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第 04 讲 二次根式
目 录
题型01 二次根式有意义的条件
题型02 判断最简二次根式
题型03 判断同类二次根式
题型04 利用二次根式的性质化简
题型05 二次根式的乘除运算
题型06 二次根式的加减运算
题型07 二次根式的混合运算
题型08 二次根式的化简求值
题型09 二次根式的应用
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题型 01 二次根式有意义的条件
1．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若式子√x−19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是
．
【答案】x≥19
【提示】根据二次根式有意义的条件可得x−19≥0，求解即可．
【详解】∵式子√x−19在实数范围内有意义，
∴x−19≥0，
解得x≥19，
故答案为：x≥19．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）要使式子√x−3有意义，则x可取的一个数是 ．
【答案】如4等（答案不唯一，x≥3）
【提示】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子√x−3有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一，x≥3．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
√x+3
3．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x
A．x≥3 B．x≥﹣3 C．x≥3且x≠0 D．x≥﹣3且x≠0
【答案】D
【提示】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，
解得：x≥﹣3且x≠0，
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故选：D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
4．（2023·广东广州·统考一模）代数式√k−1有意义时，直线y=kx+k一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【提示】根据k−1≥0，结合图像分布规律判断即可．
【详解】∵代数式√k−1有意义，
∴k−1≥0，
∴k≥1，
∴直线y=kx+k经过第一、二、三象限，
故直线一定不经过第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图像分布，熟练掌握图像分布规律是解题的关键．
题型 02 判断最简二次根式
1．（2023·贵州遵义·校考一模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√12
A．√0.5 B．√3 C．√8 D．
7
【答案】B
【提示】若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式，据此逐项判断即可．
√2
【详解】解：√0.5= ，故A选项不是最简二次根式；
2
√8=2√2，故C选项不是最简二次根式；
√12 2√21
= ，故D选项不是最简二次根式；
7 7
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式．
√3
2．下列各式：① ，②√2，③√18，④√0.2，最简二次根式有（ ）
2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【答案】A
【提示】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
√3 √6
【详解】解：① = ，不是最简二次根式；
2 2
②√2，是最简二次根式；
③√18=3√2，不是最简二次根式；
√1 √5
④√0.2= = ，不是最简二次根式；
5 5
最简二次根式有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解；能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
3（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于√8，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式 B．是无理数
C．整数部分是2 D．一定能够在数轴上找到表示√8的点
【答案】A
【提示】根据最简二次根式、无理数、实数与数轴进行判断．
【详解】解：A．√8=2√2，√8不是最简二次根式，选项符合题意；
B．√8=2√2，√2是无理数，则√8是无理数，选项不符合题意；
C．因为1<√2<1.5，则2<2√2<3，所以√8的整数部分是2，选项不符合题意；
D．数轴上的点与实数是一一对应的关系，则一定能够在数轴上找到表示√8的点，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2022江门市模拟）若最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【提示】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，可得
4a+3b=2a−b+6，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式3a−√b 4a+3b和√2a−b+6能合并，
∴¿，
∴¿，
解得¿，
故选D．
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【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
题型 03 判断同类二次根式
1．（2023·上海松江·统考二模）下列二次根式中，与√2是同类二次根式的是（ ）
A．√0.2 B．√0.5 C．√4 D．√12
【答案】B
【提示】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
√1 √5
【详解】解：A、√0.2= = ，与√2不是同类二次根式；
5 5
√1 √2
B、√0.5= = ，与√2是同类二次根式；
2 2
C、√4=2，与√2不是同类二次根式；
D、.√12=2√3，与√2不是同类二次根式；
故选：B.
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键.
