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2026年中考数学一轮复习 分式方程
一．选择题（共10小题）
1．马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为 42公里，在同一场比赛中选手甲的平均速
度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早30分钟，若乙的平均速度为x km/h，则可
列方程为（ ）
42 42 42 42 1
A． − =30 B． − =
1.5x x 1.5x x 2
42 42 42 42 1
C． − =30 D． − =
x 1.5x x 1.5x 2
1 3x
2．解分式方程 +2= 时，去分母变形正确的是（ ）
x−1 1−x
A．1+2＝3x（1﹣x） B．1+2（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+2＝﹣3x D．1+2（x﹣1）＝3x
2 3
3．若关于x的分式方程 = 的解为x＝3，则m的值为（ ）
m−x m
A．﹣3 B．﹣9 C．3 D．9
4．清明节假期，小明的父亲从外地开车回老家扫墓，两地相距240km，原计划平均速度为x km/h，
实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（ ）
240 240 240 240
A． − =1 B． − =1
0.5x x x 1.5x
240 240
C． − =1 D．x+1.5x＝240
1.5x x
5．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只
云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长
共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入 896文钱，绫布和罗布各出售1尺共
收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（ ）
896 896 896 896
A．120− = B．120− =
3−x x x 30−x
896 896 896 896
C．120+ = D． = +120
x 3−x x 30−x
x m
6．若关于x的分式方程 =2− 有增根，则m＝（ ）
x−3 3−x
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
7．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B
型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本
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课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
1080 1080 1080 1080
A． = +6 B． = −6
x x−15 x x−15
1080 1080 1080 1080
C． = −6 D． = +6
x+15 x x+15 x
2m+x 2
8．若关于x的分式方程 −1= 无解，则m的值为（ ）
x−3 x
3 3 1 3
A．− B．1 C． 或2 D．− 或−
2 2 2 2
x+m 3m
9．若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
x−4 4−x
A．m＜6 B．m＜6且m≠2 C．m＞6且m≠2 D．m＞6
10．某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程
时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华
24 72
根据这一情境中的数量关系列出方程则 = ，则未知数x表示的意义为（ ）
x x+0.6
A．每行驶1千米纯用电的费用
B．每行驶1千米纯燃油的费用
C．每1元电费可行驶的路程
D．每1元油费可行驶的路程
二．填空题（共10小题）
11．把含盐m%的盐水m克，制成含盐2m%的盐水，应加盐 （0＜m＜
50）．
y+a 2a
12．关于y的方程 + =2的解为非负数，则a的取值范围是 ．
y−1 1−y
13．已知某轮船顺水航行a千米，所需的时间和逆水航行b千米所需的时间相同．若水流的速度为c
千米/时，则船在静水中的速度为 千米/时．
x−1
14．①已知x＝3是方程 =1的一个根，则a＝ ；
a−1
x k x
②已知x＝1是方程 + = 的一个增根，则k＝ ．
x−1 x−1 x+1
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6 6
15．请根据所给方程 + =1，联系生活实际，编写一道应用题（要求题目完整，题意清楚，
X X+5
不要求解方程） ．
16．小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平
均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自
3
驾车方式所用时间的 ．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 千米？
7
a4−ma2+1
17．已知a2﹣6a+1＝0且 =2，则m＝ ．
2a3+ma2+2a
18．从﹣2，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数，记为 m，若数m使关于x的不等式组
{x+8＜4x−1 x m−2
的解集为x＞3，且使关于x的分式方程 − =−1有解，那么这五个数
x＞m x−2 2−x
中所有满足条件的数的乘积是 ．
19．有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．
现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程
1−mx m2−1
