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2025年中考数学一轮复习
第31讲 统计与概率
一．选择题（共10小题）
1．数据8，11，8，3，5，8，5的众数是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
2．小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单
独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（
）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
3．一次考试中，小兰同学说：“我们班成绩为 90分的同学最多，成绩排在最中间的是89分”．这句话
反映的统计量较为恰当的是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区
某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的 15位选手的比赛
成绩制成的统计表：
成绩（分） 88 90 92 95 96 98
人数 1 2 3 4 3 2
这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．92，95 B．95，98 C．95，95 D．96，95
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲 2＝
0.12，s乙 2＝0.25，s丙 2＝0.35，s丁 2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ）
A．调查某品牌电视的使用寿命
B．调查某品牌手机的市场占有率
C．调查某校九（1）班男女比例
D．调查某批次烟花爆竹的燃放效果
7．下列说法正确的是（ ）
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A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
2
D．从分别标有﹣1、1、2的三张卡片中一次抽取2张，卡片上的两个数的乘积为负数的概率是
3
8．2024年世界游泳锦标赛于2月18日结束全部赛程．中国队斩获23金8银2铜．为表示中国在历届世
界游泳锦标赛上获得金牌数量的变化趋势．最宜采用的统计图是（ ）
A．折线统计图 B．条形统计图
C．扇形统计图 D．频数分布直方图
9．某公司统计了今年4月份销售部10名员工销售某种商品的业绩如下表：
每人销售量/件 490 260 220 160
人数/人 1 2 5 2
则这10名销售人员4月该商品销售量的中位数和众数分别为（ ）
A．220，220 B．260，240 C．220，240 D．260，220
10．长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力
情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线
统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的众数小于乙班视力值的众数
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
二．填空题（共5小题）
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11．有6张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张，每张卡片被抽到的可能性相同，则
抽到的卡片是3的倍数的概率是 ．
12．甲、乙两组同学身高（单位：cm）的数据如下：甲组：163，165，165，166，166；乙组：163，
164，165，166，167．甲、乙两组数据的方差分别为S2 、S2 ，则S2 S2 （填“＞”，“＜”
甲 乙 甲 乙
或“＝”）．
13．如表是小阮同学本周在校体育活动时间统计表（min），则小阮同学本周五天体育活动时间的中位数
是 ．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
65 60 75 80 70
14．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1
个球，摸出黑球的可能性 摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
15．某校为了解初三年级学生每周在校的体育锻炼时间x（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调
查，结果绘制成扇形统计图（如图），若此次调查中每周锻炼时间x≥8的有5人，则初三年级500名
学生每周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有 人．
三．解答题（共5小题）
16．学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结
果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中
提供的信息，解答下列问题：
（1）C类的人数是 ；D类的人数是 ；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是
；
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（2）学校准备从调查的A类（1名女生、2名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学
进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．
17．某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽
取七八九年级200名学生调查每周用于阅读的时间：
【设计方案】
方案 调查方式
方案① 在指定学校中随机抽取200名学生进行调
查分析
方案② 在全区七八九年级中随机抽取200名学生
进行调查分析
方案③ 在八年级男生中随机抽取200名学生进行
调查分析
【数据分析】将抽取的200名学生每周用于课外阅读的时间x（单位：分钟）的数据，划分为四个等级：
A（30＜x≤60），B（60＜x≤90），C（90＜x≤120），D（120＜x≤150），并绘制成如下不完整的
统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）三个方案中具有代表性的方案是 （填“①”或“②”或“③”）；
（2）请补全条形统计图；
（3）在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这
3名同学中，随机抽取2名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中 1名男生和1名女
生的概率．
18．近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积极策应全民阅读、书香
城市建设．开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本校七（1）班6名学生的前一周课外阅读情
