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2024 年中考一轮模拟押题卷（一）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记
数法表示为（ ）
A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106
【答案】A
【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a大于或等于1且小于10，n
是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．
根据科学记数法的定义，计算求值即可；
【详解】解： 21500000=2.15×107，
故选：A．
2．下列计算结果正确的是（ ）
A．(a3) 3 =a6 B．a6÷a3=a2
C．(ab4) 2 =ab8 D．(a+b) 2=a2+2ab+b2
【答案】D
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方，根据幂的乘方法则可判断选项A，
根据同底数幂的除法法则可判断选项B，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项C，根据完全平方公式
可判断选项D．
【详解】解：A、(a3) 3 =a9，故错误，不符合题意；
B、a6÷a3=a3，故错误，不符合题意；
C、(ab4) 2 =a2b8，故错误，不符合题意；
D、(a+b) 2=a2+2ab+b2，故正确，符合题意；
故选：D．
3．生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180°得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图
形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到
答案．
【详解】解：由题意可得，
A选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
B选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
C选项图形即是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意，
D选项图形是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意，
故选：D；
【点睛】本题考查中心对称图形定义：把图形沿某点旋转180°得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对
称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形．
4．下列说法正确的是（ ）
A．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件
C．数据4，9，5，7的中位数是6
D．甲、乙两组数据的方差分别是s2 =0.4，s2 =2，则乙组数据比甲组数据稳定
甲 乙
【答案】C
【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可
【详解】解：A．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；
B．任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故选项错误，不符合题意；
C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是s2 =0.4，s2 =2，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符
甲 乙
合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关
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键．
5．在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标
是（ ）
A．(4，−5) B．(5,−4) C．(−4，5) D．(−5,4)
【答案】D
【分析】设P点坐标为(x,y)，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．
【详解】解：设P点坐标为(x,y)，
∵点P在第二象限内，
∴x<0，y>0，
∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴|y|=4，|x|=5，
∴y=4，x=−5，
即P点坐标为(−5,4)，
故选：D
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝
对值是解题的关键．
6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的
城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是
慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
900 900 900 900
A． =2× B． =2×
x+3 x−1 x−3 x+1
900 900 900 900
C． =2× D． =2×
x−1 x+3 x+1 x−3
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据
快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间
为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题
得解．
【详解】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
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900 900
∴ =2× ．
x−3 x+1
故选：B．
7．△ABC与△ADC的AC边重合，AB=AD．添加下一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是
（ ）
A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC
C．∠B=∠D=90° D．∠ACB=∠ACD
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A、AB=AD、AC=AC、BC=CD，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出
△ABC≌△ADC，故本选项不符合题意；
B、AB=AD、∠BAC=∠DAC、AC=AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ADC，
故本选项不符合题意；
C、AB=AD、AC=AC、∠B=∠D=90°，符合全等三角形的判定定理HL，能推出△ABC≌△ADC，
故本选项不符合题意；
D、AB=AD、AC=AC、∠ACB=∠ACD，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△ADC，故本选项符合题意；
