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中考数学一轮复习 图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2024•阿克苏地区模拟）如图所示， 中， ， 分别交边 ， 于 ，
两点，若 ，则 与 的面积比为
A． B． C． D．
2．（2024•绥化模拟）已知 ，且相似比为 ，则 和 的周长比为
A． B． C． D．
3．（2024•巧家县模拟）如图， 是 边 上一点，添加一个条件后，仍不能使
的是
A． B． C． D．
4．（2024•昌吉州模拟）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂
足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，有如
下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，
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正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024•湖南）如图，在△ 中，点 ， 分别为边 ， 的中点．下列结论中，错误的
是
A． B．△ △
C． D．
6．（2024•清城区一模）已知△ △ ， ，则
A． B． C． D．
7．（2024•罗湖区校级模拟）如图，△ 中， ， ， ．将△ 沿图示中
的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A． B．
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C． D．
8．（2024•重庆模拟）如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ，若 的
周长是5，则 的周长是
A．15 B．20 C．25 D．45
9．（2024•兴宁市校级二模）如果 ，则
A． B． C． D．
10．（2024•南岗区校级三模）如图所示， 中若 ， ，则下列比例式正确的
是
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2024•滨州）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上．添加一个条件使
，则这个条件可以是 ．（写出一种情况即可）
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12．（2024•达州模拟）已知线段 ，点 是 的黄金分割点，且 ，则
．
13．（2024•淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中， 与 是以点 为位似中心的位似图
形，若点 坐标为 ，点 的坐标为 ，且 ，则点 的坐标为 ．
14．（2024•成都）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线， 为 中点，
连接 ．若 ， ，则 ．
15．（2024•茂南区校级模拟）如图，安装路灯 的路面 比种植树木的地面 高 ，
在路灯的照射下，路基 留在地面上的影长 为 ，通过测量知道 的长为 ，则路灯
的高度是 ．
16．（2024•文山市模拟）已知 ，请添加一个条件 ，使 ．
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17．（2024•凉州区三模）如图，点 、 是 边 、 上的点， ，连接 、
，交点为 ， ，那么 的值是 ．
18．（2024•深圳三模）如图，在正方形 中， ， 为对角线 上任意一点（不与
、 重合），连接 ，过点 作 ，交线段 于点 ．连接 交 于点 ．若
，则 的值为 ．
19．（2024•苏州）如图，△ 中， ， ， ，点 ， 分别在 ，
边上， ，连接 ，将△ 沿 翻折，得到△ ，连接 ， ．若△
的面积是△ 面积的2倍，则 ．
20．（2024•绥化模拟）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出
发，以 的速度沿着 向点 匀速运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 向点
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匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 秒后， 与 相似．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•贵州）综合与探究：如图， ，点 在 的平分线上， 于点 ．
（1）【操作判断】
如图①，过点 作 于点 ，根据题意在图①中画出 ，图中 的度数为 度；
（2）【问题探究】
如图②，点 在线段 上，连接 ，过点 作 交射线 于点 ，求证：
；
（3）【拓展延伸】
点 在射线 上，连接 ，过点 作 交射线 于点 ，射线 与射线 相交于
点 ，若 ，求 的值．
22．（2024•惠城区一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为 0.1，0.2所对应的“ ”，并依次编号为①，②，垂
直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为 ， ；
步骤二：如1图所示，将②号“ ”沿水平桌面向右移动，直至从观测点 看去，对应顶点 ，
与点 在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在 处用①号“ ”测得的视力与在 处用②号“ ”测得的视力相同．
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探究：（1）①如1图， 与 之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的 ， ，可计算出 时， ；
运用：（2）如果将视力表中的两个“ ”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“ ”字是位
似图形，位似中心为点 ，①号“ ”与②号“ ”的相似比为 ，点 与点 为一组对应点．
若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
23．（2024•修水县一模）如图， 平分 ， 为 上一点， ．
（1）求证： ；
（2）若 为 中点， ，求 的长．
