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模块一 数与代数基础
第 01 讲 数与式、方程与不等式
（思维导图+2考点+7种题型12种考向（含10种解题技巧）+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 数与代数式
►题型01 实数的相关概念
►题型02 实数的运算
►题型03 因式分解
►题型04 整式/分式的化简求值
考向一 直接代入求值
考向二 非负性求值
考向三 选值求值
考向四 整体代入求值
考点二 方程与不等式
►题型01 解方程/不等式组
►题型02 一元二次方程根与系数的关系
考向一 判断根的情况
考向二 运用根的判别式求参
考向三 利用根与系数的关系求解
考向四 利用根与系数的关系求参
考向五 结合根的定义求值
►题型03含参问题
考向一 分式方程含参问题
考向二 不等式组含参问题
考向三 不等式与方程综合
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
1）立足基础，夯实概念理解.数与式的考查将一如既往地重视基础概念的理解和应用。
实数、有理数、无理数的分类，相反数、倒数、绝对值的意义，以及平方根、算术平方
根、立方根的区别等基本概念将是选择题和填空题的常见考点。
2）注重运算能力，强化计算准确性.考生需要熟练掌握各种运算律，确保在复杂的运算
中能够准确无误地得出结果。特别是在分式运算中，注意运算法则和符号的变化，以及
分母不能为零的限制条件将是考查的重点。
3）代数式的应用与规律探索.考生需要能够根据具体问题中的数量关系正确地列出代数
式，并通过代入法或整体代入法求代数式的值。此外，规律探索题，如数字序列的规
律、图形的规律等，将考查考生的观察力和逻辑推理能力。
4）融入实际情境，提升问题解决能力.数与式的试题可能会结合现实生活中的具体问
题，如经济、环保、科技等背景，要求考生运用所学知识进行分析和解决。这不仅考查
数与式 了学生对数与式基础知识的掌握，还考查了他们的阅读理解能力、数据分析能力和问题
解决能力。
5）跨学科融合，考查综合素养.随着教育改革的深入，中考数学试题将更加注重跨学科
知识的融合。数与式的试题可能会与其他学科知识相结合，如物理中的速度与时间关
系，化学中的溶液浓度计算等。这种跨学科的命题方式不仅考查了学生的数学知识，还
考查了他们的综合素养和知识迁移能力。
6）科学记数法与有效数字的考查.科学记数法作为表示大数和小数的重要方法，将继续
成为数与式部分的考查内容。
中考中，数与式的相关题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现;
但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在
复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形
中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。
1）一元二次方程：一元二次方程的解法是历年中考的热点，特别是根的判别式和韦达
定理的应用。考生需熟练掌握求根公式及解法的多样性，如因式分解法、配方法等。
2）不等式与不等式组：不等式性质的运用、解不等式（组）及不等式组的整数解问题
将是重点。考生需注意不等式两边同时乘除负数时，不等号方向的改变。
3）分式方程：分式方程的解法及检验是常见考点。考生需牢记去分母后对方程解的检
方程与不等式
验，以避免增根的出现。
方程与不等式题型通常包括选择题、填空题和解答题。选择题和填空题侧重基础知
识和计算能力的考查，而解答题则注重解题过程和思维能力的展现。预计2025年中考
将继续保持这一题型分布，选择题和填空题将占据较大比重，解答题则会涉及较复杂的
方程和不等式组求解。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 数与代数式
►题型01 实数的相关概念
1．（2024·山东淄博·中考真题）下列运算结果是正数的是（ ）
A．3−1 B．−32 C．−|−3| D．−√3
【答案】A
【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌
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握运算法则是解题的关键．
根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可．
1
【详解】解：A、3−1=
是正数，符合题意；
3
B、−32=−9是负数，不符合题意；
C、−|−3|=−3是负数，不符合题意；
D、−√3是负数，不符合题意；
故选：A．
2．（2024·黑龙江大庆·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
1
A．|−2024|和−2024 B．2024和
2024
1
C．|−2024|和2024 D．−2024和
2024
【答案】A
【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、|−2024|=2024和−2024互为相反数，故A选项符合题意；
1
B、2024和 互为倒数，故B选项不符合题意；
2024
C、|−2024|=2024和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
1
D、−2024和 不互为相反数，故D选项不符合题意；
2024
故选：A．
3．（2024·宁夏·中考真题）地球上水（包括大气水，地表水和地下水）的总体积约为14.2亿km3．请将数
据1420000000用科学记数法表示为 ．
【答案】1.42×109
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成a×10n的形式，其
中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据
此解答即可．
【详解】解：1420000000=1.42×109，
故答案为：1.42×109．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字
0.00000156用科学记数法表示为（ ）
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A．1.56×10−3 B．0.156×10−3 C．1.56×10−6 D．15.6×10−7
【答案】C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．
【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为1.56×10−6，
故选：C．
5．（2024·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b>−1 B．|b|>2 C．a+b>0 D．ab>0
【答案】C
【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得−2<b<−1，2<a<3，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可．
【详解】解：A、由数轴可知−2<b<−1，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知−2<b<−1，由绝对值的意义知1<|b|<2，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知2<a<3，而−2<b<−1，则|a|>|b|，故a+b>0，故本选项符合题意；
D、由数轴可知2<a<3，而−2<b<−1，因此ab<0，故本选项不符合题意．
故选：C．
1
6．（2024·山东日照·中考真题）实数− ,0,√5,1.732中无理数是（ ）
3
1
A．− B．0 C．√5 D．1.732
3
【答案】C
【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环
小数，③含有π的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
1
【详解】解：− ,0,1.732都是有理数，√5是无理数．
3
故选：C
实数内的基本概念包括：数轴、相反数、绝对值、倒数、有理数、无理数、科学记数法；
做这种概念类题目时记牢以下5点：
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①熟悉各概念的基本定义，特别注意各概念中0的特殊存在；
②必须读对题意，问的是什么就想对应的考点；
③如果是选择题，确保4个选项都要全看完，再说选哪个选项；
④解决数轴、绝对值相关的问题，注意需不需要分类讨论；
⑤用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇
到的一些很大或很小的数.
