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第 31 讲 轴对称、平移、旋转
目 录
题型01 轴对称图形、中心对称图形的识 式
别 题型20 已知图形的平移求点的坐标
题型02 根据成轴对称图形的特征进行判 题型21 平移的综合问题
断 题型22 找旋转中心、旋转角、对应点
题型03 根据成轴对称图形的特征进行求 题型23 根据旋转的性质求解
解 题型24 根据旋转的性质说明线段或角相
题型04 轴对称中的光线反射问题 等
题型05 折叠问题-三角形折叠问题 题型25 画旋转图形
题型06 折叠问题-四边形折叠问题 题型26 求旋转对称图形的旋转角度
题型07 折叠问题-圆形折叠问题 题型27 旋转中的规律问题
题型08 折叠问题-抛物线与几何图形综 题型28 求绕原点旋转90°点的坐标
合 题型29 求绕某点（非原点）旋转90°点
题型09 求对称轴条数 的坐标
题型10 画轴对称图形 题型30 求绕原点旋转一定角度点的坐标
题型11 设计轴对称图案 题型31 旋转综合题-线段问题
题型12 求某点关于坐标轴对称点的坐标 题型32 旋转综合题-面积问题
题型13 轴对称有关的规律探究问题 题型33 旋转综合题-角度问题
题型14 轴对称的综合问题 题型34 画已知图形关于某点的对称图形
题型15 利用平移的性质求解 题型35 根据中心对称的性质求面积、长
题型16 利用平移解决实际生活问题 度、角度
题型17 作平移图形 题型36 利用平移、轴对称、旋转、中心
题型18 由平移方式确定点的坐标 对称设计图案
题型19 由平移前后点的坐标判断平移方
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题型 01 轴对称图形、中心对称图形的识别
1．（2024·山东临沂·一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东肇庆·统考一模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川广安·统考一模）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东青岛·统考三模）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列
窗花作品是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型 02 根据成轴对称图形的特征进行判断
5．（2023·天津·校联考一模）如图，△ABC与△A B C ，关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与
1 1 1
A A 共线），下列结论不正确的是（ ）
1
A．AP=A P B．△ABC与△A B C 的面积相等
1 1 1 1
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C．MN垂直平分线段A A D．直线AB,A B 的交点不一定在MN上
1 1 1
6．（2023·河北秦皇岛·统考三模）如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
7．（2019·河北·模拟预测）如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E
C．AB//DF D．AD的连线被MN垂直平分
题型 03 根据成轴对称图形的特征进行求解
8．（2022·广东东莞·湖景中学校考一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长AB=5，点E是BC边上一
动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
5√2 5
A．5 B．5√2−5 C． D．
2 2
9．（2022·河北衡水·校考模拟预测）如图，∠AOB=60°，点P到OA的距离是2，到OB的距离是3，M
，N分别是OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值是（ ）
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A．2√19 B．3√13 C．9 D．5√3
10．（2020·山东德州·统考二模）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的
点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．2√5 D．5
11．（2022·西藏拉萨·统考模拟预测）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，点D在AB上，且点
D与点B关于直线l对称，则∠ACD的度数为（ ）
A．10° B．14° C．38° D．52°
题型 04 轴对称中的光线反射问题
12．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
13．（2023·福建泉州·南安市实验中学校考二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形
ABCDE为五棱镜的一个截面，AB⊥BC．光线垂直AB射入，且只在CD和EA上各发生一次反射，两次
反射的入射角相等，最后光线垂直BC射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）
1
（注：满足全反射的条件为折射率n= )
sinθ
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1 1 1 1
A． B． C． D．
cos22.5° cos45° sin45° sin22.5°
14．（2020·江苏无锡·统考二模）如图，一面镜子斜固定在地面OB上，且∠AOB=60°点P为距离地面
OB为8cm的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面E点，当光线经过的路径长最短为10cm时，
PD的长为 ．
题型 05 折叠问题-三角形折叠问题
15．（2023·新疆·统考一模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，
第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN
交AB'于点P．若BC=12，则MP+MN= ．
16．（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在
点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝ °．
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17．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）如图，已知等边 ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点
A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．
△
(1)基础图形：如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，求AB'的长度；
(2)模型变式：如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则BB'的长度为______；
(3)动态探究：如图3，点P在AB边上运动过程中，点B'到直线AC的距离为m．
①如果直线l始终垂直于AC，那么m的值是否变化？若变化，求出m的变化范围；若不变化，求出m的值；
②当PB=6时，请直接写出在直线l的变化过程中，m的最大值．
题型 06 折叠问题-四边形折叠问题
. 18．（2022·甘肃平凉·模拟预测）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若
∠1=∠2=36°，∠B为（ ）
A．36° B．144° C．108° D．126°
19．（2021·广东·校考二模）如图，菱形 ABCD 的边长为4 ，A 60， M 是 AD 的中点， N 是 AB
