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2025年中考数学一轮复习
第11讲 分式方程
一．选择题（共10小题）
1 a−2
1．关于x的方程 + =1的解是正数，则a的取值范围是（ ）
x−2 2−x
A．a＞5 B．a＜5 C．a＞5且a≠7 D．a＜5且a≠3
2 3
2．方程 = 的解是（ ）
x−3 x
A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9
x n−1
3．若关于x的分式方程 +1= 无解，则n＝（ ）
x+2 x+2
3
A．﹣1 B．0 C．1 D．
2
4．某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A型机器的进价比每台
B型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．
若设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（ ）
21 12.6
A．12.6x＝21（2x﹣0.7） B． =
x 2x−0.7
21 12.6 21 12.6
C． = D． =2× −0.7
2x−0.7 x x x
1 1
5．对于非零的两个实数a，b，规定a b= − ，若2 （2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
b a
⊕ ⊕
5 5 3 1
A． B． C． D．−
6 4 2 6
1 3
6．若代数式 和 的值互为相反数，则x等于（ ）
x−2 x
3 2
A．1 B． C．2 D．
2 3
7．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
工程队 每天施工面积（单 施工总面积（单位： 施工时间（单位：
位：m2） m2） 天）
甲 x+300 1800 两个工程队同时完成
工作任务
乙 x 1200
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根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ）
1800 1200 1200 1800
A． = B． =
x+300 x x+300 x
3000 600
C． = D．1200x＝1800（x+300）
x+300 x
1+ax 1
8．已知关于x的分式方程 − =3有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
2−x x−2
A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2
1
9．解方程“ =x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（ ）
x
A．x＝1 B．x ＝1，x ＝2
1 2
C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x＝﹣1
1 2
k x
10．已知关于x的分式方程 +2= 的解是非负数，则k的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A．k≥2 B．k≤2 C．k≤2且k≠﹣1 D．k＜2且k≠1
二．填空题（共5小题）
{x+1 x−1
≥ +1
11．若关于 x的一元一次不等式组 2 6 有解且至多有 3个整数解，且关于 y的分式方程
3x−a≤x+1
y+4 a+2y
+ =−3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
y−1 1−y
3 2
12．若关于x的方程 = 的解是x＝6，则a的值为 ．
x x−a
k x
13．关于x的方程 −1= 的解为非负数，则k的取值范围是 ．
2x−4 x−2
x m
14．若关于x的分式方程 −3= 有增根，则m的值是 ．
x−2 x−2
15．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》和《唐诗鉴赏辞典》也随之热销．某书商看
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准商机，欲购进这两种图书，已知每本《唐诗鉴赏辞典》的进价比《唐诗宋词精选》多 9元，花费
2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多．若设每本
《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，则可列方程 ．
三．解答题（共5小题）
x+1 1
16．以下是小明解方程 = −2的过程，请认真阅读，并完成相应任务．
x−2 2−x
解：去分母：x+1＝﹣1﹣2（x﹣2）…………．第一步．
去括号：x+1＝﹣1﹣2x﹣4 …………，第二步
移项，合并同类项得：3x＝﹣6…………．第三步
系数化为1，得：x＝﹣2 …………．第四步
检验：当x＝﹣2时，x﹣2＝﹣4≠0，
所以：x＝﹣2是原分式方程的解．
（1）填空：
①以上解题过程中，第一步去分母的依据 ；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）请你写出此方程的正确求解过程．
17．列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用 1辆无
人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，
使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送
包裹多少件？
18．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 A种树苗的价格是
5
树苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆．
4
（1）求树苗基地每捆A种树苗的价格．
（2）树苗基地每捆B种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A
种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠．
求本次购买最少花费多少钱．
19．在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，
解决实际问题．
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根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．