2．（2023·四川攀枝花·统考二模）下列二次根式中，不能与√3合并的是（ ）
√1
A．√32 B．√27 C．√12 D．
3
【答案】A
【提示】先化简各个选项的二次根式，再看能否合并√3，即可得到答案．
【详解】解：A、√32=4√2，不能和√3合并的，符合题意，
B、√27=3√3，能和√3合并的，不符合题意，
C、√12=2√3，能和√3合并的，不符合题意，
√1 √3
D、 = ，能和√3合并的，不符合题意，
3 3
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式．
3．（2023衡阳市模拟）若最简二次根式√2x+1和√4x−3能合并，则x的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【答案】C
【提示】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义
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进行解答即可．
【详解】解：∵最简二次根式√2x+1和√4x−3能合并，
∴√2x+1与√4x−3为同类二次根式，
∴2x+1=4x−3，
解得：x=2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
题型 04 利用二次根式的性质化简
1．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ）
A．√4+9=2+3 B．√4×9=2×3 C．√94=√32 D．√4.9=0.7
【答案】B
【提示】根据二次根式的性质判断即可．
【详解】解：A.√4+9=√13≠2+3，故错误；
B.√4×9=2×3，故正确；
C.√94=√38≠√32，故错误；
D.√4.9≠0.7，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．（2023南皮县模拟）下列二次根式中，化简结果为-5的是（ ）
A．√(−5) 2 B．(−√5) 2 C．−√52 D．√52
【答案】C
【提示】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：A、√(−5) 2=5，不符合题意；
B、(−√5) 2=5，不符合题意；
C、−√52=−5，符合题意；
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D、√52=5，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则√(m−3) 2+√(m−7) 2等于（ ）
A．2m−10 B．10−2m C．10 D．4
【答案】D
【提示】先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：∵2,3,m是三角形的三边，
∴5−2<m<5+2，
解得：3<x<7，
∴√(m−3) 2+√(m−7) 2=m−3+7−m=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化
简．
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简
√ a+b
(a−b) 的结果是（ ）
a−b
A．√a2−b2 B．√b−a C．−√a2−b2 D．−√b2−a2
【答案】C
【提示】根据数轴图可知a−b<0，a+b<0，再根据√a2=|a|化简式子即可．
【详解】解：根据数轴图可知a−b<0，a+b<0，
√ a+b
∴(a−b)
a−b
√(a+b)(a−b)
=(a−b)
(a−b) 2
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√(a+b)(a−b)
=(a−b)
√(a−b) 2
√a2−b2
=(a−b)
|a−b|
√a2−b2
=(a−b)
−(a−b)
=−√a2−b2
故选：C．
【点睛】本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，分式的基本性质，解题关键是根据数轴图判断绝对值
里数值的正负．
5．（2023·广东佛山·统考一模）若实数m，n满足(m−4) 2+√n+3=0，则√m2+n2的值是 ；
【答案】5
【提示】两个非负数的和为0，须两个非负数同为0，须被平方的式子与被开方的式子都为0，求得m、n
的值．
【详解】∵(m−4) 2+√n+3=0，
又∵(m−4) 2≥0，√n+3≥0，
∴m−4=0，n+3=0，
∴m=4，n=−3，
∴√m2+n2=√42+(−3) 2=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，是解决此类为题的关
键．
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题型 05 二次根式的乘除运算
√1
1．（2021·湖南株洲·统考中考真题）计算：−4× =（ ）
2
A．−2√2 B．－2 C．−√2 D．2√2
【答案】A
√1
【提示】将 化简，然后根据乘法法则运算即可．
2
√1 √2
【详解】解：−4× =(−4)× =−2√2
2 2
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．
2．（2020·江苏泰州·统考中考真题）下列等式成立的是（ ）
1
A．3+4√2=7√2 B．√3×√2=√5 C．√3÷ =2√3 D．√(−3) 2=3
√6
【答案】D
【提示】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
【详解】解：A、3和4√2不能合并，故A错误；
B、√3×√2=√6，故B错误；
1
C、√3÷ =√3×√6=√18=3√2，故C错误；
√6
D、√(−3) 2=3，正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
3．（2023松原市三模）计算：5√21×2√3= ．
【答案】30√7
【提示】根据二次根式的计算法则运算即可．
【详解】5√21×2√3
=10√63
=30√7，
故答案为：30√7．
