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2025年中考数学一轮复习
第27讲 图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．下列交通标志图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩
形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是（ ）
A．（﹣8，3） B．（﹣8，4） C．（﹣9，3） D．（﹣10，3）
3．如图，在3×3的网格图中，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是轴对称
图形的概率是（ ）
5 4 3 6
A． B． C． D．
7 7 7 7
4．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
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A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①②
5．如图，将面积为2的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（ ）
A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大
C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变
6．①～⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（ ）
A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥
7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
则AF长为（ ）
12
A．3cm B． cm C．5cm D．2√5cm
5
8．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向上平移3个单位长度得到点P′，则点P′关于x轴的对称
点的坐标为（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
9．如图，把一长方形纸片 ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝
2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（ ）
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A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得
到折痕l，则l的长为（ ）
A．3√5 B．3√3 C．5 D．3
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线
AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝ ．
12．如图，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，点E是AB的中点，点F是BC上一动点（不与B、C重合）
把△BEF沿EF对折，使点B与点N重合，则线段DN的最小值为 ．
13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE，若∠A＝
，∠BDA′＝ ，∠CEA′＝ ，则 ， ， 三者的等量关系式是 ．
α β γ α β γ
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14．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为
．
15．如图，在直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形
AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点 P作PH⊥OA于H，Q是点 B关于点 A的对称点，则
BP+PH+HQ的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图．
（1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种
即可）
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹）
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17．如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△ABC及直线l．
（1）画出△ABC关于直线l的对称图形△A B C ；
1 1 1
1
（2）仅用无刻度直尺在边AC上找到点E，使得△ABE的面积等于△ABC面积的 （保留作图痕迹）．
3
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为ECF⊥AD垂足为F．
（1）求证：▱四边形AECF是矩形．
（2）△FCG沿直线FG折叠，点C落在矩形AECF的对角线AC上点H处，若AE＝1，EC＝2，求线
段CG的长度．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，1），C
（﹣2，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ．
1 1 1
（2）将（1）中的△A B C 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A B C ，画
1 1 1 2 2 2
出△A B C ．
2 2 2
（3）若线段AC上一点M（a，b）经过上述两次变换后对应线段 A C 上的点M ，则点M 的坐标是
2 2 2 2
．
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20．在 ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，将△ACD沿着对角线AC翻折，使点D落在D′处，连接
AD′▱，AD′与BC交于E，连接BD'．
（1）试判断四边形ABD'C的形状，并说明理由；
（2）若 ABCD的周长为32，sin∠D＝0.8，求四边形ABD'C的面积．
▱
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第27讲 图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．下列交通标志图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO，OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩
形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是（ ）
A．（﹣8，3） B．（﹣8，4） C．（﹣9，3） D．（﹣10，3）
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．
【专题】平面直角坐标系；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力．
【答案】D
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【分析】根据题意可以得到CE、OF的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标．
【解答】解：由题意，BC＝OA＝8，
设CE＝a，则BE＝8﹣a，
由折叠可得，EF＝BE＝8﹣a，
∵∠ECF＝90°，CF＝4，
∴a2+42＝（8﹣a）2，
解得，a＝3，
设AB＝b，
∴AF＝OC＝b，
∴OF＝b﹣4，
∵∠AOF＝90°，
b2＝（b﹣4）2+82，
解得b＝10，
∴点E的坐标为（﹣10，3），
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化﹣对称，解题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
3．如图，在3×3的网格图中，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是轴对称
图形的概率是（ ）
5 4 3 6
A． B． C． D．
7 7 7 7
【考点】利用轴对称设计图案；概率公式．
【专题】概率及其应用；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题意，在网格中构造出轴对称图形，再由简单概率公式代值求解即可得到答案．
【解答】解：图中共有7个空白格，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是
轴对称图形有5个，如图所示：
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5
∴P（图中阴影部分构成的图形是轴对称图形）= ，
7
故选：A．
【点评】本题考查简单概率公式求一步问题概率，涉及网格中作轴对称图形，熟记轴对称图形的定义及
设计是解决问题的关键．
