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2026年中考数学一轮复习 分式
一．选择题（共12小题）
1 1 1
1．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则 + + 的值为（ ）
ab+c−1 bc+a−1 ca+b−1
1 2
A．﹣1 B．− C．2 D．−
2 3
1 x10+x6+x4+1
2．设x＜0，x− =√5，则代数式 的值（ ）
x x10+x8+x2+1
42 41 1
A．1 B． C． D．
47 47 3
3．现有一列数：a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，…，a n﹣1 ，a n （n为正整数），规定 a 1 ＝2，a 2 ﹣a 1 ＝4，a 3 ﹣a 2 ＝
1 1 1 1 97
6，…，a
n
﹣a
n﹣1
＝2n（n≥2），若
a
+
a
+
a
⋯
a
=
198
，则n的值为（ ）
2 3 4 n
A．97 B．98 C．99 D．100
1 1 1 1 1 1 1 1
4．自然数a，b，c，d满足 + + + = 1，则 + + + 等于（ ）
a2 b2 c2 d2 a2 b3 c4 d5
1 3 7 15
A． B． C． D．
4 8 16 32
x2 1 x2 1 2x
5．对于分式： ， ， ， ， ，在每个式子前添“+”或“﹣”号，并求和的绝
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
对值，称此操作为“绝对和差操作”．
x2 1 x2 1 2x x2 1 x2 1 2x
例如：|+ + + + + |，|− + + − − |，…．下列
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1 x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
说法：
x2 1 x2 1 2x
①对于“绝对和差操作”|+ − + + − |，若 x＜﹣1，则化简后的结果为
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
2x2+2
− ；
x+1
②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数；
③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
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6．已知整式M
n
=a
n
xn+a
n−1
xn−1+⋯+a
1
x+n，其中n，a
n
，a
n﹣1
，⋯，a
1
为正整数，且1≤a
n
≤a
n﹣
1
≤⋯≤a
1
≤n．下列说法：①当n＝3时，则满足条件的所有整式M
3
有且仅有10个；②记所有整式
S
M 2 的和为S，若 M 为整数，则满足条件的所有整数x之和为﹣4；③当a n •a n﹣1 •…•a 1 •n＝24时，则
1
满足条件的所有整式M 有且仅有7个．其中正确的个数是（ ）
n
A．0 B．1 C．2 D．3
1 1 1
7．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么 + + 的值（ ）
a b c
A．是正数 B．是零
C．是负数 D．正、负不能确定
a b 1 1
8．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M= + ，N= + ，则下列两个结论（
a+1 b+1 a+1 b+1
）
①ab＝1时，M＝N，ab＞1时，M＞N；ab＜1时，M＜N．②若a+b＝0，则M•N≤0．
A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错
2
9．分式− 可变形为（ ）
x−2
2 2 2 2
A． B． C．− D．
2+x 2−x x+2 x−2
a−2b
10．如果把分式 中的a和b都扩大5倍，那么分式的值（ ）
2a+b
1
A．扩大5倍 B．缩小为原来的
5
C．扩大10倍 D．不变
1 1
11．已知两个分式 ， (a≠0且a≠1），将这两个分式进行如下运算：
a a−1
1 1 1 1
第一次运算：M = + ，N = − ；第二次运算：M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；第三次运算：
1 a a−1 1 a a−1 2 1 1 2 1 1
M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①M ＝﹣2M ；②N •N ＝
3 2 2 3 2 2 3 1 2 8
10
N •N ；③M = ；④M •N + ＝2M •N （n为正整数）．以上结论正确的个数有（ ）
4 6 10 a n+2 n 2 n n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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3x+3 y−xy
12．若x+y＝2xy，则分式 的值为（ ）
xy
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共11小题）
x y 1 1
13．已知实数x，y，a满足x+a2＝2025，y+a2＝2026，且xy＝4，则代数式 + − + 的值是
