2025中考数学一轮复习第25讲图形的相似（含解析+考点卡片）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025中考数学一轮复习（含解析+考点卡片）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2025年中考数学一轮复习 第25讲 图形的相似 一．选择题（共10小题） 1．如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点 C，E在y轴上．若点B的坐标是（2，3），点F的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（ ） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1.5，0） D．（0，﹣1.5） 2．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金 √5−1 分割，比值为 ，它被公认为是最能引起美感的比例，如图 1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点 2 E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD 于点I，连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI ：S△FGH 为（ ） √5+1 √5−1 √5+1 A．1：1 B． C． D． 3 2 2 3．如图，在5×5网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三 角形①、②的说法正确的是（ ） 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．一定不相似，周长比为1：2 B．一定位似，位似比为1：2 C．一定相似，面积比为1：4 D．一定相似，相似比为1：4 4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错 误的是（ ） AE BF AD AB EF DE CE EA A． = B． = C． = D． = EC FC BF BC AB BC CF BF 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么 图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ） A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 AG 6．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则 的值是（ FG ） 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2 3 3 3 A． B． C． D． 3 2 4 5 7．如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形 纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片， 则此时圆形纸片的半径为（ ） 60 120 36 72 A． cm B． cm C． cm D． cm 7 7 5 5 8．如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点 A的对应点是（ ） A．C点 B．F点 C．E点 D．G点 9．如图，点A（0，3），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC．若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点C 的坐标为（ ） A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5） 10．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值 接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b＝3m，则a约为（ ） 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．1.236 m B．1.416 m C．1.584 m D．1.854 m 二．填空题（共5小题） 11．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影 师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形 ABCD的边BC 取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD 延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝ ． EF 3 12．如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果 = ，AB＝3，则BC＝ ． DF 5 13．如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AD边的中点，连接BD、CE，BD与CE相交于点F，则DF 的长为 ． 14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC ＝9，则△DEF的面积为 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线 段EF的长为 ． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是（﹣3，4）、（﹣4，1）、（﹣ 2，2），结合平面直角坐标系解答下列问题． （1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'，并写出点B'的坐标； 1 （2）以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABC的相似比为 ，且不在同一象限． 2 17．如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高AB，设法使三角板的斜边DF保持水平，并且边DE与 点B在同一直线上．已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面距离AC＝1.5m，人与树的 距离CD＝8m，求树高AB的值． 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DE 18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，BD＝5，则 的值为 BC ． 19．如图AB为 O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BC的中点，过点D作 O的切线与AC的延长线 交于点P，与⊙AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：①∠⊙DCB＝∠CAD：②CD2＝ DE•AD： PC （2）若DE＝2，AE＝4，求 的值 PD 20．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆 AB的高度．如图，他们在广场上的D处 放置了一根垂直于地面的标杆CD，然后小明笔直地站在F处，小亮在F和D之间找到一个合适的位 置P，并在P点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点A和点C重合．已知，点F、P、 D、B在同一条直线上，通过测量，BD＝8.8m，FD＝2.2m，CD＝1.8m，小明的眼睛离地面的高度EF ＝1.5m．求旗杆AB的高度． 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2025年中考数学一轮复习 第25讲 图形的相似 一．选择题（共10小题） 1．如图，△ABC与△DEF是位似图形，BC，EF都与x轴平行，点A，D与位似中心点P都在x轴上，点 C，E在y轴上．