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专题 10 方程与不等式综合测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2023·四川眉山·统考中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组¿的解满足x−y=4，则m的
值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】将方程组的两个方程相减，可得到x−y=m+3，代入x−y=4，即可解答．
【详解】解：¿，
①−②得2x−2y=2m+6，
∴x−y=m+3，
代入x−y=4，可得m+3=4，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据解的情况求参数，熟练利用加减法整理代入是解题的关键．
2．（3分）（2023·四川绵阳·统考中考真题）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则nm的值
为（ ）
A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16
【答案】C
【详解】解：∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，
m n
∴− =﹣2+1=-1， =﹣2×1=−2 ，
2 2
∴m=2，n=﹣4 ，
∴nm=（﹣4）2=16．
故选：C．
x m
3．（3分）（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程 +1= 的解为非负数，则m的
x−1 1−x
取值范围是（ ）
A．m≤1且m≠−1B．m≥−1且m≠1
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C．m<1且m≠−1 D．m>−1且m≠1
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以(x−1)，得：x+x−1=−m，
1−m
解得：x= ，
2
1−m
∵x−1≠0，即： ≠1，
2
∴m≠−1，
又∵分式方程的解为非负数，
1−m
∴ ≥0，
2
∴m≤1，
∴m的取值范围是m≤1且m≠−1，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．
4．（3分）（2023·河北保定·校考一模）已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论不正确的是
（ ）
a−c
A．a−b=3(c−b) B． =c−b
2
c−a
C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则b−a>
2
【答案】D
a−c
【分析】通过等式的性质得a−b=3(c−b)和 =c−b可判断A和B正确；由题目条件判断bc，
2
a−c
可判断C正确；结合B和A推出 >0，b−a<0，作差计算可判断D错误．
2
【详解】解：∵a+2b=3c，
∴a+2b−3b=3c−3b，即a−b=3(c−b)，故选项A正确，不符合题意；
∵a+2b=3c，
∴a+2b−(2b+c)=3c−(2b+c)，即a−c=2(c−b)，
a−c
∴ =c−b，故选项B正确，不符合题意；
2
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若a>b，
∵a+2b=3c，
∴a−(a+2b)>b−3c，即−2b>b−3c，
∴−3b>−3c，∴bb，
∴2a>2b，
∵3c=a+2b，
∴2a−3c>2b−(a+2b)，
整理得a>c，
∴a>c>b，故选项C正确，不符合题意；
a−c
由B知 =c−b，
2
∵a>c，
a−c
∴ >0，c−a<0，
2
∴c−b>0，
∴b0，即b−a<0，
∵a+2b=3c，即2b=3c−a，
c−a 2b−2a−c+a 3c−a−2a−c+a
∴b−a− = = =c−a<0，
2 2 2
c−a
∴b−a< ，故选项D错误，符合题意；
2
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，不等式的性质，正确记忆等式的性质、不等式的性质并正确变形做出判
断是解题关键．
5．（3分）（2023·内蒙古·统考中考真题）若实数m，n是一元二次方程x2−2x−3=0的两个根，且m0，符合条件，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，根据题意，列方程，结合选项进行验证是解
题的关键．
10．（3分）（2023·山东·统考中考真题）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述
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星际位置时，需要非常准确的数据．1″的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心
角的度数是1°．1°=60'=3600″．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的
度数就是1″．太阳到地球的平均距离大约为1.5×108千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为
1″的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的
1.5×108 x
两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程 = ，求解即可．
1 4.848
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为1″的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，
得
1.5×108 x
=
1 4.848
解得：x=7.272×108
∴等腰三角形底边长为7.272×108毫米=727.2千米．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换
算．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）若关于x的不等式组¿有三个整数解，则实数a的取值范围
为 ．
【答案】−3≤a<−2
【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于
a的不等式组求得a的范围．
【详解】解：解不等式3(x−1)>x−6，得：x>−1.5，
解不等式8−2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为−1，0、1，