y x x y
．
2 3 2y−3x−xy
14．已知 − =5，则 = ．
x y 5xy−6 y+9x
2x+1
15．已知分式 ，当x 时，分式没有意义．
x−2
x2 y y
16．计算： ÷(− )⋅( ) 2= ．
y x x
xy yz 4 zx 4 xyz
17．已知： =−1， = ， =− ，则 的值为 ．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
1 1 3a+2ab−3b
18．已知 − =6，则 = ．
b a a−ab−b
a−1 b−2 5−c
19．已知非负实数a，b，c满足 = = ，设S＝a+2b+3c，S的最大值为m，最小值为n，则
2 3 4
n
的值为 ．
m
2
20．若分式 的值为整数，则非负整数x的值为 ．
x−1
21．轮船在静水中的速度是a千米/小时，水流速度是b千米/小时（a＞b），轮船在逆流中航行s千米所
需要的时间是 小时．
ab−a
22．已知b＝ab﹣2a，且a≠﹣b，则 的值为 ．
3a+3b
23．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为斜边，h为斜边上的高，有以下表述：
（1）以a2，b2，c2的长为边，能构成三角形；
（2）以√a，√b，√c的长为边，能构成三角形；
（3）以（c+h），（a+b），h的长为边，能构成直角三角形；
1 1 1
（4）等式 + = 成立．
a2 b2 h2
其中正确的表述序号为 ．
三．解答题（共7小题）
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x−3 7
24．先化简 ÷(x+4+ )，再从﹣4，3，4中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
x2−4x x−4
x2+4xy+4 y2
25．已知x+2y﹣1＝0，求代数式 的值．
2x+4 y
1 a2−1
26．先化简，再求值：(1− )⋅ ，从﹣1，0，1中选择一个你喜欢的数代入求值．
a+1 a
1 x−2
27．先化简，再求值：(1− )÷ ，其中x＝3．
x−1 x2−1
4x2−1 2x
28．计算： ⋅ ．
4x2+4x+1 2x−1
x x−1 x2
29．先化简：( − )÷ ，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选择一个合适的数，作为x的值代入
x−1 x+1 x2−1
求值．
1 1 x+1
30．先化简，再求值：（ − ）÷ ，其中x=√2+1．
x−1 x+1 x2+2x+1
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2026年中考数学一轮复习 分式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1 1 1
1．已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则 + + 的值为（ ）
ab+c−1 bc+a−1 ca+b−1
1 2
A．﹣1 B．− C．2 D．−
2 3
【答案】D
1
【分析】由a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac= ；再根据已知条
2
件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方，
得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，
1
将已知代入，得ab+bc+ac= ；
2
由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b，
∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1），
同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），
ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1），
1 1 1
= + +
∴原式
(a−1)(b−1) (b−1)(c−1) (c−1)(a−1)
c−1+a−1+b−1
=
(a−1)(b−1)(c−1)
−1
=
(ab−a−b+1)(c−1)
−1
=
abc−ac−bc+c−ab+a+b−1
−1 2
= =−
1 3．
1− +2−1
2
故选：D．
【点评】本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得
出结果．
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1 x10+x6+x4+1
2．设x＜0，x− =√5，则代数式 的值（ ）
x x10+x8+x2+1
42 41 1
A．1 B． C． D．
47 47 3
【答案】B
【分析】根据完全平方公式以及立方和公式即可求出答案．
1
【解答】解：∵x− =√5，
x
1
∴（x− ）2＝5，
x
1
∴x2+ = 7，
x2
1 1
∴（x+ ）2＝x2+2 + = 9，
x x2
∵x＜0，
1
∴x+ =−3，
x
∴x2+1＝﹣3x，
∴x4+1＝7x2，
1 1
∵（x2+ ）2＝x4+2 + ，
x2 x4
1
∴x4+ = 47，
x4
∴x8+1＝47x4，
1 1 1
∵x3+ =（x+ ）（x2﹣1 + ），