若点B的坐标是（2，3），点F的横坐标为﹣1，则点P的坐标为（ ） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（﹣1.5，0） D．（0，﹣1.5） 【考点】位似变换；坐标与图形性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】A PO PE 【分析】过点B作BH⊥x轴于点H，根据△PEF∽△PBC，得到 = ，根据题意求出OP，得到答案． PH PB 【解答】解：如图，过点B作BH⊥x轴于点H， 则OE∥BH， ∴△PEF∽△PBC， PO PE ∴ = ， PH PB ∵点B的坐标是（2，3），点F的横坐标为﹣1， ∴CB＝2，EF＝1， ∵BC，EF都与x轴平行， ∴BC∥EF， PE EF 1 ∴ = = PB BC 2 PO 1 ∴ = ， PH 2 ∵OH＝2， ∴OP＝2， 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴点P的坐标为（﹣2，0）， 故选：A． 【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出相似比是解题的关键． 2．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值为黄金 √5−1 分割，比值为 ，它被公认为是最能引起美感的比例，如图1为世界名画蒙娜丽莎．如图2，点E是 2 正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，以AE为边作正方形AEHF，延长EH交CD于点I， 连结BF交EI于点G，连结BI，则S△BCI ：S△FGH 为（ ） √5+1 √5−1 √5+1 A．1：1 B． C． D． 3 2 2 【考点】黄金分割；整式的混合运算． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得出BC＝CD＝DA＝AB，EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE．根据黄金分割的意 AE BE √5−1 GH FH GH AE √5−1 义得出 = = ．由△FHG∽△BEG，得出 = ，根据合比性质得出 = = ， AB AE 2 GE BE HE AB 2 √5−1 √5−1 那么 GH= HE= AE，根据矩形的性质与判定得出 IC＝BE，最后根据三角形的面积求出 2 2 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 √5+1 S△BCI ：S△FGH = 2 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝DA＝AB． ∵点E是正方形ABCD的AB边上的黄金分割点，且AE＞EB， AE BE √5−1 ∴ = = ． AB AE 2 ∵四边形AEHF是正方形， ∴EH＝HF＝FA＝AE，FH∥AE， ∴△FHG∽△BEG， GH FH ∴ = ， GE BE GH FH AE AE √5−1 ∴ = = = = ， HE FH+BE AE+BE AB 2 √5−1 √5−1 ∴GH= HE= AE， 2 2 ∵∠C＝∠CBE＝∠BEI＝90°， ∴四边形BCIE是矩形， ∴IC＝BE， 1 BC⋅IC AB √5−1 2 AB⋅BE BE AB √5−1 = ∴ S△ BCI ： S△ FGH = 1 = AE⋅HG = AE • HG = 2 • √5−1 AE 2 • FH⋅HG 2 2 1 2 √5+1 = = √5−1 √5−1 √5−1 2 ． × 2 2 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、矩形的性质与判定，黄金分割的意义，比例的性质， 三角形的面积，掌握黄金分割的意义是解题的关键． 3．如图，在5×5网格图中，每个小正方形的边长均为1，三角形①、②均为格点三角形，则下列关于三 角形①、②的说法正确的是（ ） 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．一定不相似，周长比为1：2 B．一定位似，位似比为1：2 C．一定相似，面积比为1：4 D．一定相似，相似比为1：4 【考点】位似变换． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出两个三角形的各边长，根据相似三角形的判定定理、性质定理以及位似图形 的概念判断即可． 【解答】解：由勾股定理得：三角形①的三边长分别为√2、√5、√5， 三角形②的三边长分别为2√2、2√5、2√5， ∴三角形①与三角形②相似，且相似比为1：2， ∴三角形①与三角形②的面积比为1：4， ∵三角形①与三角形②的对应边不平行也不在同一条直线上， ∴三角形①与三角形②不位似， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错 误的是（ ） AE BF AD AB EF DE CE EA A． = B． = C． = D． = EC FC BF BC AB BC CF BF 【考点】平行线分线段成比例． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AE BF 【解答】A．∵EF∥AB，∴ = ，故本选项正确， EC FC B．∵DE∥BC， AD DE ∴ = ， AB BC ∵EF∥AB， ∴DE＝BF， AD BF ∴ = ， AB BC AD AB ∴ = ， BF BC 故本选项正确， C．∵EF∥AB， EF CF ∴ = ， AB BC ∵CF≠DE， EF DE ∴ ≠ ， AB BC 故本选项错误， D．∵EF∥AB， CE CF ∴ = ， EA BF CE EA ∴ = ， CF BF 故本选项正确， 故选：C． 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理，关键是根据平行线分线段成比例定理列出比例式并能 进行灵活变形． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE，交AC于点G，交BC于点F，那么 图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ） 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【考点】相似三角形的判定． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EBF＝∠EAD，∠EFB＝∠EDA， ∴△EFB∽△EAD； 同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF． 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定 理进行证明是解此题的关键． AG 6．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则 的值是（ FG ） 2 3 3 3 A． B． C． D． 3 2 4 5 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；推理能力． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，点E是中点，可证△ADE≌△BHE，可得BH＝AD，可求出FH与AD 的关系，再证△ADG∽△FHG，根据相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图所示，延长DE，CB交于点H， 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADE＝∠H，且AE＝BE，∠AED＝∠BEH， ∴△ADE≌△BHE（AAS）， ∴BH＝AD， ∵F是BC中点， 1 ∴BF= BC， 2 3 3 ∴HF=BH+BF= BC= AD， 2 2 ∵AD∥HF， ∴△ADG∽△FHG， AG AD AD 2 = = = ∴FG HF 3 3， AD 2 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解 题的关键． 7．