边上一动点， 将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN ，连接 AC ，则当 AC 取得最小值时， tan
DCA的值为（ ）
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√3 1
A．√3 B． C．2√7−2 D．
5 2
20．（2022·江苏南京·统考二模）如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为(−2,4)．将
△ABC沿AC翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（ ）
(6 12) (6 5) (3 12) (3 5)
A． , B． , C． , D． ,
5 5 5 2 2 5 2 2
21．（2022·河北唐山·统考一模）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD
沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP再将△PCQ,△ADQ，分别沿PQ,AQ折
叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∵∠C+∠D=180°，∴AD与BC位置关系为 ；
（2）线段CD与QR的数量关系为 ．
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题型 07 折叠问题-圆形折叠问题
22．（2019·河南开封·统考一模）如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过
圆心O．则折痕AB的长为（ ）
A．3 B．2√3 C．6 D．4√3
23．（2022·黑龙江大庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将B´C沿BC翻折交AB
于点D．再将B´D沿AB翻折交BC于点E．若B´E=D´E，设∠ABC=α，则α所在的范围是（ ）
A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7°
C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°
24．（2022·广东·统考一模）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻
折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）
A．110° B．112.5° C．115° D．117.5°
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题型 08 折叠问题-抛物线与几何图形综合
1 3
25．（2023·广西贵港·统考三模）抛物线y=− x2+ x+c与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，
2 2
与y轴交于点C，点D(3，2)为抛物线上一点，且直线CD∥x轴，点M是抛物线上的一动点．
(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．
(2)若点E的纵坐标为0，且以A，E，D，M为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．
(3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将△CMN沿CM翻折，点N的对应点为N'，则是否存在点M，
使点N'则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．
1
26．（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝− x2+
3
2√3
x+3的图象与x轴交于点A、点B．与y轴交于点C．
3
（1）求抛物线与x轴的两交点坐标．
（2）连接AC、BC．判断△ABC的形状，说明理由．
（3）过点C作直线l//x轴，点P是抛物线上对称轴右侧一动点，过点P作直线PQ//y轴交直线l于点
Q，连接CP．若将△CPQ沿CP对折，点Q的对应点为点M．是否存在这样的点P，使点M落在坐标轴上？
若存在，求出此时点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
27．（2020·河南郑州·郑州外国语中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图
象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为(−1,0)，抛物线顶点D的
坐标为(1,−4)，直线BC与对称轴相交于点E．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为直线x=1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记
A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S=3S ，请求出m的值；
ΔBCD
（3）点P是线段BD上的动点，将ΔDEP沿边EP翻折得到ΔD'EP，是否存在点P，使得ΔD'EP与
ΔBEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由．
题型 09 求对称轴条数
28．（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
29．（2023·北京平谷·统考一模）瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即
为瓷器上的纹饰，该图形即为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
30．（2023·上海黄浦·统考二模）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．圆
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题型 10 画轴对称图形
31．（2022·广西南宁·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3)，
B(4,0)，C(0,2)．
(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△A B C ．
1 1 1
1
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△A B C ，请在y轴的右侧画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2 2
(3)在y轴上存在点P，使得△OA P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
1
32．（2022·甘肃平凉·校考一模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面
直角坐标系中，ΔOAB的三个顶点O(0,0)、A(4,1)、B(4,4)均在格点上．
（1）画出ΔOAB关于y轴对称的ΔOA B ，并写出点A 的坐标；
1 1 1
（2）画出ΔOAB绕原点O顺时针旋转90∘后得到的ΔOA B ，并写出点A 的坐标；
2 2 2
（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
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题型 11 设计轴对称图案
33．（2022·河北唐山·唐山市第十二中学校考一模）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中
心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所
有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）
