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2025年中考数学一轮复习
第28讲 图形的旋转
一．选择题（共10小题）
1．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A，B的对应点分别为点 A′，B′，
A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝90°，则∠A的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
2．在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表着物质
生活的顺利又代表着精神生活的满足．如图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心
对称的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△BAC绕点A逆时针旋转45°至△B'AC'，线段B'C'与
线段AC交于点D，若AD=2√6，则线段AB的长为（ ）
A．4 B．4√3 C．1+2√3 D．2+2√3
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4．把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点
O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A．10 B．5√2 C．5+5√2 D．10√2
5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝2，CB＝4．将△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，
边BC上的一点P旋转后的对应点为Q，连接AQ，PD，则AQ+DP的最小值是（ ）
A．3√3 B．2√7 C．2+2√3 D．4√3
6．如图，直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），线段AB绕点B按顺时针方向旋转45°得到线段
BC，则点C的纵坐标为（ ）
√2 7√2
A．5 B．3+√2 C．5− D．
2 2
7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转88°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠ 的度数是（ ）
α
A．38° B．48° C．58° D．68°
8．如图，在平面直角坐标系中，点 O，O ，A，A ，B，B ，C，C ，……都是平行四边形的顶点，点
1 1 1 1
A ， B ， C ， … … 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ，
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； ， 平
∠AOO =30°，OA=√3，AB=2√3，BC=3√3，OO =2，A A =4，BB =6，⋯
1 1 1 1
行四边形按此规律依次排列，则第8个平行四边形对称中心的坐标是（ ）
A．(36√3，4) B．(36，4√3) C．（36，4） D．（4，36）
9．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE绕点A旋
转，连接CD，点F是CD的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2−√2 C．4−√2 D．4−2√2
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA＝6．
OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ）
A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
二．填空题（共5小题）
11．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝EF＝8，AB＝DF＝10，将△DEF的顶点D与AB边的中点重合，并将
△DEF绕着点D旋转．在旋转过程中，∠EDF的边DF、DE始终与BC边相交，交点分别为M、N．
当CN＝BM时，MN的长是 .
12．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转
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90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 ．
13．如图，点D是等边△ABC边AC上一动点，线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF，
连接BD并延长交AF与点E，若AB＝8，BD＝7，则AE的长是 ．
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4，CO为斜边中线，点P为线段AO上一动点
将线段PC绕点P逆时针旋转90°得线段PQ，连接CQ，OQ，当PC垂直于△ABC的一边时，线段OQ
的值为 ．
15．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°
得到AC，则点C坐标是 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交
点）．
（1）以点C为旋转中心，将线段AB绕点C旋转180°得到线段A'B'，画出线段A'B'．
（2）平移线段AB得到线段CD，使点B与点C重合，画出线段CD．
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（3）用无刻度的直尺画出线段AB的中点M．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，△ABC与
△EFG的顶点都在格点上．
（1）作△A B C ，使△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称．
1 1 1 1 1 1
（2）已知△ABC与△EFG关于点P成中心对称，请在图中画出点P的位置，并写出该点的坐标．
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交
点）．
（1）将线段AC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段DE，画出线段DE；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（3）在线段AC上描出点F，使得BF为△ABC的角平分线．（作图过程用虚线表示）
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19．如图所示，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣2）、C（﹣4，﹣1）请在所给的
正方形网格中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB C ，画出△AB C ．
1 1 1 1
（2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A B C ．
2 2 2
（3）若△A B C 可看作是由△AB C 旋转得来，则旋转中心坐标为 ．
