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2025年中考数学一轮复习
第24讲 圆
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC，若∠1＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．如图，四边形ABCD内接于 O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
⊙
A．64° B．61° C．62° D．60°
3．如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）
18 54
A． π B．4 C． π D．12
5 5
π π
4．如图，OA为半径，OA垂直于弦 BC，垂足为 D，连接 OB，AC，若∠B＝20°，则∠A的度数为
（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
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5．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，若∠AOC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．25° B．30° C．50° D．65°
6．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，点P为菱形内一点，
连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
8 8
A． π−2√3+2 B． π−2√3−2 C．8 D．8π−6√3−6
3 3
π
7．如图，AB为 O的直径，C，D是 O上两点，且OD∥BC，若∠BAC＝ ，则∠BAD的度数可以表示
为（ ） ⊙ ⊙ α
α α
A．2 B．90°﹣ C．45°− D．45°+
2 2
α α
8．如图，在半径为6的 O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则弧^AC的长为（ ）
⊙
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A．8 B．5 C．4 D．6
9．如图，π 在等腰三角形ABC中π，AB＝AC，经过A，Bπ两点的 O与边AC切π于点A，与边BC交于点D，
AE为 O直径，连结DE，若∠C＝35°，则∠BDE的度数为⊙（ ）
⊙
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
10．如图，AB是 O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接AC，AD，则下列结论正确的是（ ）
⊙
A．^AC=^BC B．^BC=^BD C．OE＝BE D．∠CAD＝∠CDA
二．填空题（共5小题）
11．如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O ，O 分别为两个
1 2
正六边形的中心．则tan∠O AC的值为 ．
2
12．如图，过 O外一点P作圆的切线PB，点B为切点，AB为 O直径，连结AP交 O于点C，若AC
⊙ ⊙ ⊙
CP
＝BP，则 = ．
AC
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13．如图，在矩形ABCD中，AB=√3，对角线AC，BD的交点为O，分别以A、D为圆心，AB的长为半
径画弧，两条圆弧恰好都经过点O，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB＝
°． ⊙
15．如图，点A、B、C、D都在 O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB＝ °．
⊙
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D．连接BD，AE⊥BD于点
E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BAF＝∠ABF；
（2）当AE＝1，BE＝2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长．
17．如图，AB、CD是 O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．
⊙
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（1）求证：AC＝BD；
（2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
18．如图，点C是以AB为直径的 O上一点，过AC中点D作DE⊥AB于点E，延长DE交 O于点F，
连结CF交AB点G，连结AF，⊙BF． ⊙
[认识图形]
求证：△AFD∽△ACF．
[探索关系]
①求CF与DF的数量关系．
CG DE
②设 =x， = y，求y关于x的函数关系．
FG EF
[解决问题]
若CG=2√2，FG=3√2，求AE的长．
19．如图，AB是 O的直径，点C在 O上，D为^AC的中点，CE⊥AB于E，BD与AC交于点G，与
CE交于点F．⊙ ⊙
（1）求证：CG＝CF；
3
（2）若cos∠ABC= ，AC＝16，求EF的长．
5
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20．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB边上，以点O为圆心，OA的长为半径的圆与
BC相切于点D，分别交AC和AB边于点F和E，连接AD，FD，ED．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）求证：△DFC∽△ADE；
（3）若CD＝1，求图中阴影部分的面积．
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2025年中考数学一轮复习
第24讲 圆
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC，若∠1＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结果．
【解答】解：∵点O为△ABC的外心，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠1＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
1
∴∠BAC= ∠BOC＝50°，
2
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键．
2．如图，四边形ABCD内接于 O，如果∠BOD的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
⊙
A．64° B．61° C．62° D．60°
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
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【分析】根据圆周角定理求出∠A，根据圆内接四边形的性质得到∠BCD，根据邻补角的概念求出∠DCE
即可．
【解答】解：∵∠BOD的度数为122°，
1
∴∠A= ∠BOD＝61°，
2
∵四边形ABCD内接于 O，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝⊙119°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝61°，
故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
3．如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（ ）
18 54
A． π B．4 C． π D．12
5 5
π π
【考点】正多边形和圆；扇形面积的计算．
【专题】正多边形与圆；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷5＝72°，