34．（2021·江西赣州·校联考一模）如图是由三个全等的菱形拼接而成的图形，若平移其中一个菱形，与
其他两个菱形重新拼接（无覆盖，有公共顶点），并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有（
）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
35．（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在4×4正方形网络中，选取一个白色的小正方形并涂黑，使构成
的黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 ．
题型 12 求某点关于坐标轴对称点的坐标
36．（2022·广东肇庆·统考一模）在平面直角坐标系中，点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．(−3,2) B．(−2,3) C．(2,−3) D．(3,−2)
37．（2023·新疆克拉玛依·统考二模）若点A(a,−1)与点B(2,b)关于y轴对称，则a−b的值是（ ）
A．−1 B．−3 C．1 D．2
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k
38．（2020·河北·模拟预测）已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y= 的图像上，则实数
x
k的值为（ ）
1 1
A．3 B． C．-3 D．-
3 3
题型 13 轴对称有关的规律探究问题
39．（2021·山东淄博·统考二模）第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A；
1
第二次：作点A 关于x轴的对称点A；
1 2
第三次：将点A 绕点O逆时针旋转90°得到A；
2 3
第四次：作点A 关于x轴的对称点A…，
3 4
按照这样的规律，点A 的坐标是（ ）
2021
A．(﹣3，2) B．(﹣2，3) C．(﹣2，﹣3)
D．(3，﹣2)
40．（2020·江西九江·校联考模拟预测）如图，已知▱OABC的顶点O(0,0)，B(2,2)，C(1.6,0.8)，若
将 ▱OABC先沿y轴进行第一次对称变换，所得图形沿x轴进行第二次对称变换，轴对称变换的对称轴遵
循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进行，则经过第2018次变换后， ▱OABC顶点A坐标为（）
A．(−0.4,1.2) B．(−0.4,−1.2) C．(1.2,−0.4) D．(−1.2,−0.4)
题型 14 轴对称的综合问题
41．（2022·四川凉山·校考模拟预测）正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一
动点，DN＋MN的最小值为（ ）
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A．6 B．8 C．10 D．9
42．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线
y=x2+(2m−n)x−2m−2与y=x2−(m+2n)x+n关于直线x=1对称，则符合条件的m，n的值可以为
（ ）
6 2
A．m=− ，n=− B．m=−1，n=1
7 7
C．m=1，n=9 D．m=2，n=2
43．（2022·陕西西安·统考三模）如图，在 ▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是 ▱ABCD内一
1
动点，且S PBC＝ S PAD，则PA＋PD的最小值为 ．
2
△ △
44．（2020·湖北武汉·统考二模）已知一张三角形纸片ABC（如图①），其中AB＝AC．将纸片沿过点B
的直线折叠，使点C落到AB边上的点E处，折痕为BD，点D在边AC上（如图②）．再将纸片沿过点E
的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图③）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为
°．
45．（2023·广西玉林·统考一模）我们不妨约定：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，
其中C为顶点，当△ABC为等腰直角三角形时，我们称二次函数为“等腰直角函数”．
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1 5
(1)证明y= x2−3x+ 为“等腰直角函数”；
2 2
(2)如图1，在（1）的“等腰直角函数”图象中，过AB中点F的直线l 与二次函数相交于D，E两点，求
1
△CDE面积的最小值；
1
(3)如图2，M、N为“等腰直角函数”y= x2−2上不重合的两个动点，且关于过原点的直线l 对称，当
2 2
点M的横坐标为1时，求出点N的坐标．
题型 15 利用平移的性质求解
46．（2022·浙江舟山·校考一模）如图，△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，已知EC=2，BF=8，
则CF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
47．（2023·河南周口·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC沿AB方向平移AD的长度得到
△≝¿，已知EF=8，BE=3，CG=3．则图中阴影部分的面积 ．
48．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点
B的对应点E恰好落在直线y=2x−3上，则点A移动的距离是 ．
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题型 16 利用平移解决实际生活问题
49．（2021·浙江杭州·一模）小红同学在某数学兴趣小组活动期间，用铁丝设计并制作了如图所示的三种
不同的图形，请您观察甲、乙、丙三个图形，判断制作它们所用铁丝的长度关系是（ ）
A．制作甲种图形所用铁丝最长 B．制作乙种图形所用铁丝最长
C．制作丙种图形所用铁丝最长 D．三种图形的制作所用铁丝一样长
50．（2023·山东淄博·统考二模）如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相
等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为5310m2，那么水渠应挖
多宽？若设水渠应挖xm宽，则根据题意，下面所列方程中正确的是（ ）
A．(92−2x)(60−x)=5310 B．92×60−2×60x−92x−2x2=5310
C．92×60−2×60x−92x=5310 D．92×60−2×92x−60x+2x2=5310
51．（2022·河北秦皇岛·统考一模）某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆．
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(1)求涂刷油漆的面积；
(2)若a=901，b=1，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．
题型 17 作平移图形
52．（2023·山东枣庄·统考二模）如图，在6×6的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应
格点图形．
(1)如图1，作一条线段，使它是AB向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB和AC是它的两条边；
(3)如图3，作一个与△ABC相似的三角形，相似比不等于1．
53．（2022·黑龙江佳木斯·统考二模）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在
平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点A(5,2)、B(5,5)、C(1,1)均在格点上