►题型02 实数的运算
| 1|
1．（2024·广东·中考真题）计算：20× − +√4−3−1 ．
3
【答案】2
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术
平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可．
| 1|
【详解】解：20× − +√4−3−1
3
1 1
=1× +2−
3 3
1 1
= +2−
3 3
=2．
2．（2024·湖北·中考真题）计算：(−1)×3+√9+22−20240
【答案】3
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可．
【详解】解：(−1)×3+√9+22−20240
=−3+3+4−1
=3．
3．（2024·四川泸州·中考真题）计算：|−√3|+(π−2024) 0−2sin60°+
(1) −1
．
2
【答案】3
【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的
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加减运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．
√3
【详解】解：原式=√3+1−2× +2，
2
=√3−√3+3，
=3．
4．（2024·四川广元·中考真题）计算：(2024−π) 0+|√3−2|+tan60°−
(1) −2
．
2
【答案】−1
【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则
是解题的关键．
【详解】解：原式=1+2−√3+√3−4=3−4=−1．
实数的运算是实数内各种概念法则运算的结合，一般以填空题，解答题为主.
实数的运算需要我们注意的三个方面：
1）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
2）实数计算的易错点：
①负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
②一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
3） ，
4）计算中常用的锐角三角函数值：
三角函数 30° 45° 60°
1 √2 √3
sin α
2 2 2
√3 √2 1
cos α
2 2 2
√3
tan α 1 √3
3
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►题型03 因式分解
1．（2024·四川眉山·中考真题）分解因式：3a3−12a= ．
【答案】3a(a+2)(a−2)
【分析】本题主要考查了因式分解中的提取公因式法和公式法的综合运用．先提取公因式3a，然后利用平
方差公式继续分解因式即可．
【详解】解：3a3−12a
=3a(a2−4)
=3a(a+2)(a−2)，
故答案为：3a(a+2)(a−2)．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn2的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．
【详解】解：∵mn=2，m−n=1，
∴ m2n−mn2=mn(m−n)=2×1=2，
故答案为：2．
3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是
．
【答案】±12
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的
结构特征判断即可确定出m的值．
【详解】解：∵多项式4x2−mxy+9 y2能用完全平方公式因式分解，
∴ 4x2−mxy+9 y2=(2x) 2−mxy+(3 y) 2=(2x±3 y) 2，
∴m=±2×(2×3)=±12，
故答案为：±12．
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►题型04 整式/分式的化简求值
考向一 直接代入求值
( 1 ) a2−1
1．（2024·宁夏·中考真题）先化简，再求值： 1− ⋅ ，其中a=1−√2．
a+1 a
【答案】a−1，−√2
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先将先括号内通分，去括号，除式分子分解因式，再约分化简，继而将a的值代入计算可得．
( 1 ) a2−1 a (a+1)(a−1)
【详解】解： 1− ⋅ = ⋅ =a−1，
a+1 a a+1 a
当a=1−√2时，
原式=1−√2−1=−√2．
( x 1 ) x−1
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式 − ÷ 的值，其中
x2+2x+1 2x+2 4x+4
x=2cos45°−1．
2
【答案】 ，√2
x+1
√2
【分析】先根据分式混合运算法则代简，再将x=2cos45°−1=2× −1=√2−1代入代简式计算即可．
2
( x 1 ) x−1
【详解】解： − ÷
x2+2x+1 2x+2 4x+4
[ x 1 ] x−1
= − ÷
(x+1) 2 2(x+1) 4x+4
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[ 2x x+1 ] x−1
= − ÷
2(x+1) 2 2(x+1) 2 4x+4
x−1 4(x+1)
= ⋅
2(x+1) 2 x−1
2
= ，
x+1
√2
当x=2cos45°−1=2× −1=√2−1时，
2
2 2
原式= = =√2．
√2−1+1 √2
【点睛】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则是解题
的关键．
考向二 非负性求值
a2+4ab+4b2 a+2b
1．（2024·四川广元·三模）先化简， 再求值1− ÷ ，其中a、b满足
a2−ab a−b
(a−√2) 2+ √ b+ 1 =0．
2
2b √2
【答案】− ，
a 2
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算分式的除法运算，再计算分式的减法运算，
1
再利用非负数的性质求解a=√2，b=− ，再代入计算即可．
2
a2+4ab+4b2 a+2b
【详解】解：1− ÷
a2−ab a−b
(a+2b) 2 a−b
=1− ⋅
a(a−b) a+2b
a a+2b
= −
a a
2b
=− ，
a
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∵(a−√2) 2+ √ b+ 1 =0，
2
1
∴a−√2=0，b+ =0，
2
1
解得：a=√2，b=− ，
2
( 1)
2× −
∴原式 2 1 √2．
=− = =
√2 √2 2
2．（2024·福建龙岩·二模）先化简，再求值：[(2m−n) 2+(2m+n)(2m−n)]÷4m，其中m，n满足
|m+1|+(n−2) 2=0．
【答案】2m−n，−4
【分析】题目主要考查整式的混合运算及绝对值和平方的非负性，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解
题关键．
先计算完全平方公式及平方差公式，然后计算加减法，最后计算除法即可，再代入求值即可得出结果．
【详解】解：原式=(4m2−4mn+n2+4m2−n2)÷4m
=(8m2−4mn)÷4m
=2m−n．
由|m+1|+(n−2) 2=0，得m=−1，n=2
当m=−1，n=2时，
原式=2×(−1)−2=−2−2=−4．
考向三 选值求值
( x x ) x2+x
1．（2024·四川达州·中考真题）先化简： − ÷ ，再从−2，−1，0，1，2之中选择一个
x−2 x+2 x2−4
合适的数作为x的值代入求值．
4
【答案】 ，当x=1时，原式=2．
x+1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接
