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2025年中考数学一轮复习
第20讲 命题与证明
一．选择题（共20小题）
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．三角形的内心是三角形三条角平分线交点
B．对角线相等的四边形是菱形
C．五边形的内角和是360°
D．等边三角形是中心对称图形
2．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，P是∠BAC内部一点，连结PA，PB，PC，有以下三个命题：
①若AP平分∠BAC，PB＝PC，则△PAB≌△PAC；
②若∠ABC＝∠ACB，PB＝PC，则△PAB≌△PAC；
③若AP平分∠BAC，∠ABC＝∠ACB，则△PAB≌△PAC．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
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B．对角线相等的菱形是正方形
C．平分弦的直径垂直于弦
D．数轴上的点与有理数一一对应
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形
B．若甲、乙两组数据的方差S2 =0.39，S2 =0.27，则甲组数据比乙组数据稳定
甲 乙
C．线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则AC=√5−1
9
D．二次函数y=x2+3x+
的顶点在x轴
4
6．下列命题是真命题的是（ ）
π
A． 是有理数
2
B．﹣a是负数
C．若|a|＝1，则a＝±1
D．S＝ r2中，S， ，r均为变量
7．某次歌π手大奖赛中π，呼声最高的六名选手为a，b，c，d，e，f，他们顺利地进入决赛争夺前六名，甲
预测比赛结果为abcdef，结果没有猜中任何一名选手的名次，乙预测比赛结果为 fedcba，他猜中了两
名选手的名次，丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁虽然没有猜中名次，但
各猜对了两对相邻选手的名次顺序，那么实际的名次顺序是（ ）
A．cedafb B．ecfbad C．ceadfb D．daecfb
8．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
9．已知，如图：在四边形ABCD中，如果AB＝CD，BC＝DA，“华益必胜”，那么四边形ABCD是菱
形．在以上真命题中，“华益必胜”可以表示的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC
10．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转160°后可以开到最大，若门扇的宽度OA＝90cm，
则旋转过程中点A经过的路径长为（ ）
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A．60 cm B．80 cm C．100 cm D．120 cm
11．下列π命题：①对顶角相等π；②同位角相等，两直π线平行；③若|a|＝|b|π，则a＝b；④若x＞y，则
a2x＞a2y．其中是真命题的是（ ）
A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③④
12．请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线l与 O相切于点C．
求证：OC与直线⊙l垂直．
证明：如图，假设OC与直线l不垂直，过点O作OM⊥直线l于点M．
∴OM＜OC，即圆心O到直线l的距离小于 O的半径．
∴直线l与 O相交． ⊙
这与已知“⊙直线l与 O相切”相矛盾．
∴假设不成立． ⊙
∴OC与直线l垂直．
这种证明方法为（ ）
A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法
13．下列命题，说法正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等
B．对角线相等且垂直的四边形是正方形
C．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D．圆内接四边形对角互补
14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3图象上两点P（x ，y ），Q（x ，y ），且y ＜y .下列命题正确的是（
1 1 2 2 1 2
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）
A．若|x +1|＞|x +1|，则a＜0 B．若|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则a＞0
1 2 1 2
C．若|x +1|＞|x +1|，则a＞0 D．若|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则a＜0
1 2 1 2
15．下列说法正确的有（ ）
①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②若a是实数，则|a|＞0是必然事件；
③两个角的两边分别平行，则这两个角相等；
④任何实数的零次幂都为1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
17．下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
18．下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线相互垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形
19．已知四边形ABCD，对角线AC和BD交于点O，则下列命题是真命题的是（ ）
A．如果OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，那么四边形ABCD为平行四边形
B．如果AB＝CD，OB＝OD，那么四边形ABCD为平行四边形
C．如果AD∥BC，∠ADB＝∠CBD，那么四边形ABCD为平行四边形
D．如果AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，那么四边形ABCD为平行四边形
20．下列命题中正确的是（ ）
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A．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
B．如果a＜0，那么√a2=−a，(√−a) 2=−a
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
4
D．对于函数y= ，y随x的增大而减小
x
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2025年中考数学一轮复习之命题与证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．下列命题中，真命题是（ ）
A．三角形的内心是三角形三条角平分线交点
B．对角线相等的四边形是菱形
C．五边形的内角和是360°
D．等边三角形是中心对称图形
【考点】命题与定理；中心对称图形；等边三角形的性质；菱形的判定；三角形的内切圆与内心．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】利用三角形的内心的性质、菱形的判定方法、多边形的内角和及等边三角形的对称性分别判
断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，正确，是真命题，符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图象，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
2．能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
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【分析】根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
【解答】解：A、如图，两个角都是30°，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的
角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是30°，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假
命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正
确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．如图，P是∠BAC内部一点，连结PA，PB，PC，有以下三个命题：
①若AP平分∠BAC，PB＝PC，则△PAB≌△PAC；
