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2025年中考数学一轮复习
第22讲 锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝
1，∠ABC＝ ，则CO的长为（ ）
α
cosα tanα
A． B．
tanα cosα
1
C．cos ×tan D．
cosα×tanα
α α
2．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长
为200m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（ ）
A．50m B．50√3m C．100m D．100√3m
3
3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 ，sin = ，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度为（
5
α α
）
A．20m B．25m C．30m D．35m
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4．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图 1）的最高点到地面的高度．如
图2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G．测得AB＝
3m，CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（ ）（结果
保留一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
A．4.2m B．4.0m C．3.7m D．3.6m
5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
3 4 4
A． B． C． D．2
5 5 3
6．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB
的长为（ ）米．
200 200
A． B． C．200cos20° D．200sin20°
cos20° sin20°
5
7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为 m米，坡度i= ，则大厅两层之间的
12
距离为（ ）
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5 5 12 12
A． m米 B． m米 C． m米 D． m米
13 12 13 5
8．在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在 Rt△ACB中，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝a，则AB＝DB＝
AC 1 2−√3
2a，BC=√3a，CD=(2+√3)a，Rt△ACD中tan15°= = = =2−√3．类比
DC 2+√3 (2+√3)(2−√3)
这种方法，可以得到tan22.5°的值为（ ）
1
A．√2+1 B．√2−1 C．√2 D．
2
9．如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游步机手柄 AB与地面DE平行，
端板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝a，支架AC长为1m，∠CAB＝120°，则距步机手柄
AB所在直线与地面DE之间的距离为（ ）
√3 1
A． +1.5sinα B． +1.5sinα
2 2
√3 1
C． +1.5cosα D． +1.5cosα
2 2
10．如图，在正方体中，∠BD B 的正切值为（ ）
1 1
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√2 √3
A． B． C．1 D．√2
2 2
二．填空题（共5小题）
11．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡 AB=80√17米，
坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度为
1：1.5．则改造后斜坡CD的长为 ．
12．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面
上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为
米（结果精确到0.1米）．
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.530
0.848
0.625
13．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角
的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两
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侧A，B两点间的距离为 ．
3
14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，cosB= ，点M在边AB上，点N在边BC上，且AM＝
5
BN，连接MN，当△BMN为等腰三角形时，AM＝ ．
15．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为
．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面 A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．
已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深
度是多少米？
17．广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组
成．广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在
离塔底A水平距离450米的地点B，测得塔身主体的顶端C的仰角为45°，天线桅杆的顶端D的仰角为
53°9′．
（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；
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4 4
（2）求天线棉杆的高度．（参考数据：tan53°9'≈ ，sin53°9'≈ )
3 5
18．在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图 1），它挺拔矗立在CBD前端，展现出了郑东新区的美好蓝
图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的
空地上确定测量点A，当测量器高度AC为3m时，测得如意雕塑最高点E的仰角∠ECD＝45°；②保持测
量器位置不变，调整测量器高度AB为4.1m时，测得点E的仰角∠EBG＝44°．已知点A，B，C，D，E，
F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度EF．（结果精确到1m．参考数
据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）
19．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支
架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们
在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得
AE＝3m，EF＝9m（A，E，F在同一条直线上）．请解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.73）．
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20．如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的A点，该船向正东