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着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
( x x ) x2+x
【详解】解： − ÷
x−2 x+2 x2−4
x(x+2)−x(x−2) x(x+1)
= ÷
(x−2)(x+2) (x−2)(x+2)
x2+2x−x2+2x (x−2)(x+2)
= ⋅
(x−2)(x+2) x(x+1)
4x (x−2)(x+2)
= ⋅
(x−2)(x+2) x(x+1)
4
= ，
x+1
∵分式要有意义，
∴¿，
∴x≠±2且x≠0且x≠−1，
4
∴当x=1时，原式= =2．
1+1
a2−b2 1−a−b
2．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式： + ，并求值（请从小宇和小丽的对话中
a2−2ab+b2 a−b
确定a，b的值）
1 1
【答案】 ；−
a−b 5
【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得a，b的值，将原分式化简后代入数值计
算即可．
【详解】解：依题意，a=−3，1<b<√5且b为整数，又2<√5<3，则b=2，
a2−b2 1−a−b
+
a2−2ab+b2 a−b
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(a+b)(a−b) 1−a−b
= +
(a−b) 2 a−b
a+b 1−a−b
= +
a−b a−b
1
= ；
a−b
1 1
当a=−3，b=2时，原式= =− ．
−3−2 5
a2−1 ( 1 ) a−1
3．（2024·山东德州·一模）先化简，再求值： ÷ a+ ，其中a是使不等式 ≤1成立的正整
a−2 a−2 2
数．
a+1
【答案】 ，2．
a−1
【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意先化简分式，再解出不等式的值代入即可．
(a+1)(a−1) a2−2a+1
【详解】解：原式= ÷
a−2 a−2
(a+1)(a−1) (a−1) 2
= ÷
a−2 a−2
(a+1)(a−1) a−2
= ⋅
a−2 (a−1) 2
a+1
=
a−1
a−1
解不等式 ≤1得a≤3
2
∵a≠1，a≠2，∴a=3
3+1
当a=3时，原式= =2．
3−1
考向四 整体代入求值
( 3x ) x−2
1．（2024·福建莆田·模拟预测）先化简再求值： x− ÷ ，其中x满足x2+x−2004=0．
x+1 x2+2x+1
【答案】x2+x，2004
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【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最
后代值计算即可．
( 3x ) x−2
【详解】解： x− ÷
x+1 x2+2x+1
x(x+1)−3x x−2
= ÷
x+1 (x+1) 2
x2+x−3x (x+1) 2
= ⋅
x+1 x−2
x2−2x (x+1) 2
= ⋅
x+1 x−2
x(x−2) (x+1) 2
= ⋅
x+1 x−2
=x(x+1)
=x2+x，
∵x2+x−2004=0，
∴x2+x=2004，
∴原式=2004．
a−4 ( a+2 a−1 )
2．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值： ÷ − ，其中a满足
a a2−2a a2−4a+4
a2−
(1) −1
⋅a+6cos60°=0．
4
【答案】a2−4a+4；1
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数
指数幂，特殊角的三角函数值，求得a2−4a+3=0的值，最后将a2−4a+3=0代入化简结果即可求解．
a−4 ( a+2 a−1 )
【详解】解： ÷ −
a a2−2a a2−4a+4
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a−4 [(a+2)(a−2) a(a−1) ]
= ÷ −
a a(a−2) 2 a(a−2) 2
a−4 (a+2)(a−2)−a(a−1)
= ÷
a a(a−2) 2
a−4 a(a−2) 2
= ×
a a2−4−a2+a
=(a−2) 2
=a2−4a+4；
∵a2−
(1) −1
⋅a+6cos60°=0，
4
即a2−4a+3=0，
∴原式=a2−4a+3+1=0+1=1．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角
函数值进行求解．
想要完全拿下这部分分数，首先需要我们完全熟悉整式中的所有计算公式，特别是完全平方公式与平
方差公式，变形也得掌握；其次要掌握整式的混合运算的顺序；最后，整式的化简求值，必须先化简，再
带入数据求值。
1. 常见必会计算公式：1) 2） 3)
4) 5) 6 ） 7 ）
2. 平方差公式的常见变形：
1）系数变化：
2）连用公式：
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3）数学变化：
3. 完全平方公式的常见变形：
① ②
③ ④
⑤
3、其他技巧：整式的化简计算，其实就是去括号法则与合并同类项法则的联合应用，所以两个法则的注
意事项也是整式化简的注意事项。
实数运算的“两个关键”：
1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号
里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
实数的非负性及性质：
1）非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即√a≥0.
2）非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
1．（2025兰州市模拟预测）2025的相反数是（ ）
1 1
A．−2025 B．2025 C． D．−
2025 2025
【答案】A
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：2025的相反数是−2025，
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故选：A．
2．（2024毕节市模拟）√16的算术平方根是（ ）
A．2 B．4 C．±4 D．±2
【答案】A
【分析】此题考查了算术平方根，先求出√16=4，再求出4的算术平方根是即可.
【详解】解：√16=4，
∴4的算术平方根是2，
即√16的算术平方根是2，
故选：A
3．（2024·山东临沂·模拟预测）正整数a、b分别满足√353<a<√3 98，√2<b<√7，则ab÷ba=（ ）
1
A．1 B．2 C． D．4
2
【答案】A
【分析】本题考查了开平方和开立方，以及代数式求值，根据正整数a、b分别满足√353<a<√3 98，
√2<b<√7，可求得a、b的值，代入到ab÷ba求解即可．
【详解】∵正整数a、b分别满足√353<a<√3 98，√2<b<√7，
√353<√364<√3 98，√2<√4<√7
∴a=4，b=2．
∴ab=42=16，ba=24=16．
∴ab÷ba=1，
故选：A．
1 1
4．（2024·河北邯郸·二模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足b<a， < ，则b的值
a b
可以是（ ）
A．−2 B．−1 C．−0.5 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，不等式的性质，解题的关键是根据数轴确定点的取值
范围．
根据数轴得出a的取值范围，再根据倒数的定义得出b的取值范围，进而得出b的值．
【详解】解：由数轴可知，1<a<2，
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1 1
∴ < <1，
2 a
1 1
∵ < ，
a b
∴b>0，
即0<b<a<2，
由此可知，满足条件的b的值可以是1，
故选：D．
5．（2024·山西·模拟预测）自山西省惠民惠农财政补贴资金“一卡通”管理平台上线以来，已发放惠民惠