②若∠ABC＝∠ACB，PB＝PC，则△PAB≌△PAC；
③若AP平分∠BAC，∠ABC＝∠ACB，则△PAB≌△PAC．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】命题与定理；全等三角形的判定；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据全等三角形判定定理逐项判断即可．
【解答】解：若AP平分∠BAC，根据角平分线的性质得出P导角两边的距离相等，又PB＝PC，AP＝
AP，故能得到△PAB≌△PAC，①正确；
若∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC，又PB＝PC，AP＝AP，由SSS可知△PAB≌△PAC，故②正确；
若AP平分∠BAC，则∠PAB＝∠PAC，又∠ABC＝∠ACB，可得AB＝AC，而PA＝PA，由SAS可知
△PAB≌△D，故③正确；
故选：D．
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【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握等腰三角形判定与性质，全等三角形判定定理．
4．下列命题中是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．对角线相等的菱形是正方形
C．平分弦的直径垂直于弦
D．数轴上的点与有理数一一对应
【考点】命题与定理；实数与数轴；同位角、内错角、同旁内角；平行线的性质；正方形的判定；垂
径定理．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】B
【分析】选项A根据平行线的性质判断即可；选项B根据正方形的判定方法判断即可；选项C根据垂
径定理判断即可；选项D根据实数与数轴的关系判断即可．
【解答】解：两直线平行，同旁内角互补，故选项A是假命题，不符合题意；
对角线相等的菱形是正方形，是真命题，故选项B符合题意；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项C是假命题，不符合题意；
数轴上的点与实数一一对应，故选项D是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，平行线的性质，正方形的判定，垂径定理，实数与数轴，掌握以上知
识点是解题的关键．
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形
B．若甲、乙两组数据的方差S2 =0.39，S2 =0.27，则甲组数据比乙组数据稳定
甲 乙
C．线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则AC=√5−1
9
D．二次函数y=x2+3x+
的顶点在x轴
4
【考点】命题与定理；黄金分割；二次函数的性质；平行四边形的性质；矩形的判定；中点四边形．
【专题】二次函数图象及其性质；统计的应用；多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等逐项判断即可．
【解答】解：顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是平行四边形；故A错误，不符合题意；
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若甲、乙两组数据的方差S2 =0.39，S2 =0.27，则乙组数据比甲组数据稳定；故B错误，不符合题
甲 乙
意；
线段AB的长度是2，点C是线段AB的黄金分割点且AC＜BC，则BC=√5−1，故C错误，不符合题
意；
9 3
二次函数y=x2+3x+ 的顶点为（− ，0），在x轴上，故D正确，符合题意；
4 2
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握中点四边形，方差，黄金分割，二次函数性质等知
识．
6．下列命题是真命题的是（ ）
π
A． 是有理数
2
B．﹣a是负数
C．若|a|＝1，则a＝±1
D．S＝ r2中，S， ，r均为变量
【考点】π命题与定理π；常量与变量．
【专题】实数；函数及其图象；数感．
【答案】C
【分析】选项A根据有理数的分类判断即可；选项B根据负数的定义判断即可；选项C根据绝对值的
性质判断即可；选项D根据函数的定义判断即可．
π
【解答】解： 是无理数，故A是假命题，不符合题意；
2
﹣a有可能是负数，有可能是正数，也有可能是0，故B是假命题，不符合题意；
若|a|＝1，则a＝±1，故C是真命题，符合题意；
S＝ t2 中，S，r均为变量， 为常量，故D是假命题，不符合题意．
故选π：C． π
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握有理数、负数的定义，绝对值的性质以及函数的定
义．
7．某次歌手大奖赛中，呼声最高的六名选手为a，b，c，d，e，f，他们顺利地进入决赛争夺前六名，甲
预测比赛结果为abcdef，结果没有猜中任何一名选手的名次，乙预测比赛结果为 fedcba，他猜中了两
名选手的名次，丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁虽然没有猜中名次，但
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各猜对了两对相邻选手的名次顺序，那么实际的名次顺序是（ ）
A．cedafb B．ecfbad C．ceadfb D．daecfb
【考点】推理与论证；列代数式．
【专题】猜想归纳；整式；推理能力．
【答案】A
【分析】根据丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁没有猜中名次，可排除B
和D，根据丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜
对了两对相邻选手的名次顺序，可判断正确的顺序有 fb组合且fb不是第四名和第五名，e不是第三名，
根据甲预测比赛结果为abcdef，结果没有猜中任何一名选手的名次，可判断d不是第四名，排除C．
【解答】解：∵丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁没有猜中名次，
∴可排除B和D，
∵丙预测比赛结果为daefbc，丁预测比赛结果为acefbd，丙和丁虽然没有猜中名次，但各猜对了两对
相邻选手的名次顺序，
∴正确的顺序有fb组合且fb不是第四名和第五名，e不是第三名，
∵甲预测比赛结果为abcdef，结果没有猜中任何一名选手的名次，
∴d不是第四名，排除C．
故选：A．
【点评】此题主要考查了推理与论证，解决本题的关键，是要综合考虑甲乙丙丁的猜测情况，利用排
除法解答．
8．用反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，应先假设（ ）
A．三个内角都是锐角 B．三个内角都是钝角
C．三个内角都不是锐角 D．三个内角都不是钝角
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明命题“一个三角形中至少有一个内角是锐角”时，先假设三个内角都不是锐
角，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意
考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须
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一一否定．
9．已知，如图：在四边形ABCD中，如果AB＝CD，BC＝DA，“华益必胜”，那么四边形ABCD是菱
形．在以上真命题中，“华益必胜”可以表示的条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．AD∥BC C．AB＝BC D．AB∥DC
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据菱形的定义判定即可，“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”．
【解答】解：根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，可得“华益必胜”可以表示的是 AB＝
BC．
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理的知识及菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的定义是解题的关键．
10．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转160°后可以开到最大，若门扇的宽度OA＝90cm，
则旋转过程中点A经过的路径长为（ ）
A．60 cm B．80 cm C．100 cm D．120 cm
【考点π】轨迹；生活中的旋转π现象． π π
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
160π×90
【分析】根据旋转过程中点A经过的路径长为： =80π(cm)即可计算．
180
160π×90
【解答】解：旋转过程中点A经过的路径长为： =80π(cm)．
180
故选：B．