方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的B点．已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸线
CN之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
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2025年中考数学一轮复习之锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点B，C分别在地面OP和墙面OQ上，且边AB∥OQ，若AC＝
1，∠ABC＝ ，则CO的长为（ ）
α
cosα tanα
A． B．
tanα cosα
1
C．cos ×tan D．
cosα×tanα
α α
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
AC
【分析】在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝ ，BC= ，在 Rt△BOC 中，OC＝
tan∠ABC
α
BC•cos∠BCO，即可作答．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝ ，
AC AC α
∴BC= = ，
tan∠ABC tanα
∵AB∥OQ，
∴∠BCO＝∠ABC＝ ，
在Rt△BOC中，AC＝α1，
AC cosα
OC＝BC•cos∠BCO= ×cos = ，
tanα tanα
α
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
2．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长
为200m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（ ）
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A．50m B．50√3m C．100m D．100√3m
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据已知易得BC＝100m，再根据垂直定义可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用锐角三
角函数的定义求出AC的长，即可解答．
【解答】解：如图：
∵该金字塔的下底面是一个边长为200m的正方形，
1
∴BC= ×200＝100（m），
2
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，
∴AC＝BC•tan60°＝100√3（m），
∴则金字塔原来高度为100m，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3
3．如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为 ，sin = ，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度为（
5
α α
）
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A．20m B．25m C．30m D．35m
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
3
【解答】解：在Rt△ABC中，sin = ，
5
α
BC 3
则 = ，
AB 5
∵BC＝15m，
∴AB＝25m，
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图 1）的最高点到地面的高度．如
图2是其测量示意图，五边形ABDEC关于直线EF对称，EF与AB，CD分别相交于点F，G．测得AB＝
3m，CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，则文化长廊的最高点离地面的高度EF约为（ ）（结果
保留一位小数，参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
A．4.2m B．4.0m C．3.7m D．3.6m
【考点】解直角三角形的应用；轴对称的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
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【分析】过点B作BH⊥CD于点H，证明四边形GFBH为矩形，得出GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，求
出∠DBH＝45°，得到BH＝DH＝GF＝1m，求出∠EDG＝47°，再解直角三角形得出EG的长，再由EF＝
EG+GF计算即可得出答案．
【解答】解：如图所示，过点B作BH⊥CD于点H，
1 1
由题意，得BF= AB=1.5m，DG= CD=2.5m，
2 2
∵EF垂直平分AB，垂足为F，EF垂直平分CD，与CD交于点G，BH⊥CD，
∴∠BFG＝∠FGH＝∠BHG＝90°，
∴四边形GFBH为矩形，
∴GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，
∴DH＝DG﹣GH＝1m，
∵∠ABD＝135°，
∴∠DBH＝45°，
∴BH＝DH＝GF＝1m，
∵∠BDE＝92°，
∴∠EDG＝47°，
EG
在Rt△EDG中，tan∠EDG= ，
DG
∴EG＝DGtan47°≈2.5×1.07≈2.68（m），
∴EF＝EG+GF≈2.68+1≈3.7（m），
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识
点的应用是解题的关键．
5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
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3 4 4
A． B． C． D．2
5 5 3
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】如图连接格点BD、CD．在Rt△ABD中求出∠A的正切值．
【解答】解：如图，连接格点BD、CD．
在Rt△ABD中，
BD 4
tanA= = ．
AD 3
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，连接BD构造直角三角形是解决本题的关键．
6．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB
的长为（ ）米．
200 200
A． B． C．200cos20° D．200sin20°
cos20° sin20°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
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【答案】D
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
AB
【解答】解：∵sin∠C= ，
AC
∴AB＝AC•sin∠C＝200sin20°，
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数
的定义是解题的关键．
5
7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为 m米，坡度i= ，则大厅两层之间的
12
距离为（ ）
5 5 12 12
A． m米 B． m米 C． m米 D． m米
13 12 13 5
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；列代数式．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设大厅两层之间的距离为5x米，根据坡度的概念用x表示出扶梯的水平宽度，再根据勾股定理
列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设大厅两层之间的距离为5x米，
