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专题 04 二次根式【八大题型】
【题型1 二次根式有意义的条件】..........................................................................................................................1
【题型2 二次根式的乘除及化简】..........................................................................................................................2
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】.........................................................................................................2
【题型4 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................3
【题型5 二次根式的估值】......................................................................................................................................4
【题型6 二次根式中的开放性试题】......................................................................................................................4
【题型7 二次根式中的规律探究】..........................................................................................................................4
【题型8 与二次根式有关的新定义问题】..............................................................................................................5
【知识点 二次根式】
1.二次根式的定义
一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式。
2.二次根式的基本性质
① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3.二次根式的乘除
√a⋅√b=√ab √ab=√a⋅√b
(1)二次根式的乘法：① ； ② (a≥0， b≥0)。
(2)二次根式的除法：① ； ② (a≥0， b＞0)。
4.最简二次根式
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5.二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
【题型1 二次根式有意义的条件】
【规律方法】
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此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等
式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。
【例1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式 有意义的x的取值范围是 ．
√−x2+2x−1
1
【变式1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若 有意义，则实数x的取值范围是
√x−3
1
【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数y= +(x−3) 0 中，自变量x的取值范围是( )
√x+3
A．x≥−3 B．x>−3 C．x≠3 D．x>−3且x≠3
√2x+tan45°
【变式1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子 有意义的x的取值范围是（ ）
x−tan45°
1 1 1
A．x≥− 且x≠1 B．x≠1 C．x≥− D．x>− 且x≠1
2 2 2
【题型2 二次根式的乘除及化简】
√3 √4
【例2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算√18÷ × 结果为（ ）．
4 3
A．3√2 B．4√3 C．4√2 D．6√2
【变式2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若 ， ，则√14a2 ．
a=√2 b=√7 =
b2
√a √ 1
【变式2-2】（2023下·江苏·八年级专题练习）计算 ÷√ab⋅ （a＞0，b＞0）的结果是（ ）
b ab
1 1 1
A． √ab B． √ab C． √ab D．b√ab
ab2 ab b
【变式2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从−√2、√3，√6中任意选择两个数，分别填在算式
里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
(□+○) 2÷√2
【题型3 应用乘法公式计算二次根式的值】
【例3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相
应的任务：
解：(√3−√2) 2 ×(5+2√6)
=(3−2√6+2)×(5+2√6)
…第1步
=(5−2√6)×(5+2√6) …
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第2步
=25−12 …第3
步
=13. …第4步
任务：
(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为 （用字母表示）；
(2)上述解答过程，从第 步开始出错，具体的错误是 ；
(3)计算的正确结果为 ．
【变式3-1】（2023·天津·统考中考真题）计算 的结果为 ．
(√7+√6)(√7−√6)
【变式3-2】（2023·天津河北·统考一模）计算 的结果等于 ．
(2+3√2)(2−3√2)
【变式3-3】（2023·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式： ，则有
a2+2ab+b2=(a±b) 2
，那么我们如何把双重二次根式 化简呢？如
√a2±2ab+b2=|a±b| √a±2√b(a>0，b>0，a±2√b>0)
果能找到两个数m，n 使得 即 ， 即 ，那么