农财政补贴资金61366.53万元，惠及全省1695847人次．数据61366.53万元用科学记数法表示为（ ）
A．6.136653×109元 B．6.136653×108元
C．0.6136653×109元 D．61.36653×107元
【答案】B
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，
小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当
原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：61366.53万=613665300=6.136653×108，
故选：B．
6．（2024·湖南·模拟预测）如图，一个网红“打卡”景点把Wifi密码在广告牌上做成了一道趣味数学题．
如果是你去这个景点“打卡”，想要连接上这个Wifi，你会输入的密码是 ．
【答案】15502430
【分析】根据式子，确定算式中的计算规律，解答即可．
本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得最左边的两位数为#前后两个数的积，其相邻的两位数为左右两个数的和乘以
中间数，最后的四位数为最左边数为底数，中间数为指数的幂乘以10，
∵3×5=15，(3+7)×5=50，35×10=2430，
∴3#5∗7=15502430，
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故答案为：15502430．
7．（2024·广东·模拟预测）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领
√5−1
域．黄金分割点比例计算公式为 ，其中 √5−1介于整数n和n+1之间，则n的值是 ．
2
【答案】1
【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得√4<√5<√9，即得2<√5<3，进而得1<√5−1<2，
据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：∵√4<√5<√9，
∴2<√5<3，
∴1<√5−1<2，
∴n=1，
故答案为：1．
8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，三个电阻串联起来， 串联电路电压U=I R +I R +I R ，若线路
1 2 3
AB的电流I=2.5A， 三个电阻阻值分别为12.9Ω，23.8Ω，9.3Ω， 则电压为 V．
【答案】115
【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为12.9Ω，23.8Ω，9.3Ω，I=2.5A代入
U=I R +I R +I R 中即可求值．
1 2 3
【详解】∵三个电阻阻值分别为12.9Ω，23.8Ω，9.3Ω，I=2.5A
∴U=I(R +R +R )=2.5×(12.9+23.8+9.3)=2.5×46=115 V，
1 2 3
故答案为：115．
1
25x 251 (1) 252
9．（2024·湖北·模拟预测）已知f (x)= ，f (1)= ，f = ，则
25x+5 251+5 2 1
252+5
( 1 ) ( 2 ) (2024)
f +f +... +f = ．
2025 2025 2025
【答案】1012
2
【分析】本题考查了新定义运算，令a= ，将首尾两项依次组合即可化简求值．
2025
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2 4 4046 4048
( 1 ) ( 2 ) (2024) 52025 52025 52025 52025
【详解】解：f +f +⋯f = + +⋯⋯+ + ，令
2025 2025 2025 2 4 4046 4048
52025+5 52025+5 52025+5 52025+5
2
a= ，
2025
5a 52a 52023a 52024a
原式= + +⋯+ +
5a+5 52a+5 52023a+5 52024a+5
(
5a 52024a
) (
52a 52023a
) (
51011a 51014a
) (
51012a 51013a
)
= + + + +⋯+ + + +
5a+5 52024a+5 52a+5 52023a+5 51011a+5 51014a+5 51012a+5 51013a+5
[5a(52024a+5)+52024a(5a+5)] [52a(52023a+5)+52023a(52a+5)]
= + +⋯+
(5a+5)(52024a+5) (52a+5)(52023a+5)
[51011a(51014a+5)+51014a(51011a+5)] [51012a(51013a+5)+51013a(51012a+5)]
+
(51011a+5)(51014a+5) (51012a+5)(51013a+5)
(52025a+52024a+1+5a+1+52025a
)
(52025a+52023a+1+52a+1+52025a
)
= + +⋯+
52025a+52024a+1+5a+1+52 52025a+52023a+1+52a+1+52
(52025a+51014a+1+51011a+1+52025a
)
(52025a+51013a+1+51012a+1+52025a
)
+
52025a+51014a+1+51011a+1+52 52025a+51013a+1+51012a+1+52
2
∵a= ，
2025
∴2025a=2
(52025a+52024a+1+5a+1+52
)
(52025a+52023a+1+52a+1+52
)
∴原式= + +⋯+
52025a+52024a+1+5a+1+52 52025a+52023a+1+52a+1+52
(52025a+51014a+1+51011a+1+52
)
(52025a+51013a+1+51012a+1+52
)
+
52025a+51014a+1+51011a+1+52 52025a+51013a+1+51012a+1+52
=1+1+⋯+1+1=1012
故答案为：1012
10．（2024·广东清远·模拟预测）已知x>2，代数式A=2x+4，B=x2−4．
(1)因式分解A；
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A
(2)化简分式 ．
B
【答案】(1)A=2(x+2)；
2
(2) ．
x−2
【分析】此题考查了因式分解和分式的化简，熟练掌握提公因式法和分式的基本性质是解题的关键．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）把分子和分母因式分解后约分即可．
【详解】（1）解：A=2(x+2)
A 2x+4
（2） =
B x2−4
2(x+2)
=
(x+2)(x−2)
2
= ．
x−2
11．（2024·湖南·模拟预测）小杰计算2cos60°+(π−2024) 0−|√3−2|过程如下：
解：原式
√3
=2× +0−2−√3=√3−2−√3=−2
2
② ③
①
小杰的计算是否正确？若正确请在框内打“√”，直接做第20题；若错误，请指出错误：______．（从
“①”“②”“③”中选填），并写出你的解答过程．
【答案】错误；①②③都错；√3，正确解答见解析
【分析】本题考查了实数的运算，涉及特殊角的三角函数，零指数幂，熟练掌握实数混合运算法则是关键．
根据实数的混合运算法则运算检验即可．
【详解】解：小杰做的不正确，①②③都错，正确解答如下：
2cos60°+(π−2024) 0−|√3−2|
1
=2× +1−(2−√3)
2
=1+1−2+√3
=√3．
故答案为：①②③．
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考点二 方程与不等式
►题型01 解方程/不等式组
1．（2024·浙江·中考真题）解方程组：¿
【答案】¿
1 1
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用①×3＋②得，10x=5，解得x= ，再把x= 代入①求出
2 2
y=−4即可.