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【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是结果应该化为最简二次根式．
4．（2021·天津和平·统考一模）计算(√5+2)(√5−2)的结果等于 ．
【答案】1
【提示】先用平方差公式化简，再根据二次根式的性质计算即可得到答案．
【详解】解：原式=(√5+2)(√5−2)
=(√5) 2 -22
=5-4
=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
5．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）计算√24÷√6的结果是 ．
【答案】2
【提示】根据二次根式的除法运算计算即可．
√24
【详解】√24÷√6 = =√4=2
6
故答案为：2
【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
题型 06 二次根式的加减运算
1．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）计算：√12−2√3= ．
【答案】0
【提示】先把√12化简为2√3，再作差，即可．
【详解】解：√12−2√3
=2√3−2√3
=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的基础知识是解题的关键．
√1
2．（2020·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）计算：√24+6 的结果是 ．
6
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【答案】3√6
【提示】根据题意可知，本题考查二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解．
【详解】解：原式=2√6+√6=3√6
故答案为：3√6
【点睛】本题考查了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键．
√18−√2
3．（2022·山东青岛·统考二模）计算： = ．
√2
【答案】2
【提示】根据二次根式运算法则计算即可．
3√2−√2 2√2
【详解】原式= = =2
√2 √2
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是先化简再进行计算．
4．（2023·河北石家庄·统考三模）√12−√3的结果在（ ）
A．0.5和1之间 B．1和1.5之间
C．1.5和2之间 D．2和2.5之间
【答案】C
【提示】√12−√3整理得√3，根据1.52=2.25，22=4，即可判断．
【详解】解：√12−√3=2√3−√3=√3，
∵1.52=2.25，22=4，2.25<3<4，
∴1.5<√3<2
∴实数√12−√3的值在1.5和2之间，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
√1
5．（2021·河北唐山·统考二模）已知：−√50+ =a√2+b√2=c√2，则ab＋c＝ ．
2
【答案】-7
1 9
【提示】先将原式中二次根式进行化简，合并，则可求得a=−5，b= ，c=− ，代入求值即可得出结果．
2 2
√1 √2 9
【详解】解：−√50+ =−5√2+ =− √2，
2 2 2
√1
∵−√50+ =a√2+b√2=c√2，
2
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1 9
∴a=−5，b= ，c=− ，
2 2
1 ( 9)
∴ab+c=−5× + − =−7，
2 2
故答案为：-7．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减的运算方法是解题的关键．
题型 07 二次根式的混合运算
√1
1．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算(√27−√12)× 的结果是（ ）
3
√3
A． B．1 C．√5 D．3
3
【答案】B
√1
【提示】把括号内的每一项分别乘以 , 再合并即可．
3
√1
【详解】解：(√27−√12)×
3
=√9−√4=3−2=1
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
√4
2．（2022·山东泰安·统考中考真题）计算：√8⋅√6−3 = ．
3
【答案】2√3
【提示】先计算乘法，再合并，即可求解．
√4
【详解】解：√8⋅√6−3
3
2√3
=√48−3×
3
=4√3−2√3
=2√3，
故答案为： 2√3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
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√6
3．（2021·山东威海·统考中考真题）计算√24− ×√45的结果是 ．
5
【答案】−√6
【提示】根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解．
√6
【详解】解：原式=2√6− ×3√5
√5
=2√6−3√6
=−√6，
故答案为：−√6．
【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．
(1) −1 √1
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）计算： +(√3+2)(√3−2)+3×
2 3
【答案】1+√3
【提示】根据二次根式的混合计算法则和负整数指数幂的计算法则求解即可．
√3
【详解】解：原式=2+(√3) 2 −4+3×
3
=2+3−4+√3
=1+√3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
1
5．计算：(√5) 2 −|1−√2|−√(−3) 2+ ×√8．
2
【答案】3
【提示】按照二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=5−(√2−1)−3+√2
=5−√2+1−3+√2
=3．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