况，具体调查结果如图：
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（1）调查的这6名学生前一周课外阅读次数的中位数是 次，调查的这6名学生前一周平均
每次课外阅读时长的众数是 小时；
（2）开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到 3小时．请计算
这6名学生前一周人均课外阅读总时长．并估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能否达到学校目
标？
19．随着新能源的发展，新能源车企也迎来了更多的关注，如图是 2022年1月至12月和2023年1月至
12月新能源乘用车零售销量情况．
（1）根据图中数据，下列说法正确的有 （填序号）；
①2023年1月以来，每月新能源乘用车零售销量都在不断增加；
②2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是6月；
③除一月份以外，2023年每个月份新能源乘用车零售销量都比2022年同月的高．
（2）2023年新能源乘用车零售销量的中位数是 万辆；
（3）请结合图中数据，谈谈新能源汽车在市场的发展前景．
20．某校为了落实“双减”工作，丰富学生的课外生活，开展“雅言颂经典，真情咏中华”经典诵读活
动．为了了解学生的参与度，从学校随机抽取了一部分学生进行调查，m表示每天诵读时长，把调查
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学生的诵读时长分为5个等级，每个等级的范围如表所示，并绘制了条形统计图和扇形统计图．
等级 时长范围（分钟）
A （5≤m＜10）
B （10≤m＜15）
C （15≤m＜20）
D （20≤m＜25）
E （25≤m≤30）
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中等级E的圆心角度数；
（3）学校为了鼓励学生积极参加该项活动，准备给诵读时长不低于20分钟的同学给予“诵读之星”
称号，该校共有2000名学生，请问获得“诵读之星”称号的学生约有多少人？
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第31讲 统计与概率
一．选择题（共10小题）
1．数据8，11，8，3，5，8，5的众数是（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
【考点】众数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据众数的定义可知，众数是8．
【解答】解：∵数据8，11，8，3，5，8，5中，8出现的次数最多，
∴众数为8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了众数．熟练掌握众数的定义，是解决问题的关键．众数定义：一组数据中出现
次数最多的数据称为这组数据的众数．
2．小明收集了二十四节气的卡片，卡片背面完全相同，小明将“立春、雨水、春分、谷雨”四张卡片单
独拿出，邀请小亮和小华同时在其中各抽取一张，则两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为（
）
1 1 1 2
A． B． C． D．
4 3 2 3
【考点】列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】先根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数和找出两人抽到的卡片上写有相同的节气的
情况数，然后根据概率公式即可解答．
【解答】解：将“立春、雨水、春分、谷雨”分别用A，B，C，D表示，
根据题意画出树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片上的节气有相同汉字的结果有 4种，则两
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4 1
人抽到的卡片上的节气有相同汉字的概率为： = ．
12 3
故选：B．
【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键．
3．一次考试中，小兰同学说：“我们班成绩为 90分的同学最多，成绩排在最中间的是89分”．这句话
反映的统计量较为恰当的是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
【考点】统计量的选择；算术平均数；中位数；众数；方差．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．
【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排序后排在中间位置的数是中位数，
故选：D．
【点评】本题考查了众数及中位数的定义，属于统计基础知识，难度较小．
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．西山区
某中学组织学生参加“我阅读，我成长”为主题的演讲比赛，以下是根据进入决赛的 15位选手的比赛成
绩制成的统计表：
成绩（分） 88 90 92 95 96 98
人数 1 2 3 4 3 2
这些学生演讲比赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．92，95 B．95，98 C．95，95 D．96，95
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据众数，中位数的定义计算选择即可．
【解答】解：∵95出现了4次，出现的次数最多，
∴众数为95；
∵中位数是第8个数据，则中位数是95．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和众数，将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中
间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．
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5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人 10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲 2＝
0.12，s乙 2＝0.25，s丙 2＝0.35，s丁 2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】方差；算术平均数．
【专题】统计的应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据方差越小成绩越稳定，即可判断．
【解答】解：∵s甲 2＝0.12，s乙 2＝0.25，s丙 2＝0.35，s丁 2＝0.46，
∴s甲 2＜s乙 ＜2s丙 2＜s丁 2，
∴本次射击测试中，成绩最稳定的是甲．
故选：A．
【点评】本题考查了方差的性质，掌握方差越小成绩越稳定是关键．
6．下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ）
A．调查某品牌电视的使用寿命