20．北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤
亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，
已知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．
（1）求棉衣的单价；
（2）该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉
衣．
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2025年中考数学一轮复习之分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1 a−2
1．关于x的方程 + =1的解是正数，则a的取值范围是（ ）
x−2 2−x
A．a＞5 B．a＜5 C．a＞5且a≠7 D．a＜5且a≠3
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】D
【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．
1 a−2
【解答】解： + =1，
x−2 2−x
去分母，得1﹣a+2＝x﹣2，
解得x＝5﹣a，
1 a−2
∵关于x的方程 + =1的解是正数，
x−2 2−x
∴5﹣a＞0且5﹣a≠2，
∴a＜5且a≠3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程，掌握解方程和分母不能为0是关键．
2 3
2．方程 = 的解是（ ）
x−3 x
A．x＝﹣3 B．x＝﹣9 C．x＝3 D．x＝9
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
2 3
【解答】解： = ，
x−3 x
2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝9是原方程的根，
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故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
x n−1
3．若关于x的分式方程 +1= 无解，则n＝（ ）
x+2 x+2
3
A．﹣1 B．0 C．1 D．
2
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
n−3 n−3
【分析】解分式方程，可得x= ，根据题意可知分式方程的增根为 x＝﹣2，即有 =−2，，
2 2
求解即可获得答案．
x n−1
【解答】解： +1= ，
x+2 x+2
去分母，得 x+x+2＝n﹣1，
n−3
合并同类项、系数化为1，得 x= ，
2
由题意可知，分式方程的增根为x＝﹣2，
n−3
即有 =−2，解得n＝﹣1．
2
故选：A．
【点评】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为
x＝2是解题关键．
4．某农业合作社在春耕期间采购了A，B两种型号无人驾驶农耕机器．已知每台A型机器的进价比每台
B型机器进价的2倍少0.7万元；采购相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元．
若设每台B型机器的进价为x万元，根据题意可列出关于x的方程为（ ）
21 12.6
A．12.6x＝21（2x﹣0.7） B． =
x 2x−0.7
21 12.6 21 12.6
C． = D． =2× −0.7
2x−0.7 x x x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为（2x﹣0.7）万元，根据“采购
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相同数量的A，B两种型号机器，分别花费了21万元和12.6万元”即可列出分式方程．
【解答】解：设每台B型机器的进价为x万元，则设每台B型机器的进价为（2x﹣0.7）万元，
21 12.6
根据题意得 = ．
2x−0.7 x
故选：C．
【点评】本题考查主要了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找出题目中的相等关系列出分式方程
是解决问题的关键．
1 1
5．对于非零的两个实数a，b，规定a b= − ，若2 （2x﹣1）＝1，则x的值为（ ）
b a
⊕ ⊕
5 5 3 1
A． B． C． D．−
6 4 2 6
【考点】解分式方程；实数的运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．
1 1
【解答】解：∵a b= − ，
b a
⊕
∴2 （2x﹣1）
⊕1 1
= −
2x−1 2
3−2x
= ，
2(2x−1)
∵2 （2x﹣1）＝1，
3−2x
∴ ⊕ = 1，
2(2x−1)
5
解得：x= ，
6
5 3−2x
经检验，x= 是 = 1的解．
6 2(2x−1)
故选：A．
【点评】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．
1 3
6．若代数式 和 的值互为相反数，则x等于（ ）
x−2 x
3 2
A．1 B． C．2 D．
2 3
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【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
1 3
【解答】解：根据题意得： + = 0，
x−2 x
去分母得：x+3（x﹣2）＝0，
3
解得：x= ，
2
3
检验：把x= 代入得：x（x﹣2）≠0，
2
3
∴分式方程的解为x= ．
2
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7．某体育中心准备改扩建一块运动场地，现有甲、乙两个工程队参与施工，相关信息如下：
工程队 每天施工面积（单 施工总面积（单位： 施工时间（单位：
位：m2） m2） 天）
甲 x+300 1800 两个工程队同时完成
工作任务
乙 x 1200
根据以上信息求x的值，则下列方程正确的是（ ）
1800 1200 1200 1800
A． = B． =
x+300 x x+300 x
3000 600
C． = D．1200x＝1800（x+300）
x+300 x
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】A
1800 1200
【分析】根据两个工程队用时相同，可列方程 = ，然后作答即可．
x+300 x
1800 1200
【解答】解：依题意得， = ，
x+300 x
故选：A．
【点评】本题考查了本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键．