故选：D．
1
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相
2
交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
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1
A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD= AB
2
1
C．DE= BC D．S :S =1:4
2 △ADE 四边形DBCE
【答案】D
【分析】根据直线PQ是AC的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定
和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，
∴点E是AC的中点，AD=CD，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
AD AE
∴ = =1，
BD CE
即点D是AB的中点，
1
∴CD= AB，
2
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= BC，
2
故选项正确，不符合题意；
D．∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
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∴
S
△ADE=
(DE) 2
=
(1) 2
=
1
，
S BC 2 4
△ABC
∴S :S =1:3，
△ADE 四边形DBCE
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中
位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9．如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC=√2a，AB=b，AB的最大仰角
为α.当∠C=45°时，则点A到桌面的最大高度是（ ）
b b
A．a+ B．a+ C．a+bcosa D．a+bsinα
cosa sinα
【答案】D
【分析】过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF=bsinα，BG=a，
根据点A到桌面的最大高度=BG+AF，即可求得答案．
【详解】如图，过点A作AF⊥BE于F，过点B作BG⊥CD于G，
在Rt△ABF中，AF=AB⋅sinα=bsinα，
√2
在Rt△BCG中，BG=BC⋅sin45°=√2a× =a，
2
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∴点A到桌面的最大高度=BG+AF=a+bsinα，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形
解决问题．
10．对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了
以下结论：①abc>0，②b2>4ac，③4a+2b＋c>0，④3a+c>0，⑤a+b≤m(am+b)（m为任意实
数），⑥当x<−1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口
方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定．
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①，然后根据对
称轴及抛物线与x轴交点情况判断②，根据对称性求得x=2时的函数值小于0，判断③；根据x=−1时的函
数值，结合b=−2a，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
【详解】解：①由图象可知：a>0，c<0，
b
∵对称轴为直线：x=− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，则x=0与x=2的函数值相等，
∴当x=2时，y=4a+2b+c<0，故③错误；
④当x=−1时，y=a−b+c=a−(−2a)+c>0，
∴3a+c>0，故④正确；
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⑤当x=1时，y取到最小值，此时，y=a+b+c，
而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m(am+b)，故⑤正确，
⑥当x<−1时，y随x的增大而减小，故⑥正确，
综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．计算： ( − 1) −2 +(1−√2) 0 −2cos60°= ．
3
【答案】9
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解： ( − 1) −2 +(1−√2) 0 −2cos60°
3
1
=9+1−2×
2
=9+1−1
=9，
故答案为：9．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，解题的关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1:2:4，则
∠D= ．
【答案】72°/72度
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出∠CDH，再根据平角的定义求解．
【详解】解：如图，延长ED到H，
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∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠ABC+∠ADC=∠BAD+∠BCD=180°，
∴ ∠FBC+∠HDC=∠EAB+∠GCD=180°，
∵ ∠EAB，∠FBC，∠GCD的度数之比为1:2:4，
∴ ∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度数之比为1:2:4:3，
∵ ∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH=360°，
3
∴ ∠CDH=360°× =108°，
1+2+4+3
∴ ∠ADC=180°−∠CDH=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．
13．若|a−1|+(b−3) 2=0，则√a+b= ．
【答案】2
【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得a,b的值进而求得a+b的算术平方根即可求解．
【详解】解：∵|a−1|+(b−3) 2=0，
∴a−1=0,b−3=0，
解得：a=1,b=3，
∴√a+b=√1+3=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得a,b的值是解
题的关键．
14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问
题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达