∵扶梯的坡度i＝5：12，
∴扶梯的水平宽度为12x米，
由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝m2，
m
解得：x= （负值舍去），
13
5
∴大厅两层之间的距离为 m米，
13
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
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8．在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在 Rt△ACB中，
∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到D使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，设AC＝a，则AB＝DB＝
AC 1 2−√3
2a，BC=√3a，CD=(2+√3)a，Rt△ACD中tan15°= = = =2−√3．类比
DC 2+√3 (2+√3)(2−√3)
这种方法，可以得到tan22.5°的值为（ ）
1
A．√2+1 B．√2−1 C．√2 D．
2
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设
AC＝1，求出CD，可得结论．
【解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝
∠D，
∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则BC＝1，AB=√2AC=√2，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+√2，
AC 1 √2−1
∴tan22.5°＝tanD = = = =√2−1．
CD 1+√2 (1+√2)(√2−1)
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，解题的
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关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．
9．如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知游步机手柄 AB与地面DE平行，
端板CD长为1.5m，CD与地面DE的夹角∠CDE＝a，支架AC长为1m，∠CAB＝120°，则距步机手柄
AB所在直线与地面DE之间的距离为（ ）
√3 1
A． +1.5sinα B． +1.5sinα
2 2
√3 1
C． +1.5cosα D． +1.5cosα
2 2
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，交DE的延长线于H，根据正弦的定义分别求出
CG、CH，计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CG⊥AB，交BA的延长线于点G，交DE的延长线于H，
∵手柄AB与地面DE平行，
∴CH⊥DE，
在Rt△CDH中，∠CDH＝ ，CD＝1.5m，
CH α
∵sin∠CDH= ，
CD
∴CH＝CD•sin∠CDH＝1.5sin ，
∵∠CAB＝120°， α
∴∠CAG＝60°，
√3
∴CG＝AC•sin60°= ，
2
√3
∴距步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：（1.5sin + ）米，
2
α
故选：A．
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【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．如图，在正方体中，∠BD B 的正切值为（ ）
1 1
√2 √3
A． B． C．1 D．√2
2 2
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】由题意得BB ＝A B ＝A D ，∠BB D ＝90°，设BB ＝A B ＝A D ＝x，则B D =√2x，再由正
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
切的定义计算即可得解．
【解答】解：由题意得：BB ＝A B ＝A D ，∠BB D ＝90°，
1 1 1 1 1 1 1
设BB ＝A B ＝A D ＝x，则：
1 1 1 1 1
B D =√A B2+A D2=√x2+x2=√2x，
1 1 1 1 1 1
BB x √2
∴tan∠BB D = 1 = = ，
1 1 B D √2x 2
1 1
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键要熟练掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做
a
∠A的正切，记作tanA．即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边= ．
b
二．填空题（共5小题）
11．某地为拓宽河道和提高拦水坝，进行了现有拦水坝改造．如图所示，改造前的斜坡 AB=80√17米，
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坡度为1：4；将斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度为
1：1.5．则改造后斜坡CD的长为 5 0√13米 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】50√13米．
【分析】根据直角三角形的性质求出AE，进而求出CE，根据坡度的概念求出DE，根据勾股定理计算，
得到答案．
AE 1
【解答】解：在Rt△ABE中，AB＝200米， = ，
BE 4
∴设AE＝x米，BE＝4x米，
∴AB=√AE2+BE2=√17x＝80√17，
∴x＝80，
∴AE＝80米，
∴CE＝AE+AC＝100（米），
∵斜坡CD的坡度为1：1.5，
∴DE＝150米，
由勾股定理得：CD=√CE2+DE2=50√13（米），
答：斜坡CD的长为50√13米．
故答案为：50√13米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定
义是解题的关键．
12．如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面
上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，则立柱AB的高为
20.8 米（结果精确到0.1米）．
科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）
0.530
0.848
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0.625
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；平行投影．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】20.8．
【分析】延长AD交BF于点H，根据余弦的定义求出HC，进而求出HB，再根据正切的定义计算即可．
【解答】解：如图，延长AD交BF于点H，
在Rt△DCH中，CD＝8.48米，∠DCH＝32°，
DC
∵cos∠DCH= ，
HC
DC 8.48
∴HC= ≈ =10（米），
cos∠DCH 0.848
∴BH＝HC+BC＝13（米），
∵∠DCH+∠AHB＝90°，∠A+∠AHB＝90°，
∴∠A＝∠DCH＝32°，
BH
在Rt△AHB中，tanA= ，
AB
BH 13
∴AB= ≈ =20.8（米），
tanA 0.625
故答案为：20.8．
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【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、掌握锐角三角函数的定
义是解题的关键．
13．如图，社小山的东侧炼A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角