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1+ax 1
8．已知关于x的分式方程 − =3有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
2−x x−2
A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先解此分式方程，再根据题意求得所有符合条件的a的值，最后相加求和．
【解答】解：两边同时乘以x﹣2，得
﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1），
4
解得x= ，
a+3
4 4
∴ 是整数，且 ≠2，
a+3 a+3
4
当 = 4时，解得a＝﹣2；
a+3
4
当 = 1时，解得a＝1；
a+3
4
当 =−1时，解得a＝﹣7；
a+3
4
当 =−2时，解得a＝﹣5；
a+3
4
当 =−4时，解得a＝﹣4，
a+3
∴﹣2+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17，
即满足条件的所有整数a的和为﹣17，
故选：B．
【点评】此题考查了含字母参数分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用分式方程解的概
念和解法知识．
1
9．解方程“ =x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（ ）
x
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A．x＝1 B．x ＝1，x ＝2
1 2
C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x＝﹣1
1 2
【考点】解分式方程；函数的图象．
【专题】分式方程及应用；函数及其图象；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图象得出两函数图象的交点坐标是（1，1），（﹣1，﹣1），再根据交点坐标求出方程
的解即可．
【解答】解：从图象中可知：两函数图象的交点坐标是（1，1），（﹣1，﹣1），
1
所以方程 = x的解是x ＝﹣1，x ＝1．
x 1 2
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程和函数的图象，能根据函数图象找出两函数图象的交点坐标是解此题
的关键．
k x
10．已知关于x的分式方程 +2= 的解是非负数，则k的取值范围是（ ）
x−1 1−x
A．k≥2 B．k≤2 C．k≤2且k≠﹣1 D．k＜2且k≠1
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先解含有k的分式方程，再根据已知条件列出关于k的不等式，解不等式，从而求出答案即
可．
k x
【解答】解： +2= ，
x−1 1−x
k+2（x﹣1）＝﹣x，
k+2x﹣2＝﹣x，
2x+x＝2﹣k，
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3x＝2﹣k，
2−k
x= ，
3
k x
∵关于x的分式方程 +2= 的解是非负数，
x−1 1−x
2−k
∴ ≥0，
3
2﹣k≥0
﹣k≥﹣2，
k≤2，
∵x﹣1≠0，’
2−k
∴ ≠1，
3
解得：k≠﹣1，
∴k的取值范围是：k≤2且k≠﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一
次不等式组的一般步骤．
二．填空题（共5小题）
{x+1 x−1
≥ +1
11．若关于 x的一元一次不等式组 2 6 有解且至多有 3个整数解，且关于 y的分式方程
3x−a≤x+1
y+4 a+2y
+ =−3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 6 ．
y−1 1−y
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出a的取值范围，根据关于y的方程的解的情况
求出a的取值情况，然后求出满足条件的a的值，即可得出答案．
{ x≥1
【解答】解：解不等式组，得 a+1，
x≤
2
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∵不等式组有解且最多有3个整数解，
a+1
∴1≤ ＜4，
2
解得：1≤a＜7，
∴整数a为：1，2，3，4，5，6，
y+4 a+2y a−1
解分式方程 + =−3，得y= ，
y−1 1−y 2
∵分式方程有整数解，
a−1 a−1
∴ 是整数，且 ≠1，
2 2
∴整数a为：1，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是1+5＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问
题的关键，本题需注意分式方程的分母不等于0的限制条件．
3 2
12．若关于x的方程 = 的解是x＝6，则a的值为 2 ．
x x−a
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】2．
3 2
【分析】把x＝6代入关于x的方程 = 得关于a的分式方程，解分式方程即可．
x x−a
3 2
【解答】解：把x＝6代入关于x的方程 = 得：
x x−a
1 2
= ，
2 6−a
6﹣a＝4，
解得：a＝2，
检验：当a＝2时，2（6﹣a）≠0，
∴a＝2是原分式方程的解，
故a的值为：2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程的解是使分式方程左右两边相
等的未知数的值．
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k x
13．关于x的方程 −1= 的解为非负数，则k的取值范围是 k ≥﹣ 4 ，且 k ≠ 4 ．
2x−4 x−2
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】k≥﹣4，且k≠4．
【分析】先解该分式方程，再根据题意确定此题结果．
【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2）得，
k﹣2（x﹣2）＝2x，
k+4
解得x= ，
4
k+4 k+4
由题意得 ≥0，且 ≠2，
4 4
解得k≥﹣4，且k≠4，
故答案为：k≥﹣4，且k≠4．
【点评】此题考查了含字母常数分式方程问题的解决能力，关键是能准确解分式方程，并能根据题意
确定最后结果．
x m
14．若关于x的分式方程 −3= 有增根，则m的值是 2 ．
x−2 x−2