2 2 2 1 1
20．在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，E为BC边上一点，将线段ED绕点E按逆时
针方向旋转90°得到EF，连接DF，AF．
（1）如图1，若点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO．
（2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG．过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结
BF．若AC＝BC＝16，CE＝2，求DG的长．
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第28讲 图形的旋转
一．选择题（共10小题）
1．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A，B的对应点分别为点 A′，B′，
A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝90°，则∠A的度数为（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质得出∠ACA'＝35°，∠A＝∠A'，再根据直角三角形两锐角互余即可推出结果．
【解答】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，
∴∠ACA'＝35°，∠A＝∠A'，
又∠A′DC＝90°，
∴∠A'＝90°﹣35°＝55°，
∴∠A＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
2．在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如意的意思，既代表着物质
生活的顺利又代表着精神生活的满足．如图是“福禄寿喜”变形设计图，其中是轴对称，但不是中心对
称的是（ ）
A． B．
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C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解答本题的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．如图，在△BAC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将△BAC绕点A逆时针旋转45°至△B'AC'，线段B'C'与
线段AC交于点D，若AD=2√6，则线段AB的长为（ ）
A．4 B．4√3 C．1+2√3 D．2+2√3
【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】作DH⊥AB'于H，利用旋转的性质得∠CAB'＝∠BAB'＝45°，∠B＝∠B'，再解△ADB'即可．
【解答】解：作DH⊥AB'于H，
∵将△BAC绕点A逆时针旋转45°至△B'AC'，
∴∠CAB'＝∠BAB'＝45°，∠B＝∠B'，
∵AD=2√6，
∴DH＝AH＝2√3，
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∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝∠B'＝60°，
∴B'H＝2，
∴AB'＝AH+B'H＝2√3+2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线转化为特殊的直角
三角形是解题的关键．
4．把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点
O，则四边形ABOD′的周长是（ ）
A．10 B．5√2 C．5+5√2 D．10√2
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】在Rt△AB′C′中，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，在
Rt△OBC′中，由勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．
【解答】解：连接AC′，
∵四边形AB'C'D'是正方形，
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∴∠D'AC'＝45°，
∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，
∴∠D'AC'＝∠D'AB＝45°，
∴B在对角线AC′上，
∵B′C′＝AB′＝5，
在Rt△AB′C′中，AC′=√B' A❑ 2+B'C'❑ 2=√25+25=5√2，
∴BC′＝5√2−5，
在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝5√2−5，
在Rt△OBC′中，OC′=√2（5√2−5）＝10﹣5√2，
∴OD′＝5﹣OC′＝5√2−5，
∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝10+5√2−5+5√2−5＝10√2，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接
BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．
5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝2，CB＝4．将△ACB绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，
边BC上的一点P旋转后的对应点为Q，连接AQ，PD，则AQ+DP的最小值是（ ）
A．3√3 B．2√7 C．2+2√3 D．4√3
【考点】旋转的性质；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′P，过D作DH⊥CA于H，由AQ+DP＝DP+AP
＝DP+A′P≤A′D，当A′，P，D三点共线时，AQ+DP＝A′D最小，再进一步利用勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′P，过D作DH⊥CA于H，
∴AP＝A′P，A，C，A′共线，AC＝A′C＝2，
由旋转可得：AP＝AQ，AC＝AD＝2，
∴AQ+DP＝DP+AP＝DP+A′P≤A′D，
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当A′，P，D三点共线时，AQ+DP＝A′D最小，
∵∠CAD＝120°，
∴∠DAH＝60°，∠ADH＝30°，
1
∴AH= AD=1，DH=√22−12=√3，
2
∴A′H＝2+2+1＝5，
∴A'D=√52+(√3) 2=2√7；
∴AQ+DP的最小值是2√7；
故选：B．
【点评】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的
辅助线是解本题的关键．
6．如图，直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），线段AB绕点B按顺时针方向旋转45°得到线段
BC，则点C的纵坐标为（ ）
√2 7√2
A．5 B．3+√2 C．5− D．
2 2
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的
判定与性质．
【专题】三角形．
【答案】D