x3 x x2
1
∴x3+ =−18，
x3
∴x6+1＝﹣18x3，
x6 (x4+1)+(x4+1)
∴原式=
x8 (x2+1)+(x2+1)
(x4+1)(x6+1)
=
(x2+1)(x8+1)
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7x2 (x6+1)
=
−3x(x8+1)
7x2 ⋅(−18x3
)
=
−3x⋅47x4
42
=
47
故选：B．
【点评】本题考查学生的整体的思想，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及立方和公式，本题属
于难题．
3．现有一列数：a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，…，a n﹣1 ，a n （n为正整数），规定 a 1 ＝2，a 2 ﹣a 1 ＝4，a 3 ﹣a 2 ＝
1 1 1 1 97
6，…，a
n
﹣a
n﹣1
＝2n（n≥2），若
a
+
a
+
a
⋯
a
=
198
，则n的值为（ ）
2 3 4 n
A．97 B．98 C．99 D．100
【答案】B
【分析】先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出 a 的通项公式：a ＝n
n n
（n+1），再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出n的值．
【解答】∵由已知可得：
a ＝2，
1
a ﹣a ＝4，
2 1
a ﹣a ＝6，
3 2
…，
a n ﹣a n﹣1 ＝2n，
以上各式左右两边分别相加，
a 1 +a 2 ﹣a 1 +a 3 ﹣a 2 +…+a n ﹣a n﹣1 ＝2+4+6+…+2n，
化简后可得：a ＝2+4+6+…+2n，
n
(2+2n)n
∴a = =n(n+1)．
n 2
1 1 1 1
∴ = = − ，
a 2×3 2 3
2
1 1 1 1
= = − ，
a 3×4 3 4
3
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1 1 1 1
= = − ，
a 4×5 4 5
4
…，
1 1 1 1
= = − ．
a n×(n+1) n n+1
n
1 1 1 1 97
∴
+ + +......+ =
，
a a a a 198
2 3 4 n
可化简为：
1 1 1 1 1 1 1 1 97
− + − + − +......+ − =
2 3 3 4 4 5 n n+1 198
1 1 97
即 − = ，
2 n+1 198
1 1
= ，
n+1 99
解得：n＝98，
经检验，n＝98是原方程的解，
∴n＝98．
故选：B．
【点评】有关数式规律探究问题，根据各项的结构特点，由特殊到一般来归纳总结出一般规律，解决
1 1 1
此题还需将一般表达式转化为数学基本运算模型 − = 解决问题．
n n+1 n(n+1)
1 1 1 1 1 1 1 1
4．自然数a，b，c，d满足 + + + = 1，则 + + + 等于（ ）
a2 b2 c2 d2 a2 b3 c4 d5
1 3 7 15
A． B． C． D．
4 8 16 32
【答案】D
【分析】只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，可得：a＝b＝c＝d＝2，即可求解．
1 1 1 1
+ + + =
【解答】解： 1，只有a、b、c、d自然数都相等的时候，等式才成立，即：a＝b＝c
a2 b2 c2 d2
＝d＝2；
1 1 1 1 15
将a、b、c、d结果代入 + + + = ．
a2 b3 c4 d5 32
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的加减，考虑a、b、c、d是自然数，根据等式确定4个数的数值即可求解．
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x2 1 x2 1 2x
5．对于分式： ， ， ， ， ，在每个式子前添“+”或“﹣”号，并求和的绝
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
对值，称此操作为“绝对和差操作”．
x2 1 x2 1 2x x2 1 x2 1 2x
例如：|+ + + + + |，|− + + − − |，…．下列
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1 x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
说法：
x2 1 x2 1 2x
①对于“绝对和差操作”|+ − + + − |，若 x＜﹣1，则化简后的结果为
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
2x2+2
− ；
x+1
②至少存在一种“绝对和差操作”使化简后的结果为常数；
③所有可能的“绝对和差操作”化简后有32种不同结果；
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】解决这类题时，应先观察所给的几个分式之间的关系，就此题而言，①侧重于先对绝对值符
号内分式进行化简，同时考虑如何去除绝对值符号；本题考查了分式按照分式运算法则即可判断①，
x2 1 x2 1 2x
举例计算| − − − − |即可判断②，5个分时，每个分式有正负两种情况，