4．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①②
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：①⑤的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以不是轴对称图形；
②③④的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对
称图形；
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
5．如图，将面积为2的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（ ）
A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大
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C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变
【考点】图形的剪拼．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】B
【分析】求出正方形的边长，周长，面积，长方形的周长，面积即可判断．
【解答】解：∵正方形面积为2，
∴正方形的边长为√2，正方形的周长为4×√2=4√2，
将其分为4个全等的等腰直角三角形后，直角边为1，
拼剪的长方形面积不变，而周长为2×（1+2）＝6，
∵6＞4√2，
∴长方形周长变大．
故选：B．
【点评】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．①～⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（ ）
A．①⑥ B．②④ C．③⑤ D．④⑥
【考点】利用轴对称设计图案．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和是180°且利用图形已知的两个角的度数分别求出另一个角的度数，然后利用
等腰三角形定义及等腰三角形是轴对称图形判断即可
【解答】解：∵②180°﹣（30°+75°）＝75°，④图形一个角是75°，
∴②和④可以组成一个三角形，且这个三角形是等腰三角形，是轴对称图形，
∵⑤180°﹣（30°+35°）＝115°，③图形一个角是115°，
∴③和⑤可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形，
∵180°﹣（90°+63°）＝27°，①图形一个角是27°，
∴①和⑥可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形．
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故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和和轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理和轴对称图形的定义是解
题的关键；
7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
则AF长为（ ）
12
A．3cm B． cm C．5cm D．2√5cm
5
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】设AF＝x cm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点
A重合，由勾股定理求AF即可．
【解答】解：设AF＝x cm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5（cm）．
∴AF＝5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向上平移3个单位长度得到点P′，则点P′关于x轴的对称
点的坐标为（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
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【答案】C
【分析】先根据向上平移3个单位，纵坐标加3，横坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，
横坐标不变，纵坐标相反解答．
【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向上平移3个单位得到点P'，
∴点P'的坐标是（﹣3，5），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣5）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于 x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活
运用是解题的关键．
9．如图，把一长方形纸片 ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC内部．若∠CAE＝
2∠BAD′，且∠CAD′＝20°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】翻折变换（折叠问题）；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°，得到∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，由折叠的性质得
到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，由矩形的性质，得到∠BAD＝90°，得到2x+20+2x+20+x＝90，求出x
＝10，即可求出∠DAE＝2x°+20°＝40°．
【解答】解：设∠BAD′＝x°，则∠CAE＝2x°，
∴∠EAD′＝∠CAE+∠CAD′＝2x°+20°，
由折叠的性质得到：∠DAE＝∠EAD′＝2x°+20°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAE+∠EAD+∠BAD′＝90°，
∴2x+20+2x+20+x＝90，
∴x＝10，
∴∠DAE＝2x°+20°＝40°．
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故选：B．
【点评】本题考角的计算，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到关于x的方程．
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得
到折痕l，则l的长为（ ）
A．3√5 B．3√3 C．5 D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】由勾股定理求出AB＝10，设DC＝x，运用等积法可求出DC＝3，再用勾股定理求出AD即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，
设DC＝x，
1 1 1
∵S = AB×DC+ AC×DC= AC×BC，
△ABC 2 2 2
1 1 1
∴ ×10x+ ×6x= ×6×8，
2 2 2
解得x＝3．
Rt△ACD中，AC2+DC2＝AD2
∴AD=√AC2+DC2=√62+32=3√5．
∴l的长为3√5．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AC＝3，AB＝5，点P是BC边上一点，连接AP，若将∠C沿直线
AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，则PC＝ 2 ．
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【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】2．
【分析】先求出BD，再证明出∠B＝∠DPB，得到BD＝PD，由PC＝PD可得到PC的长．
【解答】解：∵将∠C沿直线AP翻折，使得∠C的顶点恰好落在AB边上的点D处，
∴PD＝PC，AD＝AC＝3，∠ADP＝∠C，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝AB﹣AC＝5﹣3＝2，
∵∠C＝2∠B，
∴∠ADP＝2∠B＝∠B+∠DPB，
∴∠B＝∠DPB，
∴BD＝PD，
∴PC＝BD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的推论，推出 PC＝PD＝BD是解题
的关键．
12．如图，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6，点E是AB的中点，点F是BC上一动点（不与B、C重合）
把△BEF沿EF对折，使点B与点N重合，则线段DN的最小值为 2√10−2 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】2√10−2．
【分析】由勾股定理可求DE的长，由折叠的性质可得 EN＝BE＝2，则点N在以点E为圆心，BE为半
径的圆上，即可求解．
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【解答】解：如图，连接DE，
∵AB＝4，
点E是AB的中点，
∴AE＝2＝BE，
∴DE=√AD2+AE2=√4+36=2√10，
∵把△BEF沿EF对折，
∴EN＝BE＝2，