【详解】解：¿
①×3＋②得，10x=5
1
解得x= ，
2
1
把x= 代入①得1−y=5，
2
解得y=−4
∴¿
2．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2−4x+3=0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【答案】（1）x=1或x=3
（2）第三边的长是√10或2√2
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．
（1）用因式分解法解即可；
（2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算
即可．
【详解】解：（1）x2−4x+3=0
(x−1)(x−3)=0
x=1或x=3；
（2）当两条直角边分别为3和1时，
根据勾股定理得，第三边为√32+12=√10；
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当一条直角边为1，斜边为3时，
根据勾股定理得，第三边为√32−12=2√2．
答：第三边的长是√10或2√2．
2 x
3．（2024·陕西·中考真题）解方程： + =1．
x2−1 x−1
【答案】x=−3
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程
的解进行检验即可．
2 x
【详解】解：
+ =1，
x2−1 x−1
去分母得：2+x(x+1)=x2−1，
去括号得：2+x2+x=x2−1，
移项，合并同类项得：x=−3，
检验：把x=−3代入(x+1)(x−1)得：(−3+1)(−3−1)=8≠0，
∴x=−3是原方程的解．
4．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：¿，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】1<x<5，数轴见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根
据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上
即可．
【详解】解：¿，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x<5，
∴不等式组的解集为：1<x<5，
将解集表示在数轴上如图：
．
5．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：¿并求所有整数解的和．
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【答案】−4<x<1，−6
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取
值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论．
【详解】解：¿，
解不等式①得：x<1；
解不等式②得：x>−4，
∴原不等式组的解集−4<x<1，
∴不等式组所有整数解的和为−3−2−1+0=−6．
1) 解一元一次方程的基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）
b
的形式，得出方程的解为x= .
a
2）解二元一次方程组有2种：带入消元法和加减消元法，两种方法都是利用等式的基本性质将二元一次方
程组转化为一元一次方程，所以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。
3）一元二次方程的解法有4种：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。解题过程需注意：
①配方法：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 的形式
②公式法：把方程化为一般形式，确定a、b、c的值，如果 , 将a、b、c的值代入求根公式：
③因式分解法：用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时
除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0.
4）解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③验根
注意事项：
①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.
②分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的
根．
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④解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是
否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
5）解一元一次不等式组的易错点：
①利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分.
②当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变.
③关于x的不等式组 的解集为x=a，关于x的不等式组 无解.
►题型02 一元二次方程根与系数的关系
考向一 判断根的情况
1．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程x2+kx=2（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（
）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根， 一个负根 D．无实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的
c
判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到x x = =−2，进而
1 2 a
得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题．
【详解】解：∵ x2+kx=2，
∴ x2+kx−2=0，
即有b2−4ac=k2+8>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
c
∵x x = =−2，
1 2 a
∴方程两个不相等的实数根异号，
∴方程x2+kx=2有一个正根， 一个负根，
故选：C．
2．（2024·四川广安·模拟预测）对于一元二次方程2x2−3x+4=0，则该方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．两根之和是3
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C．两根之积是−3 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及
根与系数的关系是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程根的判别式进行求解．
【详解】解：由一元二次方程2x2−3x+4=0可知：a=2,b=−3,c=4，
∴Δ=b2−4ac=9−4×2×4=−23<0，
∴原方程无实数根，
所以也就不存在根与系数的关系；
故选A．
一元二次方程根的情况与判别式的关系：
−b±√b2−4ac
1） 方程 有两个不相等的实根:x= ；
2a
b
2） 方程 有两个相等的实根：x =x =− ；
1 2 2a
3） 方程 无实根.
考向二 运用根的判别式求参
1．（2024·江苏南京·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根．则实数k的取值范围是
．
【答案】k≤1
【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握根的判别式，求不等式的解集的方法是解题的关键．
根据Δ>0，方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；Δ<0，方程无实数根；再根
据不等式的性质求解即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有实数根，
∴Δ=(−2) 2−4×1×k≥0，即4−4k≥0，
解得：k≤1，
故答案为：k≤1．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程(m−2)x2+4x+2=0有两个实数根，则m
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的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥4 C．m≥−4且m≠2 D．m≤4且m≠2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式
Δ=b2−4ac的意义得到m−2≠0且Δ≥0，即42−4×(m−2)×2≥0，然后解不等式组即可得到m的取值
范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2+4x+2=0有实数根，
∴m−2≠0且Δ≥0，
即42−4×(m−2)×2≥0，
解得：m≤4，
∴m的取值范围是m≤4且m≠2．
故选：D．
前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）.
1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0;
3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0.
考向三 利用根与系数的关系求解
1 1
1．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程x2+x−2=0的两根分别为x ，x ，则 + 的值为 ．
1 2 x x
1 2
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为
b c
x ，x ，则x +x =− ，x x = ，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
1 2 1 2 a 1 2 a
1 1 x +x
先根据根与系数的关系得到x +x =−1，x x =−2，然后把 + 化简为 1 2 然后整体代入即可．
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
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【详解】解：∵方程x2+x−2=0的两根分别为x ，x ，
1 2
∴x +x =−1，x x =−2，
1 2 1 2
1 1 x +x −1 1
∴ + = 1 2= = ．
x x x x −2 2
1 2 1 2
1
故答案为： ．
2
3．（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程x2−6x−5=0的两根分别为m，n，则m+n−mn的值是
（ ）
A．1 B．11 C．−1 D．−11
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若其两根分
b c
别为x 和x ，则其两个根满足x +x =− ，x ·x = ．根据一元二次方程根与系数的关系先求出m+n和
1 2 1 2 a 1 2 a
mn的值，然后代入计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2−6x−5=0的两根分别为m，n，
b c
∴m+n=− =6，mn= =−5，
a a
∴m+n−mn=6−(−5)=11，
故选：B．
b c
x x − x •x
解题方法：由韦达定理可知 1+ 2＝ a； 1 2＝a，代入下式即可.
注意：使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0.