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
这 组 合 的 可 能 有 2×2×2×2×2 ＝ 32 （ 种 ） ． 根 据
x2 1 x2 1 2x x2 1 x2 1 2x
|+ + + + + |=|− − − − − |可以判断③．
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1 x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
x2 1 x2 1 2x
【解答】解：|+ − + + − |
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
x2−1 x2−2x+1
=|+ + |
x−1 x+1
x2−2x+1
=|x+1+ |
x+1
x2+2x+1+x2−2x+1
=| |
x+1
2x2+2
=| |，
x+1
∵x＜﹣1，
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∴x+1＜0，
2x2+2
∴原式=− ，故①正确．
x+1
②举例：
x2 1 x2 1 2x
| − − − − |
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
x2−1 x2+2x+1
=| − |
x−1 x+1
(x+1)(x−1) (x+1) 2
=| − |
x−1 x+1
＝|（x+1）﹣（x+1）|
＝0，
即至少存在一种“绝对和差操作”使花间后的结果为常数，故②正确；
x2 1 x2 1 2x
③ ， ， ， ， 这5个分式，每个分式有正负两种情况，
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
则组合的可能有：2×2×2×2×2＝32（种），
x2 1 x2 1 2x x2 1 x2 1 2x
又∵|+ + + + + |=|− − − − − |，
x−1 x−1 x+1 x+1 x+1 x−1 x−1 x+1 x+1 x+1
∴至少有两种情况的结果相同，
∴所有可能的“绝对和差操作”化简后不可能有32种不同结果，故③错误．
故正确的选项有2个．
故选：C．
【点评】本题考查了分数的定义和分时的加减，解决本题的关键是熟练运用分式的加减法的方法计算．
6．已知整式M
n
=a
n
xn+a
n−1
xn−1+⋯+a
1
x+n，其中n，a
n
，a
n﹣1
，⋯，a
1
为正整数，且1≤a
n
≤a
n﹣
1
≤⋯≤a
1
≤n．下列说法：①当n＝3时，则满足条件的所有整式M
3
有且仅有10个；②记所有整式
S
M 2 的和为S，若 M 为整数，则满足条件的所有整数x之和为﹣4；③当a n •a n﹣1 •…•a 1 •n＝24时，则
1
满足条件的所有整式M 有且仅有7个．其中正确的个数是（ ）
n
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】对给定的条件1≤a
n
≤a
n﹣1
≤⋯≤a
1
≤n合理的分类即可求解．
【解答】解：①当n＝3时，M ＝a x3+a x2+a x+3，1≤a ≤a ≤a ≤3，
3 3 2 1 3 2 1
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∴M ＝3x3+3x2+3x+3或M ＝2x3+3x2+3x+3或M ＝2x3+2x2+2x+3或M ＝2x3+2x2+3x+3，
3 3 3 3
M ＝x2+3x2+3x+3或M ＝x3+2x2+2x+3或M ＝x3+2x2+3x+3或M ＝x3+x2+x+3或M ＝x3+x2+2x+3或M ＝
3 3 3 3 3 3
x3+x2+3x+3，共10种；
②M ＝2x2+2x+2或M ＝x2+2x+2或M ＝x2+x+2，S＝4x2+5x+6，M ＝x+1，
2 2 2 1
S 4x2+4x+x+1+5 5
= =4x+1+ ，
M x+1 x+1
1
∴x+1＝±1，±5，
∴x＝0或﹣2或4或﹣6，
∴满足条件的所有整数x之和为﹣4；
③∵a
n
•a
n﹣1
•⋯•a
1
•n＝24，
∴24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6＝2×2×6＝2×3×4＝2×2×2×3，
∴满足条件的所有整式M 有且仅有7个．
n
故①②③正确，
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算，弄清题意，通过给定的条件，抓住条件 1≤a
n
≤a
n﹣1
≤⋯≤a
1
≤n是解
题的关键．
1 1 1
7．已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，abc＝6，那么 + + 的值（ ）
a b c
A．是正数 B．是零
C．是负数 D．正、负不能确定
【答案】C
【分析】根据abc＝6，可以将所求式子化简，然后再根据a+b+c＝0，可以得到bc+ac+ab的正负情况，
从而可以判断所求式子的正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵abc＝6，
1 1 1
∴ + +
a b c
bc+ac+ab
=
abc
bc+ac+ab
= ，
6
1
∵bc+ac+ab= [（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，a+b+c＝0，
2
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1