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题型 08 二次根式的化简求值
a−2 a2−4
1．（2021·湖北恩施·统考中考真题）先化简，再求值：1− ÷ ，其中a=√2−2．
a+4 a2+8a+16
2
【答案】− ，−√2
a+2
【提示】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．
a−2 (a+4) 2 a+4 2
【详解】解：原式=1− × =1− =− ；
a+4 (a+2)(a−2) a+2 a+2
2
把a=√2−2代入得：原式=− =−√2．
√2−2+2
【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题
的关键．
2．（2023·河北衡水·二模）已知A，B都是关于x的多项式，且A=2x2−5x+4，A−B=2x+1．
(1)求B；
(2)若A−B=√2，求B的值．
【答案】(1)2x2−7x+3
9√2
(2)− +8
2
【提示】（1）根据题意，可得B=A−(2x+1)，根据整式的加减进行计算即可求解；
√2−1
（2）根据题意得出x= ，代入（1）的结果进行计算即可求解．
2
【详解】（1）解：∵A=2x2−5x+4，A−B=2x+1
∴B=A−(2x+1)
=2x2−5x+4−(2x+1)
=2x2−5x+4−2x−1
=2x2−7x+3；
（2）∵A−B=2x+1，A−B=√2，
即2x+1=√2
√2−1
∴x=
2
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∴B=2x2−7x+3
2
(√2−1) √2−1
=2× −7× +3
2 2
2+1−2√2 7√2 7
=2× − + +3
4 2 2
9√2
=− +8
2
【点睛】本题考查了整式的加减，代数式求值，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（2022·河南商丘·统考一模）已知M=(x+1) 2+(2x+1)(2x−1),N=4x(x+1)，当x=√2时，请比
较M与N的大小．
【答案】M<N
【提示】先计算出M−N=x2−2x，再把x=√2代入，求得M−N=2−2√2，最后求出2−2√2<0可得
结果．
【详解】解：∵M=(x+1) 2+(2x+1)(2x−1),N=4x(x+1)，
∴M−N=(x+1) 2+(2x+1)(2x−1)−4x(x+1)
=x2+2x+1+4x2−1−4x2−4x
=x2−2x，
当x=√2时，M−N=2−2√2，
∵√2>1，
∴2√2>2，
∴2−2√2<0，
∴M−N<0，
即M<N．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则及作差法是解本题的
关键．
题型 09 二次根式的应用
1．（2023下·安徽·九年级专题练习）观察下列各式：
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①√1×2×3×4+1=5；
②√2×3×4×5+1=11；
③√3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出√n×(n+1)(n+2)(n+3)+1＝ ，并加以证明．
【答案】(1)√5×6×7×8+1=41
(2)n2+3n+1，见解析
【提示】（1）根据①②③等式的结果找到规律，再根据规律解答；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式解答即可．
【详解】（1）（1）因为①√1×2×3×4+1=12+3×1+1=5；
②√2×3×4×5+1=22+3×2+1=11；
③√3×4×5×6+1=33+3×3+1=19；
所以第⑤个等式为：√5×6×7×8+1=52+3×5+1=41，
故答案为：√5×6×7×8+1=41；
（2）√n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n2+3n+1；
证明如下：n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n) 2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1) 2；
∴√n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n2+3n+1．
故答案为：n2+3n+1．
【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．
2．（2022·山东济宁·统考二模）阅读理解：对于任意正实数a，b，
2
∵(√a−√b) ≥0，
∴a−2√ab+b≥0，
∴a+b≥2√ab，
∴当a=b时，a+b有最小值2√ab．
根据上述内容，回答下列问题
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1 8
(1)若m>0，只有当m=_______时，m+ 有最小值_______；若m>0，只有当m=_______时，2m+ 有
m m
最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间
相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米 2）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每
❑
间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)1，2，2，8
7 21 147
(2)每间隔离房长为 米，宽为 米时，S的最大值为 米❑ 2
2 8 16
1 8
【提示】（1）根据a+b≥2√ab（a，b均为正实数），分别对m+ 和2m+ 进行化简，求最小值即可；
m m
（2）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意得出9x+12y=63，然后根据题
干提供的方法求S的最大值即可．
( 1 ) 2
【详解】（1）解：∵ √m− ≥0，
√m
又∵m>0
1 √ 1
∴m+ ≥2 m· =2，
m m
1 1
∴当m= ，即m=1时，m+ 有最小值，最小值为2；
m m
( √ 8)