∴正五边形的每个内角为180°﹣72°＝108°，
∵正五边形的边长为6，
108⋅π×62 54
∴S阴影 = = ，
360 5
π
故选：C．
【点评】考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数并
牢记扇形的面积计算公式，难度不大．
4．如图，OA为半径，OA垂直于弦 BC，垂足为 D，连接 OB，AC，若∠B＝20°，则∠A的度数为
（ ）
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A．70° B．65° C．60° D．55°
【考点】圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得∠ODB＝∠ADC＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BOD＝
70°，从而利用圆周角定理可得∠C＝35°，最后再利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴∠ODB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝20°，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝70°，
1
∴∠C= ∠BOD＝35°，
2
∴∠A＝90°﹣∠C＝55°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．如图，AB是 O的直径，CD是 O的弦，若∠AOC＝50°，则∠BDC的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．25° B．30° C．50° D．65°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
1
【分析】由平角定义求出∠BOC＝180°﹣50°＝130°，由圆周角定理得到∠BDC= ∠BOC＝65°．
2
【解答】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，
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1
∴∠BDC= ∠BOC＝65°．
2
故选：D．
1
【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠BDC= ∠BOC．
2
6．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，点P为菱形内一点，
连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
8 8
A． π−2√3+2 B． π−2√3−2 C．8 D．8π−6√3−6
3 3
π
【考点】扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；菱形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全
等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影 ＝S扇形ABC ﹣S△PAB ﹣S△PBC 即可求得．
【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝4，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝4，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
¿，
∴△APB≌△APC（SSS），
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∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝2，
∵△BPC为等腰直角三角形，
1
∴PE= BC＝2，
2
√3
在Rt△ABE中，AE= AB＝2√3，
2
∴AP＝2√3−2，
60π×42 1 1 8
∴S阴影 ＝S扇形ABC ﹣S△PAB ﹣S△PBC =
360
−
2
×（2√3−2）×2−
2
×4×2 =
3
﹣2√3−2，
π
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求得PA、PE是解题的关键．
7．如图，AB为 O的直径，C，D是 O上两点，且OD∥BC，若∠BAC＝ ，则∠BAD的度数可以表示
为（ ） ⊙ ⊙ α
α α
A．2 B．90°﹣ C．45°− D．45°+
2 2
α α
【考点】圆周角定理；平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由圆周角定理得到∠ACB＝90°，求出∠B＝90°﹣ ，由平行线的性质推出∠BOD＝∠B＝90°﹣
α
1
，由等腰三角形的性质推出∠OAB＝∠ODA，由三角形外角的性质求出∠BAD＝45°− ．
2
α α
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠BAC＝ ，
∴∠B＝90°α﹣ ，
α
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∵OD∥CB，
∴∠BOD＝∠B＝90°﹣ ，
∵OD＝OA， α
∴∠OAB＝∠ODA，
∵∠BOD＝∠OAD+∠ODA＝2∠BAD，
1 1
∴∠BAD= ×（90°﹣ ）＝45°− ．
2 2
α α
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由圆周
角定理得到∠ACB＝90°，由平行线的性质推出∠BOD＝∠B＝90°﹣ ，由三角形外角的性质即可求出
∠BAD的度数． α
8．如图，在半径为6的 O中，弦AB⊥CD于点E，若∠A＝30°，则弧^AC的长为（ ）
⊙
A．8 B．5 C．4 D．6
【考点π】弧长的计算；勾股定理π；垂径定理；圆周角定π理． π
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OA、OC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，根据圆周角定理求出∠AOC，再根据弧长
公式计算吗，得到答案．
【解答】解：连接OA、OC，
∵AB⊥CD，∠A＝30°，
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∴∠ADC＝90°﹣∠A＝60°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠ADC＝120°，
120π×6
∴^AC的长为： = 4 ，
180
π
故选：C．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键．
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，经过A，B两点的 O与边AC切于点A，与边BC交于点D，
AE为 O直径，连结DE，若∠C＝35°，则∠BDE的度数为（⊙ ）
⊙
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【考点】切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由 AB＝AC，得∠B＝∠C＝35°，则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°，由切线的性质得
AC⊥AE，则∠CAE＝90°，所以∠BDE＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝20°，于是得到问的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝35°，
∴∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵AE是 O的直径，且 O与AC相切于点A，
∴AC⊥A⊙E， ⊙
∴∠CAE＝90°，
∴∠BDE＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝110°﹣90°＝20°，