（1）将ΔABC向左平移5个单位得到ΔA B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）画出ΔA B C 绕点C 顺时针旋转90°后得到的ΔA B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 2 2 1 2
（3）在（2）的条件下，求ΔA B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
1 1 1
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54．（2023·广西百色·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标
分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
题型 18 由平移方式确定点的坐标
55．（2022·河北秦皇岛·统考一模）将点A（-3，-2）沿水平方向向左平移5个单位长度得到点A'，若点
A'在直线y=x+b上，则b的值为（ ）
A．6 B．4 C．-6 D．-4
56．（2021·广东中山·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,2)，将线段OA向
右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
57．（2023·湖南株洲·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点B，若
k
点B恰好在反比例函数y= 的图像上，则k的值是 ．
x
58．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，A(0,3)，B(1,0)两点，将线
段AB沿一定方向平移，设平移后A点的对应点为A'(2,5)，B点的对应点为B'，则直线B'B的表达式为
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（ ）
A．y=x−1 B．y=−3x+11 C．y=x+3 D．y=−3x+3
题型 19 由平移前后点的坐标判断平移方式
59．（2022·山东淄博·统考二模）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，
b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
60．（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,1)，
D(2,3)，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再向上平移
个单位．
题型 20 已知图形的平移求点的坐标
61．（2022·河南驻马店·统考一模）如图，在矩形ABCD中，原点O为其对角线BD的中点，AB∥y轴，
点C的坐标为(2,−1)，将△ABD沿BD方向平移得到△A'B'D'，当点A'在y轴上时，点D'的坐标为
（ ）
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A．(3,2) B．(2√5,√5) C．(3,4) D．(4,2)
62．（2021·山东济南·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点是A（1，3），B（2，
1），若点A的对应点A′的坐标为（﹣2，0），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，﹣2） D．（0，﹣2）
63．（2022·广东深圳·统考二模）如图，点A的坐标为（1，3），点B在x轴上，把△AOB沿x轴向右平
移到△CED，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为（ ）
A．（1，4） B．（3，4） C．（3，3） D．（4，3）
64．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△ABC 的位置．若顶点A
1 1 1
（﹣3，4）的对应点是A（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 ．
1 1
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题型 21 平移的综合问题
65．（2021·山东临沂·统考二模）如图1，在平面直角坐标系中， ▱ABCD在第一象限，且BC//x轴．直
线y=x从原点O出发沿x轴正方向平移．在平移过程中，直线被 ▱ABCD截得的线段长度n与直线在x轴上
平移的距离m的函数图象如图2所示．那么 ▱ABCD的面积为（ ）
A．3 B．3√2 C．6 D．6√2
66．（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，
∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2
(1)如图①，求点E的坐标；
(2)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为
C',O',D',E'．设OO'=t，矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分为五边形时，C'E'，D'E'分别与AB相交于点M，
F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当√3≤S≤5√3时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
2 2 64
67．（2021·四川德阳·二模）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F :y=a(x− ) + 与x轴交于
1 5 15
6
点A(− ,0)和点B，与y轴交于点C．
5
（1）求抛物线F 的表达式；
1
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（2）如图2，将抛物线F 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F ，若抛物线F 与抛
1 2 1
物线F 相交于点D，连接BD，CD，BC．
2
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F 上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的
2
坐标；若不存在，请说明理由．
68．（2022·广东珠海·校考一模）如图①，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A，B的坐标分别为（﹣
k
2，4），（﹣5，0）．将△OAB沿OA翻折，点B的对应点C恰好落在反比例函数y= （k≠0）的图象上．
x
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图②，将△OAB沿y轴向下平移得到△O'A'B'，设平移的距离为m（0＜m＜4），平移过程中
k
ΔO'A'B'与△OAB重叠部分的面积为S．若点B的对应点B'恰好落在反比例函数y= （k≠0）的图象上，求
x
m的值及此时S的值；
k
(3)如图③，连接BC交AO于点D，已知P是反比例函数y= （k≠0）的图象上一点，在x轴上是否存在点
x
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Q，使得以O，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点P，Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
题型 22 找旋转中心、旋转角、对应点
69．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若
∠BAC=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转角的度数分别为（ ）
A．80° B．50° C．40° D．10°
70．（2023·山东青岛·统考二模）如图，在直角坐标系中，线段A B 是将△ABC绕着点P(3,2)逆时针旋