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【点评】本题考查弧长的应用，解题的关键是掌握弧长公式，据此解答即可．
11．下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若|a|＝|b|，则a＝b；④若x＞y，则
a2x＞a2y．其中是真命题的是（ ）
A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③④
【考点】命题与定理；绝对值；平行线的判定与性质．
【专题】几何图形；应用意识．
【答案】B
【分析】根据对顶角相等，平行线的判定，等式的性质，不等式的性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：对顶角相等，故①为真命题；
同位角相等，两直线平行，故②为真命题；
若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故③为假命题；
若x＞y，当a≠0时，则a2x＞a2y，故④为假命题．
故选：B．
【点评】本题考查命题的真假，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线l与 O相切于点C．
求证：OC与直线⊙l垂直．
证明：如图，假设OC与直线l不垂直，过点O作OM⊥直线l于点M．
∴OM＜OC，即圆心O到直线l的距离小于 O的半径．
∴直线l与 O相交． ⊙
这与已知“⊙直线l与 O相切”相矛盾．
∴假设不成立． ⊙
∴OC与直线l垂直．
这种证明方法为（ ）
A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法
【考点】反证法；直线与圆的位置关系；切线的性质．
【专题】反证法；推理能力．
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【答案】D
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】证明：假设OC与直线l不垂直，过点O作OM⊥直线l于点M．
∴OM＜OC，即圆心O到直线l的距离小于 O的半径．
∴直线l与 O相交． ⊙
这与已知“⊙直线l与 O相切”相矛盾．
∴假设不成立． ⊙
∴OC与直线l垂直．
这种证明方法为反证法，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出
发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
13．下列命题，说法正确的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，则内错角相等
B．对角线相等且垂直的四边形是正方形
C．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
D．圆内接四边形对角互补
【考点】命题与定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、正方形的判定方法、圆内接四边形的知识分别判断后即可确定正确的选
项．
【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，则内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意；
C、同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等，故原命题错误，不符合题意；
D、圆内接四边形对角互补，正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、正方形的判定方法、圆内
接四边形的知识，难度不大．
14．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3图象上两点P（x ，y ），Q（x ，y ），且y ＜y .下列命题正确的是（
1 1 2 2 1 2
）
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A．若|x +1|＞|x +1|，则a＜0 B．若|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则a＞0
1 2 1 2
C．若|x +1|＞|x +1|，则a＞0 D．若|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则a＜0
1 2 1 2
【考点】命题与定理；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据a＞0时，离对称轴直线水平距离越远，函数值越大，a＜0时，离对称轴直线水平距离
越远，函数值越小可得答案．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3图象的对称轴为直线x＝1，
∵y ＜y ，
1 2
∴若|x ﹣1|＜|x ﹣1|，则a＞0；
1 2
若|x ﹣1|＞|x ﹣1|，则a＜0；
1 2
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握 a＞0时，离对称轴直线水平距离越远，函数值
越大，a＜0时，离对称轴直线水平距离越远，函数值越小．
15．下列说法正确的有（ ）
①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②若a是实数，则|a|＞0是必然事件；
③两个角的两边分别平行，则这两个角相等；
④任何实数的零次幂都为1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；随机事件；零指数幂；垂线．
【专题】实数；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据垂直的定义、实数绝对值，平行线的性质、零指数幂判断即可．
【解答】解：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
②若a是实数，则|a|＞0是随机事件，故本小题说法错误；
③两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故本小题说法错误；
④除灵外的任何实数的零次幂都为1，故本小题说法错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的
真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
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16．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且相等的是菱形
C．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
【考点】命题与定理．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，本选项命题是真命题，符合题意；
D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的
真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
17．下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【考点】命题与定理；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质．
【专题】空间观念．
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别
判断后即可
【解答】解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此
选项不符合题意；
B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题，本选项
符合题意；
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C、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，
是真命题，故此选项不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，掌握三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角
三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
18．下列命题正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线相互垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形
【考点】命题与定理；轴对称图形；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质、菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意
D、对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的