∴bc+ac+ab=− （a2+b2+c2），
2
∵a、b、c均不为0，
∴bc+ac+ab＜0，
bc+ac+ab
∴ ＜0，
6
1 1 1
即 + + 的值是负数，
a b c
故选：C．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
a b 1 1
8．已知a、b为实数且满足a≠﹣1，b≠﹣1，设M= + ，N= + ，则下列两个结论（
a+1 b+1 a+1 b+1
）
①ab＝1时，M＝N，ab＞1时，M＞N；ab＜1时，M＜N．②若a+b＝0，则M•N≤0．
A．①②都对 B．①对②错 C．①错②对 D．①②都错
【答案】C
【分析】①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论；
②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
a b 1 1
【解答】解：∵M= + ，N= + ，
a+1 b+1 a+1 b+1
a b 1 1
∴M﹣N= + −（ + ），
a+1 b+1 a+1 b+1
a−1 b−1
= + ，
a+1 b+1
(a−1)(b+1)+(b−1)(a+1)
= ，
(a+1)(b+1)
2ab−2
=
，
(a+1)(b+1)
①当ab＝1时，M﹣N＝0，
∴M＝N，
当ab＞1时，
∴2ab＞2，
∴2ab﹣2＞0，
当a＜0时，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
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∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，
∴M＞N或M＜N；
当ab＜1时，ab可能同号，也可能异号，
∴（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，
∵2ab﹣a＜0，
∴M＞N或M＜N；
∴①不正确；
a b 1 1
②M•N＝（ + ）•（ + ）
a+1 b+1 a+1 b+1
a a+b b
= + +
，
(a+1) 2 (a+1)(b+1) (b+1) 2
∵a+b＝0
a b
= +
∴原式
(a+1) 2 (b+1) 2
a(b+1) 2+b(a+1) 2
=
(a+1) 2 (b+1) 2
4ab
=
(a+1) 2 (b+1) 2
∵a≠﹣1，b≠﹣1，∴（a+1）2（b+1）2＞0，
∵a+b＝0
∴ab≤0，M•N≤0．
∴②对．
故选：C．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
2
9．分式− 可变形为（ ）
x−2
2 2 2 2
A． B． C．− D．
2+x 2−x x+2 x−2
【答案】B
【分析】利用分式的基本性质即可求得答案．
2 −2 2
【解答】解：− = = ，
x−2 x−2 2−x
故选：B．
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【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
a−2b
10．如果把分式 中的a和b都扩大5倍，那么分式的值（ ）
2a+b
1
A．扩大5倍 B．缩小为原来的
5
C．扩大10倍 D．不变
【答案】D
【分析】利用分式的基本性质将原式中的a和b都扩大5倍后再约分即可．
a−2b 5(a−2b) a−2b
【解答】解：把分式 中的a和b都扩大5倍得 = ，
2a+b 5(2a+b) 2a+b
则分式的值不变，
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
1 1
11．已知两个分式 ， (a≠0且a≠1），将这两个分式进行如下运算：
a a−1
1 1 1 1
第一次运算：M = + ，N = − ；第二次运算：M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；第三次运算：
1 a a−1 1 a a−1 2 1 1 2 1 1
M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ；继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①M ＝﹣2M ；②N •N ＝
3 2 2 3 2 2 3 1 2 8
10
N •N ；③M = ；④M •N + ＝2M •N （n为正整数）．以上结论正确的个数有（ ）
4 6 10 a n+2 n 2 n n
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】通过计算前几次运算结果，发现规律，逐一验证各结论的正确性．
1 1 2a−1 1 1 a−1−a 1
【解答】解：∵M = + = ，N = − = =− ，
1 a a−1 a(a−1) 1 a a−1 a(a−1) a(a−1)
1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
M ＝M +N = + + − = ，N ＝M ﹣N = + − + = ，
2 1 1 a a−1 a a−1 a 2 1 1 a a−1 a a−1 a−1
2 2 2(2a−1) 2 2 −2
M ＝M +N = + = =2M ，N ＝M ﹣N = − = 2N ，
