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2025年中考数学一轮复习
第3讲 代数式
一．选择题（共10小题）
1．如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（1）个图形中小圆圈的个数是7个，第（2）
个图形中小圆圈的个数是11个，第（3）个图形中小圆圈的个数是15个，则第10个图形中小圆圈的
个数是（ ）
A．43 B．47 C．51 D．55
2．按一定规律排列的单项式：4m，﹣9m3，16m5，﹣25m7，36m9，…，据此规律第 14个单项式为
（ ）
A．196m29 B．﹣196m27 C．﹣225m27 D．﹣225m29
3．数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b
4．某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了8%，则该公司4
月份的利润为（ ）（单位：万元）
A．（x﹣7%）（x+8%） B．（x﹣7%+8%）
C．（1﹣7%+8%）x D．（1﹣7%）（1+8%）x
5．下列式子中，去括号后得﹣a﹣b+c的是（ ）
A．﹣a﹣（b﹣c） B．（b+c）﹣a C．﹣a﹣（b+c） D．﹣（a﹣b）﹣c
6．下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2b﹣3ba2＝0 B．3a+2b＝5ab
C．2x3+3x2＝5x5 D．5y2﹣4y2＝17．如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（ ）
A．m2+n2 B．m2﹣n2 C．2mn D．4mn
8．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2
9．熊大比熊二大2岁，如果熊二y岁，则熊大（ ）
A．（y﹣2）岁 B．（y+2）岁 C．（y+5）岁 D．（y+7）岁
10．x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（ ）
A．6x B．10x+6 C．100x+6 D．600+x
二．填空题（共5小题）
11．篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．某次比赛甲球队赢了x场，输了y场，积20分．
若用含x的代数式表示y，则有y＝ ．
12．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个
数字提取出来组成有序数对：（3，5），（7，10），（13，17），（21，26），（31，37），…，如果
单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第 50个数对：
．
13．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项
系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：（a+b）20中，第三项系数为 ．
111
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
14．如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，第 1个图案中有5个平行四边形，第2个图案中
有 9 个平行四边形，第 3 个图案中有 13 个平行四边形，…按此规律摆下去，第 n 个图案中有
个平行四边形．
15．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2024次输出的结果为 ．
三．解答题（共5小题）
16．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（1＜a＜2）．某同学分别用这些
卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S ，S ．
1 2
（1）请用含a的式子分别表示S ，S ；
1 2
（2）比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
17．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天 95号汽
油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此
时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王
两次加油谁的平均单价更低？18．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图 1
中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，
10块三角形地砖；…．
（1）按照以上规律可知，图4中有 块正方形地砖；
（2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖
的数量；
（3）若n＝50，求此时三角形地砖的数量．
19．观察以下等式：
第1个等式：2×1+2＝22+1×1﹣1；
第2个等式：4×2+6＝32+2×3﹣1；
第3个等式：6×3+12＝42+3×5﹣1；
第4个等式：8×4+20＝52+4×7﹣1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明．
20．观察下列图形与等式的关系：
第1个图 →22﹣12＝2+1＝3第2个图 →32﹣22＝3+2＝5
第3个图 →42﹣32＝4+3＝7
第4个图 →52﹣42＝5+4＝9
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
（1）第5个图中空白部分小正方形的个数是 ，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算
式： ；
（2）用含n的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律： ；
1
（3）运用上述规律计算：(20242−20232+20222−20212+20202−20192+⋯+22−12 )× ．
10122025年中考数学一轮复习之代数式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，是由相同的小圆圈按照一定规律摆放而成的，第（1）个图形中小圆圈的个数是7个，第（2）
个图形中小圆圈的个数是11个，第（3）个图形中小圆圈的个数是15个，则第10个图形中小圆圈的个数
是（ ）
A．43 B．47 C．51 D．55
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】A