【分析】过点A作DA⊥AB交BC的延长线于点D，过D作DE⊥y轴，DG⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，
由勾股定理，旋转求出AB，BC的长，先证明△AOB≌△DEA，求出DG的长，证明△BFC∽△BGD，利
用相似比，求出CF的长即可．
【解答】解：过点A作DA⊥AB交BC的延长线于点D，过D作DE⊥y轴，DG⊥x轴，过点C作CF⊥x
轴，
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则∠DAB＝∠DEA＝∠AOB＝90°，CF∥DG，OE＝DG，
∵点A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
∵经过旋转，
∴∠ABC＝45°，AB＝BC＝5，
∵∠DAB＝90°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝AD＝5，BD=√2AB=5√2，
∴∠OAB＝∠EDA＝90°﹣∠EAD
∴△AOB≌△DEA，
∴AE＝OB＝3，
∴DG＝OE＝OA+AE＝7，
∵CF∥DG，
∴△BFC∽△BGD，
CF BC 5
∴ = = ，
DG BD 5√2
√2 7√2
∴CF= DG= ，
2 2
7√2
∴C点的纵坐标为 ，
2
故选：D．
【点评】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，综合性强，属于选择题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形．
7．如图，△OAB绕点O逆时针旋转88°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠ 的度数是（ ）
α
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A．38° B．48° C．58° D．68°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和180度求出∠COD度数，再利用旋转角减去∠COD度数即可．
【解答】解：根据旋转的性质可知：∠C＝∠A＝110°，
在△COD中，∠COD＝180°﹣110°﹣40°＝30°．
∵旋转角∠AOC＝88°，
∴∠ ＝88°﹣30°＝58°．
故选α：C．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．
8．如图，在平面直角坐标系中，点 O，O ，A，A ，B，B ，C，C ，……都是平行四边形的顶点，点
1 1 1 1
A ， B ， C ， … … 在 x 轴 的 正 半 轴 上 ，
∠AOO =30°，OA=√3，AB=2√3，BC=3√3，OO =2，A A =4，BB =6，⋯； ， 平 行
1 1 1 1
四边形按此规律依次排列，则第8个平行四边形对称中心的坐标是（ ）
A．(36√3，4) B．(36，4√3) C．（36，4） D．（4，36）
【考点】中心对称；规律型：点的坐标；平行四边形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】A
【 分 析 】 先 求 出 前 几 个 点 的 坐 标 ， 找 到 规 律 第 n 个 平 行 四 边 形 的 对 称 中 心 坐 标 为
n
((1+2+3+⋅⋅⋅+n)√3， )，即可求解．
2
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【解答】解：如图所示，连接O M⊥x轴于点M，10
1
∵∠AOO ＝30°，OO ＝2
1 1
∴OM=√3，O M=1
1
又∵OA=√3，
∴A，M重合，
∴O A⊥OA
1
1
则O A的中点即为所第1个平行四边形的对称中心，其坐标为(√3， )；
1 2
同理可得A B⊥AB，OB=OA+AB=√3+2√3=3√3，A B＝2，则A B的中点坐标即第2个平行四边形
1 1 1
的对称中心坐标为(3√3，1)
3
同理可得第3个平行四边形的对称中心坐标为(6√3， )
2
……
n
同理可得第n个平行四边形的对称中心坐标为((1+2+3+⋅⋅⋅+n)√3， )
2
8
∴第8个平行四边形的对称中心的坐标是((1+2+3+⋅⋅⋅+8)√3， )即(36√3，4)10
2
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，点的坐标规律，正确找到关键是解题关键．
9．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝4，AE＝2，△ADE绕点A旋
转，连接CD，点F是CD的中点，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2−√2 C．4−√2 D．4−2√2
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
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1 1
【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAH，可得BD＝CH，由三角形中位线定理可得EF= CH= BD，可
2 2
得当BD为最小值时，EF有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，延长DE至H，使EH＝DE，连接BD，AH，CH，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠AED，AD=√2AE＝2√2，
又∵DE＝EH，
∴AD＝AH，
∴∠ADE＝∠AHE＝45°，
∴∠DAH＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAH，
∴△BAD≌△CAH（SAS），
∴BD＝CH，
∵DE＝EH，点F是CD的中点，
1 1
∴EF= CH= BD，
2 2
∴当BD为最小值时，EF有最小值，
当点D在AB上时，BD有最小值为4﹣2√2，
∴EF＝2−√2，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定
理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA＝6．
OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（ ）
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A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【考点】中心对称；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】当直线经过AC的中点时，直线把矩形的面积等分，求出AC的中点，代入直线的解析式求出b
即可．
【解答】解：∵OA＝6．OC＝8，
∴A（0，6），C（8，0），
∴AC中点的坐标为（4，3），
把（4，3）代入y＝2x+b得，
2×4+b＝3，
解得b＝﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称、矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中心
对称的定义．
二．填空题（共5小题）
11．如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝EF＝8，AB＝DF＝10，将△DEF的顶点D与AB边的中点重合，并将
△DEF绕着点D旋转．在旋转过程中，∠EDF的边DF、DE始终与BC边相交，交点分别为M、N．当
CN＝BM时，MN的长是 4 .