3 2 2 a a−1 a(a−1) 1 3 2 2 a a−1 a(a−1) 1
故①错误；
4 8 16
同理可求出N = ，N = ，N = ，
4 a−1 6 a−1 8 a−1
32 32
= =
∴N •N ，N •N ，
2 8 (a−1) 2 4 6 (a−1) 2
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∴N •N ＝N •N ，故②正确；
2 8 4 6
32
通过递推得N = ，故③错误；
10 a
由递推关系M ＝2M ，N ＝2N ，得M •N ＝4M •N ，与题目中的2M •N 不符，故④错误．
n+2 n n+2 n n+2 n+2 n n n n
综上，仅结论②正确，正确个数为1个，
故选：A．
【点评】本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算．
3x+3 y−xy
12．若x+y＝2xy，则分式 的值为（ ）
xy
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】将原式变形后代入已知条件计算并约分即可．
【解答】解：若x+y＝2xy，
3(x+ y)−xy
原式=
xy
3×2xy−xy
=
xy
5xy
=
xy
＝5，
故选：D．
【点评】本题考查分式的值，将原式进行正确地变形是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
x y 1 1
13．已知实数x，y，a满足x+a2＝2025，y+a2＝2026，且xy＝4，则代数式 + − + 的值是 2
y x x y
．
【答案】2．
x+1 y−1
【分析】先消去a得到y＝x+1，再进行同分母的加法运算得到原式= + ，接着把y＝x+1代
y x
入，然后化简分式即可．
【解答】解：∵x+a2＝2025，y+a2＝2026，
∴x﹣y＝﹣1，
即y＝x+1，
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x+1 y−1
原式= +
y x
x+1 x+1−1
= +
x+1 x
＝1+1
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据
题目的具体条件选择合适的方法．
2 3 2y−3x−xy 2
14．已知 − =5，则 = − ．
x y 5xy−6 y+9x 5
2
【答案】− ．
5
【分析】先利用异分母分式的加减求得，再代入求值．
【解答】解：根据分式方程整理可得2y﹣3x＝5xy，
2y−3x−xy
=
∴原式
5xy−3(2y−3x)
5xy−xy
=
5xy−15xy
4 2
= =− ，
−10 5
2
故答案为：− ．
5
【点评】本题考查了异分母分式的加减，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握异分母分式的
加减．
2x+1
15．已知分式 ，当x ＝ 2 时，分式没有意义．
x−2
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式没有意义，分母等于0列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，
解得x＝2．
故答案为：＝2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分
母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零． ⇔
⇔ ⇔
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x2 y y
16．计算： ÷(− )⋅( ) 2= ﹣ x ．
y x x
【答案】﹣x．
【分析】先将除法转化为乘法，再约分即可得到答案．
x2 −y y 2
【解答】解： ÷ ⋅( )
y x x
x2 −x y2
= ⋅ ⋅
y y x2
＝﹣x．
故答案为：﹣x．
【点评】本题考查分式的乘除运算法则等知识，熟练掌握分式乘除运算法则是解决问题的关键．
xy yz 4 zx 4 xyz
17．已知： =−1， = ， =− ，则 的值为 ﹣ 2 ．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
【答案】﹣2．
x+ y y+z 3 z+x 3
【分析】先利用倒数的定义得到 =−1， = ， =− ，再利用同分母分式的加法运算的
xy yz 4 zx 4
1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1
逆运算得到 + =−1， + = ， + =− ，接着把三个式子相加得 + + =− ，然后把等
x y y z 4 z x 4 x y z 2
式左边通分后利用倒数的定义求解．
xy yz 4 zx 4
【解答】解：∵ =−1， = ， =− ，
x+ y y+z 3 z+x 3
x+ y y+z 3 z+x 3
∴ =−1， = ， =− ，
xy yz 4 zx 4
1 1 1 1 3 1 1 3
∴ + =−1， + = ， + =− ，
x y y z 4 z x 4
1 1 1 1 1 1 3 3
∴ + + + + + =−1+ − =−1，
x y y z z x 4 4
1 1 1 1
∴ + + =− ，
x y z 2
xy+ yz+zx 1
∴ =− ，
xyz 2
xyz
∴ =−2．
xy+ yz+zx
故答案为：﹣2．
