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第 04 讲 二次根式
目 录
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
题型03 判断同类二次根式
题型04 利用二次根式的性质化简
题型05 二次根式的乘除运算
题型06 二次根式的加减运算
题型07 二次根式的混合运算
题型08 二次根式的化简求值
题型09 二次根式的应用
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题型 01 二次根式有意义的条件
1．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若式子√x−19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
．
【答案】x≥19
【提示】根据二次根式有意义的条件可得x−19≥0，求解即可．
【详解】∵式子√x−19在实数范围内有意义，
∴x−19≥0，
解得x≥19，
故答案为：x≥19．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）要使式子√x−3有意义，则x可取的一个数是 ．
【答案】如4等（答案不唯一，x≥3）
【提示】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子√x−3有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，x≥3．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
√x+3
3．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【提示】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
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故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
4．（2023·广东广州·统考一模）代数式√k−1有意义时，直线y=kx+k一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【提示】根据k−1≥0，结合图像分布规律判断即可．
【详解】∵代数式√k−1有意义，
∴k−1≥0，
∴k≥1，
∴直线y=kx+k经过第一、二、三象限，
故直线一定不经过第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图像分布，熟练掌握图像分布规律是解题的关键．
题型 02 判断最简二次根式
1．（2023·贵州遵义·校考一模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√12
A．√0.5 B．√3 C．√8 D．
7
【答案】B
【提示】若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式，据此逐项判断即可．
√2
【详解】解：√0.5= ，故A选项不是最简二次根式；
2
√8=2√2，故C选项不是最简二次根式；
√12 2√21
= ，故D选项不是最简二次根式；
7 7
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式．
√3
2．下列各式：① ，②√2，③√18，④√0.2，最简二次根式有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【答案】A
【提示】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
√3 √6
【详解】解：① = ，不是最简二次根式；
2 2
②√2，是最简二次根式；
③√18=3√2，不是最简二次根式；
√1 √5
④√0.2= = ，不是最简二次根式；
5 5
最简二次根式有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解；能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
3（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于√8，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．是无理数
C．整数部分是2 D．一定能够在数轴上找到表示√8的点
【答案】A
【提示】根据最简二次根式、无理数、实数与数轴进行判断．
【详解】解：A．√8=2√2，√8不是最简二次根式，选项符合题意；
B．√8=2√2，√2是无理数，则√8是无理数，选项不符合题意；
C．因为1<√2<1.5，则2<2√2<3，所以√8的整数部分是2，选项不符合题意；
D．数轴上的点与实数是一一对应的关系，则一定能够在数轴上找到表示√8的点，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2022江门市模拟）若最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【提示】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，可得
4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，
∴¿，
∴¿，
解得¿，
故选D．
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【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
题型 03 判断同类二次根式
1．（2023·上海松江·统考二模）下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（ ）
A．√0.2 B．√0.5 C．√4 D．√12
【答案】B
【提示】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
√1 √5
【详解】解：A、√0.2= = ，与√2不是同类二次根式；
5 5
√1 √2
B、√0.5= = ，与√2是同类二次根式；
2 2
C、√4=2，与√2不是同类二次根式；
D、.√12=2√3，与√2不是同类二次根式；
故选：B.
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键.
2．（2023·四川攀枝花·统考二模）下列二次根式中，不能与√3合并的是（ ）
√1
A．√32 B．√27 C．√12 D．
3
【答案】A
【提示】先化简各个选项的二次根式，再看能否合并√3，即可得到答案．
【详解】解：A、√32=4√2，不能和√3合并的，符合题意，
B、√27=3√3，能和√3合并的，不符合题意，
C、√12=2√3，能和√3合并的，不符合题意，
√1 √3
D、 = ，能和√3合并的，不符合题意，
3 3
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式．
3．（2023衡阳市模拟）若最简二次根式√2x+1和√4x−3能合并，则x的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【答案】C
【提示】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义
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进行解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式√2x+1和√4x−3能合并，
∴√2x+1与√4x−3为同类二次根式，
∴2x+1=4x−3，
解得：x=2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
题型 04 利用二次根式的性质化简
1．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ）
A．√4+9=2+3 B．√4×9=2×3 C．√94=√32 D．√4.9=0.7
【答案】B
【提示】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A.√4+9=√13≠2+3，故错误；
B.√4×9=2×3，故正确；
C.√94=√38≠√32，故错误；