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】4．
1
【分析】连接CD，根据勾股定理求出BC的长，再结合点D是AB边的中点，得出CD=BD= AB=5，
2
BD BM
证明△MDB∽△DNC，得出 = ，从而推出CN＝BM＝5，即可得出结果．
CN CD
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【解答】解：连接CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=√102−82=6，
∵点D是AB边的中点，
1
∴CD=BD= AB=5，
2
∴∠DCB＝∠B，
由旋转的性质知∠EDF＝∠B，
∵∠MDB＝∠MDN+∠NDB，∠MND＝∠B+∠NDB，
∴∠MDB＝∠MND，
∴△MDB∽△DNC，
BD BM
∴ = ，
CN CD
∵CN＝BM，
5 CN
∴ = ，
CN 5
∴CN＝BM＝5，
∵BC＝6，
∴MN＝BM﹣BN＝BM﹣（BC﹣CN）＝5﹣（6﹣5）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，证明△MDB∽△DNC是解题的关键．
12．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转
90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 √2− 1 ．
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【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】√2−1．
【分析】通过证明△ABF∽△OBE，可得AF=√2OE，则当点E在AC上时，OE有最小值为2−√2，即
AF的最小值为2√2−2，由等腰直角三角形的性质和锐角函数的性质可求解．
【解答】解：如图，连接AC，BD，交于点O，连接OE，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO，∠ABO＝45°，AC⊥BD，
∴AB=√2BO＝2，
∴BO＝AO=√2，
∵将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，
∴BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴BF=√2BE，∠FBE＝45°，
∴∠FBE＝∠ABO，
∴∠ABF＝∠OBE，
AB BF
又∵ = =√2，
BO BE
∴△ABF∽△OBE，
AF
∴ =√2，
OE
∴AF=√2OE，
∵AB＝AE＝2，
∴当点E在AC上时，OE有最小值为2−√2，
∴AF的最小值为2√2−2，
此时，如图，过点E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE＝2√2−2，
∴EH＝CH＝2−√2，
∴DH=√2，
EH 2−√2
∴tan∠CDE= = =√2−1，
DH √2
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方法二：连接EC，AC，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，
∴BE＝EF，∠BEF＝90°＝∠ABC，
∴∠AEF＝∠CBE，
又∵AB＝AE＝BC，
∴△AEF≌△CBE（SAS），
∴AF＝EC，
∴当点E在AC上时，AF有最小值，
此时，如图，过点E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE＝2√2−2，
∴EH＝CH＝2−√2，
∴DH=√2，
EH 2−√2
∴tan∠CDE= = =√2−1，
DH √2
故答案为：√2−1．
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【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证
明三角形相似是解题的关键．
13．如图，点D是等边△ABC边AC上一动点，线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF，
40 24
连接BD并延长交AF与点E，若AB＝8，BD＝7，则AE的长是 或 ．
7 7
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力．
40 24
【答案】 或 ．
7 7
【分析】证明△BCD≌△ACF（SAS）得 BD＝AF＝7，∠CBD＝∠CAF，证明△ADE∽△BDC 得
AE AD
= ，作BM⊥AC于点M，根据勾股定理求出BM＝4√3，DM＝1，然后分两种情况求解即可．
BC BD
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BCD＝60°．
由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝60°，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD＝AF＝7，∠CBD＝∠CAF．
∵∠BDC＝∠ADE，
∴△ADE∽△BDC，
AE AD
∴ = ，
BC BD
如图，作BM⊥AC于点M，
∵AB＝BC＝AC＝8，
1
∴AM＝CM= AC＝4，
2
∴BM=√AB2−AM2=4√3，DM=√BD2−BM2=1．
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当点D靠近点C时，AD＝4+1＝5，
AE 5
∴ = ，
8 7
40
∴AE= ；
7
当点D靠近点A时，
AD＝4−1＝3，
AE 3
∴ = ，
8 7
24
∴AE= ．
7
40 24
故答案为： 或 ．
7 7
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一
等知识，分类讨论是解答本题的关键．
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4，CO为斜边中线，点P为线段AO上一动点
将线段PC绕点P逆时针旋转90°得线段PQ，连接CQ，OQ，当PC垂直于△ABC的一边时，线段OQ的
值为 √3−1或√6−√2 ．
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【考点】旋转的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】√3−1或√6−√2．
1
【分析】根据CP⊥AB和CP⊥BC两种情况进行讨论，当CP⊥AB时，根据sinB= 得到∠B＝30°，在
2
Rt△PCQ中根据直角三角函数计算出PC和PO，从而计算出OQ，当CP⊥BC时，证明AQ∥CB，得到
∠OAQ＝30°，得到OD=AO−AD=2−√3，再根据勾股定理计算出OQ．
【解答】解：①当CP⊥AB时，如图1所示，
1
∵sinB= ，
2
∴∠B＝30°．
∵OB＝OC，
∴∠POC＝2∠B＝60°．
1
在Rt△PCQ中，OC= AB=2，∠POC＝60°，
2
∴CP＝CO•sin60°=√3，PO＝CO•cos60°＝1，
∵PC=PQ=√3，PO＝1，
∴OQ=√3−1；
②当CP⊥BC时；如图2所示，过点Q作QD⊥AB于点D．
∵∠CPQ＝90°，∠ACB＝90°，
∴AQ∥CB．
∴∠OAQ＝30°．
1 √3
∴QD= AQ=1，AD= AQ=√3．
2 2
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∴OD=AO−AD=2−√3．
在Rt△ODQ中，OQ=√OD2+DQ2=√ (2−√3) 2+12=√8−4√3=√6−√2．
综上，线段OQ的长为√3−1或√6−√2，
故答案为：√3−1或√6−√2．
【点评】本题考查直角三角形的性质和直角三角函数，解题的关键是掌握直角三角函数的相关知识．
15．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（﹣1，3），将线段AB绕点A顺时针旋转90°
得到AC，则点C坐标是 （ 1 ，﹣ 1 ） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1，﹣1）．
【分析】作BM⊥ x 轴于M，CN⊥ x 轴于N．证明△ABM≌△CAN，根据全等三角形的性质即可解
决问题．
【解答】解：如图，作BM⊥ x 轴于M，CN⊥ x 轴于N．
