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2025年中考数学一轮复习
第21讲 三角形
一．选择题（共10小题）
1．在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些
证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（ ）
A．
B．
C．
D．
{x−a＜0
2．已知关于x的不等式组 ，至少有两个整数解，且存在以2，a，5为边的三角形，则a的整
2x+1≥8
数解有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则
∠ 的角度为（ ）
α
A．75° B．105° C．110° D．120°
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4．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三
角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则tan 的值
为（ ） θ
5 3 4 3
A． B． C． D．
3 5 3 4
5．已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若
线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4
6．如图，直线MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在PQ上，直角顶点C落在MN上，若
∠BCM＝10°，则∠PAB的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克
拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．4 C．8 D．8
8．如图，在△ABC中，AD⊥BπC于点D，点E是BC的π中点．设AB＝c，AC＝b，AD＝h，BD＝m，CD＝
n，m＜n，且h2＝mn．有以下三个结论：
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①c2＝m2+mn；
1
②点A，B，C在以点E为圆心， (m+n)为半径的圆上；
2
③b2+m2＞3h2．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合
的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水
平距离CD＝3m），随板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m
10．如图，直线l ∥l ，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l ，l 之间，点A，D分别在l ，l 上，点
1 2 1 2 1 2
B，C，E，F在同一直线上．若∠ ＝53°，则∠ 的度数为（ ）
α β
A．50° B．52° C．54° D．56°
二．填空题（共5小题）
11．如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM
＝3，则CM+AD的最小值为 ．
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12．如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做
凹四边形．如图，在凹四边形ABCD中，BC＝2，AB=2√3，∠B＝90°，∠C＝30°，∠A＝15°，则凹四
边形ABCD的周长为 ．
13．如图，已知∠BAC＝60°，AD 是角平分线且 AD＝20，作 AD 的垂直平分线交 AC 于点 F，作
DE⊥AC，则△DEF的周长为 ．
14．如图，△ABC 的顶点都在以边长为 1 的小正方形组成的网格格点上，则 BC 边上的高等于
．
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15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若BE＝3，△BDE的面积为1.5，则点D到边AB
的距离为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△ABC中，AB＝2AC，点P为BC延长线上一点．
（1）若 ， ，求PA的长；（请从信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，
③CP＝2”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答．）
（2）在（1）的条件下，当AC＝AP时，求△ABC的面积．
17．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数．
18．如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿着射线BC的方向平移至DE，使E为BC的中点，连接
AD，记DE与AC的交点为O．
（1）求证：△AOD≌△COE；
（2）若AC平分∠BAD，求∠B的度数．
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19．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形
硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进
行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案① 方案②
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找 如图②，测量员在地面上找
一点C，在BC连线的中点 一点C，沿着BC向前走到
D处做好标记，从点C出 点D处，使得CD＝AC，沿
发，沿着与AB平行的直线 着AC向前走到点E处，使
向前走到点E处，使得点E 得CE＝BC，测出D、E两
与点A、D在一条直线上， 点之间的距离
测出CE的长度
测量结果 CE＝20m，BD＝CD， AC＝CD，BC＝CE，DE＝
CE∥AB 20m
请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度AB．
20．将△ABC 和△DEF 如图放置．已知 AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求证：
△ABC≌△DEF．
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2025年中考数学一轮复习之三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些
证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A．设计的图形中，如下图，
1
∵c2=4× ab+(a−b) 2 ，
2
∴c2＝2ab+a2﹣2ab+b2，
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∴c2＝a2+b2，