如图，矩形纸片ABCD，AB＝15cm，BC＝20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形 纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A'BC'，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则 此时圆形纸片的半径为（ ） 60 120 36 72 A． cm B． cm C． cm D． cm 7 7 5 5 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的内切圆与内心；剪纸问题；平移的性质． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】A 【分析】过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝x cm，A'P＝y cm，圆的直径为d cm，利用对边之间的关系 可得x与y的关系，再利用A字型相似也可求出x与y的关系，进而可求出x，d，从而得出结论． 【解答】解：过点A'作A'P⊥AD于点P，设AP＝x cm，A'P＝y cm，圆的直径为d cm， 由题意可得：d+x＝20，d﹣y＝15， ∴20﹣x＝15+y，即x+y＝5， ∵∠A＝∠A，∠APA'＝∠ADC， ∴△APA'∽△ADC， AP A'P x y ∴ = ，即 = ， AD CD 20 15 3 ∴y= x， 4 20 120 ∴x= ，d= ， 7 7 60 ∴半径为： cm． 7 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键是构造合适的辅助线． 8．如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段AB的位似图形，若点D是点B的对应点，则点 A的对应点是（ ） 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．C点 B．F点 C．E点 D．G点 【考点】位似变换． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】D 【分析】根据OD、OB的长度求出相似比，根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵OD＝4，OB＝2， ∴线段AB与其位似的图形的相似比为1：2， 由图可知：点A的对应点是点G， 故选：D． 【点评】本题考查的是位似图形，根据题意求出相似比是解题的关键． 9．如图，点A（0，3），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC．若∠ABC＝90°，BC＝2AB，则点C 的坐标为（ ） A．（7，2） B．（7，5） C．（5，6） D．（6，5） 【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移． 【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】A 【分析】过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H，先证明△AOB∽△BHC，根据相似三角形的性质可得 BH CH BC = = ，求出点C的坐标，再根据平移的性质可得点D坐标． AO OB AB 【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图所示： 则∠BHC＝90°， ∵点A（0，3）、B（1，0）， ∴OA＝3，BO＝1， ∵∠AOB＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠HBC＝90°， ∴∠OAB＝∠HBC， ∵∠AOB＝∠BHC， ∴△AOB∽△BHC， BH CH BC ∴ = = ， AO OB AB ∵BC＝2AB， ∴BH＝2OA＝6，CH＝2OB＝2， ∴点C坐标为（7，2）， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题的关 键． 10．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值 接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b＝3m，则a约为（ ） 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．1.236 m B．1.416 m C．1.584 m D．1.854 m 【考点】黄金分割． 【专题】计算题；运算能力． 【答案】D 【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值． 【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618， a ∴ ≈0.618， b ∵b为3米， ∴a约为1.854米． 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义． 二．填空题（共5小题） 11．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影 师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中 点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为 黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝ 2√5+ 2 ． 【考点】黄金分割；矩形的性质；正方形的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】2√5+2． 【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得 AB＝BC＝x，则BE＝x+4，然后根据黄金矩形的定义可得 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AB √5−1 x √5−1 = ，从而可得 = ，最后进行计算即可解答． BE 2 x+4 2 【解答】解：设AB＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝x， ∵CE＝4， ∴BE＝BC+CE＝x+4， ∵四边形ABEF是黄金矩形， AB √5−1 ∴ = ， BE 2 x √5−1 ∴ = ， x+4 2 解得：x＝2√5+2， 经检验：x＝2√5+2是原方程的根， ∴AB＝2√5+2， 故答案为：2√5+2． 【点评】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． EF 3 9 12．如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果 = ，AB＝3，则BC＝ ． DF 5 2 【考点】平行线分线段成比例． 【专题】图形的相似；推理能力． 9 【答案】 ． 2 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． EF 3 【解答】解：∵ = ， DF 5 DE 2 ∴ = ， EF 3 ∵AD∥BE∥CF， 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AB DE 3 2 ∴ = ，即 = ， BC EF BC 3 9 解得：BC= ， 2 9 故答案为： ． 2 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13．如图，正方形ABCD的边长为3，点E为AD边的中点，连接BD、CE，BD与CE相交于点F，则DF 的长为 √2 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】√2． 3 BC DF DE 【分析】由题意可求BD= =3√2，证明△DEF∽△BCF，则 = ，即 DF 2，计 cos45° BF BC = 3√3−DF 3 算求解即可． 【解答】解：∵正方形ABCD， ∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°， BC ∴BD= =3√2， cos45° ∵AD∥BC， ∴∠EDF＝∠CBF，∠DEF＝∠BCF， ∴△DEF∽△BCF， 3 DF DE ∴ = ，即 DF 2， BF BC = 3√3−DF 3 解得，DF=√2， 故答案为：√2． 