B．调查某品牌手机的市场占有率
C．调查某校九（1）班男女比例
D．调查某批次烟花爆竹的燃放效果
【考点】全面调查与抽样调查．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、调查某品牌电视的使用寿命，最适合采用抽样调查方式，故A不符合题意；
B、调查某品牌手机的市场占有率，最适合采用抽样调查方式，故B不符合题意；
C、调查某校九（1）班男女比例，最适合采用普查方式，故C符合题意；
D、调查某批次烟花爆竹的燃放效果，最适合采用抽样调查方式，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
7．下列说法正确的是（ ）
A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C．一组数据的中位数可能有两个
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2
D．从分别标有﹣1、1、2的三张卡片中一次抽取2张，卡片上的两个数的乘积为负数的概率是
3
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；中位数；随机事件．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】D
【分析】结合折线统计图的特点可判断A选项；根据不可能事件的定义、中位数的定义可判断 B，C选项；
列表可得出所有等可能的结果数以及卡片上的两个数的乘积为负数的结果数，再结合概率公式可判断 D
选项．
【解答】解：为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，
故A选项不正确，不符合题意；
“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，
故B选项不正确，不符合题意；
一组数据的中位数不可能有两个，
故C选项不正确，不符合题意；
从分别标有﹣1、1、2的三张卡片中一次抽取2张，列表如下：
﹣1 1 2
﹣1 （﹣1， （﹣1，
1） 2）
1 （1，﹣ （1，2）
1）
2 （2，﹣ （2，1）
1）
共有6种等可能的结果，其中卡片上的两个数的乘积为负数的结果有：（﹣1，1），（﹣1，2），（1，
﹣1），（2，﹣1），共4种，
4 2
∴卡片上的两个数的乘积为负数的概率是 = ，
6 3
故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图法、折线统计图、不可能事件、中位数，熟练掌握列表法与树状图法、
折线统计图的特点、不可能事件的定义、中位数的定义是解答本题的关键．
8．2024年世界游泳锦标赛于2月18日结束全部赛程．中国队斩获23金8银2铜．为表示中国在历届世
界游泳锦标赛上获得金牌数量的变化趋势．最宜采用的统计图是（ ）
A．折线统计图 B．条形统计图
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C．扇形统计图 D．频数分布直方图
【考点】统计图的选择；频数（率）分布直方图；频数（率）分布折线图．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据折线统计图的特点，即可解答．
【解答】解：2024年世界游泳锦标赛于2月18日结束全部赛程．中国队斩获23金8银2铜．为表示中国
在历届世界游泳锦标赛上获得金牌数量的变化趋势．最宜采用的统计图是折线统计图，
故选：A．
【点评】本题考查了统计图的选择，频数（率）分布直方图，频数（率）分布折线图，熟练掌握各种统
计图的特点是解题的关键．
9．某公司统计了今年4月份销售部10名员工销售某种商品的业绩如下表：
每人销售量/件 490 260 220 160
人数/人 1 2 5 2
则这10名销售人员4月该商品销售量的中位数和众数分别为（ ）
A．220，220 B．260，240 C．220，240 D．260，220
【考点】众数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：∵第5个和第6个数据都是220，
220+220
∴这10名销售人员4月该商品销售量的中位数是 =220，
2
∵220出现的次数最多，
∴这10名销售人员4月该商品销售量的众数是220
故选：A．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
10．长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大.6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力
情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取 8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统
计图，则下列说法正确的是（ ）
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A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数
B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数
C．甲班视力值的众数小于乙班视力值的众数
D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差
【考点】折线统计图；加权平均数；中位数；众数；方差．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义列式计算即可．
4.4+4.6+4.7×4+4.8+5.0
【解答】解：A．甲班视力值的平均数为： =4.7，
8
4.4+4.5+4.6+4.7×2+4.8+4.9+5.0
乙班视力值的平均数为： = 4.7，
8
所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项A说法错误，不符合题意；
4.7+4.7 4.7+4.7
B．甲班视力值的中位数为 =4.7，乙班视力值的中位数为 =4.7，
2 2
所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项B说法错误，不符合题意；
C．甲班视力值的众数为4.7，乙班视力值的众数为4.7，
所以甲班视力值的众数等于乙班视力值的众数，故选项C说法错误，不符合题意；
1
D．甲班视力值的方差为 ×[（4.4﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+4×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]
8
＝0.025，
1
乙班视力值的方差为 ×[（4.4﹣4.7）2+（4.5﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+2×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）
8
2+（4.9﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]＝0.035，