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考向四 利用根与系数的关系求参
1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数x ,x (x ≠x )是关于x的方程kx2+2kx+1=0(k≠0)的两个根，
1 2 1 2
1 1
若
+ =2，则k的值为（
）
x x
1 2
1 1
A．1 B．−1 C． D．−
2 2
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若
b c 1
x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ，据此得到x +x =−2,x x = ，再由
1 2 1 2 a 1 2 a 1 2 1 2 k
1 1
+ =2得到−2k=2，据此可得答案．
x x
1 2
【详解】解：∵x ,x 是关于x的一元二次方程kx2+2kx+1=0(k≠0)的两个根，
1 2
1
∴x +x =−2,x x = ．
1 2 1 2 k
1 1
∵ + =2，
x x
1 2
x +x
∴ 1 2=2，
x x
1 2
−2
=2
∴ 1
k
∴−2k=2，
解得k=−1，
经检验，k=−1是原分式方程的解，
故选：B．
2．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实
数根x 和x ．
1 2
(1)填空：x +x =________，x x =________；
1 2 1 2
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1 1 1
(2)求 + ，x + ；
x x 1 x
1 2 1
(3)已知x2+x2=2p+1，求p的值．
1 2
【答案】(1)p，1；
1 1 1
(2)
+ =p，x + =p；
x x 1 x
1 2 1
(3)p=3．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解
题的关键．
（1）利用根和系数的关系即可求解；
1 1 x +x
（2） + 变形为 1 2 ，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得
x x x x
1 2 1 2
1 1
x 2−px +1=0，即得x −p+ =0，进而可得x + =p；
1 1 1 x 1 x
1 1
（3）把方程变形为(x +x ) 2−2x x =2p+1，再把根和系数的关系代入得p2−2=2p+1，可得p=−1或
1 2 1 2
p=3，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
故答案为：p，1；
（2）解：∵x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
1 1 x +x
∴ + = 1 2=p，
x x x x
1 2 1 2
∵关于x的一元二次方程x2−px+1=0（p为常数）有两个不相等的实数根x 和x ，
1 2
∴x 2−px +1=0，
1 1
1
∴x −p+ =0，
1 x
1
1
∴x + =p；
1 x
1
（3）解：由根与系数的关系得，x +x =p，x x =1，
1 2 1 2
∵x2+x2=2p+1，
1 2
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∴(x +x ) 2−2x x =2p+1，
1 2 1 2
∴P2−2=2p+1，
∴P2−2p−3=0，
解得p=−1或p=3，
∴一元二次方程x2−px+1=0为x2+x+1=0或x2−3x+1=0，
当p=−1时，Δ=12−4×1×1=−3<0，不合题意，舍去；
当p=3时，Δ=(−3) 2−4×1×1=5>0，符合题意；
∴p=3．
考向五 结合根的定义求值
1．（2024·四川成都·中考真题）若m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，则m+(n−2) 2的值
为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求
b
出n2−5n+2=0，m+n=− =5，从而得到n2=5n−2，再将原式利用完全平方公式展开，利用
a
n2=5n−2替换n2项，整理后得到m+n+2，再将m+n=5代入即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，
b
∴n2−5n+2=0，m+n=− =5，
a
则n2=5n−2
∴m+(n−2) 2
=m+n2−4n+4
=m+5n−2−4n+4
=m+n+2
=5+2
=7
故答案为：7
2．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a2+2023a−b的值为
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．
【答案】2028
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系
数关系求得a2+2024a=4，a+b=−2024，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，
∴a2+2024a−4=0，a+b=−2024，
∴a2+2024a=4，
∴a2+2023a−b
=a2+2024a−(a+b)
=4−(−2024)
=4+2024
=2028，
故答案为：2028．
3．（2024·四川内江·二模）已知x ，x 是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式x3−2024x +x2
1 2 1 1 2
的值为 ．
【答案】4049
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全
平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两
b c
根为x ，x ，则根与系数的关系为x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到x +x =1，x x =−2024和x2−2024=x ，即得
1 2 1 2 1 1
x3−2024x +x2 =4049．
1 1 2
【详解】∵x ，x 是方程x2−x−2024=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =1，x x =−2024，x2−x −2024=0，
1 2 1 2 1 1
∴x2−2024=x
，
1 1
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∴x3−2024x +x2
1 1 2
=x (x2−2024)+x2
1 1 2
=x2+x2
1 2
=(x +x ) 2−2x x
1 2 1 2
=12−2×(−2024)
=4049．
故答案为：4049．
►题型03含参问题
考向一 分式方程含参问题
kx 3
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程 −2= 无解，则k的值为（ ）
x−3 3−x
A．k=2或k=−1 B．k=−2 C．k=2或k=1 D．k=−1
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分
母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，kx−2(x−3)=−3，
整理得，(k−2)x=−9，
当k=2时，方程无解，
当k≠2时，令x=3，
解得k=−1，
kx 3
所以关于x的分式方程 −2= 无解时，k=2或k=−1．
x−3 3−x
故选：A．
x+m 1
2．（2023·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程 + =3有增根，则m= ．
x−2 2−x
【答案】−1
【分析】等式两边同时乘以公因式(x−2)，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出x的值，即可求出m．
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x+m 1
【详解】 + =3，
x−2 2−x
解：方程两边同时乘以(x−2)，得x+m+(−1)=3(x−2)，
∴m=2x−5，
∵原方程有增根，
∴x−2=0，
∴x=2，
∴m=2x−5=−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
2 m
3．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程 =1− 的解为正数，则m的取值范围（ ）
x−1 x−1
A．m>−3 B．m>−3且m≠−2
C．m<3 D．m<3且m≠−2
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解
的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以x−1得，2=x−1−m，
解得x=m+3，
2 m
∵分式方程 =1− 的解为正数，
x−1 x−1
∴m+3>0，
∴m>−3，
又∵x≠1，
即m+3≠1，
∴m≠−2，
∴m的取值范围为m>−3且m≠−2，
故选：B．
解题思路：
1）分式方程有解，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根.
2）分式方程无解，说明：①原方程去分母后的整式方程无解；②分式方程有增根.
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3）分式方程解为正/负，说明：①原方程去分母后的整式方程有解；②所求得的解不是增根；
③特殊解大于0或小于0
4）分式方程有增根，说明：①原分式方程中的字母为0；②增根为原方程去分母后的整式方程的根.
考向二 不等式组含参问题
1．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组¿的解集为x<3，则m的取值范围是（ ）
A．m>2 B．m≥2 C．m<2 D．m≤2
【答案】B
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于
参数的不等式，进行求解即可．
【详解】解：解¿，得：¿，
∵不等式组的解集为：x<3，
∴m+1≥3，
∴m≥2；
故选B．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组¿恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
1
【答案】− ≤a<0
2
【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一
次不等式的方法．
先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组¿恰有3个整数解，即可得到关于a的不等式组，
然后求解即可．
【详解】解：由4−2x≥0，得：x≤2，
1
由 x−a>0，得：x>2a，
2
∵不等式组¿恰有3个整数解，
∴这3个整数解是0，1，2，
∴−1≤2a<0，
1
解得− ≤a<0，
2
1
故答案为：− ≤a<0．
2
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此类题目的一般解题步骤：
1）解不等式组(用参数表示)；
2）数形结合，画数轴分析；
3）根据数轴，写出式子满足的条件；(左右两边都有限制范围)
4）讨论两边范围能不能取等号；(一般情况，有且仅有一边可以取等号)
5）解不等式求出参数的范围.
【注意点】在解题时要注意端点是否能取到，可以直接令其等于端点然后进行验证.