【点评】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦， 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝3：4，S△ABC ＝9，则△DEF的面积为 49 ． 【考点】位似变换． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】49． AB 【分析】根据位似图形的概念得到AB∥DE，得到△OAB∽△ODE，求出 ，根据相似三角形的性质计 DE 算即可． 【解答】解：∵OA：AD＝3：4， ∴OA：OD＝3：7， ∵△ABC与△DEF是位似图形， ∴AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE， AB OA 3 ∴ = = ， DE OD 7 S 3 9 ∴ △ABC （ ）2= ， S =¿ 7 49 △≝¿ ∵S△ABC ＝9， ∴△DEF的面积为49， 故答案为：49． 【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平 方是解题的关键． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线 段EF的长为 3 ． 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力． 【答案】3． AF AD DF 【分析】证明△AFD∽△EBA，得到 = = ，求出AF，即可求出AE，从而可得EF． BE AE AB 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， ∴△AFD∽△EBA， AF AD DF ∴ = = ， BE AE AB ∵DF＝6， ∴AF=√AD❑ 2−DF❑ 2=√100−36=8， 8 10 6 ∴ = = ， BE AE 3 ∴AE＝5， ∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形 的判定方法． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是（﹣3，4）、（﹣4，1）、（﹣ 2，2），结合平面直角坐标系解答下列问题． （1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A'B'C'，并写出点B'的坐标； 1 （2）以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABC的相似比为 ，且不在同一象限． 2 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换． 【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】（1）图见解析，点B′的坐标为（1，4）； （2）图见解析． 【分析】（1）用旋转的性质，分别作出对应点A'、B'、C'，依次连接即可得到△A'B'C'和点B'的坐标； （2）利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案． 【解答】解：（1）△A′B′C′如下图，点B′的坐标为（1，4）； （2）位似三角形如图所示△A B C ． 1 1 1 【点评】本题考查了作图—旋转变换、位似变换，掌握旋转变换和位似变换的性质是解题关键． 17．如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高AB，设法使三角板的斜边DF保持水平，并且边DE与 点B在同一直线上．已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面距离AC＝1.5m，人与树的距离 CD＝8m，求树高AB的值． 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；推理能力． 【答案】树高AB的值为5.5米． 【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB． 【解答】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D， ∴△DEF∽△DCB DE EF ∴ = ， DC CB ∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m， 0.4 0.2 ∴ = ， 8 BC ∴CB＝4（m）， ∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）． 答树高AB的值为5.5米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． DE 18．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD＝2，BD＝5，则 的值为 BC 2 ． 7 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】图形的相似；运算能力． 2 【答案】 ． 7 【分析】由AD，BD的长，可求出AB的长，由DE∥BC，可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性 DE 质，即可求出 的值． BC 【解答】解：∵AD＝2，BD＝5， ∴AB＝AD+BD＝2+5＝7． 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， DE AD 2 ∴ = = ． BC AB 7 2 故答案为： ． 7 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记“相似三角形的对应边成比例”是解题的关键． 19．如图AB为 O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BC的中点，过点D作 O的切线与AC的延长线 交于点P，与A⊙B的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：①∠⊙DCB＝∠CAD：②CD2＝ DE•AD： PC （2）若DE＝2，AE＝4，求 的值 PD 【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质． 【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力． 【答案】（1）①见解答； ②见解答； √3 （2） ． 3 【分析】（1）①由圆周角定理即可得证； ②证明△CED∽△DCA即可得证； （2）连接OD，DB，OD交BC于点G，由②得出CD＝2√3，然后得出OD//AP，进而得出∠P＝90°， △PCD∽ADB，利用对应边成比例即可解答． 【解答】（1）证明：①∵D为劣弧BC的中点， ∴^DB=C^D， ∴∠DCB＝∠CAD； 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ②∵∠DCB＝∠CAD， ∠CDE＝∠CDA， ∴△CED∽△DCA， DE CD ∵ = ， CD AD ∴CD2＝DE•AD； （2）解：如图，连接OD，DB，OD交BC于点G， ∵DE＝2，AE＝4， ∴AD＝DE+AE＝6， ∵CD2＝DE•AD＝2×2√3， ∴CD＝2√3， ∵^DB=C^D， ∴OD⊥CB，CD＝DB＝2√3， ∴∠OGC＝90°， ∵AB为 O的直径， ∴∠ACB⊙＝∠ADB＝90°， ∴OD//AP， ∴∠P＝90°， ∵四边形ACDB是 O内接四边形， ∴∠PCD＝∠ABD，⊙ ∴△PCD∽ADB， PC DB 2√3 √3 ∴ = = = ． PD AD 6 3 【点评】本题考查与圆有关的性质和概念，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键． 20．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆 AB的高度．如图，他们在广场上的D处 放置了一根垂直于地面的标杆CD，然后小明笔直地站在F处，小亮在F和D之间找到一个合适的位置 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 P，并在P点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点A和点C重合．已知，点F、P、D、B 在同一条直线上，通过测量，BD＝8.8m，FD＝2.2m，CD＝1.8m，小明的眼睛离地面的高度EF＝1.5m． 