的方向飞行，20min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为30°，则小山东西两
侧A，B两点间的距离为 60 0√2 ．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】600√2．
【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求
得AD的长度，然后根据∠B＝30°求出AB的长．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝30×20＝600（米），
∴AD＝AC•sin45°＝300√2（米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝600√2（米）．
故答案为：600√2．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角
三角形，难度适中．
3
14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，cosB= ，点M在边AB上，点N在边BC上，且AM＝
5
60 50
BN，连接MN，当△BMN为等腰三角形时，AM＝ 5 或 或 ．
11 11
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
60 50
【答案】5或 或 ．
11 11
【分析】分三种情况结合等腰三角形的性质和解直角三角形讨论求解即可．
【解答】解：当BM＝BN时，如图1，
∵AM＝BN，
∴BM＝AM，
1
∴AM= AB=5；
2
1 1
当MB＝MN时，如图2，作ME⊥BC，则有BE= BN= AM，
2 2
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3
∵BM＝10﹣AM，且cosB= ，
5
1
BE 3 AM
∴ = ，即 2 3，
BM 5 =
10−AM 5
60
解得：AM= ；
11
1 1
当NB＝NM时，如图3，作NF⊥AB，则有BF= BM= (10−AM)，
2 2
3
∵AM＝BN，且cosB= ，
5
1
BF 3 (10−AM)
∴ = ，即2 3，
BN 5 =
AM 5
50
解得：AM= ；
11
60 50
综上所述，答案为：5或 或 ．
11 11
【点评】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．
15．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 3
．
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【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理的逆定
理证明△CND是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：连接CM，DN，
由题意得：
CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：
CN2＝12+12＝2，
DN2＝32+32＝18，
CD2＝22+42＝20，
∴CN2+DN2＝CD2，
∴△CND是直角三角形，
DN 3√2
∴tan∠NCD= = =3，
CN √2
∴∠APD的正切值为：3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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三．解答题（共5小题）
16．如图，在修建某条地铁时，科技人员利用探测仪在地面 A、B两个探测点探测到地下C处有金属回声．
已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°和45°，试确定有金属回声的点C的深
度是多少米？
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】过C点作AB的垂线交直线AB于点D，构建等腰Rt△BCD，在Rt△DAC中利用锐角三角函数的
定义即可求出AC＝2CD．然后在Rt△DAC中利用勾股定理来求CD的长度．
【解答】解：如图，作CD⊥AB于点D．
∴∠ADC＝90°．
∵探测线与地面的夹角分别是30°和45°，
∴∠DBC＝45°，∠DAC＝30°．
∵在Rt△DBC中，∠DCB＝45°，
∴DB＝DC．
∵在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，
∴AC＝2CD．
∵在Rt△DAC中，∠ADC＝90°，AB＝8，
∴由勾股定理，得 AD2+CD2＝AC2．
∴（8+CD）2+CD2＝（2CD）2．
∴CD=4±4√3．
∵CD=4−4√3不合题意，舍去．
∴CD＝（4+4√3）米．
∴有金属回声的点C的深度是（4+4√3）米．
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【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关
键．
17．广州市民昵称“小蛮腰”的广州塔，是目前中国最高的塔，它主要由塔身主体与天线桅杆两部分组
成．广州某中学数学兴趣小组几位同学，在五一假期，利用测角仪测量“小蛮腰”的“身高”，他们在
离塔底A水平距离450米的地点B，测得塔身主体的顶端C的仰角为45°，天线桅杆的顶端D的仰角为
53°9′．
（1）根据题意，画出几何示意图（塔身及天线与地面垂直）；
4 4
（2）求天线棉杆的高度．（参考数据：tan53°9'≈ ，sin53°9'≈ )
3 5
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）详见解答；（2）150米．
【分析】（1）根据题意画出示意图；
（2）在Rt△ABC中，先求出AC，再在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角间关系求出AD，最后利用
线段的和差关系得结论．
【解答】解：（1）几何示意图如图所示：
（2）在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴AC＝AB＝450米．
在Rt△ABD中，
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AD
∵tan∠ABD= ，
AB
∴AD＝tan∠ABD•AB
＝tan53°9′•450
4
≈ ×450
3
＝600（米）．
∴CD＝AD﹣AC
＝600﹣450
＝150（米）．
答：天线棉杆的高度为150米．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形的边角间关系是解
决本题的关键．
18．在郑州之林公园内有一座如意雕塑（图 1），它挺拔矗立在CBD前端，展现出了郑东新区的美好蓝
图与如意和谐的愿望．综合实践小组想按如图2所示的方案测量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的
空地上确定测量点A，当测量器高度AC为3m时，测得如意雕塑最高点E的仰角∠ECD＝45°；②保持测
量器位置不变，调整测量器高度AB为4.1m时，测得点E的仰角∠EBG＝44°．已知点A，B，C，D，E，
F，G在同一竖直平面内，请根据该小组的测量数据计算如意雕塑的高度EF．（结果精确到1m．参考数
据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）
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【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】如意雕塑的高度EF约为40米．
【分析】延长CD交EF于M，延长BG交EF于N，根据矩形的性质得到FM＝AC＝3米，FN＝AB＝4.1
米，CM＝BN，MN＝BC＝1.1米，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CD交EF于M，延长BG交EF于N，
则FM＝AC＝3米，FN＝AB＝4.1米，CM＝BN，
∴MN＝BC＝1.1米，
设CM＝BN＝x米，
在Rt△BNE中，∠EBG＝44°，