∴可完成定理证明，故本选项不符合题意；
B．设计的图形中，如下图，
1 1 1 1
∴ ab+ ab+ c2= (a+b)(a+b)，
2 2 2 2
∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2，
∴可完成定理证明，故本选项不符合题意；
C．设计的图形中，不能完成勾股定理的证明，符合题意；
D．设计的图形中，如下图，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
AC AD
∴ = ，
AB AC
∴AC2＝AB•AD，
∵∠B＝∠B，∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△BCA∽△BDC，
BC BA
∴ = ，
BD BC
∴BC2＝AB•BD，
∴AC2+BC2＝AB•AD+AB•BD＝AB（AD+BD）＝AB2，即a2+c2＝c2，
∴可完成定理证明，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明、正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式，相似三角
形的性质与判定，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
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{x−a＜0
2．已知关于x的不等式组 ，至少有两个整数解，且存在以2，a，5为边的三角形，则a的整
2x+1≥8
数解有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】三角形三边关系；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a＞5，再根据存在以2，a，5为边的三角形，可得3
＜a＜7，即可得到结论．
【解答】解：解不等式x﹣a＜0，可得x＜a，
解不等式2x+1≥8，可得x≥3.5，
∵不等式组至少有两个整数解，
∴a＞5，
又∵存在以2，a，5为边的三角形，
∴3＜a＜7，
∴a的取值范围是5＜a＜7，
∴a的整数解有1个，
故选：B．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循
以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
3．将一副三角板按如图所示摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则
∠ 的角度为（ ）
α
A．75° B．105° C．110° D．120°
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC的度数，再根据三角形内角和定理可得∠ 的度数．
【解答】解：∵含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，α如图所示：
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∴∠ABC＝∠A＝45°，
∵∠C＝30°，
∴∠ ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选α：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的特点，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是
解题的关键．
4．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三
角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则tan 的值
为（ ） θ
5 3 4 3
A． B． C． D．
3 5 3 4
【考点】勾股定理的证明；解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
1
【分析】设小直角三角形的直角边为a，b，根据两个正方形的面积得到4× ab（a﹣b）2＝136，（a﹣
2
b）2＝16，进而推出b＝a﹣4，ab＝60，则可得方程a（a﹣4）＝60，
a 10 5
解方程求出a＝10，则b＝a﹣4＝6，再由正切的定义可得tan = = = ．
b 6 3
θ
【解答】解：设小直角三角形的直角边为a，b，a＞b，大正方形面积为136，小正方形面积为16，
1
∴4× ab+（a﹣b）2＝136，（a﹣b）2＝16，
2
∴2ab+（a﹣b）2＝136，
a﹣b＝4，
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∴2ab+16＝136，b＝a﹣4，
∴ab＝60，
∴a（a﹣4）＝60，
解得a＝10或a＝﹣6（舍去），
∴b＝a﹣4＝6，
a 10 5
∴tan = = = ，
b 6 3
θ
故选：A．
【点评】本题主要考查了求角的正切值，解一元二次方程，解题的是掌握还是得灵活运用．
5．已知数轴上点A，B，C，D对应的数字分别为﹣1，1，x，7，点C在线段BD上且不与端点重合，若
线段AB，BC，CD能围成三角形，则x的取值范围是（ ）
A．1＜x＜7 B．2＜x＜6 C．3＜x＜5 D．3＜x＜4
【考点】三角形三边关系；数轴；解一元一次不等式组．
【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；三角形；运算能力．
【答案】C
{x−1+7−x＞2①
【分析】由三角形三边关系定理得： 2+x−1＞7−x②，得到不等式组的解集是3＜x＜5，即可得到答
2+7−x＞x−1③
案．
【解答】解：由点在数轴上的位置得：AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝x﹣1，CD＝7﹣x，
{x−1+7−x＞2①
由三角形三边关系定理得： 2+x−1＞7−x②，
2+7−x＞x−1③
不等式①恒成立，
由不等式②得：x＞3，
由不等式③得：x＜5，
∴不等式组的解集是3＜x＜5，
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，数轴，解一元一次不等式组，关键是由三角形三边关系定理得
到一元一次不等式组．
6．如图，直线MN∥PQ，等腰直角三角板ABC的底角顶点A落在PQ上，直角顶点C落在MN上，若
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∠BCM＝10°，则∠PAB的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【考点】等腰直角三角形；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形可得∠B＝45°，由三角形外角的性质得∠BDM＝10°+45°＝
55°，最后根据平行线的性质可得答案．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵∠BCM＝10°，
∵∠BDM＝∠B+∠BCM，
∴∠BDM＝10°+45°＝55°，
∵MN∥PQ，
∴∠PAB＝∠BDM＝55°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是