D.√4.9≠0.7，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2023南皮县模拟）下列二次根式中，化简结果为-5的是（ ）
A．√(−5) 2 B．(−√5) 2 C．−√52 D．√52
【答案】C
【提示】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：A、√(−5) 2=5，不符合题意；
B、(−√5) 2=5，不符合题意；
C、−√52=−5，符合题意；
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D、√52=5，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则√(m−3) 2+√(m−7) 2等于（ ）
A．2m−10 B．10−2m C．10 D．4
【答案】D
【提示】先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：∵2,3,m是三角形的三边，
∴5−21，
∴2√2>2，
∴2−2√2<0，
∴M−N<0，
即M0，只有当m=_______时，m+ 有最小值_______；若m>0，只有当m=_______时，2m+ 有
m m
最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间
相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米 2）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每
❑
间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，2，2，8
7 21 147
(2)每间隔离房长为 米，宽为 米时，S的最大值为 米❑ 2
2 8 16
1 8
【提示】（1）根据a+b≥2√ab（a，b均为正实数），分别对m+ 和2m+ 进行化简，求最小值即可；
m m
（2）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意得出9x+12y=63，然后根据题
干提供的方法求S的最大值即可．
( 1 ) 2
【详解】（1）解：∵ √m− ≥0，
√m
又∵m>0
1 √ 1
∴m+ ≥2 m· =2，
m m
1 1
∴当m= ，即m=1时，m+ 有最小值，最小值为2；
m m
( √ 8)
∵ √2m− ≥0，
m
又∵m>0，
8 √ 8
∴2m+ ≥2 2m· =8，
m m
8 8
∴当2m= ，即m=2时，2m+ 有最小值，最小值为8．
m m
故答案为：1，2，2，8．
（2）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，
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依题意得：9x+12y=63，
即3x+4 y=21，
∴3x+4 y≥2√3x⋅4 y，
即21≥2√3x⋅4 y，
147
∴xy≤ ，
16
147
即S≤ ，
16
147
当3x=4 y时， S = ，
max 16
7 21
此时，x= ,y= ，
2 8
7 21 147
即每间隔离房长为 米，宽为 米时，S的最大值为 米❑ 2 ．
2 8 16
【点睛】本题考查了完全平方式和二次根式的运用，解题的关键是能灵活运用题中的结论，求出最小值．
3．（2021·贵州黔西·统考模拟预测）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(√a−√b) 2 ≥0，∴
a−2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2√ab（a、b均为正实
数）中，若ab为定值m，则a+b≥2√m，只有当a=b时，a+b有最小值2√m．根据上述内容，回答下列
问题：
4
(1)若a>0，只有当a=__________时，a+ 有最小值__________；
a
6
(2)若a>0，只有当a=__________时，2a+ 有最小值__________；
a
( a ) ( 8)
(3)若a<0，平面内有A a, −4 ，B a,− 两点，当a为何值时，线段AB最短，最短是多少？
2 a
【答案】(1)2，4；
(2)√3，4√3；
(3)－4；8．
【提示】（1）直接利用题中公式求解即可；
（2）直接利用题中公式求解即可；
| −a 8 |
（3）根据两点间距离公式可得AB= 4+ + ，再利用公式求解即可．
2 −a
【详解】（1）由题意可知，a+b≥2√ab
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4 √ 4
∴a+ ≥2 a·
a a
4
∴只有当a=2时，a+ 有最小值是4．
a
故答案为2，4；
（2）∵a+b≥2√ab，
6 12 √ 12
∴2a+ =2a+ ≥2 2a· =4√3，
a 2a 2a
6
即2a+ ≥4√3．
a
6
∴只有当a= √3时，2a+ 有最小值为4√3．
a
故答案为：，√3，4√3．
（3）∵a<0 ，
∴−a>0 ．
( a ) ( 8)
∵A a, −4 ，B a,− ，
2 a
|a ( 8)| |a 8 | | −a 8 |
∴AB= −4− − = + −4 = 4+ + ，
2 a 2 a 2 −a
−a 8 √−a 8
∵ + ≥2 ⋅
2 −a 2 −a
a 8 −a 8
当 = 时，即a=－4时， + ≥4
2 a 2 −a
∴AB≥|4+4|=8
所以，当a=－4时，线段AB最短，最短距离是8．
【点睛】本题主要考查a+b≥2√ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2√p，只有当a=b
时，a+b有最小值2√p；注意运用类比的思想把相关知识加以运用．
4．（2021·河北唐山·统考一模）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项
系数因为被污染看不清楚．
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（1）嘉嘉认为污染的数为−3，计算“A+B”的结果；
（2）若a=3+√3，淇淇认为存在一个整数，可以使得“A−B”的结果是整数，请你求出满足题意的被污
染的这个数．
【答案】（1）−2a2−2a+3；（2）0．
【提示】（1）根据整式的加法法则解题；
（2）设污染的数字为m，利用整式的减法法则解得A−B =a2−6a+9−ma2，再利用配方法化为A−B
=(a−3) 2−ma2，由A−B的结果是整数得到ma2是整数，据此解题．
【详解】解：（1）A+B=a2−4a+6+(−3a2+2a−3)
=a2−4a+6−3a2+2a−3
=−2a2−2a+3；
（2）设污染的数字为m，
∴A−B=(a2−4a+6)−(ma2+2a−3)
=a2−4a+6−ma2−2a+3
=a2−6a+9−ma2
=(a−3) 2−ma2
∵a=3+√3
∴(a−3) 2=(3+√3−3) 2=3是整数
∵A−B的结果是整数
∴ma2是整数
∵a2=(3+√3) 2=12+6√3是无理数，m是整数
∴m=0
即存在整数0满足题意．
【点睛】本题考查整式的加减混合运算、涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知
识是解题关键．
5．（2023·江苏·统考二模）问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且
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，求证：(c−b)(c−a) ．
2023(a−b)+√2023(b−c)+(c−a)=0 −√2023=2023
(a−b) 2
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个
一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参
考：
令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023 ．
利用根与系数的关系得：1+√2023= _____；1×√2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
b−c c−a
【答案】− ； ；见解析
a−b a−b
【提示】令√2023=x，则2023=x2，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出
代数式的值．
【详解】解：令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023.