【分析】仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n＝10求解即可．
【解答】解：观察图形得：
第1个图形有1+2×1+2×2＝7个圆圈，
第2个图形有1+2×2+2×3＝11个圆圈，
第3个图形有1+2×3+2×4＝15个圆圈，
…
第n个图形有1+2×n+2×（n+1）＝（3+4n）个圆圈，
当n＝10时，4×10+3＝43，
故选：A．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的通项公式，难度
不大．
2．按一定规律排列的单项式：4m，﹣9m3，16m5，﹣25m7，36m9，…，据此规律第 14个单项式为
（ ）
A．196m29 B．﹣196m27 C．﹣225m27 D．﹣225m29【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意可知，第n个单项式为：（﹣1）n+1（n+1）2m2n﹣1，即可得出第14个单项式为：（﹣
1）14+1×（14+1）2m2×14﹣1＝﹣225m27．
【解答】解：根据题意可知，按一定规律排列的单项式：4m，﹣9m3，16m5，﹣25m7，36m9，…，
∴第n个单项式为：（﹣1）n+1（n+1）2m2n﹣1，
∴第14个单项式为：（﹣1）14+1×（14+1）2m2×14﹣1＝﹣225m27，
故选：C．
【点评】本题考查的是数字的变化规律和单项式，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键．
3．数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）
A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b
【考点】列代数式；正数和负数；数轴；绝对值；非负数的性质：绝对值．
【专题】整式．
【答案】A
【分析】数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，
再根据整式的加减乘法运算的计算法则即可求解．
【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，AM＝a+b﹣a＝b，原点在A，M之间，由它们
的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，
则a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，
故运算结果一定是正数的是a+b．
故选：A．
【点评】考查了列代数式，数轴，正数和负数，绝对值，关键是得到a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|．
4．某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7%，4月份比3月份增加了8%，则该公司4
月份的利润为（ ）（单位：万元）
A．（x﹣7%）（x+8%） B．（x﹣7%+8%）
C．（1﹣7%+8%）x D．（1﹣7%）（1+8%）x
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D【分析】利用减少率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润．
【解答】解：由题意得：3月份的利润为（1﹣7%）x万元，
4月份的利润为（1+8%）（1﹣7%）x万元，
故选：D．
【点评】本题考查了列代数式，正确理解增长率与下降率的意义是解决问题的关键．
5．下列式子中，去括号后得﹣a﹣b+c的是（ ）
A．﹣a﹣（b﹣c） B．（b+c）﹣a C．﹣a﹣（b+c） D．﹣（a﹣b）﹣c
【考点】去括号与添括号．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据去括号法则，把各个选项中的括号去掉，然后根据计算结果进行判断即可．
【解答】解：A．∵﹣a﹣（b﹣c）＝﹣a﹣b+c，∴此选项符合题意；
B．∵（b+c）﹣a＝b+c﹣a，∴此选项不符合题意；
C．﹣a﹣（b+c）＝﹣a﹣b﹣c，∴此选项不符合题意；
D．∵﹣（a﹣b）﹣c＝﹣a+b﹣c，∴此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号法则．
6．下列运算中，正确的是（ ）
A．3a2b﹣3ba2＝0 B．3a+2b＝5ab
C．2x3+3x2＝5x5 D．5y2﹣4y2＝1
【考点】合并同类项．
【答案】A
【分析】根据合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母及指数不变，故A正确；
B、不是同类相不能合并，故B错误；
C、不是同类相不能合并，故C错误；
D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，合并同类项系数相加字母及指数不变．
7．如图所示的正方形是由四个等腰直角三角形拼成的，则阴影部分的面积为（ ）A．m2+n2 B．m2﹣n2 C．2mn D．4mn
【考点】列代数式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
1
【分析】根据题意可知：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣四个等腰直角三角形的面积＝（m+n）2−
2
1 1 1
m2− n2− m2− n2，计算即可．
2 2 2
【解答】解：根据题意可知：
阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣四个等腰直角三角形的面积
1 1 1 1
＝（m+n）2− m2− n2− m2− n2
2 2 2 2
＝m2+2mn+n2﹣m2﹣n2
＝2mn，
故选：C．
【点评】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
8．下列计算正确的是（ ）
A．2x+3x＝5x B．（x﹣y）2＝x2﹣y2
C．x6÷x2＝x3 D．（﹣2xy）2＝﹣4x2y2
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据合并同类项的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方分别进行计算即可得
出答案．
【解答】解：A、2x+3x＝5x，故本选项正确；
B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误；
C、x6÷x2＝x4，故本选项错误；
D、（﹣2xy）2＝4x2y2，故本选项错误；故选：A．
【点评】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项，熟练掌握运算法则是解
题的关键，是一道基础题．