考向三 不等式与方程综合
1．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组¿的解满足2kx−3 y<5，求k的取值范围．
【答案】k<2
【分析】先求出二元一次方程组的解，代入2kx−3 y<5中即可求k；
【详解】解：令①+ 得，2x=4，
解得：x=2， ②
将x=2代入①中得，2+ y=3，
解得：y=1，
将x=2，y=1代入2kx−3 y<5得，4k−3<5，
解得：k<2．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
2．（2022·河南·模拟预测）整数m满足关于x，y的二元一次方程组¿的解是正整数，且关于x的不等式组
¿有且仅有2个整数解，则m的值为 ．
【答案】5
【分析】根据题意先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于x的不等式，进
而根据是正整数的条件求得m的范围，解一元一次不等式组¿，根据有且仅有2个整数解，确定m的范围，
最后根据x，y为整数，舍去不符合题意的m的值即可求解．
【详解】解：¿
①＋②得，2x=21−3m
21−3m
∴x=
2
21−3m 5m−21
将x= 代入①，得y=
2 2
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∵x，y是正整数，
∴¿，
21
解得 <m<7，
5
¿
4m
解不等式③得：x>
5
解不等式④得：x≤6
4m
∴ <x≤6
5
∵有且仅有2个整数解，
4m
∴4≤ <5
5
25
解得5≤m<
4
21
∵ <m<7
5
25
∴5≤m<
4
∵m是整数
∴m=5或6
21−3m 21−18 3
当m=6时，x= = = ，不合题意，故舍去
2 2 2
∴m=5
故答案为：5
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，解一元一次不等式组，求不等式的整数解，
正确的计算是解题的关键．
不等式的性质与等式的性质的区别与联系
等式的性质 不等式的性质
区别 在等式两边乘(或除以)同一个负数， 在不等式两边乘(或除以)同一个负数，
等式仍然成立 不等号的方向要改变
联系 1）对于等式来说，在等式两边加(或减)同一个数(或式子)或乘(或除以)同一个正数,结果仍相等
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2）对于不等式来说，在不等式两边加(或减)同一个数(或式子),或乘(或除以)同一个正数,不等号
的方向不变.
1．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为−5，
5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为−2，则点D在数轴上对
应的数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查数轴上两点的距离、三角形的三边关系、解不等式组，先求得AB，AC，设D对应的数
为x，根据三角形的三边关系列不等式求得得到x的取值范围，进而可作出选择．
【详解】解：设D对应的数为x，
∵点A，B对应的数分别为−5，5，点C对应的数为−2，
∴AB=5−(5)=10，AC=−2−(−5)=3，CD=x−(−2)=x+2，BD=5−x，
根据题意，AC+CD>BD，CD−AC<BD，
则¿，
解得0<x<3，
∴点D在数轴上对应的数可能为2，
故选：A
1 2
2．（2024·山东临沂·模拟预测）当 比 多1时，x=（ ）
x−3 3−x
A．4 B．6 C．−5 D．−3
【答案】B
1 2
【分析】本题考查了分式方程的运算，根据 比 多1，进行列式计算，得
x−3 3−x
1 2 1 2
− = + =1，即可作答．
x−3 3−x x−3 x−3
1 2
【详解】解：∵ 比 多1
x−3 3−x
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1 2 1 2
∴ − = + =1
x−3 3−x x−3 x−3
3
即 =1
x−3
∴x=6
1 2
经检验x=6是 − =1的解
x−3 3−x
故选：B
3．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列结论正确的是（ ）
A．若x>y，则xz2>yz2 B．若b<0，则b2>0
b 1
C．若a>0，b<0，则 >0 D．若0<x<1，则 >x2>x
a x
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或
式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘
（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可．
【详解】解：A、若x>y，当z2=0时，xz2= yz2，结论错误，不符合题意；
B、若b<0，则b2>0，结论正确，符合题意；
b
C、若a>0，b<0，则 <0，结论错误，不符合题意；
a
1
D、若0<x<1，则 >x>x2 ，结论错误，不符合题意；
x
故选：B．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知关于y的多项式(n+2)y|n|+2+(n−1)y+3是四次三项式，关于x的一
元二次方程x2−x−m+n=0有实数根为a，则3a2−3a+m的最小值为（ ）
3 7
A．1 B． C．2 D．
2 4
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，多项式的次数和项数，根据多项式的次数和项数，求
出n的值，根据方程的解，得到a2−a=m−n，根的判别式，求出m的取值范围，进行求出3a2−3a+m的
最小值即可．
【详解】解：∵(n+2)y|n|+2+(n−1)y+3是四次三项式，
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∴¿，解得：n=2，
∴方程x2−x−m+n=0，转化为：x2−x−m+2=0，
∵方程有实数根a，
∴Δ=1−4(2−m)≥0，a2−a−m+2=0，
7
∴m≥ ，a2−a=m−2，
4
7
∴3a2−3a+m=3(m−2)+m=4m−6≥4× −6=1；
4
故选A．
m+2
5．（2024·河北邯郸·模拟预测）对于分式M= ，有下列结论：
m+3
结论一：当m=−3时，M=0；结论二：当M=−1时，m=−2.5；
结论三：若m>−3，则M>1．其中正确的结论是（ ）
A．结论一 B．结论二 C．结论二、结论三 D．结论一、结论二
【答案】B
【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、解分式方程，将m=−3代入分式计算即可判断结论一；
m+2 1
根据M=−1得分式方程 =−1，求解即可判断结论二；分式和化为M=1− ，再根据m>−3得
m+3 m+3
1
>0，即可判断结论三．
m+3
m+2
【详解】解：当m=−3时，m+3=0，则分式M= 无意义，故结论一不符合题意；
m+3
m+2
当M=−1时，即 =−1，解得：m=−2.5，
m+3
m+2
检验，当m=−2.5时m+3≠0，则m=−2.5是分式方程 =−1得解，故结论二符合题意；
m+3
m+2 m+3−1 1
M= = =1− ，
m+3 m+3 m+3
1
若m>−3，则m+3>0，即 >0，
m+3
1
∴M=1− <1，故结论三不符合题意；
m+3
综上，正确的结论是结论二，
故选：B．
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6．（2024·河北邯郸·模拟预测）问题“解方程x2−3x+3=0”，嘉嘉说“其中一个解是x=1”，琪琪说
“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，珍珍说“b2−4ac<0，此方程无实数根”，判断下列结
论正确的是（ ）
A．嘉嘉说得对 B．琪琪说得对
C．珍珍说得对 D．三名同学说法都不对
【答案】C
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据根据判
别式判断一元二次方程根的情况．
由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解．
【详解】解：方程x2−3x+3=0中，a=1，b=−3，c=3，
∴b2−4ac=(−3) 2−4×1×3=−3<0，
此时方程无实数根，珍珍说得对．
故选：C．
1 mn
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①m⊕n= ;②m⊗n= .