−1= 有正整数解的概率为 ．
1−x x−1
20．甲、乙两队挖水渠，已知甲队在m天内挖水渠a米，乙队在n天内挖水渠b米．两队一起挖水
渠L米，需要的天数是 ．
三．解答题（共6小题）
21．解方程：
1 4
（1） = ；
x x−3
x 7
（2） =1+ ．
x−1 (x−1)(x+2)
22．国产动画电影《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情
节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销
售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高50%，用600元购买哪吒摆件的数量
比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？
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3−2x 2+mx
23．已知关于x的方程 + =−1无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
x−3 3−x
解：方程两边同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步
整理，得（m+1）x＝﹣2第二步
5 5
当x＝3时，原方程无解，此时，（m+1）×3＝﹣2，m=− ，因此，m=− ．第三步
3 3
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
24．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某
物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运
20kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运700kg所用时间相等，两种机器人每小
时分别搬运多少化工原料？
25．请阅读下列材料，并回答问题：
2 3 1
在解分式方程 − = 时，小统的解法如下：
x+1 x−1 x2−1
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x﹣1）﹣3＝1．①
去括号，得：2x﹣1＝3+1．②
5
解得x= ．
2
5
检验：当x= 时，（x+1）（x﹣1）≠0．③
2
5
所以，原方程的解是x= ．
2
（1）出现错误的步骤是 （填序号）；
（2）写出上述分式方程的正确解法．
26．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队
平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米
公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米．
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2026年中考数学一轮复习 分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为 42公里，在同一场比赛中选手甲的平均速
度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早30分钟，若乙的平均速度为x km/h，则可
列方程为（ ）
42 42 42 42 1
A． − =30 B． − =
1.5x x 1.5x x 2
42 42 42 42 1
C． − =30 D． − =
x 1.5x x 1.5x 2
【答案】D
【分析】根据时间＝路程÷时间和题意，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
42 42 30
− = ，
x 1.5x 60
42 42 1
即 − = ，
x 1.5x 2
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，
1 3x
2．解分式方程 +2= 时，去分母变形正确的是（ ）
x−1 1−x
A．1+2＝3x（1﹣x） B．1+2（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+2＝﹣3x D．1+2（x﹣1）＝3x
【答案】B
【分析】将分式方程两边乘以最简公分母，转化为整式方程即可．
1 3x
【解答】解： +2= ，
x−1 1−x
两边同乘最简公分母（x﹣1），得：1+2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题关键在于利用转化的思想，解分式方程注意要检验．
2 3
3．若关于x的分式方程 = 的解为x＝3，则m的值为（ ）
m−x m
A．﹣3 B．﹣9 C．3 D．9
【答案】D
【分析】根据题意把x＝3代入原方程，得到关于m的方程，解得m的值即可．
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2 3
【解答】解：把x＝3代入原方程得 = ，
m−3 m
解得m＝9，
2 3
经检验，m＝9是方程 = 的解，
m−3 m
∴m的值为9．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．清明节假期，小明的父亲从外地开车回老家扫墓，两地相距240km，原计划平均速度为x km/h，
实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（ ）
240 240 240 240
A． − =1 B． − =1
0.5x x x 1.5x
240 240
C． − =1 D．x+1.5x＝240
1.5x x
【答案】B
【分析】根据原计划与实际平均速度间的关系，可得出实际平均速度为（1+50%）x km/h，利用
时间＝路程÷速度，结合提前1小时到达，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，
∴实际平均速度为（1+50%）x km/h．
240 240