故选：C．
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【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、切线的性质定理、圆周角定理等知识，
正确地求出∠BAC的度数并且证明AC⊥AE是解题的关键．
10．如图，AB是 O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接AC，AD，则下列结论正确的是（ ）
⊙
A．^AC=^BC B．^BC=^BD C．OE＝BE D．∠CAD＝∠CDA
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，垂径定理及圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵AB是 O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，
∴^AC=^AD，^BC=^BD⊙，
∴A错误，B正确；
∵无法证明点E是半径OB的中点，
∴OE与BE的长无法判断，
∴C错误；
∵AC与CD不一定相等，
∴无法判断∠CAD与∠CDA的关系，
∴D错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知垂直于弦的直径平分这条
弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O ，O 分别为两个
1 2
√3
正六边形的中心．则tan∠O AC的值为 ．
2 5
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【考点】正多边形和圆；解直角三角形．
【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可．
【解答】解：如图，连接O C，过O 点作O E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O A＝O B＝
2 2 2 1 1
O C＝a，
2
在Rt△O CE中，O C＝a，∠CO E＝30°，
2 2 2
1 1 √3 √3
∴EC = O C = a＝BE，O E= O C= a，
2 2 2 2 2 2 2
1 5
∴AE＝2a+ a= a，
2 2
O E √3
∴tan∠O AC= 2 = ．
2
AE 5
√3
故答案为： ．
5
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定
义是正确解答的关键．
12．如图，过 O外一点P作圆的切线PB，点B为切点，AB为 O直径，连结AP交 O于点C，若AC
⊙ ⊙ ⊙
CP √5−1
＝BP，则 = ．
AC 2
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【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．
√5−1
【答案】 ．
2
【分析】连接BC，根据圆周角定理得到BC⊥AP，求得∠A+∠ABC＝90°，根据切线的性质得到∠ABP＝
90°，求得∠ABC+∠PBC＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接BC，
∵AB为 O直径，
∴BC⊥A⊙P，
∴∠ACB＝∠PCB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵PB是 O的切线，
∴∠ABP⊙＝90°，
∴∠ABC+∠PBC＝90°，
∴∠A＝∠PBC，
∴△ABP∽△BCP，
PB PC
∴ = ，
AP PB
∴PB2＝AP•PC，
∵AC＝PB，
∴AC2＝（AC+PC）PC，
√5−1
∴PC= AC，
2
CP √5−1
∴ = ，
AC 2
√5−1
故答案为： ．
2
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【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的
关键．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=√3，对角线AC，BD的交点为O，分别以A、D为圆心，AB的长为半
9√3
径画弧，两条圆弧恰好都经过点O，则图中阴影部分的面积为 −π ．
4
14．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝50°，则∠ACB＝
65 °． ⊙
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】65．
【分析】连接 OA、OB，根据切线的性质得到 OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形的内角和定理求出
∠AOB，再根据圆周角定理计算，得到答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA，PB分别与 O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥⊙PB，
∵∠P＝50°，
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∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
1 1
∴∠ACB= ∠AOB= ×130°＝65°，
2 2
故答案为：65．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15．如图，点A、B、C、D都在 O上，OA⊥BC，∠CDA＝25°，则∠AOB＝ 5 0 °．
⊙
【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】50．
【分析】先根据垂径定理得到^AC=^AB，再根据圆周角定理得到∠AOB＝50°．
【解答】解：∵OA⊥BC，
∴^AC=^AB，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×25°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥BC于点C，交△ABC的外接圆于点D．连接BD，AE⊥BD于点
E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：∠BAF＝∠ABF；
（2）当AE＝1，BE＝2时，求线段EF的长及△ABC的外接圆的半径长．
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【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
3 5
（2）EF的长为 ，△ABC的外接圆的半径长为 ．
2 4
【分析】（1）先证得∠BAE+∠ABE＝90°，∠BCA+∠ACD＝90°，由圆周角定理的推论得出∠ABE＝
∠ACD，于是推出∠BAE＝∠BCA，根据等边对等角得出∠BCA＝∠ABC，问题得证；
（2）过点A作AG⊥BC于G，设EF＝x，在Rt△BEF中根据勾股定理即可求出EF的长；设BG＝m，分
别在Rt△ABG和Rt△AFG中根据勾股定理表示出AG2，即可求出m的值，再证△BCD≌△BEF，即可求
出BD的长，根据圆周角定理的推论得出BD为直径，从而得出半径长．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BCA+∠ACD＝90°，
∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠BCA，
∵AB＝AC，
∴∠BCA＝∠ABC，
∴∠BAE＝∠ABC，
即∠BAF＝∠ABF；
（2）解：如图，过点A作AG⊥BC于G，
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由（1）知∠BAF＝∠ABF，
∴AF＝BF，
设EF＝x，
∵AE＝1，
∴AF＝AE+EF＝x+1，
∴BF＝x+1，
∵AE⊥BD，
∴由勾股定理得BF2＝BE2+EF2，
∴（x+1）2＝22+x2，
3
∴x= ，
2
3
即EF= ，
2
5
∴AF＝BF= ，