则1≤a+4<2，
解得−3≤a<−2．
故答案为：−3≤a<−2．
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【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．（3分）（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32−2x的解，纵
坐标为a+b的值，其中a，b满足二元一次方程组¿，则点Q关于y轴对称点Q'的坐标为 ．
【答案】(−5,−4)
【分析】先分别解一元一次方程3x+7=32−2x和二元一次方程组¿，求得点Q的坐标，再根据直角坐标
系中点的坐标的规律即可求解．
【详解】解：3x+7=32−2x，
移项合并同类项得，5x=25，
系数化为1得，x=5，
∴点Q的横坐标为5，
∵¿，
由①+2×②得，3b=−12，解得：b=−4，
把b=−4代入①得，2a+4=4，解得：a=0，
∴a+b=0−4=−4，
∴点Q的纵坐标为−4，
∴点Q的坐标为(5,−4)，
∴点Q关于y轴对称点Q'的坐标为(−5,−4)，
故答案为：(−5,−4)．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直
角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q的坐标是解题
的关键．
13．（3分）（2023·辽宁·统考中考真题）若关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根，
则k的取值范围是 ．
【答案】k<9
【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ=b2−4ac>0，建立关于k的不等式，
解不等式即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的方程x2−6x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−6) 2−4k=36−4k>0，
解得k<9．
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故答案为：k<9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与
Δ=b2−4ac的关系：Δ>0 方程有两个不相等的实数根；Δ=0 方程有两个相等的实数根；Δ<0 方程
没有实数根． ⇔ ⇔ ⇔
14．（3分）（2023·湖南怀化·统考中考真题）定义新运算：(a,b)⋅(c,d)=ac+bd，其中a，b，c，d为
实数．例如：(1,2)⋅(3,4)=1×3+2×4=11．如果(2x,3)⋅(3,−1)=3，那么x= ．
【答案】1
【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵(2x,3)⋅(3,−1)=3
∴2x×3+3×(−1)=3
即6x=6
解得：x=1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键．
15．（3分）（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组¿的解集为x<−2，且关于y的分式方程
a+2 y+2
+ =2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
y−1 1−y
【答案】13
【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得a≤5，再解分式方程可得a>−2且a≠1，
从而可得−20且 −1≠0，
3 3
解得a>−2且a≠1，
∴−22
(2)k=3
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出b2−4ac>0，把字母和数代入求出k的取值
范围；
c
（2）根据两根之积为： ，把字母和数代入求出k的值．
a
【详解】（1）解：b2−4ac=22−4×1×(3−k)=−8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴−8+4k>0，
解得：k>2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
c
∴αβ= =3−k，
a
∴k2=3−k+3k，
解得：k =3，k =−1（舍去）．
1 2
即：k=3．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x ，x 是方程ax2+bx+c=0的
1 2
b c
两根时，x +x =− ，x ⋅x = ．
1 2 a 1 2 a
21．（8分）（2023·浙江杭州·校考一模）已知关于x，y的方程组¿与¿的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三
角形的形状，并说明理由．
【答案】（1）−4√3；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）关于x，y的方程组¿与¿的解相同．实际就是方程组
¿的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；
（2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2√6为边长，
判断三角形的形状．
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【详解】解：由题意列方程组：
¿解得¿
将x=3，y=1分别代入ax+2√3 y=−10√3和x+by=15
解得a=−4√3，b=12
∴a=−4√3，b=12
（2）x2−4√3x+12=0
4√3±√48−48
解得x= =2√3
2
这个三角形是等腰直角三角形
理由如下：∵(2√3)
2+(2√3) 2=(2√6) 2
∴该三角形是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解
法和勾股定理是得出正确答案的关键．
22．（8分）（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美
全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老
师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动
实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现
有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
