第03讲极值与最值（练习）（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习讲练测(课件+讲义+练习)（新高考）

第 03 讲 极值与最值 （模拟精练+真题演练） 1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数 的极小值点为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 定义域为 ， 所以 ，令 得 ， 令 ，得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 在 处取得极小值． 故选：D 2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数 ，则（ ） A． 有一个极值点 B． 有两个零点 C．点（0，1）是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 【答案】C 【解析】由题， ，令 得 或 ， 令 得 ， 所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A错 误； 因 ， ， ， 所以，函数 在 上有一个零点， 学科网（北京）股份有限公司 1当 时， ，即函数 在 上无零点， 综上所述，函数 有一个零点，故B错误； 令 ，该函数的定义域为 ， ， 则 是奇函数， 是 的对称中心， 将 的图象向上移动一个单位得到 的图象， 所以点 是曲线 的对称中心，故C正确； 令 ，可得 ，又 ， 当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误. 故选：C. 3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若 在 和 处有极值，则函数 的单 调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 由已知得 ，解得 ， 所以 ，所以 ， 由 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间是 . 故选：C． 4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数 的极值点为 ，函数 的最大值为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 的定义域为 ， 在 上单调递增，且 ， ， 学科网（北京）股份有限公司 2所以 ， ． 的定义域为 ，由 ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 处取得极大值，也是最大值， ， 即 ．所以 ． 故选：A 5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ ∴原式 令 ， 则 ， 当 时， ， 在区间 上单调递增， 当 时， ， 在区间 上单调递减， 又∵ ， ， ， ∴当 时， ， ∴当 ， 的取值范围是 . 故选：D. 6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当 时，函数 取得最小值 ，则 （ ） 学科网（北京）股份有限公司 3A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时，函数 取得最小值 ， 所以 ，所以 ，得 ， 又 ，根据函数在 处取得最值， 所以 即 得 ， 所以 ， . 故选：C. 7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足 ，且 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令 ，则 ，解出 ，或 （舍），所以 ，即 ， ， 令 ， ， ， 时， ， 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 故选：B. 8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数 有两个极值点 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数 有两个极值点 ， 又函数 的定义域为 ，导函数为 ， 所以方程 由两个不同的正根，且 为其根， 学科网（北京）股份有限公司 4所以 ， ， ， 所以 ， 则 ， 又 ，即 ，可得 ， 所以 或 （舍去）， 故选：C. 9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数 的定义域为R，它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ） A．在 上函数 为增函数 B．在 上函数 为增函数 C．在 上函数 有极大值 D． 是函数 在区间 上的极小值点 【答案】AC 【解析】根据图象判断出 的单调区间、极值（点）.由图象可知 在区间 和 上 ， 递增；在区间 上 ， 递减. 所以A选项正确，B选项错误. 在区间 上， 有极大值为 ，C选项正确. 在区间 上， 是 的极小值点，D选项错误. 故选：AC 10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数 的导函数为 ，则（ ） A． B． 是函数 的极值点 C． 存在两个零点 D． 在(1，+∞)上单调递增 【答案】AD 【解析】 ，所以函数 在 上单调递增，所以函数不存在极值点，故B 学科网（北京）股份有限公司 5错误，D正确； ，故A正确； ，得 ， 中， ， 所以 恒成立，即方程只有一个实数根，即 ，故C错误. 