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第 20 讲 图形的相似与位似
目 录
题型01 成比例线段
题型02 图上距离与实际距离
题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
题型04 利用比例的性质求未知数的值
题型05 利用比例的性质求代数式的值
题型06 理解黄金分割的概念
题型07 黄金分割的实际应用
题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
题型09 平行线分线段成比例（A型）
题型10 平行线分线段成比例（X型）
题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
题型14 理解相似图形的概念
题型15 相似多边形
题型16 相似多边形的性质
题型17 位似图形的识别
题型18 判断位似中心
题型19 根据位似的概念判断正误
题型20 求两个位似图形的相似比
题型21 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
题型22 求位似图形的坐标
题型23 求位似图形的线段长度
题型24 在坐标系中求位似图形的周长
题型25 在坐标系中求位似图形的面积
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题型 01 成比例线段
1．（2022·广东湛江·岭师附中校联考三模）下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8 B．3，4，5，6 C．4，8，3，5 D．15，5，6，2
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可
【详解】解：A．∵4:1≠3:8，
∴ 4，1，3，8不是成比例线段，不符合题意；
B．∵ 3:4≠5:6，
∴ 3，4，5，6不是成比例线段，不符合题意；
C．∵4:8≠3:5，
∴ 4，8，3，5不是成比例线段，不符合题意；
D．∵ 15:5=6:2，
∴15，5，6，2是成比例线段，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了成比例线段，如果四条线段a、b、c、d满足a:b=c:d，则线段a、b、c、d成比例，
熟练掌握成比例线段的定义是解题的关键．
2．（2022·浙江·统考一模）已知线段a=√5+1，b=√5−1，则a，b的比例中项线段等于 ．
【答案】2
【分析】设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之
积求解即可得出答案．
【详解】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a=√5+1，b=√5−1，
a x
∴ = ，
x b
∴x2=ab=(√5+1)(√5−1)=5−1=4，
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴x=±2．
∵x>0，
∴x=−2舍去，
故答案为：2．
a x
【点睛】本题考查的比例中项的含义，理解“若 = ，则x是a,b的比例中项”是解本题的关键．
x b
3．（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知线段a=3,b=2,c=4，则b，a，c的第四比例项d= ．
【答案】6
【分析】根据题意，列出比例式，根据比例的基本性质，即可得出第四比例项．
【详解】解：根据第四比例项的概念，得
b c ac 3×4
= ，d= = =6，
a d b 2
故答案为：6．
【点睛】本题考查了比例线段，理解第四比例项的概念，一定要注意顺序．熟练根据比例的基本性质进行
计算．
题型 02 图上距离与实际距离
4．（2022·吉林长春·统考模拟预测）有一块多边形的草坪，在市政建设设计图纸上的面积为100平方厘米，
图纸上某条边的长度为5厘米.经测量，这条边的实际长度为20米，则这块草坪的实际面积为 平
方米.
【答案】160
100 ( 5 ) 2
【分析】首先设这块草坪的实际面积是xcm2，根据比例尺的性质，即可得方程 = ，解此方程
x 2000
即可求解．
【详解】解：设这块草坪的实际面积是xcm2．
100 ( 5 ) 2
根据题意得： = ，
x 2000
解得：x=1600000，
经检验，x=1600000是方程的根，且符合题意，
∴这块草坪的实际面积为：1600000cm2=160m2，
故答案为：160．
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【点睛】此题考查了比例尺的性质，相似图形的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据题意
列方程，注意统一单位．
5．（2019·辽宁抚顺·统考三模）已知A、B两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2m，
这幅地图的比例尺为 ．
【答案】1：1000．
【分析】根据比例尺的定义求解．
【详解】这幅地图的比例尺为2：2000＝1：1000．
故答案为：1：1000．
【点睛】此题考查了比例线段，解题关键在于掌握其定义．
6．（2020·江苏淮安·统考一模）在一张比例尺为1:20的地图上，有一块多边形区域的周长是24cm，面积
是20cm2，求这个区域的实际周长和面积．
【答案】周长480cm，面积8000 cm2
【分析】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
【详解】设实际周长是xcm，则：
24:x=1:20，
解得：x=480(cm)；
面积之比等于相似比的平方，设实际面积是y平方厘米，则：
20:y=(1:20) 2，
解得：y=8000(cm2) ．
【点睛】本题考查了比例线段，相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面
积之比等于相似比的平方．
题型 03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
7．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）如果2022a=2023b，则下列式子正确的是（ ）
a b a 2022 a 2023 a 2022
A． = B． = C． = D． =
2023 2022 b 2023 2022 b 2023 b
【答案】A
【分析】根据比例的性质，逐项判断即可求解．
a b
【详解】解：A．由2022a=2023b，得 = ，则A正确，故A符合题意．
2023 2022
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a 2023