甲型客车 乙型客车
载客量/（人/辆） 45 30
租金/（元/辆） 400 280
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
(2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老
师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
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（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要
234+6
保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于 ≈6辆，即可解答；
45
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6−a)辆，列出不等式组，解得4≤a≤5.1，设租车费用为y元，
得出y=120a+1680，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
38x+6=40x−6，
解得：x=6，
∴38x+6=38×6+6=234，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
234+6 16
∴汽车总数不少于 = （辆），则汽车总数最少为6辆，
45 3
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车(6−a)辆，
¿，
解得：4≤a≤5.1，
∵a为整数，
∴a=4或a=5，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
y=400a+280(6−a)=120a+1680，
∵120>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=4时，y最小，y=120×4+1680=2160，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，
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解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
23．（8分）（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，已知直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，
OA，OB(OA>OB)的长是一元二次方程x2−6x+8=0的两个根，设点E的坐标为(−2,t)，△ABE的面
积为S．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)若点E在直线AB的上方，S=2S ，N是x轴上一点，M是直线AB上一点，是否存在点N，使
△AOB
△EMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【答案】(1)直线AB的解析式为y= x+2
2
(2)S=¿
(5 )
(3)N(−3，0)或N ，0
3
【分析】（1）先解一元二次方程求出OA=4，OB=2，进而得到A、B的坐标，然后利用待定系数法求出
对应的函数解析式即可；
（2）连接OE，分图2-1、图2-2、图2-3三种情况，利用图形面积之间的关系进行求解即可；
( 1 )
（3）先求出△AOB的面积，进而根据（2）所求求出t的值，进而得到E(−2，5)；设M m， m+2 ，
2
如图3-1所示，当点M在点E右侧时，过点M作FH∥y轴，分别过点E、N作EH⊥FH，NF⊥FH，
1
垂足分别为H、F，证明△HEM≌△FMN，得到FM=EH，FN=MH，则m−(−2)= m+2，解方程
2
即可得到答案；同理求出点M在点E左侧时点N的坐标即可 ．
【详解】（1）解：解方程x2−6x+8=0，得x =2，x =4．
1 2
∵OA，OB(OA>OB)的长是一元二次方程x2−6x+8=0的两个根，
∴OA=4，OB=2，
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∴A(−4，0)，B(0，2)，
设直线AB的解析式为y=kx+b．
把A(−4，0)，B(0，2)，代入y=kx+b，得¿，
∴¿，
1
∴直线AB的解析式为y= x+2；
2
（2）解：如图所示，连接OE．
1 1 1
在y= x+2，当x=−2时，y= x+2= ×(−2)+2=1；
2 2 2
如图2-1所示，当点E在AB下方且在x轴上方，即01时，
∴S=S +S −S
△AOE △OBE △AOB
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1 1 1
= ⋅4t+ ×2×2− ×2×4
2 2 2
=2t−2；
综上所述，S=¿；
1 1
（3）解：∵S = OA⋅OB= ×2×4=4，
△AOB 2 2
∴S=2S =8，
△AOB
∵点E在直线AB的上方，
∴2t−2=8，
∴t=5，
∴E(−2，5)；
( 1 )
设M m， m+2 ，
2
如图3-1所示，当点M在点E右侧时，过点M作FH∥y轴，分别过点E、N作EH⊥FH，NF⊥FH，
垂足分别为H、F，
∴∠EHM=∠BFN=90°，
∵△EMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ME=MN，∠EMN=90°，
∴∠HME+HEM=90°=∠HME+∠FMN，
∴∠HEM=∠FMN，
∴△HEM≌△FMN(AAS)，
∴FM=EH，FN=MH
1
∴m−(−2)= m+2，
2
∴m=0，
(1 )
∴FN=MH=5− m+2 =3，F(0，0)，
2
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∴N(−3，0)；
如图3-2所示，当点M在点E左侧时，过点M作FH∥y轴，分别过点E、N作EH⊥FH，NF⊥FH，
垂足分别为H、F，
同理可证△HEM≌△FMN(AAS)，
∴FM=EH，FN=MH，
1
∴−2−m= m+2，
2
8
∴m=− ，
3
(1 ) 13 ( 8 )
∴FN=MH=5− m+2 = ，F − ，0
2 3 3
(5 )
∴N ，0 ；
3
(5 )
综上所述，N(−3，0)或N ，0
3
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程等等，正确作
出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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