∵ √2m− ≥0，
m
又∵m>0，
8 √ 8
∴2m+ ≥2 2m· =8，
m m
8 8
∴当2m= ，即m=2时，2m+ 有最小值，最小值为8．
m m
故答案为：1，2，2，8．
（2）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，
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依题意得：9x+12y=63，
即3x+4 y=21，
∴3x+4 y≥2√3x⋅4 y，
即21≥2√3x⋅4 y，
147
∴xy≤ ，
16
147
即S≤ ，
16
147
当3x=4 y时， S = ，
max 16
7 21
此时，x= ,y= ，
2 8
7 21 147
即每间隔离房长为 米，宽为 米时，S的最大值为 米❑ 2 ．
2 8 16
【点睛】本题考查了完全平方式和二次根式的运用，解题的关键是能灵活运用题中的结论，求出最小值．
3．（2021·贵州黔西·统考模拟预测）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(√a−√b) 2 ≥0，∴
a−2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2√ab（a、b均为正实
数）中，若ab为定值m，则a+b≥2√m，只有当a=b时，a+b有最小值2√m．根据上述内容，回答下列
问题：
4
(1)若a>0，只有当a=__________时，a+ 有最小值__________；
a
6
(2)若a>0，只有当a=__________时，2a+ 有最小值__________；
a
( a ) ( 8)
(3)若a<0，平面内有A a, −4 ，B a,− 两点，当a为何值时，线段AB最短，最短是多少？
2 a
【答案】(1)2，4；
(2)√3，4√3；
(3)－4；8．
【提示】（1）直接利用题中公式求解即可；
（2）直接利用题中公式求解即可；
| −a 8 |
（3）根据两点间距离公式可得AB= 4+ + ，再利用公式求解即可．
2 −a
【详解】（1）由题意可知，a+b≥2√ab
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4 √ 4
∴a+ ≥2 a·
a a
4
∴只有当a=2时，a+ 有最小值是4．
a
故答案为2，4；
（2）∵a+b≥2√ab，
6 12 √ 12
∴2a+ =2a+ ≥2 2a· =4√3，
a 2a 2a
6
即2a+ ≥4√3．
a
6
∴只有当a= √3时，2a+ 有最小值为4√3．
a
故答案为：，√3，4√3．
（3）∵a<0 ，
∴−a>0 ．
( a ) ( 8)
∵A a, −4 ，B a,− ，
2 a
|a ( 8)| |a 8 | | −a 8 |
∴AB= −4− − = + −4 = 4+ + ，
2 a 2 a 2 −a
−a 8 √−a 8
∵ + ≥2 ⋅
2 −a 2 −a
a 8 −a 8
当 = 时，即a=－4时， + ≥4
2 a 2 −a
∴AB≥|4+4|=8
所以，当a=－4时，线段AB最短，最短距离是8．
【点睛】本题主要考查a+b≥2√ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2√p，只有当a=b
时，a+b有最小值2√p；注意运用类比的思想把相关知识加以运用．
4．（2021·河北唐山·统考一模）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项
系数因为被污染看不清楚．
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（1）嘉嘉认为污染的数为−3，计算“A+B”的结果；
（2）若a=3+√3，淇淇认为存在一个整数，可以使得“A−B”的结果是整数，请你求出满足题意的被污
染的这个数．
【答案】（1）−2a2−2a+3；（2）0．
【提示】（1）根据整式的加法法则解题；
（2）设污染的数字为m，利用整式的减法法则解得A−B =a2−6a+9−ma2，再利用配方法化为A−B
=(a−3) 2−ma2，由A−B的结果是整数得到ma2是整数，据此解题．
【详解】解：（1）A+B=a2−4a+6+(−3a2+2a−3)
=a2−4a+6−3a2+2a−3
=−2a2−2a+3；
（2）设污染的数字为m，
∴A−B=(a2−4a+6)−(ma2+2a−3)
=a2−4a+6−ma2−2a+3
=a2−6a+9−ma2
=(a−3) 2−ma2
∵a=3+√3
∴(a−3) 2=(3+√3−3) 2=3是整数
∵A−B的结果是整数
∴ma2是整数
∵a2=(3+√3) 2=12+6√3是无理数，m是整数
∴m=0
即存在整数0满足题意．
【点睛】本题考查整式的加减混合运算、涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知
识是解题关键．
5．（2023·江苏·统考二模）问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且
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，求证：(c−b)(c−a) ．
2023(a−b)+√2023(b−c)+(c−a)=0 −√2023=2023
(a−b) 2
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个
一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参
考：
令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023 ．
利用根与系数的关系得：1+√2023= _____；1×√2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
b−c c−a
【答案】− ； ；见解析
a−b a−b
【提示】令√2023=x，则2023=x2，原等式就可变为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出
代数式的值．
【详解】解：令√2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和√2023.