2
∵AB＝AC，AG⊥BC，
1
∴BG＝CG= BC，
2
设BG＝m，
5
∴FG= −m，
2
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=√AE2+BE2=√12+22=√5，
在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2＝AB2﹣BG2，
在Rt△AFG中，由勾股定理得AG2＝AF2﹣FG2，
∴AB2﹣BG2＝AF2﹣FG2，
5 5
∴(√5) 2−m2=( ) 2−( −m) 2 ，
2 2
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解得m＝1，
∴BG＝CG＝1，
∴BC＝2，
∴BE＝BC，
∵∠CBD＝∠EBF，∠BCD＝∠BEF＝90°，
∴△BCD≌△BEF（ASA），
5
∴BD＝BF= ，
2
∵∠BCD＝90°，
∴BD为 O的直径，
⊙ 1 5
∴△ABC的外接圆的半径长为 BD= ．
2 4
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性
质，正确作出辅助线是解题的关键．
17．如图，AB、CD是 O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD．
（1）求证：AC＝BD；⊙
（2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
【分析】（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出 AB+CD=CD+AD ，则AC＝BD；
（2）因为AB＝CD，所以，即∠ACB＝∠DBC．结合OB＝OC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，即
可作答．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
⌢ ⌢
∴ AB=CD ，
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⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴ AB+CD=CD+AD ，
⌢ ⌢
即 BD=AC ．
∴AC＝BD．
（2）连接OB、OC、BC．
∵AB＝CD，
⌢ ⌢
∴ AB=CD ，
∴∠ACB＝∠DBC．
∴EB＝EC，
∵OB＝OC，
∴E、O都在BC的垂直平分线上．
∴EO⊥BC．
【点评】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
18．如图，点C是以AB为直径的 O上一点，过AC中点D作DE⊥AB于点E，延长DE交 O于点F，
连结CF交AB点G，连结AF，BF⊙． ⊙
[认识图形]
求证：△AFD∽△ACF．
[探索关系]
①求CF与DF的数量关系．
CG DE
②设 =x， = y，求y关于x的函数关系．
FG EF
[解决问题]
若CG=2√2，FG=3√2，求AE的长．
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【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）①CF=√2DF；
1
②y= x；
2
5√7
（3） ．
4
【分析】（1）由圆的性质得出∠AFD＝∠B＝∠C即可得证；
（2）①由相似三角形的性质即可解答；
②由△GEF∽△GHC，△ADE∽△AHC得出对应边成比例即可解答；
（3）由题意知CF=5√2，DF＝5，再求出x，y，设 AD＝a，则 AF=√2a，由勾股定理求出a，即可求
出AD和AF，再求出EF即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AFE+∠EFB＝∠B+∠EFB＝90°，
∴∠AFD＝∠B＝∠C．
又∵∠DAF＝∠FAC，
∴△AFD∽△ACF；
（2）解：①∵△AFD∽△ACF，
AD AF DF
点． = =
AF AC FC
∵AC＝2AD，
∴AF2＝2AD2，即 AF=√2AD，
∴CF=√2DF；
②过C作CH⊥AB于H，则EF∥CH，
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∴△GEF∽△GHC，△ADE∽△AHC，
DE AD 1 CG CH
∴ = = ， = ，
CH AC 2 FG EF
DE 1 CH 1 CG 1
∴y= = ⋅ = ⋅ = x；
EF 2 EF 2 GF 2
（3）解：∵CG=2√2，FG=3√2，
∴CF=5√2，DF＝5．
2
∴x= ，
3
1 5 15
∴y= ，即 DE= EF= ．
3 4 4
设 AD＝a，则 AF=√2a，
5 15 5
由 a2−( ) 2=2a2−( ) 2 ，得 a= √2，
4 4 2
5
∴AD= √2，AF＝5，
2
∴AF2﹣EF2＝AD2﹣（5﹣EF）2，
15
解得EF= ，
4
225 175
∴AE2＝AF2﹣EF2＝25− = ，
16 16
5√7
∴AE= ．
4
【点评】本题考查与圆又关的概念和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是
解题关键．
19．如图，AB是 O的直径，点C在 O上，D为^AC的中点，CE⊥AB于E，BD与AC交于点G，与
CE交于点F． ⊙ ⊙
（1）求证：CG＝CF；
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3
（2）若cos∠ABC= ，AC＝16，求EF的长．
5
【考点】圆周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
18
（2） ．
5
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等得出∠ABD＝∠CBD，根据直径所对的圆周角是直角得出
∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质得出∠CBD+∠CGF＝90°，∠ABD+∠BFE＝90°，结合对顶角相等
即可∠CGF＝∠CFG，从而问题得证；
（2）根据直角三角形面积公式计算即可求出CE的长，再证△AGB∽△CFB，即可得出AG与CF的数量
关系，再根据AC的长即可求出CF的长，从而求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵D为^AC的中点，
∴^AD=C^D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠CBD+∠CGF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ABD+∠BFE＝90°，
∵∠BFE＝∠CFG，
∴∠ABD+∠CFG＝90°，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CG＝CF；
（2）解：∵AB是 O的直径，
⊙
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∴∠ACB＝90°，
3
∵cos∠ABC= ，
5
BC 3
∴ = ，
AB 5
设BC＝3x，则AB＝5x，
由勾股定理得AC＝4x，
∵AC＝16，
∴4x＝16，
解得x＝4，
∴BC＝12，AB＝20，
1 1
∴S = AC⋅BC= AB⋅CE，
△ABC 2 2
∴16×12＝20CE，
48
解得CE= ，
5
由（1）知∠CGF＝∠CFG，
又∵∠CGF+∠AGB＝180°，∠CFG+∠CFB＝180°，
∴∠AGB＝∠CFB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴△AGB∽△CFB，
AG AB 20 5
∴ = = = ，
CF BC 12 3
设AG＝5m，则CF＝3m，
∴CG＝CF＝3m，
∴AC＝AG+CG＝16，
∴5m+3m＝16，
解得m＝2，
∴CF＝6，
48 18
∴EF＝CE﹣CF= −6= ．
5 5
【点评】本题考查了圆周角定理及推论，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的
判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