9．熊大比熊二大2岁，如果熊二y岁，则熊大（ ）
A．（y﹣2）岁 B．（y+2）岁 C．（y+5）岁 D．（y+7）岁
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据熊大比熊二大2岁，熊二y岁，列出代数式即可．
【解答】解：熊大比熊二大2岁，如果熊二y岁，则熊大（y+2）岁，
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，理解题意是关键．
10．x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，则表示这个三位数的式子是（ ）
A．6x B．10x+6 C．100x+6 D．600+x
【考点】列代数式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】x原来的最高位是十位，现在扩大了10倍，而6写到x的右边组成一个三位数，6成为三位数的
个位，即可得出结果．
【解答】解：根据题意可知，x表示一个两位数，把6写到x的右边组成一个三位数，
∴相当于将x扩大了10倍，
∴表示这个三位数的式子是10x+6，
故答案为：B．
【点评】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．某次比赛甲球队赢了x场，输了y场，积20分．
若用含x的代数式表示y，则有y＝ 2 0 ﹣ 2 x ．
【考点】列代数式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】20﹣2x．
【分析】根据题意列出方程，得出y与x的关系式．
【解答】解：∵赢一场得2分，输一场得1分．某次比赛甲球队赢了x场，输了y场，积20分，∴2x+y＝20（分），
∴y＝20﹣2x，
故答案为：20﹣2x．
【点评】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
12．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个
数字提取出来组成有序数对：（3，5），（7，10），（13，17），（21，26），（31，37），…，如果
单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第 50个数对：
（ 255 1 ， 260 2 ） ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】（2551，2602）．
【分析】根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第 n个数对的第
一个数为n（n+1）+1，“第n个数对的第二个数为（n+1）2+1，于是得到结论．
【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31......，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1......，
则第n个数对的第一个数为n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37......，
即22+1，32+1，42+1，52+1......，
则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，
∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．
∴第50个数对为（2551，2602）．
故答案为：（2551，2602）．
【点评】本题考查了数字的变化规律，找出数字的排列规律，利用拐弯处数字的差的规律求得结果是解题的关键．
13．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项
系数的有关规律，后人也将下表称为“杨恽三角”．则：（a+b）20中，第三项系数为 19 0 ．
1
11
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
……
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】190．
【分析】根据题意得到第三项系数的规律即可解答．
【解答】解：由题意可得，（a+b）2的第三项系数为1，
（a+b）3的第三项系数为3＝1+2，
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3，
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4，
…，
19×(1+19)
不难发现，（a+b）20的第三项系数为：1+2+3+4+5+…+19= =190．
2
故答案为：190．
【点评】本题考查了数字的变化规律，能够根据所给杨辉三角，观察得出系数的变化规律是解题的关键．
14．如图是以菱形为基本图形组成的一组有规律的图案，第 1个图案中有5个平行四边形，第2个图案中
有9个平行四边形，第3个图案中有13个平行四边形，…按此规律摆下去，第n个图案中有 （ 4 n + 1 ）
个平行四边形．
【考点】规律型：图形的变化类．【专题】规律型；推理能力．
【答案】（4n+1）．
【分析】根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多 4个小平行四边形，以此即
可找到图形规律．
【解答】解：第1个图案有5个平行四边形，即3＝1+4×1，
第2个图案有9个平行四边形，即9＝1+4×2，
第3个图案有13个平行四边形，即13＝1+4×3，
……
第n个图案有（4n+1）个平行四边形，
故答案为：（4n+1）．
【点评】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
15．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2024次输出的结果为 1 ．
【考点】代数式求值；有理数的混合运算．
【专题】规律型；整式；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．
1
【解答】解：当x＝625时， x＝125，
5
1
当x＝125时， x＝25，
5
1
当x＝25时， x＝5，
5
1
当x＝5时， x＝1，
5
当x＝1时，x+4＝5，
1
当x＝5时， x＝1，
5
…
依此类推，以5，1循环，
（2024﹣2）÷2＝1012，能够整除，
所以输出的结果是1．故答案为：1．
【点评】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解决此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（1＜a＜2）．某同学分别用这些
卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S ，S ．