b−c c−a
利用根与系数的关系得：1+√2023=− ；1×√2023= ；
a−b a−b
(c−b)(c−a)
∴ −√2023
(a−b) 2
c−b c−a
= ⋅ −√2023
a−b a−b
=(1+√2023)×√2023−√2023
=√2023+(√2023) 2 −√2023
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=2023．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，
再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值．
1．（2022·四川雅安·统考中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有
意义的条件．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式√1−x有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜√65＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④√16的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】B
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【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，
根的判别式判断即可．
【详解】解：①若二次根式√1−x 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜√65 ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④√16 ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
3．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则
√(k−1) 2−(√2−k) 2 的化简结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−1−2k D．2k−3
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，得判别式
△=[−(2k−2)] 2 −4×1×(k2−1)≥0，由此可得k≤1，据此可对√(k−1) 2−(√2−k) 2 进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，
∴判别式△=[−(2k−2)] 2 −4×1×(k2−1)≥0，
整理得：−8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k−1≤0，2−k>0，
∴√(k−1) 2−(√2−k) 2
=−(k−1)−(2−k)
=−1．
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故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一
元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
4．（2021·湖北恩施·统考中考真题）从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的
有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【提示】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：
−√3×√2=−√6,−√2×√2=−2,−√3×(−√2)=√6，
∴所有积中小于2的有−√6,−2两个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
5．（2023·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．(√2) 0=√2 B．2√3+3√3=5√6
C．√8=4√2 D．√3(2√3−2)=6−2√3
【答案】D
【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. (√2 0)=1，故该选项不正确，不符合题意；
B. 2√3+3√3=5√3，故该选项不正确，不符合题意；
C. √8=2√2，故该选项不正确，不符合题意；
D. √3(2√3−2)=6−2√3，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二
次根式的运算法则是解题的关键．
( 1 )
6．（2023·重庆·统考中考真题）估计√5× √6− 的值应在（ ）
√5
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A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
( 1 )
【详解】解：√5× √6− =√30−1，
√5
∵25<30<36，
∴√25<√30<√36，即5<√30<6，
∴4<√30−1<5，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
7．（2022·四川泸州·统考中考真题）与2+√15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵12.25＜15＜16，
∴3.5＜√15＜4，
∴5.5＜2+√15＜6，
∴最接近的整数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8．（2022·湖南常德·统考中考真题）我们发现：√6+3=3，√6+√6+3=3，√6+√6+√6+3=3，…，
⏟ √ 6+√ 6+√6+⋯+√6+√6+3=3
，一般地，对于正整数a，b，如果满足
n个根号
⏟ √ b+√ b+√b+⋯+√b+√b+a=a
时，称(a,b)为一组完美方根数对．如上面(3,6)是一组完美方根数对．
n个根号
则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(a,380)是完美方根数对，则
a=20；④若(x,y)是完美方根数对，则点P(x,y)在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【答案】C
【分析】根据定义逐项分析判断即可．
【详解】解：∵√12+4=4，
∴ (4,12)是完美方根数对；
故①正确；
∵ √91+9=10 ≠9
∴ (9,91)不是完美方根数对；
故②不正确；
若(a,380)是完美方根数对，则√380+a=a
即a2=380+a
解得a=20或a=−19
∵a是正整数
则a=20
故③正确；
若(x,y)是完美方根数对，则√y+x=x
∴y+x=x2,
即y=x2−x
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．
9．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知x为正整数，写出一个使√x−3在实数的范围内没有意义的x值
是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当x−3<0时，√x−3没有意义，解不等式，即可解答．
【详解】解：当x−3<0时，√x−3没有意义，
解得x<3，
∵x为正整数，
∴x可取1，2，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关
键．
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10．（2023连云港中考真题）计算：(√5) 2= ．
【答案】5
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：(√5) 2= 5