24．（2024•凉州区二模）已知线段 ，点 是线段 的黄金分割点 ．
（1）求线段 的长；
（2）以 为三角形的一边作 ，使得 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
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25．（2024•鼓楼区二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯 ， 的照射下，地
面上形成了他的两个影子 ， ．已知光源 ， 的高均为 ，小凯的身高 为 ，两
盏路灯相距 ， ， ， ， ， 在同一平面内．
（1）当影子 长为 时，求此时小凯到路灯 的距离 ；
（2）连接 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）小凯向上跳起再落下，该过程中 最长达到 ，直接写出小凯跳起的最大高度．
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中考数学一轮复习 图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024•阿克苏地区模拟）如图所示， 中， ， 分别交边 ， 于 ，
两点，若 ，则 与 的面积比为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【专题】推理能力；几何直观；图形的相似
【分析】根据已知可得到 ，从而可得到其相似比与面积比，由相似三角形的面积比等
于相似比的平方求得 与 的面积比．
【解答】解： 在 中， ，
，
， ，
与 的相似比为： ，
与 的面积比是： ；
故选： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．解答本题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三
角形的面积比是相似比的平方．
2．（2024•绥化模拟）已知 ，且相似比为 ，则 和 的周长比为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的性质
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【专题】推理能力；图形的相似
【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出．
【解答】解： ， 与 的相似比为 ，
与 的周长比为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比．
3．（2024•巧家县模拟）如图， 是 边 上一点，添加一个条件后，仍不能使
的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案．
【解答】解： 、当 时，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；
、当 时，再由 ，可得出 ，故此选项不合题意；
、当 时，无法得出 ，故此选项符合题意；
、当 时，即 ，再由 ，可得出 ，故此选项不合题
意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
4．（2024•昌吉州模拟）如图，正方形 ，点 在边 上，且 ， ，垂
足为 ，且交 于点 ， 与 交于点 ，延长 至 ，使 ，连接 ，有如
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下结论：① ；② ；③ ；④ ．上述结论中，
正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【专题】推理能力
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质逐一判断即可，
【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
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，
，
，
，
，故②正确；
作 于 ，设 ， ，则 ， ， ，
， ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
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，
，
，
， ，
，
，
，故③正确；
设 的面积为 ，
，
， ，
的面积为 ， 的面积为 ，
的面积 的面积 ，
，故④错误；
综上①②③正确，共3个，
故选： ．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利
用参数表示三角形的面积是解题的关键．
5．（2024•湖南）如图，在△ 中，点 ， 分别为边 ， 的中点．下列结论中，错误的
是
A． B．△ △
C． D．
【答案】
【考点】三角形的面积；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【专题】三角形；图形的相似；推理能力
【分析】根据题中所给条件可得出△ 与△ 相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题．
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【解答】解： 点 ， 分别为边 ， 的中点，
是△ 的中位线，
， ．
故 、 选项不符合题意．
，
△ △ ．
故 选项不符合题意．
△ △ ，
，
则 ．
故 选项符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似
三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2024•清城区一模）已知△ △ ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的性质
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【解答】解： △ △ ， ，
，
故选： ．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键．
7．（2024•罗湖区校级模拟）如图，△ 中， ， ， ．将△ 沿图示中
的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
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A． B．