1 1
转一定角度后得到的△A B C 的一部分，则点C的对应点C 的坐标是( )
1 1 1 1
A．(−2,4) B．(−1,6) C．(−1,4) D．(−1,5)
71．（2021·山东威海·统考模拟预测）如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，
CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），
则这个旋转中心的坐标为 ．
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题型 23 根据旋转的性质求解
72．（2023·广西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2，将△ABC绕点C
顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，
则点A到直线A'C的距离等于（ ）
A．3√3 B．2√3 C．3 D．2
73．（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，已知 ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将 ABC绕A点逆
时针旋转50°得到 AB′C′，以下结论：①BC＝B△′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝△∠ACC′，正确
的有（ ） △
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
74．（2022·福建泉州·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的
角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．
(1)求证：AE平分∠CED；
(2)连接BD，求证：∠DBC=90°．
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题型 24 根据旋转的性质说明线段或角相等
75．（2022·广东珠海·珠海市第九中学校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
将△ABC绕点A逆时针旋转得到△A'B'C'，使点C'落在AB边上，连结BB'，则sin∠BB'C'的值为
（ ）
3 4 √5 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
76．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到
△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC,∠CAD=25°，则旋转角α的度数是 ．
77．（2023·山东枣庄·统考三模）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动
矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．
(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB=AB．我们还可
以得到FC＝ ， EF＝ ；
(2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；
(3)已知BC=30cm,DC=80cm，若BE 恰好经过原矩形DC边的中点H ，求EF与BC之间的距离．
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题型 25 画旋转图形
78．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶
点均为格点（网格线的交点）．
(1)将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到△A B C ，请画出△A B C ﹔
1 1 1 1 1 1
(2)以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到△A B C ，请画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2
79．（2023·安徽宿州·统考一模）在平面直角坐标系内，△ABC的位置如图所示．
(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A B C ，作出△A B C ．
1 1 1 1 1 1
(2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出△ABC的位似图形△A B C ，且△A B C 与△ABC的相似
2 2 2 2 2 2
比为2:1．
题型 26 求旋转对称图形的旋转角度
80．（2021·山东淄博·统考二模）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋
转90°后，能与原图形完全重合的是（）
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A． B． C． D．
81．（2022·江苏镇江·统考一模）2022北京冬奥会雪花图案令人印象深刻，如图所示，雪花图案围绕旋转
中心至少旋转 度后可以完全重合．
82．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转
中心旋转每次旋转 度形成的．
题型 27 旋转中的规律问题
83．（2021·河南南阳·统考一模）如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作
BC⊥AB，使BC=2BA，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C
k
的对应点C'落在反比例函数y= 的图象上，则k的值为（ ）
x
A．−4 B．4 C．−6 D．6
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84．（2021·江苏苏州·校考一模）以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox
逆时针依次旋转30°、60°、90°、⋯、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的
坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，则点C的坐标表示为 ．
85．（2019·四川成都·统考一模）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，
将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P，此时AP ＝2；将位置①的三角形绕点P 顺时针旋转到位
1 1 1
置②，可得到点P，此时AP ＝2+√3；将位置②的三角形绕点P 顺时针旋转到位置③，可得到点P，此时
2 2 2 3
AP ＝3+√3；…按此规律继续旋转，直到点P 为止，则AP 等于 ．
3 2020 2020
题型 28 求绕原点旋转 90°点的坐标
86．（2020·河南郑州·统考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，
∠AOB=∠B=30°，OA=2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．(−1,2+√3) B．(−√3,3) C．(−√3,2+√3) D．(−3,√3)
87．（2021·广东·校考三模）如图，以原点为中心，把点A(3，4)逆时针旋转90°，得到点A'，则点A'的
坐标是 ．
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题型 29 求绕某点（非原点）旋转 90°点的坐标
88．（2023·山东青岛·一模）如图，将 ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到