真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
19．已知四边形ABCD，对角线AC和BD交于点O，则下列命题是真命题的是（ ）
A．如果OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，那么四边形ABCD为平行四边形
B．如果AB＝CD，OB＝OD，那么四边形ABCD为平行四边形
C．如果AD∥BC，∠ADB＝∠CBD，那么四边形ABCD为平行四边形
D．如果AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，那么四边形ABCD为平行四边形
【考点】命题与定理；平行四边形的判定．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行四边形的判定分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：A、如果OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不
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符合题意；
B、如果AB＝CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、如果AD∥BC，∠ADB＝∠CBD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、如果AB∥CD，则∠ABC+∠BCD＝180°，再由∠ABC＝∠ADC，可得∠ADC+∠BCD＝180°，则得
到AD∥BC，那么四边形ABCD为平行四边形，故本选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了真命题及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
20．下列命题中正确的是（ ）
A．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条角平分线的交点
B．如果a＜0，那么√a2=−a，(√−a) 2=−a
C．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
4
D．对于函数y= ，y随x的增大而减小
x
【考点】命题与定理；二次根式有意义的条件；反比例函数的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三
角形的性质．
【专题】实数；反比例函数及其应用；三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】利用三角形的外心的定义、二次根式的性质、等腰三角形的性质及反比例函数的性质分别判
断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，故原命题错误，
不符合题意；
B、如果a＜0，那么√a2=−a，(√−a) 2=−a正确，符合题意；
C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线互相重合，故原命题错误，不符合题意；
4
D、对于函数y= ，在每一象限内y随x的增大而减小，故原命题错误，不符合题意．
x
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
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考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点
表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是
在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原
点左侧，绝对值大的反而小．
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
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【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
5．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．√a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式
的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
6．常量与变量
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是
否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如 是常量．
π
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7．反比例函数的性质
反比例函数的性质
k
（1）反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；
x
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
8．二次函数的性质
b 4ac−b2 b
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（− ， ），对称轴直线x=− ，二次函数y＝
2a 4a 2a
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
b b
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜− 时，y随x的增大而减小；x＞− 时，
2a 2a
b 4ac−b2
y随x的增大而增大；x=− 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
2a 4a
b b
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜− 时，y随x的增大而增大；x＞− 时，
2a 2a
b 4ac−b2
y随x的增大而减小；x=− 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
2a 4a
b
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|− |个单位，再向上或
2a
4ac−b2
向下平移| |个单位得到的．
4a
9．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置
关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两
个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
10．垂线
（1）垂线的定义
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当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另
一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
11．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线
（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线
（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直
线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决
定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此
直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，
内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
12．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
13．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数
量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
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14．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助
平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方
法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
15．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对