故选：AD 11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．曲线 在 处的切线与直线 垂直 B． 在 上单调递增 C． 的极小值为 D． 在 上的最小值为 【答案】BC 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，故A错误； 令 ，解得 ，所以 的单调递增区间为 ， 而 ，所以 在 上单调递增，故B正确； 当 时 ，所以 的单调递减区间为 ， 所以 的极小值为 ，故C正确； 在 上单调递减，所以最小值为 ，故D错误； 故选：BC 12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数 ，若 有两个不同 的极值点 ，且当 时恒有 ，则 的可能取值有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由题可知， ，因为 有两个不同的极值点 ，所以 且 ， 若 ，则 ．当 时， ，即 ，即 ，即 学科网（北京）股份有限公司 6， 设 ，则 ，所以 在 上单调递减，则 ，则 ，所以 ． 若 ，则 ．当 时， ，即 ， 若 ，则当 时， ，不满足题意，所以 ，此时 ，即 ． 设 ，则 易得 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 解得 ，所以 ． 综上， 的取值范围是 ， 故选:BD． 13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数 在 内有极小值，则 的一个可 能取值为______． 【答案】 （答案不唯一，只要符合 均可） 【解析】由 得 ， 若有极值点，则 ， 所以 ，故当 或 时， ，此时 单调递增， 当 时， ，此时 单调递减，故当 时， 取极小值，因此要使 在 内有极小值，则 ， 故答案为： （答案不唯一，只要符合 均可） 14．（2023·云南红河·统考二模）若 是函数 的极小值点，则函数 在区 间 上的最大值为______． 【答案】 / 【解析】由 ，得 ， 学科网（北京）股份有限公司 7因为 是函数 的极小值点，所以 ，即 ， 即 ，解得 或 ． 当 时， ， 当 或 时， ，当 时， ， 所以， 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 是函数 的极大值点，不符合题意； 当 时， ， 当 或 时， ，当 时， ， 所以 在区间 ， 上单调递增， 在 上单调递减， 所以 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点，故 又因为 ， ， 所以函数 在 的最大值为 ． 故答案为： ． 15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， ，若 与 中恰有一个函数无极值，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】若 无极值， 则 恒成立， 即 ，解得 ； 若 无极值， 则 对 恒成立， 学科网（北京）股份有限公司 8所以 ，即 ． 所以 与 中恰有一个函数无极值， 则 或 ， 解得 ． 16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数 ，对于任意 ，都有 ，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】当 时， ，符合题意； 当 时，令 ，则 ， 可化为 ， 令 ，则 ， 时， 单调递减， 时， 单调递增， 所以 的最小值为 ， 对于任意 ，都有 ， 等价于 ，即 ， 对于①：由 在 上单调递增，且 ， 可知 ，即 且 ， 在 且 的条件下，对②：由 时， 单调递减， 可得 ，②成立， 综上可知：实数 的取值范围为 . 故答案为： 17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数 ，且f（x）在 内有两个极 值点 （ ）． (1)求实数a的取值范围； 学科网（北京）股份有限公司 9(2)求证： ． 【解析】（1）由题可知, ,令 ,即 , 即 有两个根 , 令 ,则 , 由 得, ,解得 ;由 得, ,解得 , 所以 在 单调递增, 单调递减, 时 , 所以要使 有两个根,则 , 解得 ,所以 . （2）由(1)可知 且 ，所以 要证 ，只用证 ， 等价于证明 ， 而 ，即 ， 故等价于证明 ， 即证 . 令 ，则 ， 于是等价于证明 成立， 设 ， ， 所以 在 上单调递增， 学科网（北京）股份有限公司 10故 ，即 成立， 所以 ，结论得证. 18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数 . (1)求 的极值； (2)若 恒成立，求 的取值范围. 【解析】（1）由 得 ， 令 ，故 在 单调递增，令 ，故 在 单调递减，故当 时， 取极小值，且极小值为 ，故极大值， （2）由 恒成立可得 恒成立， 记 ，则 ，令 ，则 ， 由（1）知： 在 处取极小值也是最小值，且最小值为1，故 ， 因此 在 上单调递增，且 ，故当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，故当 时， 取极小值也是最小值1，故 19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 . (1)若曲线 在 处的切线与直线 相互垂直，探究函数 的单调性； (2)若函数 有唯一的极值0，求 的值. 