求旗杆AB的高度． 【考点】相似三角形的应用． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】旗杆AB的高度为15米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠EFP＝∠CDP＝90°，∠EPF＝CPD， ∴△PEF∽△PCD， EF PF ∴ = ， CD PD 1.5 2.2−PD ∴ = ， 1.8 PD ∴PD＝1.2， ∴PB＝10m， ∵CD⊥PB，AB⊥PB， ∴△CDP∽△ABP， CD PD ∴ = ， AB PB 1.8 1.2 ∴ = ， AB 10 ∴AB＝15， 答：旗杆AB的高度为15米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考点卡片 1．整式的混合运算 （1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺 序相似． （2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问 题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 2．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到 y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当 的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问 题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 3．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时， 关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角 形． 4．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 5．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对 称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 6．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 7．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌 握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角 的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是 “同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当 成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 8．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过 圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三 角形解决问题． 9．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫 做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 10．剪纸问题 一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准 确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 11．平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应 点的线段平行且相等． 12．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形⇒各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就 是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标， 上移加，下移减．） 13．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角 的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不 同，位置就不同，但得到的图形全等． 14．黄金分割 （1）黄金分割的定义： 如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB： AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． √5−1 其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 2 （2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值． 黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为 √5−1 黄金比： ；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄 2 √5−1 金比： ． 2 √5−1 （3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ． 2 15．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应成比例． 16．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用 时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 17．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等 两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有 的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行 线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形 相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件 方可． 18．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的 性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法： 在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造 “A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造 直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为 三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高 度． 19．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图 形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比 等于k或﹣k． 20．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所 作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或 缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或 在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形 的位似图形的结果是不唯一的． 33