A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（△ ）
△
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
89．（2021·河南南阳·统考一模）如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，2√3），若矩形绕点O
逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（－1，√3） B．（－1，－3） C．（－2，0 ） D．（1，－3）
题型 30 求绕原点旋转一定角度点的坐标
90．（2023·山东东营·统考一模）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O
逆时针旋转75°，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B″的坐标为（ ）
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A．(−√2,√6) B．(−√2,√6+1) C．(√2,−√6) D．(−√2,√6−1)
91．（2022·山东青岛·青岛大学附属中学校考二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A
（1，2），B（-2，2），C（-1，0）．将△ABC绕某点顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是
．
3
92．（2022·江苏泰州·统考一模）如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图像上，将点A绕坐标原点O按
x
逆时针方向旋转45°后得到点A'，若点A'恰好在直线y=2√2上，则点A的坐标为 ．
题型 31 旋转综合题-线段问题
93．（2022·安徽芜湖·校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，D为△ABC内一点，
分别连接PA、PB、PC，当∠APB=∠BPC=∠CPA时，PA+PB+PC=√21，则BC的值为（ ）
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A．1 B．√2 C．√3 D．2
94．（2023·陕西·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动
点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小
值为 ．
95．（2022·广东广州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作
PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=
．
题型 32 旋转综合题-面积问题
96．（2022·重庆·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，连接BD，将△BCD绕点D
顺时针旋转n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，连接BB′，CC′，延长CC′交BB′于点N，连接AB′，当∠BAB′
＝∠BNC时，则△ABB′的面积为（ ）
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8√13−16√39 21 9
A． B． C．8√39−24√3 D．
5 10 4
97．（2021·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模）如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC
=10，等腰直角三角形ADE绕点A旋转，∠DAE=90°，AD= AE =4，连接DC，点M、P、N分别为DE、
DC、BC的中点，连接MP、PN、MN，则△PMN面积的最小值是 ．
98．（2022·河南郑州·校联考一模）（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中
点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为 ；
（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕
点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由；
（3）如图3，点O为正方形ABCD对角线的交点，点P为DO的中点，点M为直线BC上一点，将射线
25
OM绕点O顺时针旋转90°交直线AB于点N，若AB＝4，当△PMN的面积为 时，直接写出线段BN的长．
2
题型 33 旋转综合题-角度问题
99．（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕
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点B顺时针旋转θ(0<θ<90°)，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，
则∠PAH的度数（ ）
A．30° B．45° C．60° D．随若θ的变化而变化
100．（2021·广东广州·统考一模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝75°，将△ABC绕点A顺时针旋转
α（0°＜α＜180°）得到△ADE，若点C落在△ADE的边上，则α的度数是 ．
题型 34 画已知图形关于某点的对称图形
101. （2023·广西柳州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，A(−1,4)，B(−4,0)，C(−1,0)．
(1)△A B C 与△ABC关于原点O对称，画出△A B C 并写出点A 的坐标；
1 1 1 1 1 1 1
(2)△A B C 是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A B C 并写出点A 的坐标．
2 2 2 2 2 2 2
102．（2022·广西桂林·统考一模）已知 ABC的顶点A、B、C在格点上，按下列要求在网格中画图．
△
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(1) ABC绕点C顺时针旋转90°得到 ABC；
1 1
(2)△画 ABC关于点O的中心对称图△形 ABC ．
1 1 2 2 2
△ △
题型 35 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
103．（2022·陕西榆林·统考二模）如图，BD为▱ABCD的对角线，点P为△ABD内一点，连接PA、PB、
PC、PD，若△ABP和△BCP的面积分别为3和13，则△BDP的面积为 ．
104．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别是直线
8
y=− x+4与坐标轴的交点，点B(−2,0)，点D是边AC上的一点，DE⊥BC，垂足为E，点F在AB边
3
上，且D、F两点关于y轴上某点成中心对称，连接DF、EF．线段EF长度的最小值为 ．
105．（2022·湖北黄冈·校考一模）如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，
线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D．当a＝ 时，四边形ABCD为正
方形
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106．（2022·浙江温州·统考一模）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A
的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为 ．
题型 36 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