【解析】（1）依题意， ，故 ，解得 ， 则 ，故 ，则 ， 故当 时， ，当 时， ， 故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，故 ， 则函数 在 上单调递减； （2） ，则 ， 学科网（北京）股份有限公司 11设 唯一的极值点为 ，则 由 得， ，（*） 令 ，则 ，所以 ， 记 ，则 ， 所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，且 ， 所以当 时， ，从而 单调递减， 当 时， ，从而 单调递增， 故 ，从而 在 上单调递增， 又因为 ，所以 ，代入①可得 ， 当 时， ， ， 因为 是（*）的唯一零点，且 ， 所以 是 唯一的极值点，且极值为0，满足题意. 所以 . 20．（2023·四川成都·三模）已知函数 ，其中 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)若 是函数 的极小值点，求 的取值范围． 【解析】（1）当 时，函数 ． ． ． ∴曲线 在点 处的切线方程为 ． （2）由题知 ，不妨设 ． ． （i）当 时，不妨设 ． 在 上恒成立． 在 上单调递增． 又 ， 学科网（北京）股份有限公司 12∴当 时， ；当 时， ． ， ． ∴当 时， ，即 在 上单调递减； 当 时， ，即 在 上单调递增． 是函数 的极小值点． （ii）当 时，不妨设 ． ，使得 ，且 ． 在 上单调递减． ∴当 时， ． ∴当 时， ． 在 上单调递减． 不是函数 的极小值点． 综上所述，当 是函数 的极小值点时， 的取值范围为 ． 21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数 ． (1)求曲线 在 处的切线方程； (2)当 时，求函数 的最小值； (3)证明： 【解析】（1） . 所以 ， ， 所以 在点 处切线的方程为 ， 即 . （2）当 时， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 13令 ，则 . 当 时， ，所以 在 单调递减. 所以 . 所以 ，函数 在 上单调递减. 函数 在 上单调递减. 所以 ，即函数 的最小值为 . （3）由（2）可知 在 上单调递减. 又因为 ， 所以 . 所以 ，即 22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知 ． (1)求 在 处的切线方程； (2)若 ，记 为函数g(x)的两个极值点，求 的取值范围． 【解析】（1） ， 又 切点 切线方程为 ，即 . （2） 为两个极值点， 有两个不等的正根 ， ， ，得 ， 令 ，得 ， ， ，则 ，则 ， 在 递减， ， 学科网（北京）股份有限公司 14即 的取值范围为 ． 1．（2022•乙卷）函数 在区间 ， 的最小值、最大值分别为 A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】 【解析】 ， ， ， 则 ， 令 得， 或 ， 当 ， 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当 ， 时， ， 单调递增， 在区间 ， 上的极大值为 ，极小值为 ， 又 ， ， 函数 在区间 ， 的最小值为 ，最大值为 ， 故选： ． 2．（2021•乙卷）设 ，若 为函数 的极大值点，则 A． B． C． D． 【答案】 【解析】令 ，解得 或 ，即 及 是 的两个零点， 当 时，由三次函数的性质可知，要使 是 的极大值点，则函数 的大致图象如下图所示， 则 ； 学科网（北京）股份有限公司 15当 时，由三次函数的性质可知，要使 是 的极大值点，则函数 的大致图象如下图所示， 则 ； 综上， ． 故选： ． 3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数 既有极大值也有极小值，则 A． B． C． D． 【答案】 【解析】函数定义域为 ， 且 ， 由题意，方程 即 有两个正根，设为 ， ， 则有 ， ，△ ， ， ， ，即 ． 故选： ． 4．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数 ，则 A． 有两个极值点 B． 有三个零点 C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线 【答案】 【解析】 ，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ， 在 上 单 调 递 增 ， 在 上 单 调 递 减 ， 且 学科网（北京）股份有限公司 16， 有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项 正确，选项 错误； 又 ，则 关于点 对称，故选项 正确； 假设 是曲线 的切线，设切点为 ，则 ，解得 或 ， 显然 和 均不在曲线 上，故选项 错误． 故选： ． 5．（2022•乙卷）已知 和 分别是函数 且 的极小值点和极大值点．若 ，则 的取值范围是 ． 【答案】 ． 【解析】对原函数求导 ，分析可知： 在定义域内至少有两个变号零点， 对其再求导可得： ， 当 时，易知 在 上单调递增，此时若存在 使得 ， 则 在 单调递减， ， 单调递增， 此时若函数 在 和 分别取极小值点和极大值点，应满足 ，不满足题意； 当 时，易知 在 上单调递减，此时若存在 使得 ， 则 在 单调递增， ， 单调递减，且 ， 此时若函数 在 和 分别取极小值点和极大值点，且 ， 故仅需满足 ， 即： ， 解得： ，又因为 ，故 综上所述： 的取值范围是 ． 6．（2023•北京）设函数 ，曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ． （Ⅰ）求 ， 的值； （Ⅱ）设 ，求 的单调区间； （Ⅲ）求 的极值点的个数． 