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所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了折线统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统
计图表示的是事物的变化情况，也考查了中位数、平均数，极差及方差的定义．
二．填空题（共5小题）
11．有6张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张，每张卡片被抽到的可能性相同，则
1
抽到的卡片是3的倍数的概率是 ．
3
【考点】概率公式；倍数．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
1
【答案】 ．
3
【分析】随机抽取一张共有6种等可能结果，其中抽到的卡片是3的倍数的有3、6这2种结果，再根据
概率公式求解即可．
【解答】解：随机抽取一张共有6种等可能结果，其中抽到的卡片是3的倍数的有3、6这2种结果，
2 1
所以抽到的卡片是3的倍数的概率是 = ，
6 3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果
数÷所有可能出现的结果数．
12．甲、乙两组同学身高（单位：cm）的数据如下：甲组：163，165，165，166，166；乙组：163，
164，165，166，167．甲、乙两组数据的方差分别为S2 、S2 ，则S2 ＜ S2 （填“＞”，“＜”或
甲 乙 甲 乙
“＝”）．
【考点】方差．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】＜．
【分析】先由平均数的公式先求出甲和乙的平均数，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，
即可得出答案．
1
【解答】解：甲的平均数是： ×（163+165+165+166+166）＝165，
5
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1
S2 = ×[（163﹣165）2+（165﹣165）2+（165﹣165）2+（166﹣165）2+（166﹣165）2]＝1.2，
甲 5
1
乙的平均数是： ×（163+164+165+166+167）＝165，
5
1
S2 = ×[（163﹣165）2+（164﹣165）2+（165﹣165）2+（166﹣165）2+（167﹣165）2]＝2，
甲 5
∵S2 =1.2，S2 =2，
甲 乙
∴S2 ＜S2
．
甲 乙
故答案为：＜．
1
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为x，则方差S2= [（x −x）
1 2 n n 1
2+（x −x）2+…+（x −x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
2 n
13．如表是小阮同学本周在校体育活动时间统计表（min），则小阮同学本周五天体育活动时间的中位数
是 7 0 mi n ．
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
65 60 75 80 70
【考点】中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】70min．
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：由表知，这组数据为60、65、70、75、80，
所以这组数据的中位数为70min，
故答案为：70min．
【点评】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数
是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的
平均数就是这组数据的中位数．
14．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1
个球，摸出黑球的可能性 大于 摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）．
【考点】可能性的大小．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】大于．
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2 1 1
【分析】从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性大小为 = ，摸出白球的可能性大小为 ，据此可得
4 2 4
答案．
2 1 1
【解答】解：从中任意摸出1个球，摸出黑球的可能性大小为 = ，摸出白球的可能性大小为 ，
4 2 4
所以摸出黑球的可能性大于摸出白球的可能性，
故答案为：大于．
【点评】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．
15．某校为了解初三年级学生每周在校的体育锻炼时间x（单位：小时），随机抽取了50名学生进行调
查，结果绘制成扇形统计图（如图），若此次调查中每周锻炼时间 x≥8的有5人，则初三年级500名学
生每周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有 24 0 人．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】240．
【分析】总人数乘以样本中体育锻炼时间不低于7小时的人数所占比例即可．
50×38%+5
【解答】解：初三年级500名学生每周在校的体育锻炼时间不低于7小时的约有500× =240
50
（人）．
故答案为：240．
【点评】本题考查了扇形统计图和用样本估计总体，读懂扇形统计图，获取信息是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．学校为了解学生自主学习、合作交流的情况，对某班部分同学进行了一段时间的调查，并将调查结
果（A：特别好；B：好；C：一般；D：较差）绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请根据图中提供
的信息，解答下列问题：
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（1）C类的人数是 5 ；D类的人数是 2 ；扇形统计图中，D类所占的圆心角的度数是 36 °
；
（2）学校准备从调查的A类（1名女生、2名男生）和D类（男女生各占一半）中分别选取一位同学进
行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）5；2；36°；
1
（2） ．
2
【分析】（1）先求出调查的总人数，再根据总人数乘以C类所占的比例即可得出C类的人数；从而即可
得出D类的人数，用360°乘以D类所占的比例即可得出D类所占的圆心角的度数；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得可得：
调查总人数为：10÷50%＝20（人），
∴C类的人数是20×25%＝5（人），
D类的人数是20﹣3﹣10﹣5＝2（人），
2
D类所占的圆心角的度数是360°× =36°；
20
（2）列表得：
女 男 男
男 男女 男男 男男
女 女女 女男 女男
共有6种等可能出现的结果，其中所选的两位同学恰好是一男一女的情况有3种，