根据题意得： − =1．
x 1.5x
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
5．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，只
云绫、罗各一尺共直钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长
共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入 896文钱，绫布和罗布各出售1尺共
收入120文钱．问两种布每尺各多少文钱？”设绫布有x尺，则可得方程为（ ）
896 896 896 896
A．120− = B．120− =
3−x x x 30−x
896 896 896 896
C．120+ = D． = +120
x 3−x x 30−x
【答案】B
【分析】设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，根据绫布和罗布分别出售均能收入
896文钱求出绫布和罗布的单价（每尺），再根据绫布和罗布各出售 1尺共收入120文钱即可列
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出方程．
【解答】解：根据绫布和罗布分别出售均能收入896文钱求出绫布和罗布的单价（每尺），再根
据绫布和罗布各出售1尺共收入120文钱可得：
896 896
120− = ，
x 30−x
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确找到等量关系列出方程即可．
x m
6．若关于x的分式方程 =2− 有增根，则m＝（ ）
x−3 3−x
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【答案】C
【分析】将分式方程化为整式方程得x＝2（x﹣3）+m，由分式方程有增根的条件得x＝3，将其
代入整式方程即可求解．
【解答】解：去分母得，x＝2（x﹣3）+m，
∵原方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得：x＝3，
∴3＝2（3﹣3）+m，
解得：m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的
根，②使最简公分母的值为零”是解题的关键．
7．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B
型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本
课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ）
1080 1080 1080 1080
A． = +6 B． = −6
x x−15 x x−15
1080 1080 1080 1080
C． = −6 D． = +6
x+15 x x+15 x
【答案】C
【分析】由每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书可得出每个B型包装箱可以装
书（x+15）本，利用数量＝总数÷每个包装箱可以装书数量，即可得出关于 x的分式方程，此题
得解．
【解答】解：∵每个A型包装箱可以装书x本，每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课
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外书，
∴每个B型包装箱可以装书（x+15）本．
1080 1080
依题意得： = −6．
x+15 x
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
2m+x 2
8．若关于x的分式方程 −1= 无解，则m的值为（ ）
x−3 x
3 3 1 3
A．− B．1 C． 或2 D．− 或−
2 2 2 2
【答案】D
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：x（2m+x）﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3）
2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6
2mx+x＝﹣6
当2m+1≠0时，
−6
∴x= ，
2m+1
∵该分式方程无解，
−6
∴将x= 代入x（x﹣3）＝0，
2m+1
−6 −6
∴ （ −3）＝0，
2m+1 2m+1
3
∴解得：m=−
2
当2m+1＝0时，
1
∴m=− ，此时分式方程无解，符合题意，
2
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
x+m 3m
9．若关于x的方程 + =3的解为正数，则m的取值范围是（ ）
x−4 4−x
A．m＜6 B．m＜6且m≠2 C．m＞6且m≠2 D．m＞6
【答案】B
【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．
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【解答】解：去分母得：x+m﹣3m＝3x﹣12，
整理得：2x＝﹣2m+12，
−2m+12
解得：x= ，
2
x+m 3m
∵关于x的方程 + =3的解为正数，
x−4 4−x
∴﹣2m+12＞0，
解得m＜6，
−2m+12
当x＝4时，x= =4，
2
解得：m＝2，
∴m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题
的关键，注意要排除产生增根时m的值．
10．某种型号油电混合动力汽车从甲地开往乙地时，纯用电行驶，花充电费24元，沿相同路线返程
时用纯燃油行驶，花燃油费72元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．晓华
24 72
根据这一情境中的数量关系列出方程则 = ，则未知数x表示的意义为（ ）
x x+0.6
A．每行驶1千米纯用电的费用