学科网（北京）股份有限公司 17【解析】（Ⅰ）因为函数 ， 所以 ， 因为 在点 ， （1） 处的切线方程为 ， 所以 ，即 ， 解得 ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 令 ，解得 或 ， 所以 与 的关系列表如下： 0 ， ， 0 0 0 单调递 单调递减 单调递增 单调递减 增 所以 在区间 和 ， 上单调递增，在区间 和 ， 上单调递减； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当 时， 单调递增， 当 时， ， ， 所以存在 ，使得 ， 又因为 在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 所以 是 的一个极小值点； 当 时， 单调递减，且 （1） ， 所以存在 ，使得 ，所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 所以 是 的一个极大值点； 当 ， 时， 单调递增， 又因为 （3） ，所以存在 ， ，使得 ， 所以 在 ， 上单调递减， ， 上单调递增， 所以 是 的一个极小值点， 学科网（北京）股份有限公司 18又因为当 时， ，所以 在 上单调递增，无极值点； 综上， 在定义域 上有3个极值点． 7．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当 时， ； （2）已知函数 ，若 为 的极大值点，求 的取值范围． 【解析】（1）证明：设 ， ， 则 ， ， 在 上单调递减， ， 在 上单调递减， ， 即 ， ， ， ， 设 ， ， 则 ， 在 上单调递增， ， ， 即 ， ， ， ， 综合可得：当 时， ； （2） ， ， 且 ， ， ①若 ，即 时， 易知存在 ，使得 时， ， 在 上单调递增， ， 在 上单调递增，这显然与 为函数的极大值点相矛盾，故舍去； ②若 ，即 或 时， 存在 ，使得 ， 时， ， 在 ， 上单调递减，又 ， 当 时， ， 单调递增； 学科网（北京）股份有限公司 19当 时， ， 单调递减，满足 为 的极大值点，符合题意； ③若 ，即 时， 为偶函数， 只考虑 的情况， 此时 ， 时， ， 在 上单调递增，与显然与 为函数的极大值点相矛盾，故舍去． 综合可得： 的取值范围为 ， ， ． 8．（2023•乙卷）已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）是否存在 ， ，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求 ， 的值，若不存在，说明理 由； （3）若 在 存在极值，求 的取值范围． 【解析】（1） 时， （1） ， ， （1） ， 曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ． （2） ，定义域为 ， ， ， 要使函数 的图像关于 对称，则由 ，且 ，可知 ， 即 的图像关于 对称， 则 （1） ， ， 得 ，解得 ． 综上， ， ； （3） ， 要使 在 存在极值点，则方程 有正根， 学科网（北京）股份有限公司 20记 ， ， ， ①当 时， ，故 在 上单调递增， ，不符合题意； ②当 时， ，故 在 上单调递减， ，不符合题意； ③当 时，令 ， ，令 ， ， 故 在 上单调递增，在 ， 上单调递减； 故只需 ， 记 ， ， ， 故 在 上单调递增， （2） ， 故取 ， ，有 ，即 ，符合题意； 综上所述， 时， 在 存在极值点． 9．（2021•北京）已知函数 ． （Ⅰ）若 ，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （Ⅱ）若 在 处取得极值，求 的单调区间，并求其最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ） 的导数为 ， 可得 在 处的切线的斜率为 ， 则 在 ， （1） 处的切线方程为 ， 即为 ； （Ⅱ） 的导数为 ， 由题意可得 ，即 ，解得 ， 可得 ， 学科网（北京）股份有限公司 21， 当 或 时， ， 递增；当 时， ， 递减． 函数 的图象如右图，当 ， ； ， ， 则 在 处取得极大值1，且为最大值1；在 处取得极小值 ，且为最小值 ． 所以 的增区间为 ， ，减区间为 ； 的最大值为1，最小值为 ． 10．（2021•天津）已知 ，函数 ． （1）求曲线 在点 ， 处的切线方程； （2）证明函数 存在唯一的极值点； （3）若 ，使得 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围． 【解析】（1）因为 ，所以 ，而 ， 所以在 ， 处的切线方程为 ； （2）证明：令 ，则 ， 令 ，则 ，令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 当 时， ，当 时， ， 作出图象，如图， 学科网（北京）股份有限公司 22所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ， 则 ，且 ， 当 时， ， ， 为增函数； 当 时， ， ， 为减函数； 所以 时是 的极大值点，故 仅有一个极值点； （3）由（2）知 ， 此时 ， ， 所以 ， 令 ， 若存在 ，使 对任意的 恒成立， 则等价于存在 ，使得 ，即 ， 而 ， ， 当 时， ， 为单调减函数， 当 时， ， 为单调增函数， 所以 （1） ，故 ， 所以实数 的取值范围 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 23