应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角
的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
16．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
17．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
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18．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
19．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
20．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
21．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
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该定理可以用来判定直角三角形．
22．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
1
∴DE∥BC，DE= BC．
2
23．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
24．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行
四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行
四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行
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四边形．
25．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等
角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、
分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用
定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质
和判定去解决问题．
26．菱形的判定
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
27．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相
等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
28．正方形的判定
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正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
29．中点四边形
瓦里尼翁平行四边形（Varignon parallelogram）是四边形的一个特殊内接四边形．顺次连结四边形各边中
点而成的四边形是平行四边形，称为瓦里尼翁平行四边形．它的面积是原四边形面积的一半，这个平行
四边形是瓦里尼翁（P．Varignon）发现的．
30．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
31．直线与圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点
叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设 O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和 O相交 d＜r ⊙
②直线l和⊙O相切⇔d＝r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
32．切线的⊙性质 ⇔
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
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如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
33．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
34．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是
由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分
是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般
需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
35．推理与论证
（1）推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程．
①演绎推理是从一般规律出发，运用逻辑证明或数学运算，得出特殊事实应遵循的规律，即从一般到特
殊．
②归纳推理就是从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论，即从特殊到一般．
（2）论证：用论据证明论题的真实性．
证明中从论据到论题的推演．通过推理形式进行，有时是一系列的推理方式．因此，论证必须遵守推理
的规则．有时逻辑学家把“证明”称为“论证”，而将“论证”称为“论证方式”．
简单来说，论证就是用一个或一些真实的命题确定另一命题真实性的思维形式．
36．反证法
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（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证
法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是
“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
37．轨迹
轨迹 数学概念轨迹数学概念：在数学中，轨迹是由满足坐标关系的特定方程的所有点，或由一个点、线
或运动曲面构成的曲线或其他形状．所有的形状，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等．
38．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫
做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对
称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
39．生活中的旋转现象
（1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做
旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点．
（2）注意：
①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能
够重合，这时判断旋转的关键．
②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
40．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形
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自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
41．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：
AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
√5−1
其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
2
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为
√5−1
黄金比： ；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄
2
√5−1
金比： ．
2
√5−1
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为 ．
2
42．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必
然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
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