3 1
∴所选的两位同学恰好是一男一女的概率 = ．
6 2
【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，
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适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键要明确：概率等于
所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图与扇形统计图信息关联．
17．某区响应国家的号召，鼓励学生利用周末时间开展群文阅读．该区为了了解学生阅读情况，随机抽
取七八九年级200名学生调查每周用于阅读的时间：
【设计方案】
方案 调查方式
方案① 在指定学校中随机抽取200名学生进行调
查分析
方案② 在全区七八九年级中随机抽取200名学生
进行调查分析
方案③ 在八年级男生中随机抽取200名学生进行
调查分析
【数据分析】将抽取的200名学生每周用于课外阅读的时间x（单位：分钟）的数据，划分为四个等级：
A（30＜x≤60），B（60＜x≤90），C（90＜x≤120），D（120＜x≤150），并绘制成如下不完整的统计
图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）三个方案中具有代表性的方案是 ② （填“①”或“②”或“③”）；
（2）请补全条形统计图；
（3）在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这3
名同学中，随机抽取2名学生进行读书分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中 1名男生和1名女生的
概率．
【考点】列表法与树状图法；抽样调查的可靠性；条形统计图．
【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；运算能力．
【答案】（1）②．
（2）见解答．
2
（3） ．
3
【分析】（1）根据题意可直接得出答案．
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（2）分别求出A，C等级的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中 1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得
出答案．
【解答】解：（1）由题意得，三个方案中具有代表性的方案是②．
故答案为：②．
（2）A等级的人数为200×10%＝20（人），
C等级的人数为200﹣20﹣50﹣30＝100（人）．
补全条形统计图如图所示．
（3）列表如下：
男 男 女
男 （男， （男，
男） 女）
男 （男， （男，
男） 女）
女 （女， （女，
男） 男）
共有6种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果有4种，
4 2
∴恰好选中1名男生和1名女生的概率为 = ．
6 3
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状
图法是解答本题的关键．
18．近年来，各地以“大阅读”行动为抓手，创新搭建丰富多彩的阅读平台，积极策应全民阅读、书香
城市建设．开展“大阅读”行动之后，某学校随机调查了本校七（1）班6名学生的前一周课外阅读情况，
具体调查结果如图：
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（1）调查的这6名学生前一周课外阅读次数的中位数是 4. 5 次，调查的这6名学生前一周平均每次课
外阅读时长的众数是 0. 5 小时；
（2）开展“大阅读”活动之后，学校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3小时．请计算这
6名学生前一周人均课外阅读总时长．并估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能否达到学校目标？
【考点】众数；加权平均数；中位数．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）4.5，0.5；
（2）估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能达到学校目标．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）根据样本中这6名学生前一周课外阅读次数，每次课外阅读时长可求出答案．
1
【解答】解：（1）调查的这6名学生前一周课外阅读次数的中位数是 ×（4+5）＝4.5（次），调查的
2
这6名学生前一周平均每次课外阅读时长的众数是0.5小时；
故答案为：4.5，0.5；
1
（2）这6名学生前一周人均课外阅读总时长为 ×（3×1+4×0.5+4×1+5×0.5+6×1.5+7×0.5）＝4（小时），
6
∵校目标是所有学生人均每周课外阅读总时长能达到3小时，
∴估计七（1）班前一周人均课外阅读总时长能达到学校目标．
【点评】本题考查中位数、众数、加权平均数，掌握频数统计的方法是解决问题的前提，样本估计总体
是统计中常用的方法．
19．随着新能源的发展，新能源车企也迎来了更多的关注，如图是 2022年1月至12月和2023年1月至
12月新能源乘用车零售销量情况．
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（1）根据图中数据，下列说法正确的有 ③ （填序号）；
①2023年1月以来，每月新能源乘用车零售销量都在不断增加；
②2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是6月；
③除一月份以外，2023年每个月份新能源乘用车零售销量都比2022年同月的高．
（2）2023年新能源乘用车零售销量的中位数是 65. 3 万辆；
（3）请结合图中数据，谈谈新能源汽车在市场的发展前景．
【考点】中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【答案】（1）③；
（2）65.3；
（3）见解答（答案不唯一）．
【分析】（1）根据统计图数据逐一判断即可；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）从2022和2023年新能源乘用车零售销量方面解答即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）由题意可知，
2023年4月比3月的零售销量低，7比6的零售销量低，故①说法错误；
2023年新能源乘用车零售销量相较于前一个月增幅最大的是2月，故②说法错误；
除一月份以外，2023年每个月份新能源乘用车零售销量都比2022年同月的高，故③说法正确．
故答案为：③；
66.5+64.1
（2）2023年新能源乘用车零售销量的中位数是： =65.3（万辆），
2
故答案为：65.3；
（3）对比2022和2023年新能源乘用车零售销量，可知新能源汽车在市场越来越受到广大消费者的青睐，
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预计未来零销售量还会增加．
【点评】本题考查的是折线统计图以及中位数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的