学会用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克
拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
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A．4 B．4 C．8 D．8
【考点】勾股定理． π π
【专题】与圆有关的计算．
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
1 1 AC 1 BC 1 AB
则阴影部分的面积= ×AC×BC+ × ×（ ）2+ × ×（ ）2− × ×（ ）2
2 2 2 2 2 2 2
π π π
1 1 1
= ×2×4+ × × ×（AC2+BC2﹣AB2）
2 2 4
π
＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是BC的中点．设AB＝c，AC＝b，AD＝h，BD＝m，CD＝
n，m＜n，且h2＝mn．有以下三个结论：
①c2＝m2+mn；
1
②点A，B，C在以点E为圆心， (m+n)为半径的圆上；
2
③b2+m2＞3h2．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据AD⊥BC可得AB2＝BD2+AD2，即c2＝m2+h2，又因为h2＝mn，所以c2＝m2+mn，故①正确；
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根据AD⊥BC，h2＝mn，可证△ABD∽△CAD，进而∠BAC＝90°，所以点A，B，C在以点E为圆心，
1
(m+n)为半径的圆上，故②正确；根据相似三角形的性质逐一分析解答即可；在Rt△ACD中，AC2＝
2
AD2+CD2，即b2﹣h2＝n2，可得b2+m2﹣3h2＝（b2﹣h2）+（m2﹣2h2）＝n2+m2﹣2mn＝（m﹣n）2，根据
m＜n，可知（m﹣n）2＞0，所以b2+m2＞3h2，故③正确．
【解答】解：∵AD＝h，BD＝m，CD＝n，且h2＝mn，
h n AD CD
∴ = ，即 = ，
m h BD AD
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，
∴c2＝m2+h2，
∵h2＝mn，
∴c2＝m2+mn，故①正确．
∵△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，BC＝m+n，
1
∴点A，B，C在以点E为圆心， (m+n)为半径的圆上，故②正确；
2
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，即b2﹣h2＝n2，
∴b2+m2﹣3h2＝（b2﹣h2）+（m2﹣2h2）＝n2+m2﹣2mn＝（m﹣n）2，
∵m＜n，
∴b2+m2﹣3h2＝（m﹣n）2＞0，
∴b2+m2＞3h2，故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角为90°、以及代数推理等知
识．
9．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合
的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.7m，将它往前推3m至C处时（即水
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平距离CD＝3m），随板离地的垂直高度CF＝2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（ ）
A．3.4m B．5m C．4m D．5.5m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】设AC的长为x，则AB＝AC＝x m，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股
定理即可求解．
【解答】解：由题意可知，CF＝2.5m，BE＝0.7m，
∴BD＝1.8m．
设AC的长为x m，则AB＝AC＝x m，
所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．
在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
即绳索AC的长是3.4米．
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键．
10．如图，直线l ∥l ，等腰直角三角形ABC和等边△DEF在l ，l 之间，点A，D分别在l ，l 上，点
1 2 1 2 1 2
B，C，E，F在同一直线上．若∠ ＝53°，则∠ 的度数为（ ）
α β
A．50° B．52° C．54° D．56°
【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】延长AC交l 于H，由平行线性质得∠CHD＝180°﹣∠ ＝127°，由等腰直角三角形性质得
2
α
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∠ACB＝∠ECH＝45°，再由等边三角形性质得∠DEF＝∠EDF＝60°，则∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，
再由四边形内角和等于360°得∠EDH＝68°，由此可得∠ 的度数．
【解答】解：延长AC交l 2 于H，如下图所示： β
∵l ∥l ，∠ ＝53°，
1 2
∴∠CHD+∠α ＝180°，
∠CHD＝180°α﹣∠ ＝180°﹣53°＝127°，
∵△ABC是等腰直α角三角形，且∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠ECH＝45°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF＝∠EDF＝60°，
∴∠CED＝180°﹣∠DEF＝120°，
在四边形CEDH中，∠ECH+∠CHD+∠CED+∠EDH＝360°，
即45°+127°+120°+∠EDH＝360°，
∴∠EDH＝68°，
∴∠ ＝180°﹣∠EDF﹣∠EDH＝180°﹣60°﹣68°＝52°．
故选β：B．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，准确识图，熟练
掌握等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在四边形ABCD中，BC⊥BD，BC＝2，BD＝4．作AM⊥BD，垂足为点M，连接CM，若AM
＝3，则CM+AD的最小值为 √41 ．
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【考点】勾股定理；解直角三角形；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】√41．
【分析】过D作AM的平行线，过A作BD的平行线，两平行线交于点E，即AM∥DE，AE∥MD，证明
四边形AMDE是矩形推出CM+AD＝CM+ME；连接CE，则当点M与CE、BD的交点重合时，CM+ME最
小，从而CM+AD最小，且最小值为线段CE的长；在Rt△EFC中，由勾股定理求出CE的长即可得出结
果．
【解答】解：如图，过D作AM的平行线，过A作BD的平行线，两平行线交于点E，即AM∥DE，