b−c c−a
利用根与系数的关系得：1+√2023=− ；1×√2023= ；
a−b a−b
(c−b)(c−a)
∴ −√2023
(a−b) 2
c−b c−a
= ⋅ −√2023
a−b a−b
=(1+√2023)×√2023−√2023
=√2023+(√2023) 2 −√2023
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=2023．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意确定一元二次方程，得到方程的两个根，
再由根与系数的关系用两根之和与两根之积表示代数式中的分式，代入代数式求出代数式的值．
1．（2022·四川雅安·统考中考真题）使√x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有
意义的条件．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式√1−x有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜√65＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④√16的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【答案】B
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【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，
根的判别式判断即可．
【详解】解：①若二次根式√1−x 有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．
故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．
②8＜√65 ＜9，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．
④√16 ＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．
⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
3．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，则
√(k−1) 2−(√2−k) 2 的化简结果是（ ）
A．−1 B．1 C．−1−2k D．2k−3
【答案】A
【分析】首先根据关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，得判别式
△=[−(2k−2)] 2 −4×1×(k2−1)≥0，由此可得k≤1，据此可对√(k−1) 2−(√2−k) 2 进行化简．
【详解】解：∵关于x的方程x2−(2k−2)x+k2−1=0有两个实数根，
∴判别式△=[−(2k−2)] 2 −4×1×(k2−1)≥0，
整理得：−8k+8≥0，
∴k≤1，
∴k−1≤0，2−k>0，
∴√(k−1) 2−(√2−k) 2
=−(k−1)−(2−k)
=−1．
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故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一
元二次方程根的判别式是解答此题的关键．
4．（2021·湖北恩施·统考中考真题）从√2，−√3，−√2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的
有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【提示】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：
−√3×√2=−√6,−√2×√2=−2,−√3×(−√2)=√6，
∴所有积中小于2的有−√6,−2两个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．
5．（2023·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．(√2) 0=√2 B．2√3+3√3=5√6
C．√8=4√2 D．√3(2√3−2)=6−2√3
【答案】D
【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：A. (√2 0)=1，故该选项不正确，不符合题意；
B. 2√3+3√3=5√3，故该选项不正确，不符合题意；
C. √8=2√2，故该选项不正确，不符合题意；
D. √3(2√3−2)=6−2√3，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二
次根式的运算法则是解题的关键．
( 1 )
6．（2023·重庆·统考中考真题）估计√5× √6− 的值应在（ ）
√5
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A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．
( 1 )
【详解】解：√5× √6− =√30−1，
√5
∵25<30<36，
∴√25<√30<√36，即5<√30<6，
∴4<√30−1<5，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．
7．（2022·四川泸州·统考中考真题）与2+√15最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解：∵12.25＜15＜16，
∴3.5＜√15＜4，
∴5.5＜2+√15＜6，
∴最接近的整数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
8．（2022·湖南常德·统考中考真题）我们发现：√6+3=3，√6+√6+3=3，√6+√6+√6+3=3，…，
⏟ √ 6+√ 6+√6+⋯+√6+√6+3=3
，一般地，对于正整数a，b，如果满足
n个根号
⏟ √ b+√ b+√b+⋯+√b+√b+a=a
时，称(a,b)为一组完美方根数对．如上面(3,6)是一组完美方根数对．
n个根号
则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(a,380)是完美方根数对，则