1 2
（1）请用含a的式子分别表示S ，S ；
1 2
（2）比较S 与S 的大小，并说明理由．
1 2
【考点】列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）S ＝a2+2a+1，S ＝4a+1；（2）S ＜S ．
1 2 1 2
【分析】（1）根据题意，列出S 和S 关于a的代数式即可；
1 2
（2）作差法比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：
S ＝a2+2a+1，
1
S ＝4a+1；
2
（2）S ﹣S
1 2
＝（a2+2a+1）﹣（4a+1）
＝a2+2a+1﹣4a﹣1
＝a2﹣2a
＝a（a﹣2），
∵1＜a＜2，
∴a（a﹣2）＜0，
∴S ＜S ．
1 2
【点评】本题考查了列代数式，熟练掌握作差法比较大小是解答本题的关键．
17．现在汽车已成为人们出行的交通工具．小李和小王元旦那天相约一起到某加油站加油，当天 95号汽
油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此
时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算小李、小王两次加油谁的平均单价更低？
【考点】列代数式；分式的加减法；加权平均数．
【专题】整式；统计的应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】两次加油小李的平均单价更低．
2mn
【分析】先求解小李两次加油每次加300元的平均单价为每升： 元，再求解小王每次加油30升的平
m+n
m+n
均单价为每升： 元，再利用作差法比较两个代数式的值，从而可得答案．
2
600 2mn
=
【解答】解：小李两次加油每次加300元，则两次加油的平均单价为每升：300 300 m+n（元），
+
m n
30m+30n m+n
小王每次加油30升，则两次加油的平均单价为每升： = （元），
60 2
m+n 2mn (m+n) 2 4mn (m−n) 2
∴ − = − = ，
2 m+n 2(m+n) 2(m+n) 2(m+n)
由题意得：m≠n，
(m−n) 2
∴ ＞0，
2(m+n)
m+n 2mn
∴ ＞ ，
2 m+n
∴两次加油小李的平均单价更低．
【点评】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，加权平均数，掌握以上知识是解题的关键．
18．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图 1
中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，
10块三角形地砖；…．（1）按照以上规律可知，图4中有 2 1 块正方形地砖；
（2）若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖
的数量；
（3）若n＝50，求此时三角形地砖的数量．
【考点】规律型：图形的变化类；列代数式；代数式求值．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】（1）21；（2）正方形地砖的块数为（5n+1）块，三角形地砖的块数为（4n+2）块；（3）202
块．
【分析】（1）根据所给图形，依次求出图形中正方形和三角形地砖的块数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
图1中三角形地砖块数为：6＝1×4+2，正方形地砖块数为：6＝1×5+1，六边形地砖块数为：1；
图2中三角形地砖块数为：10＝2×4+2，正方形地砖块数为：11＝2×5+1，六边形地砖块数为：2；
图3中三角形地砖块数为：14＝3×4+2，正方形地砖块数为：16＝3×5+1，六边形地砖块数为：3；
…，由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，所以图4中正
方形地砖块数为21块．
故答案为：21；
（2）由（1）发现的规律可知，
当铺设这条小路共用去n块六边形地砖时，
用去的正方形地砖的块数为（5n+1）块，三角形地砖的块数为（4n+2）块．
（3）当n＝50时，三角形地砖的块数为4n+2＝4×50+2＝202（块）．
答：此时三角形地砖的数量为202块．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形、正方形和六边形地砖块数变化的规律
是解题的关键．
19．观察以下等式：
第1个等式：2×1+2＝22+1×1﹣1；第2个等式：4×2+6＝32+2×3﹣1；
第3个等式：6×3+12＝42+3×5﹣1；
第4个等式：8×4+20＝52+4×7﹣1；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： 10×5+3 0 ＝ 6 2 +5× 9 ﹣ 1 ；
（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】（1）10×5+30＝62+5×9﹣1；
（2）2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1，证明见解析．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【解答】解：（1）第5个等式：10×5+30＝62+5×9﹣1，
故答案为：10×5+30＝62+5×9﹣1；
（2）猜想：第n个等式为2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1，
证明：等式左边＝2n2+n2+n＝3n2+n，
等式右边＝n2+2n+1+2n2﹣n﹣1＝3n2+n，
∴等式左边＝等式右边，即2n×n+n（n+1）＝（n+1）2+n×（2n﹣1）﹣1．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出
相应的等式和猜想，并证明．
20．观察下列图形与等式的关系：
第1个图 →22﹣12＝2+1＝3
第2个图 →32﹣22＝3+2＝5
第3个图 →42﹣32＝4+3＝7第4个图 →52﹣42＝5+4＝9
……
根据图形及等式的关系，解决下列问题：
（1）第5个图中空白部分小正方形的个数是 1 1 ，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：
7 2 ﹣ 6 2 ＝ 7+6 ＝ 13 ；
（2）用含n的等式表示第n个图中空白部分小正方形的个数反映的规律： （ n + 1 ） 2 ﹣ n 2 ＝ n +1+ n ＝ 2 n + 1
；
1
（3）运用上述规律计算：(20242−20232+20222−20212+20202−20192+⋯+22−12 )× ．
1012
【考点】规律型：图形的变化类；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】规律型；几何直观．