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABM+∠BAM＝∠BAM+∠CAN，
∴∠ABM＝∠CAN，
∵AB＝CA，∠AMB＝∠CNA＝90°，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴AM＝CN，BM＝AN，
当A（﹣2，0），B（﹣1，3）时，
ON＝AN﹣OA＝BM﹣OA＝3﹣2＝1，
CN＝AM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1，
∴C（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
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【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交
点）．
（1）以点C为旋转中心，将线段AB绕点C旋转180°得到线段A'B'，画出线段A'B'．
（2）平移线段AB得到线段CD，使点B与点C重合，画出线段CD．
（3）用无刻度的直尺画出线段AB的中点M．
【考点】作图﹣旋转变换；线段垂直平分线的性质；作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B的对应点A'，B'即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点D，C即可；
（3）由矩形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，由中心对称变换的性质分别作出A，B的对应点A'，B'，则线段A'B'即为所求．
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（2）如图，由平移的性质得线段CD即为所求；
（3）如图，点M即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，坐标与图形变化﹣旋转，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
17．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，△ABC与
△EFG的顶点都在格点上．
（1）作△A B C ，使△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称．
1 1 1 1 1 1
（2）已知△ABC与△EFG关于点P成中心对称，请在图中画出点P的位置，并写出该点的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）画图见解答；P（﹣3，﹣1）．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）连接AE，BF，CG，相交于点P，则点P即为所求，由图即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
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（2）连接AE，BF，CG，相交于点P，
则△ABC与△EFG关于点P成中心对称，
即点P为所求．
由图可知，点P的坐标为（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键．
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交
点）．
（1）将线段AC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段DE，画出线段DE；
（2）以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（3）在线段AC上描出点F，使得BF为△ABC的角平分线．（作图过程用虚线表示）
【考点】作图﹣旋转变换；三角形的角平分线、中线和高；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
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（3）由网格可得AB＝OB＝5，取OA的中点M，连接BM交AC于点F，结合等腰三角形的性质可知，点
F即为所求．
【解答】解：（1）如图，线段DE即为所求．
（2）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（3）由勾股定理得，AB=√32+42=5，
则AB＝OB．
如图，取OA的中点M，连接BM交AC于点F，
则点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、等腰三角形的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、
等腰三角形的性质是解答本题的关键．
19．如图所示，△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣2）、C（﹣4，﹣1）请在所给的
正方形网格中按要求画图和解答下列问题：
（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB C ，画出△AB C ．
1 1 1 1
（2）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A B C ．
2 2 2
（3）若△A B C 可看作是由△AB C 旋转得来，则旋转中心坐标为 （ 0 ，﹣ 1 ） ．
2 2 2 1 1
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【考点】作图﹣旋转变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）（0，﹣1）．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）连接AA ，B B ，C C ，分别作线段AA ，B B ，C C 的垂直平分线，相交于点P，则△A B C 可看
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2
作是由△AB C 绕点P顺时针旋转90°得来，即可得出答案．
1 1
【解答】解：（1）如图，△AB C 即为所求．
1 1
（2）如图，△A B C 即为所求．
2 2 2
（3）连接AA ，B B ，C C ，分别作线段AA ，B B ，C C 的垂直平分线，相交于点P，
2 1 2 1 2 2 1 2 1 2
则△A B C 可看作是由△AB C 绕点P顺时针旋转90°得来，
2 2 2 1 1
∴旋转中心P点的坐标为（0，﹣1）．
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故答案为：（0，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关
键．
20．在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，E为BC边上一点，将线段ED绕点E按逆时
针方向旋转90°得到EF，连接DF，AF．
（1）如图1，若点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD＝2DO．
（2）如图2，若点G为AF的中点，连接DG．过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结
BF．若AC＝BC＝16，CE＝2，求DG的长．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的判定．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称．
【答案】（1）见解析过程；
（2）3√2．
【分析】（1）通过证明四边形ADFC是平行四边形，可得CD＝2DO，即可求解；
1
（2）由“AAS”可证△DNE≌△EMF，可得DN＝EM= AC＝8，由等腰直角三角形的性质可求BF的长，
2
由三角形中位线定理可求DG的长．
【解答】（1）证明：∵将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF，
∴CD＝CF，∠DCF＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝BD，
