE＝AB：AC＝AD：AE＝k，∠BDA＝∠CEA，
∴BD＝kCE；
∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，
∴∠BMC＝∠MCD+∠CEA＝∠DAE＝90°﹣ ．
α
故答案为：BD＝kCE，90°﹣ ；
α
（3）如右图．
∵AD＝ED，∠ADE＝ ，
α
∴∠DAE＝∠AED＝ ＝90°﹣ ，
α
同理可得：∠BAC＝90°﹣ ，
α
∴∠DAE＝∠BAC，即∠BAD＝∠CAE．
∵AB＝kAC，AD＝kAE，
∴AB：AC＝AD：AE＝k．
在△ABD与△ACE中，
第22页（共26页）∵AB：AC＝AD：AE＝k，∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴∠BDA＝∠CEA，
∵∠BMC＝∠MCD+∠MDC，∠MCD＝∠CED+∠ADE＝∠CED+ ，
α
∴∠BMC＝∠CED+ +∠CEA＝∠AED+ ＝90°﹣ + ＝90°+ ．
α α α α α
故答案为：90°+ ．
α
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定
与性质，作图﹣旋转变换，综合性较强，有一定难度．由于全等是相似的特殊情况，所以做
第二问可以借助第一问的思路及方法，做第三问又可以遵照第二问的做法，本题三问由浅
入深，层层递进，做好第一问是关键．
八、（本题14分）
26．【分析】（1）首先由OC、OA的数量关系确定点C的坐标，即可利用待定系数法求出抛物
线的解析式．
（2）由（1）的抛物线解析式可得点B的坐标，而点C的坐标已经求得，由待定系数法求解
即可．
（3） 首先要明确正方形ODEF和△OBC重合部分的形状：当点D在△OBC内部时，两
者的①重合部分是矩形；当点D在△OBC外部时，两者的重合部分是五边形，其面积可由正
方形的面积减去△DGH的面积（G、H分别为ED、OD和线段BC的交点）．在判断t的取
值范围时，要注意一个“关键点”：点D位于线段BC上时．
根据 的函数性质即可得到答案，要注意未知数的取值范围．
（②4）若存①在以A、M、N、P为顶点的平行四边形，那么应分：AM PN或AN PM两种情况，
由于AM在x轴上，结合平行四边形的特点可知：无论哪种情况，点N到x轴的距离都等
第23页（共26页）于点P到x轴的距离，根据这个特点可确定点M、N的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），|OC|＝3|OA|
∴C（0，﹣3）
∵抛物线经过A（﹣1，0），
C（0，﹣3）
∴
∴
∴y＝x2﹣2x﹣3．
（2）由（1）的抛物线知：点B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y＝kx﹣3，代入B点坐标，得：
3k﹣3＝0，解得 k＝1
∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3．
（3）当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时，设D点的坐标为（m，﹣2），
根据题意得：﹣2＝m﹣3，∴m＝1．
当0＜t≤1时，正方形和△OBC的重合部分是矩形；
①∵OO
1
＝t，OD＝2
∴S ＝2t；
1
当1＜t≤2时，正方形和△OBC的重合部分是五边形，如右图；
∵OB＝OC＝3，∴△OBC、△D GH都是等腰直角三角形，∴D G＝D H＝t﹣1；
1 1 1
S
2
＝S矩形DD1O1O ﹣S△D1HG ＝2t﹣ ×（t﹣1）2＝﹣ t2+3t﹣ ．
由 知：
②当0＜①t≤1时，S＝2t的最大值为2；
当1＜t≤2时，S＝﹣ t2+3t﹣ ＝﹣ （t﹣3）2+4，由于未知数的取值范围在对称轴左侧，
且抛物线的开口向下；
∴当t＝2时，函数有最大值，且值为 S＝﹣ +4＝ ＞2．
第24页（共26页）综上，当t＝2秒时，S有最大值，最大值为 ．
（4）由（2）知：点P（1，﹣2）．假设存在符合条件的点M；
当AM PN时，点N、P的纵坐标相同，即点N的纵坐标为﹣2，代入抛物线的解析式中
①有：
x2﹣2x﹣3＝﹣2，解得 x＝1± ；
∴AM＝NP＝ ，
∴M （﹣ ﹣1，0）、M （ ﹣1，0）．
1 2
当AN PM时，平行四边形的对角线PN、AM互相平分；
②设M（m，0），则 N（m﹣2，2），代入抛物线的解析式中，有：
（m﹣2）2﹣2（m﹣2）﹣3＝2，解得 m＝3± ；
∴M （3﹣ ，0）、M （3+ ，0）．
3 4
综上，存在符合条件的M点，且坐标为：
M （﹣ ﹣1，0）、M （ ﹣1，0）、M （3﹣ ，0）、M （3+ ，0）．
1 2 3 4
第25页（共26页）【点评】该题是难度较大的二次函数综合题，包涵了：函数解析式的确定、图形面积的解法、
平行四边形的性质等重要知识．（3）题是图形的动点问题，要把握住“关键点”，本着
“不重不漏”的原则分段讨论．（4）题虽然难度不大，但涉及的情况较多，要结合图形分
类讨论，争取做到不漏解．
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日期：2020/9/14 12:32:15；用户：18366185883；邮箱：18366185883；学号：22597006
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