B．每行驶1千米纯燃油的费用
C．每1元电费可行驶的路程
D．每1元油费可行驶的路程
【答案】A
【分析】根据x与x+0.6的关系，可得出x表示每行驶1千米纯用电的费用，此题得解．
【解答】解：∵每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元，
∴x表示每行驶1千米纯用电的费用，x+0.6表示每行驶1千米纯燃油的费用．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据给定的分式方程，找出未知数 x表示的意
义是解题的关键．
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二．填空题（共10小题）
m2
11．把含盐m%的盐水m克，制成含盐2m%的盐水，应加盐 （0＜m＜50）．
100−2m
【答案】见试题解答内容
溶质
【分析】可套用公式：浓度= ×100%，设未知数，列方程求解即可．
溶液
【解答】解：设应加盐x，
m×m%+x
则 =2m%
m+x
m2
解得x=
100−2m
m2
则应加盐
100−2m
【点评】本题考查了化学和数学的综合知识，本题要注意加盐后盐水的重量和盐的重量是同时增
加的，然后细心求解即可．
y+a 2a
12．关于y的方程 + =2的解为非负数，则a的取值范围是 a ≤ 2 且 a ≠ 1 ．
y−1 1−y
【答案】a≤2且a≠1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数，确定出a的值．注意方程
无解的时候．
y+a 2a
【解答】解：解分式方程 + =2得，y＝2﹣a，
y−1 1−y
y+a 2a
∵a使关于y的方程 + =2的解为非负数，
y−1 1−y
∴2﹣a≥0，且2﹣a≠1
∴a≤2且a≠1．
故答案为：a≤2且a≠1．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程的步骤是解
本题的关键．
13．已知某轮船顺水航行a千米，所需的时间和逆水航行b千米所需的时间相同．若水流的速度为c
ac+bc
千米/时，则船在静水中的速度为 千米/时．
a−b
【答案】见试题解答内容
【分析】关键描述语为：“轮船顺水航行a千米所需的时间和逆水航行b千米所需的时间相同”；
等量关系为：轮船顺水航行a千米所需的时间＝逆水航行b千米所需的时间．
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a
【解答】解：可设船在静水中的速度为x千米/时，那么轮船顺水航行a千米用的时间为： ，
x+c
b a b ac+bc
逆水航行b千米所需的时间为： ．所列方程为 = ，即x= 千米/时．
x−c x+c x−c a−b
【点评】列方程解应用题的关键在于找相等关系．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．
x−1
14．①已知x＝3是方程 =1的一个根，则a＝ 3 ；
a−1
x k x
②已知x＝1是方程 + = 的一个增根，则k＝ ﹣ 1 ．
x−1 x−1 x+1
【答案】见试题解答内容
【分析】①中有两个未知数，但x的值是已知的，只需把x的值代入即可．
②增根是由整式方程解出的不适合分式方程的根，所以要把x＝1代入化为整式方程的方程来求
解．
【解答】解：①把x＝3代入原方程，得
3−1
=1，解得a＝3，
a−1
经检验，a＝3是分式方程的解．
②方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得
x（x+1）+k（x+1）＝x（x﹣1），
把x＝1代入得，k＝﹣1．
【点评】①属于一元一次方程的问题，比较简单；
②属于增根问题，增根需代入化为整式方程的方程才能求得未知字母的值．
6 6
15．请根据所给方程 + =1，联系生活实际，编写一道应用题（要求题目完整，题意清楚，
X X+5
不要求解方程） 一项工作，甲乙合作需 6 天完成，甲独做比乙独做多用 5 天，乙独做需几天？
．
【答案】见试题解答内容
【分析】工作总量＝工效×时间是常用的等量关系．最好用熟悉的量来编题．
【解答】解：可根据工作总量＝工效×时间，编一道联系实际的应用题：
一项工作，甲乙合作需6天完成，甲独做比乙独做多用5天，乙独做需几天？
【点评】编题需注意2点，第一需用熟悉的量，第二分析清等量关系．
16．小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平
均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自
3
驾车方式所用时间的 ．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶 2 7 千米？
7
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【答案】见试题解答内容
【分析】设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，根据已知小王家距上班地点18千米．
他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还
3
多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 ，可列
7
方程求解．
【解答】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，
∵小王家距上班地点18千米，
18
∴小王从家到上班地点所需时间t= 小时；
x
∵他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍
还多9千米，
18
∴他乘公交车从家到上班地点所需时间t= ，
2x+9
3
∵乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的 ，
7
18 3 18
∴ = × ，
2x+9 7 x
解得x＝27
经检验x＝27是原方程的解，且符合题意．
即：小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．