∴∠ADO＝90°，CD＝BD＝AD，AB⊥CD，
∴AD＝CF，AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
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∴CD＝2DO，
∴BD＝2DO；
（2）解：∵DN⊥BC，FM⊥BC，
∴∠DNE＝∠EMF＝90°，
又∵∠NDE＝∠MEF＝90°﹣∠FEM，ED＝EF，
∴△DNE≌△EMF（AAS），
1
∴DN＝EM= AC＝8，
2
∴NE＝MF，
又∵CE＝2，
∴BM＝BC﹣ME﹣EC＝6，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝DN＝8，
∴NE＝14﹣8＝6，
∴MF＝MB＝6，
∴BF＝6√2，
∵点D，点G分别是AB，AF的中点，
1
∴DG= BF＝3√2．
2
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理等
知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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考点卡片
1．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其
坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
3．一次函数图象上点的坐标特征
b
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（− ，0）；
k
与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
4．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫
做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另
一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内
部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
5．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角
形．
6．线段垂直平分线的性质
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（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
7．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的
重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中
线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起
解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的
思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
8．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、
顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分
线是对称轴．
9．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
10．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
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（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直
角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
11．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c2−b2，b=√c2−a2及c=√a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
12．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的
所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜
边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂
直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=√2+1，所以r：R＝1：√2+1．
13．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
14．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行
四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行
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四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行
四边形．
15．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对
称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
17．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次
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连接对应点即可得到平移后的图形．
18．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
19．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称
或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
20．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对
称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形
自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
21．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转⇒图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角
度如：30°，45°，60°，90°，180°．
22．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角
的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
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（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不
同，位置就不同，但得到的图形全等．
23．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等
两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有
的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行
线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形
相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件
方可．
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