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【点评】本题考查了分式的混合运算，灵活运用同分母分式的加法运算的逆运算和倒数的定义是解决
问题的关键．
1 1 3a+2ab−3b
18．已知 − =6，则 = 4 ．
b a a−ab−b
【答案】4．
【分析】先解分式方程得到a﹣b＝6ab，代入所求代数式即可．
【解答】解：由条件可知a﹣b＝6ab，
3a+2ab−3b 3(a−b)+2ab
∴ =
a−ab−b (a−b)−ab
3×6ab+2ab
=
6ab−ab
20ab
=
5ab
＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查分式的化简求值，解分式方程，熟练掌握以上知识点是关键．
a−1 b−2 5−c
19．已知非负实数a，b，c满足 = = ，设S＝a+2b+3c，S的最大值为m，最小值为n，则
2 3 4
n 42
的值为 ．
m 55
42
【答案】 ．
55
a−1 b−2 5−c
【分析】令 = = = k，则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝5﹣4k，求出S＝20﹣4k，根据a、b、c
2 3 4
均为非负实数求出k的范围，从而得出m、n的值，代入计算即可．
a−1 b−2 5−c
【解答】解：令 = = = k，
2 3 4
则a＝2k+1，b＝3k+2，c＝5﹣4k，
∴S＝2k+1+6k+4+15﹣12k
＝﹣4k+20，
∵a、b、c均为非负实数，
{2k+1≥0
∴ 3k+2≥0，
5−4k≥0
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1 4
解得− ≤k≤ ，
2 5
84
∴S的最大值m＝22，最小值n= ，
5
84
则n 5 42，
= =
m 22 55
42
故答案为： ．
55
【点评】本题主要考查分式的值，解题的关键是利用设k法表示出S，并求出k的范围．
2
20．若分式 的值为整数，则非负整数x的值为 0 或 2 或 3 ．
x−1
【答案】0或2或3．
2
【分析】由分式 的值为整数，可得x﹣1可以为﹣2、﹣1、1、2，据此可以得到答案．
x−1
【解答】解：由条件可得x﹣1可以为﹣2、﹣1、1、2，
∴x可以为﹣1、0、2、3，
∴非负整数x的值为0或2或3．
故答案为：0或2或3．
【点评】本题考查分式的求值问题，要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，
抓住关键的字眼是解题的关键．
21．轮船在静水中的速度是a千米/小时，水流速度是b千米/小时（a＞b），轮船在逆流中航行s千米所
s
需要的时间是 小时．
a−b
s
【答案】 ．
a−b
【分析】由逆流时间＝逆流路程÷逆流速度，而逆流速度＝静水速度﹣水流速度列式即可．
s
【解答】解：依题意得：s÷（a﹣b）= （小时）．
a−b
s
故答案为： ．
a−b
【点评】本题主要考查了列代数式（分式），解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所
求的量的等量关系，本题需注意逆流速度的等量关系．
ab−a 1
22．已知b＝ab﹣2a，且a≠﹣b，则 的值为 ．
3a+3b 3
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1
【答案】 ．
3
【分析】根据b＝ab﹣2a可得a+b＝ab﹣a，再代入计算即可．
【解答】解：由条件可知a+b＝ab﹣a，
ab−a
=
∴原式
3(a+b)
ab−a
=
3(ab−a)
1
= ．
3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查的是求解分式的值，熟练掌握该知识点是关键．
23．直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中c为斜边，h为斜边上的高，有以下表述：
（1）以a2，b2，c2的长为边，能构成三角形；
（2）以√a，√b，√c的长为边，能构成三角形；
（3）以（c+h），（a+b），h的长为边，能构成直角三角形；
1 1 1
（4）等式 + = 成立．
a2 b2 h2
其中正确的表述序号为 （ 2 ）（ 3 ） ．
【答案】（2）（3）．
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可．
【解答】解：∵a、b、c是直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，
∴a2+b2＝c2，
（1）∵a2+b2＝c2，不符合三角形的两边之和大于第三边；
∴a2、b2、c2不能组成三角形，故错误；
（2）(√a+√b) 2=a+b+2√ab，(√c) 2=c，
∵a、b、c能组成三角形，
∴a+b＞c，
∴(√a+√b) 2 ＞(√c) 2 ，
∴√a+√b＞√c，
∴√a，√b，√c能组成三角形（这里明显√c是最长边）；
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∴√a，√b，√c能组成三角形，故正确；
（3）∵（c+h）2﹣h2＝c2+2ch，ch＝ab（直角三角形面积＝两直角边乘积的一半＝斜边和斜边上的高
乘积的一半），
∴2ch＝2ab，
∴c2+2ch＝c2+2ab，
∵a2+b2＝c2，
∴c2+2ch＝a2+b2+2ab，
∴（c+h）2﹣h2＝（a+b）2，
∴h2+（a+b）2＝（c+h）2，
∴c+h、a+b、h能组成直角三角形；
∴正确；