【答案】（1）11，72﹣62＝7+6＝13；
（2）（n+1）2﹣n2＝n+1+n＝2n+1；
（3）2025．
【分析】（1）根据题图找出规律即可得解；
（2）根据题图找出规律即可得解；
（2）根据题图找出的规律计算即可得解；
能根据所给等式写出图n空白部分小正方形个数满足的等式是解题的关键．
【解答】解：（1）由图知：第5个空白小正方形的个数为62﹣52＝6+5＝11，第6个空白小正方形的个数
算式应为：72﹣62＝7+6＝13，
故答案为：11，72﹣62＝7+6＝13；
（2）由题图知，
图①空白部分小正方形的个数是22﹣12＝2+1；
图②空白部分小正方形的个数是32﹣22＝3+2；
图③空白部分小正方形的个数是42﹣32＝4+3；
…，
所以图n空白部分小正方形的个数是：（n+1）2﹣n2＝n+1+n＝2n+1，
故答案为：（n+1）2﹣n2＝n+1+n＝2n+1；
（3）由（2）问规律可计算得，1
(20242−20232+20222−20212+20202−20192+⋯+22−12 )×
1012
1
=(2024+2023+2022+2021+2020+2019+⋯+2+1)×
1012
2024(2024+1) 1
= ×
2 1012
＝2025．
【点评】本题考查图形变化的规律，有理数的混合运算，根据题意找出规律是解题的关键．考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”
“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，
一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右
方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0时，则其中的每一
项都必须等于0．
5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化
为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积
为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词
义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．
要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量
关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这
部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略
乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，
书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代
数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或
者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
7．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
8．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；
字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到
化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指
数不变．
9．去括号与添括号
（1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括
号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，
括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一
起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，
括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
10．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知
识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数
量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为 x，再利用它们之间的关系，
设出其他未知数，然后列方程．
11．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
12．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同
的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不
能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
13．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
14．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是
什么．
15．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两
项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完
全平方公式．
16．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要
把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的
形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
17．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x ，x ，x ，…，x 的权分别是w ，w ，w ，…，w ，则x1w1+x2w2+…
1 2 3 n 1 2 3 n
+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识
占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差
异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