m+n m2−n2
1 1 3×5 15
例如 ①3⊕5= = ;3⊗5= =− .依此定义方程x⊗2−2⊕x=1的解为 ．
3+5 8 32−52 16
【答案】x=3
【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．
先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0．
2x 1
【详解】解：由题意得， − =1，
x2−22 2+x
2x−(x−2)=x2−4，
x2−x−6=0
(x−3)(x+2)=0，
解得：x=3或x=−2，
当x=−2时，2+x=0，不符合题意，
∴原方程的解为：x=3，
故答案为：x=3．
8．（2024·河北秦皇岛·一模）输入整数数字，按如下步骤操作，求出结果．
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（1）若输入数字为−3，则结果为 ，
（2）若输入一个正整数数字，结果小于0，则这个正整数数字是 （写出一个即可）
【答案】 −9 1或2或3（写出一个即可）
【分析】考查了有理数的混合运算以及不等式的应用，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．
（1）代入−3计算即可；
（2）设输入的这个正整数数字为x，列出不等式求解即可．
【详解】解：（1）若输入数字为−3，
则结果=[(−3)×4+3]÷3−6
=(−12+3)÷3−6
=(−9)÷3−6
=−3−6
=−9；
（2）若输入的这个正整数数字为x，
则(4x+3)÷3−6<0，
15
解得：x< ，
4
则这个正整数数字是1或2或3（写出一个即可）．
故答案为：−9；1或2或3（写出一个即可）．
9．（2024·广东梅州·一模）已知100克的糖水中含有10克糖，再添加m克糖，溶解后糖水变甜了（即浓度
比例变大）．将这一现象表示为不等式： ．
10+m 1
【答案】 >
100+m 10
【分析】本题考查了不等式的应用，考查了学生的应用能力．糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据即
可得到答案．
10+m 1
【详解】解：糖水变甜，表示糖的浓度变大，即 > ．
100+m 10
10+m 1
故答案为： >
100+m 10
1
10．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为2，且两根分别为x =1，x = 的一元二次方程为 ．（写
1 2 2
成ax2+bx+c=0的形式）
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【答案】2x2−3x+1=0
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，根据题意得出
3 1
x +x = ,x x = ，进而根据二次项系数为2，求得b,c的值，即可求解．
1 2 2 1 2 2
1
【详解】解：∵二次项系数为2，两根分别为x =1，x =
1 2 2
3 b 1 c
∴a=2，x +x = =− ,x x = = ，
1 2 2 2 1 2 2 2
∴b=−3，c=1
∴这个方程为：2x2−3x+1=0，
故答案为：2x2−3x+1=0．
11．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务．
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，
换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，
则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明．
例1：计算：20163−2015×2016×2017．
解：设2016=x，则原式=x3−(x−1)⋅x(x+1)=x3−x(x2−1)=x=2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
(1)计算：123456789×123456786−123456788×123456787；
(2)已知方程组¿的解是¿，则方程组¿的解是 ．
【答案】(1)−2
(2)¿
【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是
先求(x+2)、(y−1)的解，再求x、y的值．
（1）仿照例题的思路，设123456786=x，分别表示原式=(x+3)⋅x−(x+2)(x+1)，然后进行整式乘
法运算即可；
（2）根据加减法，可得(x+2)、(y−1)的解，再根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：依题意，
设123456786=x，
123456789×123456786−123456788×123456787
=(x+3)⋅x−(x+2)(x+1)
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=x2+3x−(x2+3x+2)
=x2+3x−x2−3x−2
=−2
（2）解：∵方程组¿的解是¿，
同理∴方程组¿中¿
∴ ¿
12．（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程a x2+b x+c =0的两根之和x +x
1 1 1 1 2
与两根之积，x ⋅x 分别是另一个一元二次方程a x2+b x+c =0的两个根，则一元二次方程
1 2 2 2 2
a x2+b x+c =0称为一元二次方程a x2+b x+c =0的“再生韦达方程”，一元二次方程
2 2 2 1 1 1
a x2+b x+c =0称为“原生方程”．
1 1 1
比如：一元二次方程x2−2x−3=0的两根分别为x =3,x =−1，则x +x =2,x ⋅x =−3，所以它的
1 2 1 2 1 2
“再生韦达方程”为x2+x−6=0．
(1)已知一元二次方程x2−5x+6=0，求它的“再生韦达方程”；
(2)已知“再生韦达方程”x2+x−30=0，求它的“原生方程”．
【答案】(1)x2−11x+30=0
(2)y2+6 y+5=0或y2−5 y−6=0
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的
关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x =5,x ⋅x =6，然后根据新定义求解即可；
1 2 1 2
（2）令它的“原生方程”两根分别为y ,y ，根据题意得出y + y =−6,y ⋅y =5，或
1 2 1 2 1 2
y + y =5,y ⋅y =−6，然后求解即可．
1 2 1 2
【详解】（1）解：解x2−5x+6=0
得x =2,x =3，
1 2
则x +x =5,x ⋅x =6，
1 2 1 2
所以一元二次方程x2−5x+6=0的“再生韦达方程”为x2−(5+6)x+5×6=0，
即x2−11x+30=0；
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（2）解x2+x−30=0得x =−6,x =5，
1 2
令它的“原生方程”两根分别为y ,y ，
1 2
则y + y =−6,y ⋅y =5，或y + y =5,y ⋅y =−6．
1 2 1 2 1 2 1 2
当y + y =−6,y ⋅y =5，则所求“原生方程”为y2+6 y+5=0；
1 2 1 2
当y + y =5,y ⋅y =−6，则所求“原生方程”为y2−5 y−6=0．
1 2 1 2
综上所述，它的“原生方程”为y2+6 y+5=0或y2−5 y−6=0．
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