故答案为：27．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是以时间作为等量关系，根据乘公交车方式所用时间是
3
自驾车方式所用时间的 列方程求解．
7
17．已知a2﹣6a+1＝0且 a4−ma2+1 2，则m＝ 10 ．
=
2a3+ma2+2a 3
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知求出a 1的值，把 a4−ma2+1 2变形成含a 1的形式即可求解；
+ = +
a 2a3+ma2+2a a
【解答】解：∵a2﹣6a+1＝0，
1 1
∴a≠0，将方程两边除以a得：a﹣6+ =0即a+ =6，
a a
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a2−m+ 1 (a+ 1 ) 2−2−m
a4−ma2+1 a2 a
而 = = ，
2a3+ma2+2a 2 1
2a+m+ 2(a+ )+m
a a
∵
a4−ma2+1
2，
=
2a3+ma2+2a
62−2−m −m+34
∴ =2，即 =2，
2×6+m m+12
10
解得m= ，
3
10
经检验m= 是原方程的解，
3
10
故答案为： ．
3
1
【点评】本题考查解分式方程，题目有难度，解题关键是将方程变形为只含a+ 的形式再代入求
a
解．
18．从﹣2，0，1，3，5这五个数中，随机抽取一个数，记为 m，若数m使关于x的不等式组
{x+8＜4x−1 x m−2
的解集为x＞3，且使关于x的分式方程 − =−1有解，那么这五个数
x＞m x−2 2−x
中所有满足条件的数的乘积是 ﹣ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式组以及分式方程求出m的取值范围，从而可求出m的具体值．
【解答】解：由x+8＜4x﹣1可知：x＞3
∵该不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3
x m−2
∵ − =−1，
x−2 2−x
∴x+m﹣2＝﹣x+2
4−m
x=
2
由于方程有解，所以x﹣2≠0，
4−m
∴ −2≠0，
2
∴m≠0
∴m的取值范围为：m≤3且m≠0
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∴m＝﹣2或1或3
∴满足题意的数的乘积为：﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查不等式组的解法以及分式方程的解法，解题的关键是熟练运用不等式组与分式
方程的解法，本题属于基础题型．
19．有六张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同．
现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为m，则使关于x的分式方程
1−mx m2−1 1
−1= 有正整数解的概率为 ．
1−x x−1 2
【答案】见试题解答内容
1−mx m2−1
【分析】由使关于x的分式方程 −1= 有正整数解，可求得m的值，然后利用概率
1−x x−1
公式求解即可求得答案．
【解答】解：方程两边同乘以1﹣x，
1﹣mx﹣（1﹣x）＝﹣（m2﹣1），
m2−1
∴x= =m+1，
m−1
∵有正整数解，
当m＝0时，原分式方程无解，
∴m+1＞1，
1−mx m2−1
∴使关于x的分式方程 −1= 有正整数解的有：2，3，4，
1−x x−1
1−mx m2−1 3 1
∴使关于x的分式方程 −1= 有正整数解的概率为： = ．
1−x x−1 6 2
1
故答案为： ．
2
【点评】此题考查了概率公式的应用以及分式方程的整数解．用到的知识点为：概率＝所求情况
数与总情况数之比．
20．甲、乙两队挖水渠，已知甲队在m天内挖水渠a米，乙队在n天内挖水渠b米．两队一起挖水
mnl
渠L米，需要的天数是 ．
na+mb
【答案】见试题解答内容
a b
【分析】可设需要的天数为x，由题意：甲队的工作效率为： ；乙队的工作效率为 ．根据
m n
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ax bx mnL
“两队一起挖水渠L米”，那么可得到方程： + =L，那么x= ．
m n an+bm
ax bx mnL
【解答】解：设需要的天数为x，由题意可得到方程： + =L，那么x= ．
m n an+bm
【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题主要考查的等量关系为：工作
时间＝工作总量÷工作效率．
三．解答题（共6小题）
21．解方程：
1 4
（1） = ；
x x−3
x 7
（2） =1+ ．
x−1 (x−1)(x+2)
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）方程两边同乘x（x﹣3），将分式方程化为整式方程，求解即可；
（2）方程两边同乘（x﹣1）（x+2），将分式方程化为整式方程，求解即可．
1 4
【解答】解：（1） = ，
x x−3
方程两边同乘x（x﹣3），得x﹣3＝4x，
解得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x﹣3）≠0，
所以分式方程的解是x＝﹣1；
x 7
（2） =1+ ，
x−1 (x−1)(x+2)
方程两边同乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）＝（x﹣1）（x+2）+7，
解得x＝5，
检验：当x＝5时，（x﹣1）（x+2）≠0，
所以分式方程的解是x＝5．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
22．国产动画电影《哪吒2》以细腻的笔触生动描绘了哪吒的成长历程，情感真挚而动人，故事情
节跌宕起伏，扣人心弦．在电影的热潮中，哪吒与敖丙相关商品也火热登场．新玛特商场专柜销
售哪吒和敖丙的两款摆件，哪吒摆件单价比敖丙摆件单价高50%，用600元购买哪吒摆件的数量
比用800元购买敖丙摆件数量少20个．求哪吒摆件和敖丙摆件的单价分别是多少元？