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为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB=1寸，CD=10寸，则直径AB长为 寸．
【答案】26
1
【分析】证明E为CD的中点，可得CE=DE= CD=5，设OC=OA=x，则AB=2x，OE=(x−1)，由
2
勾股定理得：OE2+CE2=OC2，可得(x−1) 2+52=x2，再解方程可得答案．
【详解】解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=10（寸），
1
∴CE=DE= CD=5（寸），
2
设OC=OA=x（寸），
则AB=2x（寸），OE=(x−1)寸，
由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，
即(x−1) 2+52=x2，
解得x=13，
∴AB=26（寸），
故答案为：26．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的利用垂径定理解决问题是关键．
15．如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．反比例函数
k
y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，
x
Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
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【答案】24
【分析】设OA=4a，则AB=2a，从而可得A(4a,0)、B(6a,0)，由正方形的性质可得C(4a,4a)，由
( k ) 1
QN⊥y轴，点P在CD上，可得P ,4a ，由于Q为BE的中点，BE⊥x轴，可得BQ= AB=a，
4a 2
k k
则Q(6a,a)，由于点Q在反比例函数y= (k>0)的图象上可得k=6a2，根据阴影部分为矩形，且长为 ，
x 4a
宽为a，面积为6，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．
【详解】解：设OA=4a，
∵OA=2AB，
∴AB=2a，
∴OB=AB+OA=6a，
∴B(6a,0)，
在正方形ABEF中，AB=BE=2a，
∵Q为BE的中点，
∴BQ=12AB=a，
∴Q(6a,a)，
k
∵Q在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C(6a,6a)，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
k
∵P点在反比例函数y= (k>0)的图象上，
x
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k
∴P点横坐标为x= ，
4a
( k )
∴P ,4a ，
4a
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
k
∴NH= ，MH=a，
4a
k
∴S =NH×MH= ×a=6，
▭OMHN 4a
∴k=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知
识是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点A(3,0)，B(0,4)，点C在x轴负半轴上，连接
AB，BC，若tan∠ABC=2，以BC为边作等边三角形BCD，则点C的坐标为 ；点D的坐标为
．
【答案】 (−2,0) (−1−2√3,2+√3)或(2√3−1,2−√3)
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，根据tan∠ABC=2，设BE=x,CE=2x，则BC=√5x，根据勾股
5
定理可得求出AB=√OA2+OB2=5，用等面积法推出OC= x−3，最后在Rt△OBC中，根据勾股定理
2
可得：OC2+OB2=BC2，列出方程求出x的值，即可得出点C的坐标；易得BC2=20，设D(m,n)，根
据两点之间的距离公式得出BD2=m2+(n−4) 2，CD2=(m+2) 2+n2，根据等边三角形的性质得出
BC2=BD2=CD2，即可罗列出方程组¿，求解即可．
【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，
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∵tan∠ABC=2，
CE
∴ =2，
BE
设BE=x,CE=2x，
根据勾股定理可得：BC=√BE2+CE2=√5x，
∵A(3,0)，B(0,4)，
∴OA=3,OB=4，
在Rt△AOB中，根据勾股定理可得：AB=√OA2+OB2=5，
1 1
∵S = AB⋅CE= AC⋅OB，
△ABC 2 2
1 1 5
∴ ×5×2x= ×4×(OC+3)，整理得：OC= x−3，
2 2 2
在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC2+OB2=BC2，
∴ (5 x−3 ) 2 +42=(√5x) 2 ，
2
解得：x =2,x =10（舍去），
1 2
5 5
∴OC= x−3= ×2−3=2，
2 2
∴C(−2,0)
∵B(0,4)，C(−2,0)，
∴OB=4,OC=2，
∴BC2=OB2+OC2=42+22=20，
设D(m,n)，
则BD2=m2+(n−4) 2，CD2=(m+2) 2+n2，
∵△BCD为等边三角形，
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∴BC2=BD2=CD2，
即¿，
整理得¿，
②−①得：4m+8n=12，则m=3−2n，
将m=3−2n代入①得：(3−2n) 2+n2−8n=4，
解得：n =2+√3，n =2−√3，
1 2
当n=2+√3时，m=3−2n=−1−2√3，即D(−1−2√3,2+√3)，
当n=2−√3时，m=3−2n=2√3−1，即D(2√3−1,2−√3)，
故答案为：(−2,0)；(−1−2√3,2+√3)或(2√3−1,2−√3)．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三
角形，掌握等边三角形三边相等，以及勾股定理．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．解不等式组：¿
【答案】x>3．
【详解】解：
¿
解不等式①可得：x>3
解不等式②可得：x≥1
则不等式组的解集为：x>3．
( a 1 ) 1
18．先化简，再求值： − ÷ ，其中a，b是方程x2+x−6=0的两个根．
a2−b2 a+b a2−ab
ab
【答案】 ，6
a+b
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，然后根据一元二次方程根与系数的关系式得出a+b=−1
ab=−6，代入化简结果，即可求解．
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[ a 1 ] 1
【详解】解：原式 = − ÷
(a+b)(a−b) a+b a2−ab
b
= ⋅a(a−b)
(a+b)(a−b)
ab
=
a+b
∵a，b是方程x2+x−6=0的两个根
∴a+b=−1 ab=−6
ab −6
∴原式= = =6.