(m>0，n>0) (√m) 2+(√n) 2=a m+n=a √m⋅√n=√b mn=b
√a±2√b=|√m±√n|，从而使双重二次根式得以化简．
例如：化简√3+2√2．
∵3=1+2，2=1×2，
∴ ，
3+2√2=(√1) 2+2√1×√2+(√2) 2=(1+√2) 2
∴√3+2√2=|1+√2|=1+√2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成√a±2√b的形式且能找
到两个数m，n 使得 即 ， 即 ，那么这个双重二
(m>0，n>0) (√m) 2+(√n) 2=a m+n=a √m⋅√n=√b mn=b
次根式就一定可以化为一个二次根式．请完成下列问题：
(1)填空：√5+2√6=________；√12−2√35= ________；
(2)化简：√16−4√15；
1
(3)计算：√3−√5+ √14+4√10．
2
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【题型4 二次根式的混合运算】
√3
【例4】（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：√27÷ ×2√2−6√2．
2
【变式4-1】（2023·山东聊城·统考中考真题）计算：( √1) ．
√48−3 ÷√3=
3
【变式4-2】（2023·上海·统考中考真题）计算：√38+
1
−
(1) −2
+|√5−3|
2+√5 3
【变式4-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：
√9
(1)(√6+2√15)×√3− ×√38
2
(2)|−√3 −23|− √ 2 1 −√3 (−1) 2000
4
2√18+√6
0
(3) −(1−√3)
√2
(4)( √1)(√1 ) √3
√24− +√6 +2√12× ÷5√2
2 8 4
【题型5 二次根式的估值】
√1
【例5】（2023·山东临沂·统考中考真题）设m=5 −√45，则实数m所在的范围是（ ）
5
A．m<−5 B．−5−3
√1
【变式5-1】（2023·山东济南·校考三模）估计(4√3+3√2)× 的值应在 和 之间（填写整数）．
3
【变式5-2】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知 ，则与 最接近的整数为（
k=√2(√5+√3)⋅(√5−√3) k
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】（2023·河北邯郸·统考三模）如图，数轴上有O，A，B，C，D四点，根据图中各点表示的
数，表示数√2×√12−2的点会落在（ ）
A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间
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【题型6 二次根式中的开放性试题】
【例6】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得√8m是整数；m= ．
【变式6-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知x为正整数，写出一个使 在实数的范围内没有意
√x−3
义的x值是 ．
【变式6-2】（2023·河南南阳·统考二模）写出一个实数x，使√x−3是最简二次根式，则x可以是 ．
【变式6-3】（2023·山东·统考中考真题）如果一个无理数a与√8的积是一个有理数，写出a的一个值是
．
【题型7 二次根式中的规律探究】
【例7】（2023下·安徽·九年级模拟预测）观察下列各式：
①√1×2×3×4+1=5；
②√2×3×4×5+1=11；
③√3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出√n×(n+1)(n+2)(n+3)+1＝ ，并加以证明．
【变式7-1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）观察下列等式：
1
第1个等式：a = =√2−1；
1 1+√2
1
第2个等式：a = =√3−√2；
2 √2+√3
1
第3个等式：a = =2−√3；
3 √3+2
…
根据以上等式给出的规律，计算：a +a +a +…+a = ．
1 2 3 19
√ 2 √2
【变式7-2】（2023·四川·统考中考真题）观察下列各式及其验证过程： 2+ =2 ，验证：
3 3
√ 2 √8 √22×2 √2 √ 3 √3，验证：√ 3 √27 √32×3 √3．
2+ = = =2 , 3+ =3 3+ = = =3
3 3 3 3 8 8 8 8 8 8
√ 4
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 4+ 的变形结果并进行验证；
15
（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用a（a≥2的整数）表示的等式．
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【变式7-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ，…
S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
【题型8 与二次根式有关的新定义问题】
【例8】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，
cos(a−β)=cosαcosβ+sinαsinβ.例如：当α=60°，β=45°时，
1 √2 √3 √2 √2+√6
cos(60°−45°)= × + × = ，则cos75°的值为( )
2 2 2 2 4
√6+√2 √6−√2 √6−√2 √6+√2
A． B． C． D．
4 4 2 2
【变式8-1】（2023·广西·中考真题）对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝¿计算(3※2)×(8※12)的
结果为( )
A．2－4√6 B．2 C．2√5 D．20
√3
【变式8-2】（2023·河南洛阳·校联考一模）定义新运算：a⊗b=√ab+a+b+1，则 ×（2⊗3）的值为 ．
2
【变式8-3】（2023·江苏·统考中考真题）观察下列等式
；
√3+2√2=√(√1+√2) 2=√1+√2
；
√5+2√6=√(√2+√3) 2=√2+√3
；
√7+2√12=√(√3+√4) 2=√3+√4
……
请你直接写出以下计算结果：
(1)请你猜测√13+2√42=_________，√21+2√110=_________；
(2)针对上述各式显示的规律，请你猜测
___________（ ， 为整数）；
√ (2n−1)+2√n2−n= n≥2 n
(3)利用上述规律计算：
1
+
1
+
1
+⋅⋅⋅+
1 =______（
n≥2
，
n
为整数）．
√3+2√2 √5+2√6 √7+2√12 √ (2n−1)+2√n2−n
6