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【答案】30元，20元．
【分析】设敖丙摆件单价为 x 元，则哪吒摆件的单价为（1+50%）x 元，根据题意得：
800 600
− =20，解方程即可．
x (1+50%)x
【解答】解：设敖丙摆件单价为x元，则哪吒摆件的单价为（1+50%）x元，
800 600
根据题意列分式方程得： − =20，
x (1+50%)x
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
（1+50%）x＝1.5×20＝30，
答：哪吒摆件单价是30元，敖丙摆件的单价是20元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到关系式是解题的关键．
3−2x 2+mx
23．已知关于x的方程 + =−1无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
x−3 3−x
解：方程两边同乘（x﹣3），得（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，第一步
整理，得（m+1）x＝﹣2第二步
5 5
当x＝3时，原方程无解，此时，（m+1）×3＝﹣2，m=− ，因此，m=− ．第三步
3 3
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到 x﹣3＝0，求出x＝3，代入整
式方程即可求出m的值．
【解答】解：当x＝3时，分式方程去分母得：（3﹣2x）﹣（2+mx）＝3﹣x，
由分式方程无解得到x﹣3＝0，即x＝3，
5
代入整式方程得：3（m+1）＝﹣2，即m=− ；
3
2
当x﹣3≠0时，原式可化为x=− ，
m+1
∵原方程无解，
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∴m+1＝0，即m＝﹣1．
5
综上所述，m=− 或m＝﹣1，
3
故第三步错误．
【点评】此题考查了分式方程的解，注意在任何时候都要考虑分母不为0．
24．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某
物流园区利用A，B两种自主移动机器人搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运
20kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运700kg所用时间相等，两种机器人每小
时分别搬运多少化工原料？
【答案】见试题解答内容
【分析】设B种机器人每小时搬运x kg化工原料，则A种机器人每小时搬运（x+20）kg化工原
料，由题意A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运700kg所用时间相等，列出分式方
程，解方程即可．
【解答】解：设B种机器人每小时搬运x kg化工原料，则A种机器人每小时搬运（x+20）kg化
工原料，
900 700
根据题意得： = ，
x+20 x
解得：x＝70，
经检验，x＝70为原方程的解，且符合题意，
则x+20＝90，
∴A种机器人每小时搬运90kg化工原料，B种机器人每小时搬运70kg化工原料．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
25．请阅读下列材料，并回答问题：
2 3 1
在解分式方程 − = 时，小统的解法如下：
x+1 x−1 x2−1
解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x﹣1）﹣3＝1．①
去括号，得：2x﹣1＝3+1．②
5
解得x= ．
2
5
检验：当x= 时，（x+1）（x﹣1）≠0．③
2
5
所以，原方程的解是x= ．
2
（1）出现错误的步骤是 ①② （填序号）；
（2）写出上述分式方程的正确解法．
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【答案】（1）①②；
（2）x＝﹣6．
【分析】（1）根据去分母、去括号法则可以判断出出现错误的步骤是①②；
（2）方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：（1）出现错误的步骤是①①②，
故答案为：①②；
2 3 1
（2） − = ，
x+1 x−1 x2−1
方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x﹣1）﹣3（x+1）＝1，
去括号，得：2x﹣2﹣3x﹣3＝1，
解得x＝﹣6，
检验：当x＝﹣6时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以，原方程的解是x＝﹣6．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
26．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队
平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米
公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米．
【答案】甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米．
【分析】设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，根据“甲队
单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程
求解即可．
【解答】解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，
60 90
根据题意，得 = ，
x x+3
解得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，
∴x+3＝9，
答：甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，正确列出式子是解题的关键．
18