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．（2023·四川凉山·统考中考真题）计算(π−3.14) 0+√(√2−1) 2= ．
【答案】√2
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
【详解】(π−3.14) 0+√(√2−1) 2
=1+√2−1
=√2．
故答案为：√2．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1
是解题的关键．
12．（2023·湖北·统考中考真题）计算4−1− √ 1 +(3−√2) 0 的结果是 ．
16
【答案】1
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，然后计算加减法即可．
【详解】解：4−1− √ 1 +(3−√2) 0
16
1 1
= − +1
4 4
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
13．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从−√2、√3，√6中任意选择两个数，分别填在算式(□+○) 2÷√2里
面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
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5 9
【答案】 √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）
2 2
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−√2和√3，
则(−√2+√3) 2 ÷√2=(2−2√6+3)÷√2
=(5−2√6)÷√2
=5÷√2−2√6÷√2
5
= √2−2√3．
2
②选择−√2和√6，
则(−√2+√6) 2 ÷√2=(2−2√12+6)÷√2
=(8−2√12)÷√2
=8÷√2−2√12÷√2
=4√2−2√6．
③选择√3和√6，
则(√3+√6) 2 ÷√2=(3+2√18+6)÷√2
=(9+6√2)÷√2
=9÷√2+6√2÷√2
9
= √2+6．
2
5 9
故答案为： √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）．
2 2
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
√1
14．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）计算√63−7 的结果是 ．
7
【答案】2√7
【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．
√1 √7
【详解】解：√63−7 =3√7−7× =2√7，
7 7
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故答案为：2√7．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
15．（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
50 2600
【答案】50 /
51 51
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S +S +⋯+S
1 2 50
1 1 1
=1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 50×51
1 1 1 1 1
=50+(1− + − +⋯+ − )
2 2 3 50 51
50
=50 ，
51
50
故答案为：50 ．
51
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
1
16．（2022呼伦贝尔市中考）已知x，y是实数，且满足y=√x−2＋√2−x＋ ，则√x⋅√y的值是 ．
8
1
【答案】
2
【分析】根据二次根式的定义可得¿，解得：x=2，即可求出y的值，即可求出√x⋅√y的值.
【详解】解：∵由二次根式的定义得¿，解得：x=2，
1 1
∴y=0+0+ ，即：y= ，
8 8
√1 √ 1 √1 1
∴√x⋅√y=√2× = 2× = = .
8 8 4 2
1
故答案为： .
2
【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及
二次根式的乘除的运算法则即可.
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( 5 ) 2m−4
17．（2023·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值： m+2+ ⋅ ，其中
2−m 3−m
m=√16+tan45°．
【答案】−2m−6，原式=−16
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最
后代值计算即可．
( 5 ) 2m−4
【详解】解： m+2+ ⋅
2−m 3−m
(m2−4 5 ) 2(m−2)
= − ⋅
m−2 m−2 3−m
m2−9 2(m−2)
= ⋅
m−2 3−m
(m+3)(m−3) 2(m−2)
= ⋅
m−2 3−m
=−2(m+3)
=−2m−6，
∵m=√16+tan45°，
∴m=4+1=5，
∴原式=−2×5−6=−10−6=−16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的
关键．
√5+1
18．（2023·山东淄博·统考中考真题）先化简，再求值：(x−2y) 2+x(5 y−x)−4 y2，其中x= ，
2
√5−1
y= ．
2
【答案】xy ；1
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式=x2+4 y2−4xy−x2+5xy−4 y2
=xy,
√5+1 √5−1
当 x= ,y= 时,
2 2
√5+1 √5−1 4
原式 =xy= × = =1．
2 2 4
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【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
√5−1
1．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把 ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
2
√5−1 √5+1 1 1 2 2
中的“0.618法”就应用了黄金比．设a= ，b= ，记S = + ，S = + ，
2 2 1 1+a 1+b 2 1+a2 1+b2
100 100
…，S = + ，则S +S +⋯+S = ．
100 1+a100 1+b100 1 2 100
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S=1，S=2，S =100，•••，利用规律求解即可．
1 2 100
√5−1 √5+1
【详解】解：∵ a= ，b= ，
2 2
√5−1 √5+1
∴ab= × =1，
2 2
1 1 2+a+b 2+a+b
∵S = + = = =1，
1 1+a 1+b 1+a+b+ab 2+a+b
2 2 2+a2+b2 2+a2+b2
S = + =2× =2× =2，
2 1+a2 1+b2 1+a2+b2+a2b2 2+a2+b2
…，
100 100 1+a100+1+b100
S = + =100× =100
100 1+a100 1+b100 1+a100+b100+a100b100
∴ S +S +⋯+S = 1+2+……+100=5050
1 2 100
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=1，找出的规律是本题的关键．
2．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0