1 1 a2+b2 c2 1
（4）∵ + = = = ，
a2 b2 a2b2 c2h2 h2
1 1 1
∴ 、 、 不能构成三角形，更不能构成直角三角形，④错误．
a2 b2 h2
∴说法正确的有（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理、面积法在直角三角形中的应用、三角形的三边关系等知
识点，熟练运用勾股定理的逆定理进行计算是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
x−3 7
24．先化简 ÷(x+4+ )，再从﹣4，3，4中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
x2−4x x−4
1 1
【答案】 ； ．
x(x+3) 4
【分析】先计算括号里面的分式加法，再把分式除法转化成分式的乘法，然后约分计算，最后根据分
式有意义的条件选出合适的值代入求解即可．
x−3 (x−4)(x+4) 7
【解答】解：原式= ÷[ + ]
x(x−4) x−4 x−4
x−3 x2−9
= ÷
x(x−4) x−4
x−3 x−4
= ×
x(x−4) (x−3)(x+3)
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1
=
，
x(x+3)
当x＝4或x＝﹣3或x＝3时，分式无意义，
故当x＝﹣4时，
1 1
= =
则原式 ．
−4×(−4+3) 4
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
x2+4xy+4 y2
25．已知x+2y﹣1＝0，求代数式 的值．
2x+4 y
1
【答案】 ．
2
【分析】将要求的分式的分子、分母分解因式，再约分，最后代入求值即可．
【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，
∴x+2y＝1，
x2+4xy+4 y2 (x+2y) 2 x+2y 1
∴ = = = ．
2x+4 y 2(x+2y) 2 2
【点评】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键．
1 a2−1
26．先化简，再求值：(1− )⋅ ，从﹣1，0，1中选择一个你喜欢的数代入求值．
a+1 a
【答案】a﹣1，0．
【分析】先通分算括号内的，再分解因式约分，化简后将有意义的a的值代入计算即可．
1 a2−1
【解答】解：(1− )⋅
a+1 a
a+1−1 (a+1)(a−1)
= •
a+1 a
a (a+1)(a−1)
= •
a+1 a
＝a﹣1，
当a＝0，a＝﹣1时，原式无意义，
当a＝1时，原式＝1﹣1＝0．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质．
1 x−2
27．先化简，再求值：(1− )÷ ，其中x＝3．
x−1 x2−1
【答案】见试题解答内容
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
x−1−1 (x+1)(x−1)
【解答】解：原式= ⋅
x−1 x−2
＝x+1，
当x＝3时，原式＝3+1＝4．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4x2−1 2x
28．计算： ⋅ ．
4x2+4x+1 2x−1
2x
【答案】 ．
2x+1
【分析】先把分式的分子、分母分解因式，再约分即可．
4x2−1 2x
【解答】解： ⋅
4x2+4x+1 2x−1
(2x+1)(2x−1) 2x
= ⋅
(2x+1) 2 2x−1
2x
= ．
2x+1
【点评】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
x x−1 x2
29．先化简：( − )÷ ，再从﹣2，﹣1，0，1，2中选择一个合适的数，作为x的值代入
x−1 x+1 x2−1
求值．
3x−1 5 7
【答案】 ，当x＝2时，则原式= ；当x＝﹣2时，则原式=− ．
x2 4 4
【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件
确定x的值并代值计算即可得到答案．
x(x+1) (x−1) 2 x2
【解答】解：原式=[ − ]÷
x2−1 x2−1 x2−1
x2+x x2−2x+1 x2
=( − )÷
x2−1 x2−1 x2−1
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3x−1 x2−1
= ⋅
x2−1 x2
3x−1
=
，
x2
∵分式要有有意义，
{ x≠0
∴ ，
x2−1≠0
∴x≠0且x≠±1，
3×2−1 5 3×(−2)−1 7 7
当x＝2时，则原式= = ；当x＝﹣2时，则原式= =− =− ．
22 4 (−2) 2 4 4
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键．
1 1 x+1
30．先化简，再求值：（ − ）÷ ，其中x=√2+1．
x−1 x+1 x2+2x+1
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
2 (x+1) 2
【解答】解：原式= •
(x+1)(x−1) x+1
2
= ，
x−1
当x=√2+1时，
原式=√2；
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
24