∴EN＝BN•tan44°≈0.97x米，
在Rt△ECM中，∠ECD＝45°，
∴EM＝CM•tan45°＝x米，
∵MN＝EM﹣EN＝x﹣0.97x＝1.1米，
∴x≈36.7，
∴EM＝CM＝36.7（米），
∴EF＝EM+FM＝36.7+3≈40（米），
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答：如意雕塑的高度EF约为40米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的
关键．
19．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，AB是灯杆，CD是灯管支
架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们
在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得
AE＝3m，EF＝9m（A，E，F在同一条直线上）．请解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：√3≈1.73）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）3√3m；
（2）1.7m．
【分析】（1）在Rt△DAE中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解；
（2）如图所示，延长FC交AB于点G，可得△DGC是等边三角形，再计算出AF的长度，在Rt△AFG
中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解．
【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，
∴AD=AE⋅tan60°=3√3(m)，
∴灯管支架底部距地面高度AD的长为3√3m．
（2）如图所示，延长FC交AB于点G，
∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，
∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，
∵∠GDC＝60°，
∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，
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∴△DGC是等边三角形，
∴DC＝DG，
∵EF＝9m，AE＝3m，
∴AF＝AE+EF＝12m，
在Rt△AFG中，
√3
AG=AF⋅tan30°=12× =4√3m，
3
∴DC=DG=AG−AD=4√3−3√3=√3≈1.7m，
∴灯管支架CD的长度约为1.7m．
【点评】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰角俯角求直角三角
形，特殊三角函数值求边长是解题的关键．
20．如图，观测点C在东西走向的海岸线CN上，观测员发现某船在北偏东12°方向的A点，该船向正东
方向行驶10小时后，到达北偏东57°方向的B点．已知该船的行驶速度为40海里/时，求这艘船与海岸线
CN之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里．
【分析】作AD⊥BC于点D，BH⊥CN于点H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，BH⊥CN于点H，
∵∠MCD＝57°，∠MCA＝12°，AB∥CH，
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∴∠ACB＝45°，∠BCH＝∠ABC＝33°，
∴AD＝CD＝sin∠ABC•AB＝400×sin33°，BD＝AB•cos33°＝400×cos33°，
∴BC＝CD+BD＝400×（sin33°+cos33°）≈522（海里），
则 BH＝BC•sin33°≈298（海里），
答：这艘船与海岸线CN之间的距离约为298海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
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考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
3．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
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如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
4．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到
这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
5．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
a
即sinA＝∠A的对边除以斜边= ．
c
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
b
即cosA＝∠A的邻边除以斜边= ．
c
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
a
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边= ．
b
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
6．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
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∠A的对边a ∠A的邻边b ∠A的对边a
sinA= = ，cosA= = ，tanA= = ．
斜边 c 斜边 c ∠A的邻边b
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
7．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量
边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化
得到实际问题的答案．
8．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，
一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角 叫做坡角，坡度i与坡角 之间的关系为：i＝h/l＝tan ．
（3）在解决坡度的有关问题中α ，一般通过作高构成直角α三角形，坡角即是一锐角，坡α 度实际就是一锐角
的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
9．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三
角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意
把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
10．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定
在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
11．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物
体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平
面叫做投影面．
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（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投
影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
33