a=20；④若(x,y)是完美方根数对，则点P(x,y)在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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【答案】C
【分析】根据定义逐项分析判断即可．
【详解】解：∵√12+4=4，
∴ (4,12)是完美方根数对；
故①正确；
∵ √91+9=10 ≠9
∴ (9,91)不是完美方根数对；
故②不正确；
若(a,380)是完美方根数对，则√380+a=a
即a2=380+a
解得a=20或a=−19
∵a是正整数
则a=20
故③正确；
若(x,y)是完美方根数对，则√y+x=x
∴y+x=x2,
即y=x2−x
故④正确
故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．
9．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知x为正整数，写出一个使√x−3在实数的范围内没有意义的x值
是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当x−3<0时，√x−3没有意义，解不等式，即可解答．
【详解】解：当x−3<0时，√x−3没有意义，
解得x<3，
∵x为正整数，
∴x可取1，2，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关
键．
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10．（2023连云港中考真题）计算：(√5) 2= ．
【答案】5
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
【详解】解：(√5) 2= 5
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．（2023·四川凉山·统考中考真题）计算(π−3.14) 0+√(√2−1) 2= ．
【答案】√2
【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．
【详解】(π−3.14) 0+√(√2−1) 2
=1+√2−1
=√2．
故答案为：√2．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1
是解题的关键．
12．（2023·湖北·统考中考真题）计算4−1− √ 1 +(3−√2) 0 的结果是 ．
16
【答案】1
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，然后计算加减法即可．
【详解】解：4−1− √ 1 +(3−√2) 0
16
1 1
= − +1
4 4
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
13．（2023·山东潍坊·统考中考真题）从−√2、√3，√6中任意选择两个数，分别填在算式(□+○) 2÷√2里
面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
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5 9
【答案】 √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）
2 2
【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．
【详解】解：①选择−√2和√3，
则(−√2+√3) 2 ÷√2=(2−2√6+3)÷√2
=(5−2√6)÷√2
=5÷√2−2√6÷√2
5
= √2−2√3．
2
②选择−√2和√6，
则(−√2+√6) 2 ÷√2=(2−2√12+6)÷√2
=(8−2√12)÷√2
=8÷√2−2√12÷√2
=4√2−2√6．
③选择√3和√6，
则(√3+√6) 2 ÷√2=(3+2√18+6)÷√2
=(9+6√2)÷√2
=9÷√2+6√2÷√2
9
= √2+6．
2
5 9
故答案为： √2−2√3（或4√2−2√6或 √2+6，写出一种结果即可）．
2 2
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
√1
14．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）计算√63−7 的结果是 ．
7
【答案】2√7
【分析】利用二次根式的混合运算法则及分母有理数的方法即可求解．
√1 √7
【详解】解：√63−7 =3√7−7× =2√7，
7 7
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故答案为：2√7．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理数，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
15．（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 √ 1 1 1 √ 1 1 1
S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，S = 1+ + =1+ ，…
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
50 2600
【答案】50 /
51 51
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】S +S +⋯+S
1 2 50
1 1 1
=1+ +1+ +⋯+1+
1×2 2×3 50×51
1 1 1 1 1
=50+(1− + − +⋯+ − )
2 2 3 50 51
50
=50 ，
51
50
故答案为：50 ．
51
【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．
1
16．（2022呼伦贝尔市中考）已知x，y是实数，且满足y=√x−2＋√2−x＋ ，则√x⋅√y的值是 ．
8
1
【答案】
2
【分析】根据二次根式的定义可得¿，解得：x=2，即可求出y的值，即可求出√x⋅√y的值.
【详解】解：∵由二次根式的定义得¿，解得：x=2，
1 1
∴y=0+0+ ，即：y= ，
8 8
√1 √ 1 √1 1
∴√x⋅√y=√2× = 2× = = .
8 8 4 2
1
故答案为： .
2
【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及
二次根式的乘除的运算法则即可.