a+b −1
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算，一元二
次方程根与系数的关系是解题的关键．
19．香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
风味 偏甜 适中 偏酸
含量/
71.2 89.8 110.9
(mg/100mL)
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1−5月份售出的香醋
数量绘制成如下条形统计图．
已知1−5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占40%．
(1)求出a，b的值．
(2)售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为______mg/100mL，中位数为______mg/100mL．
(3)根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）
【答案】(1)a=18，b=20
(2)110.9，89.8
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(3)见解析
【分析】（1）根据1−5月份共售出香醋的总量和“偏酸”的香醋占比，可求出a的值，进而求出b的值；
（2）分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多和数量居中的那种风味对应的含量即为答
案；
（3）根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一．
【详解】（1）∵1−5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占比40%，
∴售出“偏酸”的香醋的数量为150×40%=60（瓶）．
∴a+42=60，解得a=18．
∵15+b+17+38+a+42=150，即130+b=150，
解得b=20．
综上，a=18，b=20．
（2）售出的玻璃瓶装香醋的数量为20+38+42=100（瓶）．
其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，
∵售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，
∴售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为110.9mg/100mL，中位数为89.8mg/100mL，
故答案为：110.9，89.8．
（3）根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数，理解和掌握这些概念并能够灵活地运用它们是本题的关键．
20．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，
连接AF，CE．
(1)求证：△AEM≌△CFM；
(2)若AC⊥EF，AF=3√2，求四边形AECF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)12√2
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=DC，进而得出∠AEM=∠CFM，证明
AE=CF，根据AAS证明△AEM≌△CFM，即可得证；
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（2）证明 ▱AECF是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，AB=DC（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠AEM=∠CFM（两直线平行，内错角相等）
∵BE=DF
∴AB+BE=CD+DF 即AE=CF
在△AEM和△CFM中
¿
∴△AEM≌△CFM(AAS)；
（2）解：∵AE=CF，AE∥CF
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵AC⊥EF
∴ ▱AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴AE=EC=CF=AF（菱形的四条边都相等）
∴菱形AECF的周长=4AF=4×3√2=12√2.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知
识是解题的关键．
21．在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测
量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32m，
从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°，看铜像底部B的俯角为63.4°．已知底座BD的高度为4m，求铜像
AB的高度．（结果保留整数．参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，
√2≈1.41）
【答案】铜像AB的高度是14m；
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CF
【分析】根据题意可得 =tan63.4°≈2.00，从而求出CG=BF=14m，即可求解．
BF
【详解】解：由题意得：CE=32m，EF=BD=4m，
∴CF=CE−EF=28m，
∵四边形BFCG是矩形，
∴BG=CF=14m，
∵∠ACG=45°，∠BCG=63.4°，
∴∠FBC=∠BCG=63.4°，
CF
∴ =tan63.4°≈2.00，
BF
∴BF=14m，
∴CG=BF=14m，
∴CG=AG=14m，
∴AB=BG−AG=14m，
∴铜像AB的高度是14m；
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出CF．
22．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以
不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克
售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x
（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】(1)y=−50x+1200