107．（2022·江苏苏州·苏州高新区实验初级中学校考一模）图形甲是小明设计的花边作品，该作品是由形
如图形乙通过对称和平移得到．在图乙中， AEO≌ ADO≌ BCO≌ BFO，E，O，F均在直线MN上，
EF=12，AE=14，则OA长为 ． △ △ △ △
108．（2022·北京海淀·校考模拟预测）小明将图案 绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角
度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则旋转角度α的最小值为 ．
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109．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶
点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段AB位于该小正三角形组成的网格中，按要
求在网格中作一个格点多边形．
(1)请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且AB为对角线．
(2)请在图2中画一个以AB为边，面积为2√3的三角形．
110．（2022·四川广安·统考三模）如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中
的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每
个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须
是中心对称图形或轴对称图形．
111．（2019·山东·校联考模拟预测）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在
图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）
（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经
过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
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一、单选题
1．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，将线段AB水平向
右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC各点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,3)，
C(−4,4)．先作△ABC关于x轴成轴对称的△A B C ，再把△A B C 平移后得到△A B C ．若B (2,1)，
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
则点A 坐标为（ ）
2
A．(1,5) B．(1,3) C．(5,3) D．(5,5)
3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，把点A(m,2)先向右平移1个单位，再向上平移3
个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△≝¿，若BC=5，BE=2，则
CF的长是（ ）
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A．2 B．2.5 C．3 D．5
5．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点(m,n)先向右平移2个单位，再向上平移
1个单位，最后所得点的坐标是（ ）
A．(m−2,n−1) B．(m−2,n+1) C．(m+2,n−1) D．(m+2,n+1)
6．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S=ah时，若△ABE
平移到△DCF，a=4，h=3，则△ABE的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图
案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·山东临沂·统考中考真题）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了
8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐
标系内，若点A的坐标为(−6,2)，则点B的坐标为（ ）
A．(6,2) B．(−6,−2) C．(2,6) D．(2,−6)
9．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知点M(−4,a−2),N(−2,a),P(2,a)在同一个函数图象上，则这
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个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说
法正确的是（ ）
A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心
C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴
11．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1:4，
将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD 恰好经过点B，点C落在y轴的点C 位置，点E
1 1
的坐标是（ ）
A．(1,2) B．(−1,2) C．(√5−1,2) D．(1−√5,2)
12．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与
AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，
15
AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP= ，④BD∥FQ．正确的是（ ）
8
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A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
13．（2023·海南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6,0)，将
△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是（ ）
A．(3√3,3) B．(3,3√3) C．(6,3) D．(3,6)
14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，旋转角为
α(0°<α<180°)，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD=24°，则旋转角α的度数
为（ ）
A．24° B．28° C．48° D．66°
15．（2023·山东临沂·统考中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不
可能是（ ）
A．60° B．90° C．180° D．360°
二、填空题
16．（2023·山东淄博·统考中考真题）在边长为1的正方形网格中，右边的“小鱼”图案是由左边的图案
经过一次平移得到的，则平移的距离是 ．
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17．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为
AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'
的大小为 度．
18．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A<90°，点D,E,F分别在边AB，