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：x﹣3（x﹣2）＝m，
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．随着“中国诗词大会”节目的热播，《唐诗宋词精选》和《唐诗鉴赏辞典》也随之热销．某书商看
准商机，欲购进这两种图书，已知每本《唐诗鉴赏辞典》的进价比《唐诗宋词精选》多 9元，花费
2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样多．若设每本
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2400 1500
《唐诗鉴赏辞典》的进价为x元，则可列方程 = ．
x x−9
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
2400 1500
【答案】 = ．
x x−9
【分析】设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为 x元，则设每本《唐诗宋词精选》的进价为（x﹣9）元，
根据“花费2400元购进《唐诗鉴赏辞典》的数量与花费 1500元购进《唐诗宋词精选》的数量一样
多”，即可列出分式方程．
【解答】解：设每本《唐诗鉴赏辞典》的进价为 x元，则设每本《唐诗宋词精选》的进价为（x﹣9）
元，
2400 1500
根据题意得 = ．
x x−9
2400 1500
故答案为： = ．
x x−9
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
x+1 1
16．以下是小明解方程 = −2的过程，请认真阅读，并完成相应任务．
x−2 2−x
解：去分母：x+1＝﹣1﹣2（x﹣2）…………．第一步．
去括号：x+1＝﹣1﹣2x﹣4 …………，第二步
移项，合并同类项得：3x＝﹣6…………．第三步
系数化为1，得：x＝﹣2 …………．第四步
检验：当x＝﹣2时，x﹣2＝﹣4≠0，
所以：x＝﹣2是原分式方程的解．
（1）填空：
①以上解题过程中，第一步去分母的依据 等式的基本性质 ；
②第 二 步开始出现错误，这一步错误的原因是 去括号时第二项没有变号 ；
（2）请你写出此方程的正确求解过程．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）①等式的基本性质；
②二，去括号时第二项没有变号；
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（2）答案见解析．
【分析】（1）观察解方程的过程，进行解答即可；
（2）按照解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成 1，然后进行检验
即可．
【解答】解：（1）①以上解题过程中，第一步去分母的依据等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质；
②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时第二项没有变号，
故答案为：二，去括号时第二项没有变号；
（2）正确的求解过程如下：
x+1 1
= −2，
x−2 2−x
去分母得：x+1＝﹣1﹣2（x﹣2），
去括号得：x+1＝﹣1﹣2x+4，
移项，合并同类项得：3x＝2，
2
系数化为1，得：x= ，
3
2
检验：当x= 时，x﹣2≠0，
3
2
∴x= 是原分式方程的解．
3
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤．
17．列方程解应用题：
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用 1辆无
人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，
使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送
包裹多少件？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，利用
工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快
递员同时配送所需时间少2天”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，
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6000 6000
根据题意得： − = 2，
4x 5x
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．
答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．3月12日植树节，某中学需要采购一批树苗开展种植活动．据了解，市场上每捆 A种树苗的价格是
5
树苗基地的 倍，用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆．
4
（1）求树苗基地每捆A种树苗的价格．
（2）树苗基地每捆B种树苗的价格是40元．学校决定在树苗基地购买A，B两种树苗共100捆，且A
种树苗的捆数不超过B种树苗的捆数．树苗基地为支持该校活动，对A、B两种树苗均提供八折优惠．
求本次购买最少花费多少钱．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）30元；
（2）2800元．
5
【分析】（1）设树苗基地每捆A种树苗的价格是x元，则市场上每捆A种树苗的价格是 x元，利用
4
数量＝总价÷单价，结合用300元在市场上购买的A种树苗比在树苗基地购买的少2捆，可列出关于x
的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设购买m捆A种树苗，则购买（100﹣m）捆B种树苗，根据购买A种树苗的捆数不超过B种树
苗的捆数，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设本次购买共花费w元，利
用总价＝单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
5
【解答】解：（1）设树苗基地每捆A种树苗的价格是x元，则市场上每捆A种树苗的价格是 x元，
4
300 300
− =
根据题意得： x 5 2，
x
4
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
答：树苗基地每捆A种树苗的价格是30元；
（2）设购买m捆A种树苗，则购买（100﹣m）捆B种树苗，
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根据题意得：m≤100﹣m，