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，y与x的函数关系式为y=kx+b，将
(5,950),(6,900)代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，
即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点(5,950),(6,900)，
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设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5,950),(6,900)代入得：
¿，解得：¿，
∴y与x的函数关系式为y=−50x+1200，
（2）解；根据题意可得：(x−4)y=1800，
∴(x−4)(−50x+1200)=1800，
整理得：x2−28x+132=0，
解得：x =6,x =22，
1 2
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
w=(x−4)(−50x+1200)
=−50x2+1400x−4800
=−50(x−14) 2+5000，
∵−50<0，函数开口向下，
∴当x<14时，w随x的增大而增大，
∵4≤x≤7，
∴当x=7时，w有最大值，此时w =−50(7−14) 2+5000=2550，
max
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关
键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出
方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上AB异侧的两点，DE⊥CB，交CB的延长线于点E，且
BD平分∠ABE．
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(1)求证：DE是⊙O的切线．
(2)若∠ABC=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
2
(2) π−√3
3
【分析】（1）连接OD，根据OB=OD，得出∠OBD=∠ODB．根据BD平分∠ABE，得出
∠OBD=∠EBD，则∠EBD=∠ODB．根据DE⊥CB得出∠EBD+∠EDB=90°，进而得出
∠ODB+∠EDB=90°，即可求证；
（3）连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，通过证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC=60°，
OB=OC=BC=2．求出OF=OB⋅sin60°．最后根据S =S −S 即可求解．
阴影 扇形OBC △OBC
【详解】（1）解：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABE，
∴∠OBD=∠EBD，
∴∠EBD=∠ODB．
∵DE⊥CB，
∴∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC于点F，
∵AB=4，
1
∴OB= AB=2．
2
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=BC=2．
∵∠ABC=60°，OF⊥BC，OB=2，
√3
∴OF=OB⋅sin60°=2× =√3．
2
60π×22 1 2
∴S =S −S = − ×2×√3= π−√3．
阴影 扇形OBC △OBC 360 2 3
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【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关
nπr2
键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式S= ．
360
24．【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
点O又是正方形A B C O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A B C O绕点O怎样
1 1 1 1 1 1
1
转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 .想一想，这是为什么？（此问题不需要作
4
答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点
PA
P落在线段OC上， =k（k为常数）．
PC
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N.
①填空：k=______；
②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可
过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说
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明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．
PM
【答案】（1）①1；②见解析；（2） =k，理由见解析；（3）3
PN
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②根据正方形的性质可得∠PAB=∠PBC=45°，PA=PB，∠APM=∠BPN，利用ASA证明
△PAM≌△PBN即可；
（2）过点P作PG∥BD交BC于G，利用平行线的性质及正方形的性质易证得∠PGC=∠PCG=∠PAM，
∠APM=∠GPN，可证明△PAM∽△PGN，利用相似三角形性质即可得出答案；
（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，利用AAS证得
△PGM≌△ECN，可得：GM=CN，PG=EC，再证得△BPN∽△BCP，可得PB2=BC⋅BN，同理
PH EC
可得：PB2=BA⋅BM，推出EC=2CN，进而可得tan∠ENC= = =2，令HN=a，则PH=2a，
HN CN
CN=3a，EC=6a，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：OA=OC，
∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，
PA OA
∴k= = =1，
PC OC
故答案为：1；