C． D．
【答案】
【考点】相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解： 、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，
故本选项不符合题意；
、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，
故本选项符合题意；
、阴影三角形中， 的两边分别为 ， ，则两三角形对应边成比例且夹角相等，
故两三角形相似，
故本选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
8．（2024•重庆模拟）如图， 与 位似，点 为位似中心，相似比为 ，若 的
周长是5，则 的周长是
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A．15 B．20 C．25 D．45
【答案】
【考点】位似变换
【专题】图形的相似；运算能力
【分析】利用相似三角形的性质相似比 周长比，解决问题．
【解答】解： 与 位似，
，
，
的周长是5，
的周长为15．
故选： ．
【点评】本题考查位似变换，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
9．（2024•兴宁市校级二模）如果 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【考点】比例的性质
【分析】由 ，根据比例的性质，即可求得 的值．
【解答】解： ，
．
故选： ．
【点评】此题考查了比例的基本性质．此题比较简单，注意熟记比例变形．
10．（2024•南岗区校级三模）如图所示， 中若 ， ，则下列比例式正确的
是
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A． B． C． D．
【答案】
【考点】平行线分线段成比例
【专题】几何直观
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】解： ， ，
四边形 是平行四边形，
， ；
，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．找准对应关系，避免错选其他答案．
二．填空题（共10小题）
11．（2024•滨州）如图，在 中，点 ， 分别在边 ， 上．添加一个条件使
，则这个条件可以是 （答案不唯一） ．（写出一种情况即可）
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【答案】 （答案不唯一）．
【考点】相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】由相似三角形的判定方法，即可得到答案．
【解答】解： ，
添加条件： （答案不唯一），判定 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的
两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两
个三角形相似．
12．（2024•达州模拟）已知线段 ，点 是 的黄金分割点，且 ，则
．
【考点】黄金分割
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解： 点 是 的黄金分割点，且 ， ，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（2024•淮安模拟）如图，在平面直角坐标系中， 与 是以点 为位似中心的位似图
形，若点 坐标为 ，点 的坐标为 ，且 ，则点 的坐标为 ．
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【答案】 ．
【考点】坐标与图形性质；位似变换
【专题】运算能力；图形的相似
【分析】过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ．利用相似三角形的性质求出
， 可得结论．
【解答】解：过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ．
与 是以点 为位似中心的位似图形，
，
，
， ，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
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．
【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
相似三角形解决问题．
14．（2024•成都）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线， 为 中点，
连接 ．若 ， ，则 ．
【答案】 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；相似三角形的
判定与性质
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力
【分析】连接 ，过 作 于 ，设 ，则 ，由 ， 为 中
点，可得 ，有 ， ，证明 ，可得
， ， 故 ， 再 证 ， 得
，而 ，即得 ，从而 ，即可解得答
案．
【解答】解：连接 ，过 作 于 ，如图：
设 ，则 ，
， 为 中点，
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，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
为 中点，
，
，
，
，
，
解得 或 （小于0，舍去），
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．
故答案为： ．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰
三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，有一定的难度，
熟练掌握三角形相关知识是解答的关键．
15．（2024•茂南区校级模拟）如图，安装路灯 的路面 比种植树木的地面 高 ，
在路灯的照射下，路基 留在地面上的影长 为 ，通过测量知道 的长为 ，则路灯
的高度是 4. 5 ．
【考点】相似三角形的应用；中心投影
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出方程求解即可．
【解答】解：由题意可知，△ △ ，
，
，
，