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20．如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB边上，以点O为圆心，OA的长为半径的圆与
BC相切于点D，分别交AC和AB边于点F和E，连接AD，FD，ED．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）求证：△DFC∽△ADE；
（3）若CD＝1，求图中阴影部分的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
π
（3）1− ．
4
【分析】（1）连接OD．由切线的性质得出OD∥AC，结合圆的性质得出∠BAD＝∠CAD即可得证；
（2）根据圆的性质得出∠ADE＝∠C＝90°和∠AED＝∠CFD即可得证；
（3）先说明∠B＝∠BAC＝45°，得出∠BOD＝45°，设BD＝x，OB=√2x，BC＝AC＝x+1，根据勾股定理
求出x，图中阴影部分的面积为S△BOD ﹣S扇形ODE ，代入数据即可解答．
【解答】（1）证明：如图连接OD．
∵ O与BC相切于点D，
∴⊙∠ODB＝90°＝∠C．
∴OD∥AC
∴∠ODA＝∠CAD．
∵OA＝OD，
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∴∠BAD＝∠ODA．
∴∠BAD＝∠CAD．
∴AD平分∠BAC；
（2）证明：∵AE是 O的直径，∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C＝90°⊙，
∵四边形AEDF是 O的内接四边形，
∴∠AED＝∠CFD．⊙
∴△DFC∽△ADE；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC＝45°．
由（1）可知OD∥AC，
∴∠BOD＝∠BAC＝45°．
∴OD＝BD．设BD＝x，OB=√2x，
∴BC＝AC＝x+1，
在Rt△ABC中，∵AC2+BC2＝AB2，
∴2(x+1) 2=(√2x+x) 2，
∴x=√2，即BD＝OD=√2，
1 45π×(√2) 2 π
∴图中阴影部分的面积为S −S = ×√2×√2− =1− ．
△BOD 扇 形OD2E 360 4
【点评】本题考查圆的有关概念和性质，与圆有关的位置关系，勾股定理，扇形的面积，相似三角形的
判定，熟练掌握以上知识是解题关键．
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考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
4．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
5．等边三角形的判定与性质
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（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性
质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的
性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有 30°角的
直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一
般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个
60°的角判定．
6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
7．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
8．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
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1
②菱形面积= ab．（a、b是两条对角线的长度）
2
9．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对
称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
10．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
11．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优
弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知
一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得
图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
12．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
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注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
13．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
14．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心
在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
15．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
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圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
16．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，
这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
17．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2 R
nπRπ
（2）弧长公式：l= （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
180
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念π ，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等
弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
18．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝ r2
（2）扇形：由组成圆心π角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
n 1
S扇形 =
360
R2或S扇形 =
2
lR（其中l为扇形的弧长）
π
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
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（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
19．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边
形一起，难度比较大．
20．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
∠A的对边a ∠A的邻边b ∠A的对边a
sinA= = ，cosA= = ，tanA= = ．
斜边 c 斜边 c ∠A的邻边b
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
34