关键．
20．某校为了落实“双减”工作，丰富学生的课外生活，开展“雅言颂经典，真情咏中华”经典诵读活
动．为了了解学生的参与度，从学校随机抽取了一部分学生进行调查，m表示每天诵读时长，把调查学
生的诵读时长分为5个等级，每个等级的范围如表所示，并绘制了条形统计图和扇形统计图．
等级 时长范围（分钟）
A （5≤m＜10）
B （10≤m＜15）
C （15≤m＜20）
D （20≤m＜25）
E （25≤m≤30）
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中等级E的圆心角度数；
（3）学校为了鼓励学生积极参加该项活动，准备给诵读时长不低于 20分钟的同学给予“诵读之星”称
号，该校共有2000名学生，请问获得“诵读之星”称号的学生约有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．
【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】（1）见解答；
（2）108°；
（3）1300人．
【分析】（1）由等级D人数和所占百分比，求出样本容量，再乘以等级C所占百分比，即可得到等级C
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人数，补全条形统计图即可；
（2）将等级E所占比乘以360°即可求出扇形统计图中等级E的圆心角度数；
（3）将诵读时长不低于20分钟的同学所占比乘以2000，即可估计出获得“诵读之星”称号的学生约有
多少人．
【解答】解：（1）∵样本容量为：70÷35%＝200（人），
∴等级C的人数为：200×20%＝40（人），
补全条形统计图如下：
（2）等级E的人数为：200﹣（10+20+40+70）＝60（人），
60
∵ ×360°＝108°，
200
∴扇形统计图中等级E的圆心角度数为108°；
70+60
（3）∵ ×2000＝1300（人），
200
答：估计获得“诵读之星”称号的学生约有1300人．
【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用数据是解题的关
键．
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考点卡片
1．全面调查与抽样调查
1、统计调查的方法有全面调查（即普查）和抽样调查．
2、全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且
某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接
关系到对总体估计的准确程度．
3、如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，
但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查．
如：个体调查者无法对全国中小学生身高情况进行普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯
泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进
行普查．如：某一天，全国人均讲话的次数，便无法进行普查．
2．抽样调查的可靠性
（1）抽样调查是实际中经常采用的调查方式．
（2）如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
（3）抽样调查除了具有花费少，省时的特点外，还适用一些不宜使用全面调查的情况（如具有破坏性的
调查）．
（4）分层抽样获取的样本与直接进行简单的随机抽样相比一般能更好地反映总体．其特点是：通过划类
分层，增大了各类型中单位间的共同性，容易抽出具有代表性的调查样本，该方法适用于总体情况复杂
各单位之间差异较大，单位较多的情况．
3．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时
我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
4．频数（率）分布直方图
画频率分布直方图的步骤：
（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说
样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过 100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）确定分
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点，将数据分组．（4）列频率分布表．（5）绘制频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来
表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积＝组距
频率
× =频率．②各组频率的和等于1，即所有长方形面积的和等于1．③频率分布表在数量表示上比
组距
较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．④从频率分布直方图可以清楚地看出数
据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．
5．频数（率）分布折线图
一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连
接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到
假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
6．统计表
统计表可以将大量数据的分类结果清晰，一目了然地表达出来．
统计调查所得的原始资料，经过整理，得到说明社会现象及其发展过程的数据，把这些数据按一定的顺
序排列在表格中，就形成“统计表”．统计表是表现数字资料整理结果的最常用的一种表格． 统计表是
由纵横交叉线条所绘制的表格来表现统计资料的一种形式．
7．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形
统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位 1），用圆的
扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形
圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用
量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
8．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序
把这些直条排列起来．
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．
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（3）制作条形图的一般步骤：
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．