∴点N在以点E为圆心，BE为半径的圆上，
∴点N在线段DE上时，DN有最小值，
最小值为 2√10−2，
故答案为：2√10−2．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知 识，确定点N的运动轨迹是解题的关键．
13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE，若∠A＝
，∠BDA′＝ ，∠CEA′＝ ，则 ， ， 三者的等量关系式是 ＝ 2 a + ．
α β γ α β γ β γ
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】 ＝2a+ ．
【分析】β根据三角γ 形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝ ，∠CEA′＝ ，∠BDA'＝ ，
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∴∠BDA'＝ ＝ + + ＝2 + ，
故答案为：β＝2αa+α．γ α γ
【点评】本β题考查γ了翻折变换（折叠问题），三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相
邻的两个内角的和是关键．
14．如图，将平行四边形 ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1＝∠2＝36°，∠B为
126° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据翻折可得∠B′AC＝∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC＝∠DCA，从而可
得∠1＝2∠BAC，进而求解．
【解答】解：根据翻折可知：∠B′AC＝∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA＝∠B′AC，
∵∠1＝∠B′AC+∠DCA，
∴∠1＝2∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠2＝180°﹣18°﹣36°＝126°，
故答案为：126°．
【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
15．如图，在直角坐标系中，A（﹣2，0），B（0，2），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形
AOCD 为矩形，P 是 CD 上一个动点，过点 P 作 PH⊥OA 于 H，Q 是点 B 关于点 A 的对称点，则
BP+PH+HQ的最小值为 6 ．
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【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形变化﹣旋转；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CH，根据A、B的坐标先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH＝OC＝
BC＝1，再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP＝CH，在BP+PH+HQ中，PH＝1是定值，所以只要
CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出
即可．
【解答】解：如图，连接CH，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OB＝2，OA＝2，
∵C是OB的中点，
∴BC＝OC＝1，
∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，
∴四边形PHOC是矩形，
∴PH＝OC＝BC＝1，
∵PH∥BC，
∴四边形PBCH是平行四边形，
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∴BP＝CH，
∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+1，
要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，
∵点Q是点B关于点A的对称点，
∴Q（﹣4，﹣2），
又∵点C（0，1），
根据勾股定理可得CQ=√(0+4) 2+(1+2) 2=5，
此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+1＝5+1＝6，
即BP+PH+HQ的最小值，6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中
考常见题型，正确记忆相关知识点是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图．
（1）在图1中作四边形ABCD，使点C，D在格点上，并且四边形ABCD为轴对称图形．（画出一种即
可）
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．（用实线保留作图痕迹）
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义画图即可．
（2）结合垂线段最短，过点P作AB的垂线，交AB于点Q，则点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD即为所求．
（2）如图2，过点P作AB的垂线，交AB于点Q，
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则点Q即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的定义、垂线段最短是解答本
题的关键．
17．如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△ABC及直线l．
（1）画出△ABC关于直线l的对称图形△A B C ；
1 1 1
1
（2）仅用无刻度直尺在边AC上找到点E，使得△ABE的面积等于△ABC面积的 （保留作图痕迹）．
3
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）取格点M，N，使AM：CN＝1：2，且AM∥CN，连接MN，交AC于点E，即点E即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，取格点M，N，使AM：CN＝1：2，且AM∥CN，连接MN，交AC于点E，
则△AEM∽△CEN，
∴AE：CE＝AM：CN＝1：2，
∴AE：AC＝1：3，
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1
∴△ABE的面积等于△ABC面积的 ，
3
即点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性
质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
18．如图，在 ABCD中，AE⊥BC，垂足为ECF⊥AD垂足为F．
（1）求证：四▱边形AECF是矩形．
（2）△FCG沿直线FG折叠，点C落在矩形AECF的对角线AC上点H处，若AE＝1，EC＝2，求线段
CG的长度．
【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）见解析；
1
（2）CG的长度为 ．
2
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AF∥CE，得到AE∥CF，根据矩形的判定定理即可得到结论．
AE CE
（2）根据折叠的性质得到FG⊥CH，推出△ACE∽∠GFC，根据相似三角形的性质得到 = ，于是
CG CF
得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴AF∥CE，
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∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∵CF⊥AD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
（2）解：∵△FCG沿直线FG折叠，点C落在矩形AECF的对角线AC上点H处，
∴FG⊥CH，
∴∠HCG+∠CGF＝∠CGF+∠CFG＝90°，
∴∠ACE＝∠CFG，
∵∠AEC＝∠FCG＝90°，
∴△ACE∽∠GFC，
AE CE
∴ = ，
CG CF
∵AE＝1，EC＝2，
∴CF＝AE＝1，
1 2
∴ = ，
CG 1
1
∴CG= ，
2
1
故线段CG的长度为 ．
2
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，1），C
（﹣2，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ．
1 1 1
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（2）将（1）中的△A B C 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A B C ，画出
1 1 1 2 2 2
△A B C ．
2 2 2
（3）若线段AC上一点M（a，b）经过上述两次变换后对应线段 A C 上的点M ，则点M 的坐标是
2 2 2 2