AE∥MD，
∴四边形AMDE是平行四边形；
∵AM⊥BD，
∴四边形AMDE是矩形，
∴DE⊥BD，AM＝DE＝3，AD＝ME，
∴CM+AD＝CM+ME；
连接CE，
则当点M与CE、BD的交点重合时，CM+ME最小，从而CM+AD最小，且最小值为线段CE的长；
过C作CF∥BD，交ED延长线于点F，则∠DBC＝∠BCF＝∠BDF＝90°，
∴四边形BCFD是矩形，
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∴CF＝BD＝4，∠F＝90°，DF＝BC＝2，
∴EF＝DE+DF＝5；
在Rt△EFC中，由勾股定理得，
CE=√CF2+EF2=√16+25=√41，
∴CM+AD最小值为 √41，
故答案为：√41．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形EFC是解题的关键．
12．如图，把四边形的某些边向两方延长，其它各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做
凹四边形．如图，在凹四边形ABCD中，BC＝2，AB=2√3，∠B＝90°，∠C＝30°，∠A＝15°，则凹四
边形ABCD的周长为 4√3+2√2 ．
【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4√3+2√2．
【分析】过点D作DE⊥BC于点E，作DF⊥AB于点F，作∠DGB＝30°，设DE＝x，则CD＝2DE＝2x，
由勾股定理求出CE的长，继而求出BE的长，再证四边形DEBF是矩形，即可得出DF、BF的长，再求
出DG的长、FG的长，由AB的长即可求出x的值，从而求出凹四边形ABCD的周长．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，作DF⊥AB于点F，作∠DGB＝30°，
设DE＝x，
在Rt△CDE中，∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝2x，
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由勾股定理得，CE=√CD2−DE2=√(2x) 2−x2=√3x，
∵BC＝2，
∴BE＝BC﹣CE=2−√3x，
∵DE⊥BC，DF⊥AB，∠B＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DE＝BF＝x，DF＝BE=2−√3x，
在Rt△DFG中，∠DGB＝30°，
∴DG＝2DF＝2（2−√3x）=4−2√3x，∠GDF＝60°，
FG
∵tan60°= ，
DF
FG
∴√3= ，
2−√3x
∴FG=2√3−3x，
∵∠DGB＝30°，∠A＝15°，
∴∠ADG＝∠DGB﹣∠A＝30°﹣15°＝15°，
∴∠ADG＝∠A，
∴AG＝DG=4−2√3x，
∵AB=2√3，
∴x+2√3−3x+4−2√3x=2√3，
∴x=√3−1，
∴CD=2√3−2，DF=√3−1，AF＝AB﹣BF=2√3−(√3−1)=√3+1，
在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD=√DF2+AF2=√(√3−1) 2+(√3+1) 2=2√2，
∴凹四边形ABCD的周长为BC+AB+CD+AD＝2+2√3+2√3−2+2√2=4√3+2√2，
故答案为：4√3+2√2．
【点评】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形，矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题的
关键．
13．如图，已知∠BAC＝60°，AD 是角平分线且 AD＝20，作 AD 的垂直平分线交 AC 于点 F，作
DE⊥AC，则△DEF的周长为 10+1 0√3 ．
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【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出DE、根据勾股定理求出AE，根据线段垂直平分线的性质、
三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，AD是角平分线，
∴∠DAE＝30°，
在Rt△DAE中，AD＝20，∠DAE＝30°，
1
∴DE= AD＝10，
2
由勾股定理得：AE=√AD2−DE2=10√3，
∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA＝FD，
∴△DEF的垂直＝DE+EF+FD＝DE+EF+FA＝DE+AE＝10+10√3，
故答案为：10+10√3．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线
上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5√34
14．如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于
17
．
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【考点】勾股定理；三角形的面积．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
5√34
【答案】 ．
17
【分析】根据图形可知：AC＝2，AC边上的高为5，根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法即
可求得BC边上的高．
【解答】解：由图可得，
AC＝2，AC边上的高为5，BC=√32+52=√34，
设BC上的边上的高为h，
2×5 √34h
则 = ，
2 2
5√34
解得h= ，
17
5√34
故答案为： ．
17
【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若BE＝3，△BDE的面积为1.5，则点D到边AB
的距离为 1 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】1．
【分析】过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，根据角平分线的性质证得DE＝DF，然后根据面积
公式求出DE即可解答．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，
∴DE＝DF，
∵BE＝3，△BDE的面积为1.5，
1
∴ ×3×DE= 1.5，
2
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解得DE＝1，
∴DF＝DE＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，△ABC中，AB＝2AC，点P为BC延长线上一点．
（1）若 ① ∠ PAC ＝∠ B ， ③ CP ＝ 2 ，求PA的长；（请从信息“①∠PAC＝∠B，②BC＝6，
③CP＝2”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答．）
（2）在（1）的条件下，当AC＝AP时，求△ABC的面积．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；图形的相似；几何直观；运算能力．