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
16．（2024•文山市模拟）已知 ，请添加一个条件 ，使 ．
【考点】 ：相似三角形的判定
【专题】26：开放型
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【 分 析 】 假 设 可 得 ， ， 已 知 ， 则
，故添加 即可使得 ．
【解答】解： ，
，
，
，
故添加 即可使得 ．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质和相似三角形的判定，添加 并证明
是解题的关键．
17．（2024•凉州区三模）如图，点 、 是 边 、 上的点， ，连接 、
，交点为 ， ，那么 的值是 ．
【考点】平行线分线段成比例
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力
【分析】过 作 ，交 于 ，依据平行线分线段成比例定理，即可得到
， ，进而可得 的值．
【解答】解：如图所示，过 作 ，交 于 ，
则 ，即： ， ，
，即： ，
．
故答案为： ．
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【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的
延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18．（2024•深圳三模）如图，在正方形 中， ， 为对角线 上任意一点（不与
、 重合），连接 ，过点 作 ，交线段 于点 ．连接 交 于点 ．若
，则 的值为 1 5 ．
【答案】15．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形的判定与性质
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力
【分析】把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，先证 得 ，
由 可 设 ， 则 ， 继 而 知 ， ， 由
可求出 ，最后通过 可得出答案．
【解答】解：如图，把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
， ，
， ， ， ，
， ，
，
、 、 、 四点共圆，
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，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，则 ，
正方形 的边长为 ，
，
，
，
， ，
， ，
，
，
．
故答案为：15．
【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、等腰直角三角形的判定
与性质及相似三角形的判定与性质等知识点．
19．（2024•苏州）如图，△ 中， ， ， ，点 ， 分别在 ，
边上， ，连接 ，将△ 沿 翻折，得到△ ，连接 ， ．若△
的面积是△ 面积的2倍，则 ．
【考点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问
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题）；相似三角形的判定与性质
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】设 ， ，根据折叠性质得 ， ，过 作
于 ，设 与 相交于 ，证明△ △ ，得到 ，进而得到
， ，证明 △ 是等腰直角三角形，得到 ，可得
， 证 明 △ △ ， 得 到 ， 则
，根据三角形的面积公式结合已知可得 ，然
后解一元二次方程求解 的值即可．
【解答】解： ，
设 ， ，
△ 沿 翻折，得到△ ，
， ，
过 作 于 ，设 与 相交于 ，
则 ，
又 ，
△ △ ，
，
， ， ，
，
， ，则 ，
△ 是等腰直角三角形，
，则 ，
，
在△ 和△ 中，
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，
△ △ ，
， ，
，
，
△ 的面积是△ 的面积的2倍，
，
则 ，
解得 ， （舍去），
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三
角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联
系与运用是解 答的关键．
20．（2024•绥化模拟）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出
发，以 的速度沿着 向点 匀速运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 向点
匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过 或 秒后， 与 相
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似．
【答案】 或 ．
【考点】勾股定理；相似三角形的判定
【专题】图形的相似；推理能力
【分析】分两种情况分别计算，①设经过 秒后 ，得 ，②设经过 秒后
，得 ，代入用 表示的线段计算即可．
【解答】解：①设经过 秒后 ，
，
，
解得 ；
②设经过 秒后 ，
，
，
解得 ，
经过 秒或 秒， 与 相似．
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故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2024•贵州）综合与探究：如图， ，点 在 的平分线上， 于点 ．
（1）【操作判断】
如图①，过点 作 于点 ，根据题意在图①中画出 ，图中 的度数为 9 0 度；
（2）【问题探究】
如图②，点 在线段 上，连接 ，过点 作 交射线 于点 ，求证：
；
（3）【拓展延伸】
点 在射线 上，连接 ，过点 作 交射线 于点 ，射线 与射线 相交于
点 ，若 ，求 的值．
【考点】相似形综合题
【专题】压轴题；几何直观；模型思想
【分析】（1）依题意画出图形，证四边形 是矩形即可求解；
（2）过 作 于点 ，证矩形 是正方形，得出 ，再证△
△ ，得出 ，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可证明；
（3）分 在线段 上和 的延长线上讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】（1）解：如图， 即为所求．