（ a + 6 ，﹣ b + 2 ） ．
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）（a+6，﹣b+2）．
【分析】（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数；
（2）根据平移的性质即可得到结论；
（3）根据轴对称的性质和平移的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）△A B C 如图所示；
1 1 1
（2）△A B C 如图所示；
2 2 2
（3）点M经过第一次变换后坐标为（﹣a，b），经过第二次变换后的坐标为（a+6，﹣b+2），
故答案为（a+6，﹣b+2）．
【点评】本题是作图﹣平移变换，轴对称变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解题的关键．
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20．在 ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°，将△ACD沿着对角线AC翻折，使点D落在D′处，连接
AD′，▱AD′与BC交于E，连接BD'．
（1）试判断四边形ABD'C的形状，并说明理由；
（2）若 ABCD的周长为32，sin∠D＝0.8，求四边形ABD'C的面积．
▱
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】（1）四边形ABD'C是矩形，理由见解析过程；
（2）48．
【分析】（1）先判定四边形ABD'C是平行四边形，再根据∠BAC＝90°，即可得出四边形ABD'C是矩形；
（2）先解直角三角形得到AC和CD的长，进而得到四边形ABD'C的面积．
【解答】解：（1）四边形ABD'C是矩形，理由：
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
由折叠可得，∠ACD'＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD'＝180°，
∴AB∥CD'，
由折叠可得，CD'＝CD，
又∵平行四边形ABCD中，CD＝AB，
∴AB＝CD'，
∴四边形ABD'C是平行四边形，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABD'C是矩形；
（2）∵ ABCD的周长为32，
∴AD+C▱D＝16，
又∵Rt△ACD中，sin∠D＝0.8，
∴可设AC＝4x，AD＝5x，则CD＝3x，
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∴5x+3x＝16，
解得x＝2，
∴AC＝8，CD＝6＝CD'，
∴矩形ABD'C的面积为6×8＝48．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
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考点卡片
1．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，
1
记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=
3
∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，
逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒
分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
2．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
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边．
4．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
5．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对
称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
6．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步
研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，
∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
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7．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫
做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对
称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
8．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
9．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b）
10．作图-轴对称变换 ⇒
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开
始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另
一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
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11．利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得
到不同的图案．
12．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来
确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况
要作点关于某直线的对称点．
13．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对
应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为
x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾
股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
14．图形的剪拼
平面构成设计的基础知识，图形拼摆使学生初步理解基本形图形拼摆的概念、构成，以及基本形在平面
构成设计中的意义．运用形象与空间关系的规律，设计出新颖的图形拼摆图案．2．学习用分割、组合的
方法获得基本形，在教师指导下进行巧妙组合、色彩搭配，图形拼摆完成简单的平面构成设计．培养、
锻炼学生的组合造型能力和空间想象能力，发展抽象思维．3．通过动手拼摆、操作，使学生初步了解分
解构成的原理，增强设计意识，并在小组活动中培养学生的操作、观察、表达及思维能力，培养探索意
识和合作精神．
15．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
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①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形⇒各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就
是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相
应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，
上移加，下移减．）
16．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次
连接对应点即可得到平移后的图形．
17．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转⇒图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角
度如：30°，45°，60°，90°，180°．
18．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
19．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
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②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
∠A的对边a ∠A的邻边b ∠A的对边a
sinA= = ，cosA= = ，tanA= = ．
斜边 c 斜边 c ∠A的邻边b
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
20．概率公式
事件A可能出现的结果数
（1）随机事件A的概率P（A）= ．
所有可能出现的结果数
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
30