②证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APB=∠MPN=90°，∠PAB=∠PBC=45°，PA=PB，
∴∠APB−∠BPM=∠MPN−∠BPM，
即∠APM=∠BPN，
∴△PAM≌△PBN(ASA)，
∴PM=PN．
PM
（2） =k，理由如下：
PN
过点P作PG∥BD交BC于G，
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∴∠AOB=∠APG，∠PGC=∠OBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAM=∠OCB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，
∴∠APG=∠MPN=∠AOB=90°，∠PGC=∠PCG=∠PAM，
∴PG=PC，∠APG−∠MPG=∠MPN−∠MPG，
即∠APM=∠GPN，
∴△PAM∽△PGN，
PM PA
∴ = =k．
PN PC
（3）过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，
则∠MPN=∠GPH=∠PGM=∠ECN=90°，
∴∠MPN−∠GPN=∠GPH−∠GPN，
即∠MPG=∠NPH，
∴∠PMG=∠PNH，
由（2）和已知条件可得：PM=kPN，EN=kPN，
∴PM=EN，
∴△PGM≌△ECN(AAS)，
∴GM=CN，PG=EC，
∵∠BPN=∠PCB=45°，∠PBN=∠CBP，
∴△BPN∽△BCP，
PB BN
∴ = ，
BC PB
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∴PB2=BC⋅BN，
同理可得：PB2=BA⋅BM，
∵BC=BA，
∴BM=BN，
∴AM=CN，
∴AG=2CN，
∵∠PAB=45°，
∴PG=AG，
∴EC=2CN，
PH EC
∴tan∠ENC= = =2，
HN CN
令HN=a，则PH=2a，CN=3a，EC=6a，
∴EN=√(3a) 2+(6a) 2=3√5a，
EN 3√5
∴k= = =3．
PN √5a
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的
判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
25．如图，一条抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A(3,−3)，点B在第一
9
象限内，对称轴是直线x= ，且△OAB的面积为18
4
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应
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点为A ．问是否存在点P，使得以A ，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合
1 1
条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【答案】(1)y= x2−3x
3
(2)(6,6)
(3 3) ( 3 3) (3√5 3√5 ) ( 3√5 3√5 )
(3)存在，P点的坐标为 ， 或 − ，− 或 +6， +6 或 − +6，− +6
2 2 2 2 2 2 2 2
b 9
【分析】（1）根据对称轴为直线x=− = ，将点A代入，进而待定系数法求解析式即可求解；
2a 4
（2）设B ( m, 2 m2−3m ) ，过点A作EF⊥y轴交于E点，过B点作BF⊥EF交于F点，继而表示出
3
△OAB的面积，根据△OAB的面积为18，解方程，即可求解．
（3）先得出直线OB的解析式为y=x，设P(t,t)，当BP为平行四边形的对角线时，可得AP=AC，当BC
为平行四边形的对角线时，BP=AC，进而建立方程，得出点P的坐标，即可求解．
b 9
【详解】（1）解：∵对称轴为直线x=− = ，
2a 4
9
∴b=− a①，
2
将点A(3,−3)代入y=ax2+bx得，
∴9a+3b=−3②，
联立①②得，¿，
2
∴解析式为y= x2−3x；
3
（2）设B ( m, 2 m2−3m ) ，如图所示，过点A作EF⊥y轴交于E点，过B点作BF⊥EF交于F点，
3
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∴F(m,−3)，E(0,−3)，
2
则OE=3,AE=3,AF=m−3,BF= m2−3m+3，
3
∴S = 1 m× (2 m2−3m+3+3 ) − 1 ×3×3− 1 (m−3) (2 m2−3m+3 ) =18
△AOB 2 3 2 2 3
解得：m=6或m=−3（舍去），
（3）存在点P，使得以A ，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
1
∵A(3,−3),B(6,6)，
(9 3)
∴C , ，
2 2
设直线OB的解析式为y=kx，
∴6k=6，解得：k=1，
∴直线OB的解析式为y=x，
设P(t,t)，
如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，BC∥A P，
1
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BC=A P，
1
∵AC=BC，
∴AC=A P，
1
由对称性可知AC=A C，AP=A P，
1 1
∴AP=AC，
∴√(t−3) 2+(t+3) 2= √ ( 3− 9) 2 + ( −3− 3) 2
2 2
3
解得：t=±
2
(3 3) ( 3 3)
∴P点的坐标为 ， 或 − ，−
2 2 2 2
如图3，当BC为平行四边形的对角线时，BP∥A C，BP=A C，
1 1
由对称性可知，AC=A C，
1
∴BP=AC，
∴√(6−t) 2+(6−t) 2= √ ( 3− 9) 2 + ( −3− 3) 2 ，
2 2
3√5 3√5
解得：t= +6或t=− +6，
2 2
(3√5 3√5 ) ( 3√5 3√5 )
∴P点的坐标为 +6， +6 或 − +6，− +6
2 2 2 2
(3 3) ( 3 3) (3√5 3√5 ) ( 3√5 3√5 )
综上所述，P点的坐标为 ， 或 − ，− 或 +6， +6 或 − +6，− +6 ．
2 2 2 2 2 2 2 2
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【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称
的性质是解题的关键．
28