， ， ，
四边形 是矩形，
，
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故答案为：90．
（2）证明：如图，过 作 于点 ．
由 知四边形 是矩形，
点 在 的平分线上， ， ，
，
矩形 是正方形，
， ，
，
，
又 ， ，
△ △ ，
，
，
．
（3）①当 在线段 上时，如图，延长 、 交于点 ．
由（2）知 ，
设 ，则 ， ．
，
， ，
△ △ ，
，
，
△ △ ，
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，
，
；
②当 在 的延长线上时，如图，过 作 于 ，并延长交 于 ．
由（2）知，四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
又 ， ，
△ △ ，
，
，
，
， ，
，
△ △ ，
，即 ，
，
，
△ △ ，
，
，
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；
综上， 的值为 或 ．
【点评】本题考查了四边形综合，同时考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、角平分线
的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，明确题意，添加合适的辅助
线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键．
22．（2024•惠城区一模）综合与实践
主题：某数学实践小组以标准对数视力表为例，探索视力表中的数学知识
操作：步骤一：用硬纸板复制视力表中视力为 0.1，0.2所对应的“ ”，并依次编号为①，②，垂
直放在水平桌面上，开口的底部与桌面的接触点为 ， ；
步骤二：如1图所示，将②号“ ”沿水平桌面向右移动，直至从观测点 看去，对应顶点 ，
与点 在一条直线上为止．
结论：这时我们说，在 处用①号“ ”测得的视力与在 处用②号“ ”测得的视力相同．
探究：（1）①如1图， 与 之间存在什么关系？请说明理由；
②由标准视力表中的 ， ，可计算出 时， 43. 2 ；
运用：（2）如果将视力表中的两个“ ”放在如2图所示的平面直角坐标系中，两个“ ”字是位
似图形，位似中心为点 ，①号“ ”与②号“ ”的相似比为 ，点 与点 为一组对应点．
若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
【答案】（1）①相等，见解析；②43.2；（2） ．
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【考点】相似形综合题
【专题】图形的相似；应用意识
【分析】（1）①根据题意证明△ △ ，从而得到 ，即可得到 ；②把
， ， ，代入 即可求解．
（2）根据位似比为 ，代入数据计算即可．
【解答】解：（1）① ．
由题意得 ，
△ △ ，
，
，
；
② ， ， ，
．
．
故答案为：43.2．
（2） ①号“ ”与②号“ ”的相似比为 ，点 与点 为一组对应点．若点 的坐标为
，
点 的坐标为 ，即 ，
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故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，位似的性质，掌握相似的性质是解题的关键．
23．（2024•修水县一模）如图， 平分 ， 为 上一点， ．
（1）求证： ；
（2）若 为 中点， ，求 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质
【专题】证明题；图形的相似；推理能力
【分析】（1）根据角平分线定义可得 ，进而可以证明结论；
（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明： 平分 ，
，
．
；
（2）解： 为 中点， ，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，得出 是解题的关键．
24．（2024•凉州区二模）已知线段 ，点 是线段 的黄金分割点 ．
（1）求线段 的长；
（2）以 为三角形的一边作 ，使得 ，连接 ，若 平分 ，求 的长．
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【答案】（1） ；（2）2．
【考点】黄金分割
【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线；运算能力
【分析】（1）依据题意，根据黄金比值计算即可得解；
（2）依据题意，由若 平分 ，可得 到 、 的距离相等，从而 ，又
由（1） ，再结合 ，即可得解．
【解答】解：（1） 点 是线段 的黄金分割点， ，
．
（2） 平分 ，
到 、 的距离相等．
．
又由（1） ，
，
．
．
【点评】本题主要考查了黄金分割的意义，解题时要熟练掌握并灵活运用．
25．（2024•鼓楼区二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯 ， 的照射下，地
面上形成了他的两个影子 ， ．已知光源 ， 的高均为 ，小凯的身高 为 ，两
盏路灯相距 ， ， ， ， ， 在同一平面内．
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（1）当影子 长为 时，求此时小凯到路灯 的距离 ；
（2）连接 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
（3）小凯向上跳起再落下，该过程中 最长达到 ，直接写出小凯跳起的最大高度．
【答案】见解析
【考点】列代数式；相似三角形的应用；中心投影
【分析】（1）证明 ，运用相似三角形的性质即可得出结论；
（2）证明 ，可得 ，可得 ；
（3）由 ，求出 ，再由 求出 即可．
【解答】（1）解： ，
，
，
， ， ，
，
解得， ，
答：此时小凯到路灯的距离 ；
（2）解：如图：连接 ，
由（1）可得 ，
，
又 ，
，
，
；
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（3）解：如图，
同（2）可得 ，
，
， ，
，
，
又 ，
设最大高度为 ，
，
，
解得， ，
所以，小凯头顶离地面的最大高度 ．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据题意证明三角形相似，利用比例式求解即可．
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