②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．
④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．
9．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连
接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量． ③
根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
10．统计图的选择
统计图的选择：即根据常用的几种统计图反映数据的不同特征结合实际来选择．
（1）扇形统计图的特点：
①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比．②易于显示每组数据相对于总数的大小．
（2）条形统计图的特点：
①条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目．②易于比较数据之间的差别．
（3）折线统计图的特点：
①能清楚地反映事物的变化情况．②显示数据变化趋势．
根据具体问题选择合适的统计图，可以使数据变得清晰直观．不恰当的图不仅难以达到期望的效果，有
时还会给人们以误导．因此要想准确地反映数据的不同特征，就要选择合适的统计图．
11．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
1
（2）算术平均数：对于n个数x ，x ，…，x ，则x= （x +x +…+x ）就叫做这n个数的算术平均数．
1 2 n n 1 2 n
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等
时，就是算术平均数．
12．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x ，x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，w ，…，w ，则x1w1+x2w2+…
1 2 3 n 1 2 3 n
+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
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（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识
占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差
异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
13．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就
是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据
中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
14．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数
就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数
可作为描述一组数据集中趋势的量．．
15．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个
结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
1
s2= [（x −x）2+（x −x）2+…+（x −x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
n 1 2 n
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；
反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
16．统计量的选择
（1）一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定．但这并不是绝对的，有时多
数数据相对集中，整体波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值．
从而导致这些量度数值较大，因此在实际应用中应根据具体问题情景进行具体分析，选用适当的量度刻
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画数据的波动情况，一般来说，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用极差、方差或标准差
来比较两组数据的波动大小．
（2）平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别：①数据的平均数、众数、中位数是描述
一组数据集中趋势的特征量，极差、方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小（即波动大小）的特征数
描述了数据的离散程度．②极差和方差的不同点：极差表示一组数据波动范围的大小，一组数据极差越
大，则它的波动范围越大；方差和标准差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差（或标准
差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好．
17．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必
然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
18．可能性的大小
随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型
进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的
概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率
的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
19．概率公式
事件A可能出现的结果数
（1）随机事件A的概率P（A）= ．
所有可能出现的结果数
（2）P（必然事件）＝1．
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（3）P（不可能事件）＝0．
20．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结
果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目
m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及
三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的
枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
21．倍数
一个整数能够被另一个整数整除，那么这个整数就是另一整数的倍数．
28