【答案】（1）①∠PAC＝∠B，③CP＝2；PA＝4；
（2）3√15．
CP AC
【分析】（1）选择①∠PAC＝∠B，③CP＝2，证△PAC∽△PBA得 = ，再根据AB＝2AC即可
PA AB
PA CP AC 1
得PA的长；另外（ⅰ）如果选择①∠PAC＝∠B，②BC＝6，由△PAC∽△PBA得 = = = ，
PB PA AB 2
进而得PB＝2PA，PA＝2CP，此时求不出PA的长；（ⅱ）如果选择②BC＝6，③CP＝2，此时也求出
PA的长，由此即可得出答案；
（2）过点A作AD⊥PC于D，则CP＝2，AC＝AP＝4，进而得CD＝PD＝1，再由勾股定理求出AD
AC 1
=√15，则S△PAC =√15，根据△PAC和△PBA相似且
AB
=
2
，得S△PAB =4√15，由此可得△ABC的面积．
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【解答】解：（1）若①∠PAC＝∠B，③CP＝2，求PA的长；
∵∠PAC＝∠B，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PBA，
CP AC
∴ = ，
PA AB
∵AB＝2AC，
CP 1
∴ = ，
PA 2
∴PA＝2CP＝4；
另外（ⅰ）如果选择①∠PAC＝∠B，②BC＝6，
同理△PAC∽△PBA，
PA CP AC 1
∴ = = = ，
PB PA AB 2
∴PB＝2PA，PA＝2CP，
此时求不出PA的长；
（ⅱ）如果选择②BC＝6，③CP＝2，此时也求出PA的长．
故答案为：①∠PAC＝∠B，③CP＝2．
（2）过点A作AD⊥PC于D，如下图所示：
∵在（1）的条件下，
∴CP＝2，AP＝4，
∴AC＝AP＝4，
∴CD＝PD＝1，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=√AC2−CD2=√15，
1 1
∴S△PAC =
2
×CP×AD =
2
×2√15=√15，
AC 1
∵△PAC∽△PBA， = ，
AB 2
∴S△PAC ：S△PBA ＝1：4，
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∴S△PAB ＝4S△PAC =4√15，
∴S△ABC ＝S△PAB ﹣S△PAC =4√15−√15=3√15．
【点评】此题主要考查了三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质
是解决问题的关键．
17．如图，CA＝CD，∠BCE＝∠ACD，BC＝EC．
（1）求证：AB＝DE；
（2）若∠A＝25°，∠E＝35°，求∠ECD的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由∠BCE＝∠ACD，得∠ACB＝∠DCE，而CA＝CD，BC＝EC，即可根据“SAS”证明
△ACB≌△DCE，则AB＝DE；
（2）由全等三角形的性质得∠A＝∠D＝25°，而∠E＝35°，则∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝120°．
【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
{
CA=CD
∠ACB=∠DCE，
BC=EC
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB＝DE．
（2）解：由（1）得△ACB≌△DCE，
∴∠A＝∠D＝25°，
∵∠E＝35°，
∴∠ECD＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°25°﹣35°＝120°，
∴∠ECD的度数是120°．
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【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠ACB＝∠DCE，进
而证明△ACB≌△DCE是解题的关键．
18．如图，已知△ABC，∠C＝50°，将AB沿着射线BC的方向平移至DE，使E为BC的中点，连接
AD，记DE与AC的交点为O．
（1）求证：△AOD≌△COE；
（2）若AC平分∠BAD，求∠B的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质．
【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）80°．
1
【分析】（1）由三角形中位线定理可得OA＝OC，EO= AB＝OD，由“SAS”可证△AOD≌△COE；
2
（2）由全等三角形的性质可得∠DAO＝∠C＝50°，由角平分线的定义可得“∠BAD＝2∠DAO＝100°，
由平行线的性质可求解．
【解答】（1）证明：由平移可知，AB＝DE，AB∥DE，
∵E为BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
1
∴OA＝OC，EO= AB，
2
1
∴OE= DE，
2
即DO＝OE，
在△AOD与△COE中，
{
OA=OC
∠AOD=∠COE，
OD=OE
∴△AOD≌△COE（SAS）；
（2）解：∵△AOD≌△COE，
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∴∠DAO＝∠C＝50°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝50°，
∴∠BAD＝2∠DAO＝100°，
由平移可知，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定理，平移的性质，掌握全等三角形的
判定是解题的关键．
19．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量某水潭的宽度．
问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？
组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形
硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进
行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
方案 方案① 方案②
测量示意图
测量说明 如图①，测量员在地面上找 如图②，测量员在地面上找
一点C，在BC连线的中点 一点C，沿着BC向前走到
D处做好标记，从点C出 点D处，使得CD＝AC，沿
发，沿着与AB平行的直线 着AC向前走到点E处，使
向前走到点E处，使得点E 得CE＝BC，测出D、E两
与点A、D在一条直线上， 点之间的距离
测出CE的长度
测量结果 CE＝20m，BD＝CD， AC＝CD，BC＝CE，DE＝
CE∥AB 20m
请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度AB．
【考点】全等三角形的应用．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
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【分析】选择方案①：先证明∠ABC＝∠C，结合∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，可得△ABD≌△ECD，再