BC CF
BC,CA上，连接DE,EF,FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设 =k，若AD=DF，则 =
AB FA
（结果用含k的代数式表示）．
19．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离
杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点
B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
20．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，在△ABC中，将AB绕点A顺时针旋
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转α至AB'，将AC绕点A逆时针旋转β至AC' (0°<α<180°,0°<β<180°)，得到△AB'C'，使
∠BAC+∠B' AC'=180°，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的中线AD叫做
△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
①△ABC与△AB'C'面积相同；
②BC=2AD；
③若AB=AC，连接BB'和CC'，则∠B'BC+∠CC'B'=180°；
④若AB=AC，AB=4，BC=6，则B'C'=10．
21．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点B坐标(8,4)，连接OB，将OB绕点O
逆时针旋转90°，得到OB'，则点B'的坐标为 ．
22．（2023·四川泸州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，若点P(2,−1)与点Q(−2,m)关于原点对称，
则m的值是 ．
三、解答题
23．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是
A(2,−1),B(1,−2)，C(3,−3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A B C ，请画出△A B C ．
1 1 1 1 1 1
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A B C ．
2 2 2
(3)将△A B C 着原点O顺时针旋转90°，得到△A B C ，求线段A C 在旋转过程中扫过的面积（结果
2 2 2 3 3 3 2 2
保留π）．
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24．（2023·河南·统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系
的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你
解答．
(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形
△A B C ，再分别作△A B C 关于x轴和直线l对称的图形△A B C 和△A B C ，则△A B C 可以看
1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2
作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A B C 可以看作是△ABC向右平移得
3 3 3
到的，平移距离为______个单位长度．
(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α(0°<α<90°)，P为直线AB下方一点，作点P关于直线
AB的对称点P ，再分别作点P 关于直线AD和直线CD的对称点P 和P ，连接AP，AP ，请仅就图2的
1 1 2 3 2
情形解决以下问题：
①若∠PAP =β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
2
②若AD=m，求P，P 两点间的距离．
3
(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=2√3，∠PAB=15°，连接P P ．当P P 与
2 3 2 3
▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．
25．（2023·山东枣庄·统考中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了
图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都
具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
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26．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如
下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进
一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC
的长．
27．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不
与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．
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(1)如图1，求证：∠CBE=∠CAF；
(2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH=FH；
(3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得
到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB=4，
直接写出PQ+QF的最小值．
28．（2023·浙江宁波·统考中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点
上）．
(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的
△P' A'B'．
(2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A'B'C．
1
29．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= x2+bx+c的图象经过
3
点A(0,2)，与x轴的交点为点B(√3,0)和点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=√3OE．以线段OD，OE为邻边作矩
形ODFE，连接GD，设OE=a．
①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；
②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将
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△GFH绕点F按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G'FH'，点G，H的对应点分别为G'、H'，连
接DE．当△G'FH'的边与线段DE垂直时，请直接写出点H'的横坐标．
30．（2023·四川广安·统考中考真题）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三
角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为
1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
46