解得：m≤50．
设本次购买共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（100﹣m），
即w＝﹣8m+3200，
∵﹣8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最小值，最小值＝﹣8×50+3200＝2800（元）．
答：本次购买最少花费2800元钱．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
19．在我国传统节日清明节期间，学校将组织200名师生去革命烈士陵园扫墓．请你认真阅读如图对话，
解决实际问题．
根据对话内容，求每辆甲、乙种客车各有多少个座位．
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位．
【分析】设甲种客车每辆有x个座位，则乙种客车每辆有 （x+5）个座位，根据题意：若单独租用甲
种客车若干辆则刚好坐满，若单独租 用同样辆数的乙种客车，则有20个空座位，列方程求解．
【解答】解：设甲种客车每辆有 x 个座位，则乙种客车每辆有 （x+5）个座位，可得：
200 200+20
= ，
x x+5
解得：x＝50，经检验：x＝50是原方程的解，且符合题意；
∴x+5＝55，
答：甲、乙两种客车每辆各有50、55个座位．
【点评】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．
20．北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤
亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，
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已知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．
（1）求棉衣的单价；
（2）该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉
衣．
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设棉衣的单价是x元，则棉被的单价是（x﹣50）元，利用数量＝总价÷单价，结合用
1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，
即可得出结论；
（2）设该中学购买m件棉衣，则购买（100﹣m）件棉被，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过
22000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设棉衣的单价是x元，则棉被的单价是（x﹣50）元，
1000 800
根据题意得： = ，
x x−50
解得：x＝250，
经检验，x＝250是所列方程的解，且符合题意．
答：棉衣的单价是250元；
（2）设该中学购买m件棉衣，则购买（100﹣m）件棉被，
根据题意得：250m+（250﹣50）（100﹣m）≤22000，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：最多可以购买40件棉衣．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产
生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
3．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
4．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0
或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为
整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根
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恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如
果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
5．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和
追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
6．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单
位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
7．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形
式．
8．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
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②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下
一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对
结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
11．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些
点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所
对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点 P（x，y）的x、y
的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式
这个点就不在函数的图象上．．
12．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又
要符合实际．
2、函数的多变量问题
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解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条
件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
22