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( 5 ) 2m−4
17．（2023·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值： m+2+ ⋅ ，其中
2−m 3−m
m=√16+tan45°．
【答案】−2m−6，原式=−16
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最
后代值计算即可．
( 5 ) 2m−4
【详解】解： m+2+ ⋅
2−m 3−m
(m2−4 5 ) 2(m−2)
= − ⋅
m−2 m−2 3−m
m2−9 2(m−2)
= ⋅
m−2 3−m
(m+3)(m−3) 2(m−2)
= ⋅
m−2 3−m
=−2(m+3)
=−2m−6，
∵m=√16+tan45°，
∴m=4+1=5，
∴原式=−2×5−6=−10−6=−16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的
关键．
√5+1
18．（2023·山东淄博·统考中考真题）先化简，再求值：(x−2y) 2+x(5 y−x)−4 y2，其中x= ，
2
√5−1
y= ．
2
【答案】xy ；1
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．
【详解】原式=x2+4 y2−4xy−x2+5xy−4 y2
=xy,
√5+1 √5−1
当 x= ,y= 时,
2 2
√5+1 √5−1 4
原式 =xy= × = =1．
2 2 4
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【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．
√5−1
1．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把 ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
2
√5−1 √5+1 1 1 2 2
中的“0.618法”就应用了黄金比．设a= ，b= ，记S = + ，S = + ，
2 2 1 1+a 1+b 2 1+a2 1+b2
100 100
…，S = + ，则S +S +⋯+S = ．
100 1+a100 1+b100 1 2 100
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S=1，S=2，S =100，•••，利用规律求解即可．
1 2 100
√5−1 √5+1
【详解】解：∵ a= ，b= ，
2 2
√5−1 √5+1
∴ab= × =1，
2 2
1 1 2+a+b 2+a+b
∵S = + = = =1，
1 1+a 1+b 1+a+b+ab 2+a+b
2 2 2+a2+b2 2+a2+b2
S = + =2× =2× =2，
2 1+a2 1+b2 1+a2+b2+a2b2 2+a2+b2
…，
100 100 1+a100+1+b100
S = + =100× =100
100 1+a100 1+b100 1+a100+b100+a100b100
∴ S +S +⋯+S = 1+2+……+100=5050
1 2 100
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=1，找出的规律是本题的关键．
2．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0<q<1．
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
例求 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
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方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于该正方形的面积，
2 2 2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
即 + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
1 1
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图②可知
2 2
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
+ + +⋯+ +⋯的结果等于a ，a ，a ，…，a …等各条竖直线段的长度之和，
2 2 2 2 1 2 3 n
即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，
1 (1) 2 (1) 3 (1) n
所以， + + +⋯+ +⋯=1．
2 2 2 2
【实践应用】
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
任务一 完善 + + +⋯+ +⋯的求值过程．
3 3 3 3
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯=______．
3 3 3 3
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2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= ______．
3 3 3 3
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求 + + +⋯+ +⋯的值．
4 4 4 4
任务三 用方法2，求q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
√5+1
长宽之比为 :1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
2
2 4 6 2n
(√5−1) (√5−1) (√5−1) (√5−1)
观察图⑤，直接写出 + + +⋯+ +⋯的值．
2 2 2 2
q √5−1
【答案】任务一，方法1：2；方法2：(2,2)，2；任务二，3；任务三， ；[迁移拓展]
1−q 2
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
3 3
任务二，借助函数y= x+ 和y=x得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两
4 4
个函数图象的交点(2,2)到x轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，得出交点坐标，即可求解；
0
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为 (√5−1) ，第二个正方形的面积为
1×1=1=
2
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(√5+1 ) 2 (√5−1) 2 ，……进而得出则(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n 的值
−1 = + + +⋯+ +⋯
2 2 2 2 2 2
√5+1
等于长宽之比为 :1的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，即可求解．
2
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知 + + +⋯+ +⋯= 2
3 3 3 3
故答案为：2．
2 2
方法2：借助函数y= x+ 和y=x的图象，观察图④可知
3 3
因为两个函数图象的交点的坐标为(2,2)，
2 (2) 2 (2) 3 (2) n
所以， + + +⋯+ +⋯= 2．
3 3 3 3
故答案为：(2,2)，2．
3 3
任务二：参照方法2，借助函数y= x+ 和y=x的图象，¿，
4 4
解得：¿
∴两个函数图象的交点的坐标为(3,3)，
3 (3) 2 (3) 3 (3) 2
+ + +⋯+ +⋯=3．
4 4 4 4
( q q )
任务三 参照方法2，借助函数y=qx+q和y=x的图象，两个函数图象的交点的坐标为 , ，
1−q 1−q
q
∴q+q2+q3+⋯+qn+⋯=
1−q
0
(√5−1)
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为1×1=1= ，第二个正方形的面积为
2
(√5+1 ) 2 (√5−1) 2
−1 = ，……
2 2
(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n √5+1
则 + + +⋯+ +⋯的值等于长宽之比为 :1的矩形减去1个
2 2 2 2 2
面积为1的正方形的面积，
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(√5−1) 2 (√5−1) 4 (√5−1) 6 (√5−1) 2n √5+1 √5−1
即 + + +⋯+ +⋯= ×1−1=
2 2 2 2 2 2
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
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