利用全等三角形的性质可得结论；
选择方案②：直接利用SAS证明△ACB≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得结论；
【解答】解：选择方案①；
∵CE∥AB，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ADB＝∠EDC，DB＝DC，
∴△ABD≌△ECD，
∵CE＝20m，
∴AB＝CE＝20（m），
∴水潭的宽度AB为20m；
选择方案②：
∵AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE，
∴△ACB≌△DCE，
∵DE＝20m，
∴AB＝DE＝20（m），
∴水潭的宽度AB为20m；
【点评】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的
关键．
20．将△ABC 和△DEF 如图放置．已知 AB＝DE，∠D+∠CHF＝180°，AB∥EF，求证：
△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先根据等角的补角相等得到∠D＝∠CHE，再根据平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠CHE＝
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∠A，所以∠A＝∠D，然后利用“ASA”可判断△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵∠D+∠CHF＝180°，∠CHF+∠CHE＝180°，
∴∠D＝∠CHE，
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠DEF，∠CHE＝∠A，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
¿，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的 5种判定方法是解决问题的关键；选用
哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
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考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
3．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下
一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对
结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
4．线段的性质：两点之间线段最短
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
5．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
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2、两条平行线之间的距离处处相等．
6．三角形的面积
1
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△ =
2
×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短
的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，
容易忽略．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
10．全等三角形的应用
（1）全等三角形的性质与判定综合应用
用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题
目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
（2）作辅助线构造全等三角形
常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的
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基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全
等三角形来证明．
（3）全等三角形在实际问题中的应用
一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化
为三角形中的边角关系是关键．
11．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
12．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
13．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
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（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
16．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用
面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个
小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
17．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中
抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边
形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角
三角形的斜边．
18．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
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所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
19．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应
点的线段平行且相等．
20．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
21．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
∠A的对边a ∠A的邻边b ∠A的对边a
sinA= = ，cosA= = ，tanA= = ．
斜边 c 斜边 c ∠A的邻边b
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
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