B．由2022a=2023b，得 = ，则B错误，故B不符合题意．
b 2022
a b
C．由2022a=2023b，得 = ，则C错误，故C不符合题意．
2023 2022
a b
D．由2022a=2023b，得 = ，则D错误，故D不符合题意．
2023 2022
故选：A．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
a c
8．（2021·上海嘉定·统考一模）如果实数a，b，c，d满足 = ，下列四个选项中，正确的是（ ）
b d
a+b c+d a c a+c c a2 c2
A． = B． = C． = D． =
b d a+b c+d b+d d b d
【答案】A
【分析】根据比例的性质选出正确选项．
a c a+b c+d
【详解】A选项正确，∵ +1= +1，∴ = ；
b d b d
B选项，当a+b=0或c+d=0时， 不成立；
C选项，当b+d=0时，不成立；
1 2 12 22
D选项不成立，例如：当 = 时， ≠ ；
2 4 2 4
故选：A．
【点睛】本题考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．
9．（2019·上海奉贤·校联考一模）已知线段a、b，如果a：b＝5：2，那么下列各式中一定正确的是（
）
a+b 7 a+5
A．a+b＝7 B．5a=2b C． = D． =1
b 2 b+2
【答案】C
【分析】根据比例的性质判断即可；
【详解】解：A、当a＝10，b＝4时，a：b＝5：2，但是a+b＝14，故本选项错误，不符合题意；
B、由a：b＝5：2，得2a＝5b，故本选项错误，不符合题意；
a+b 7
C、由a：b＝5：2，得 = ，故本选项正确，符合题意；
b 2
a+5 5
D、由a：b＝5：2，得 = ，故本选项错误，不符合题意．
b+2 2
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．
题型 04 利用比例的性质求未知数的值
10．（2021·江苏盐城·统考二模）已知线段a，b，c，其中c是a和b的比例中项，a＝4，b＝9，则c=（
）
A．4 B．6 C．9 D．36
【答案】B
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c．
【详解】解：根据比例中项的概念，得c2=ab=36，c=±6，
又线段不能是负数，−6应舍去，取c=6，
故选：B．
【点睛】考查了比例中项的概念：解题的关键是当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不
能是负数．
11．（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考一模）若a:b:c=2:3:7，且a−b+3=c−2b，则c值为何？
（ ）
21 21
A．7 B．63 C． D．
2 4
【答案】C
【分析】先设a=2x,b=3x,c=7x，再由a−b+3=c−2b得出x的值，最后代入c=7x即可．
【详解】解：设a=2x,b=3x,c=7x，
∵a−b+3=c−2b，
∴2x−3x+3=7x−6x，
3
解得x= ，
2
3 21
∴c=7× = ，
2 2
故选：C．
【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是根据题意设a=2x,b=3x,c=7x．
12．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）若（3﹣2x）：2＝（3+2x）：5，则x＝ ．
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9
【答案】x=
14
【分析】由两内项之积等于两外项之积进行求解即可．
【详解】解：由题意可得，2（3＋2x）＝5（3﹣2x），
9
解得x＝ ．
14
【点睛】本题考查了比例的性质， 正确掌握内外项积的关系是解题的关键．
a b c
13．（2022·江苏淮安·统考一模）已知 = = ，且a+b−2c=6，求a值．
6 5 4
【答案】12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
a b c
【详解】解：设 = = =k，
6 5 4
∴a=6k，b=5k，c=4k，
∵a+b−2c=6，
∴6k+5k−8k=6，
∴k=2，
∴a=6k=12，
∴a的值为12．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题的关键．
题型 05 利用比例的性质求代数式的值
b+c a+b a+c
14．（2022·安徽合肥·校考二模）已知a、b、c为非零实数，且满足 = = =k，则一次函数y
a c b
＝kx＋（1＋k）的图像一定经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】此题要分a+b+c≠0和a+b+c=0两种情况讨论，然后求出k，就知道函数图象经过的象限．
【详解】解：分两种情况讨论：
2(a+b+c)
当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得：k= =2，此时直线是y=2x+3，过第一、二、
a+b+c
三象限；
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当a+b+c=0时，即a+b=−c，则k=−1，此时直线是y=−x，直线过第二、四象限．
综上所述，该直线必经过第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的图象与性质，解题关键分情况求k的值，能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的
象限．
m 1 m
15．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知 = ，则 = ．
n 3 m+n
1
【答案】
4
【分析】根据等式的性质，可用m表示n，根据分式的性质，可得答案．
m 1
【详解】解：由 = ，得n=3m．
n 3
m m 1
∴ = = ，
m+n m+3m 4
1
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出n=3m是解题关键．
x y z xy+ yz
16．（2022·四川成都·统考二模）已知 = = ≠0，则 的值是 ．
2 3 4 zx
9
【答案】
4
x y z xy+ yz
【分析】根据 = = ≠0设x=2k，y=3k，z=4k，把x=2k，y=3k，z=4k代入 ，即可求出答案．
2 3 4 zx
【详解】解：设x=2k，y=3k，z=4k，
xy+ yz 2k·3k+3k·4k 6k2+12k2 18k2 9
所以 = = = = ，
zx 4k·2k 8k2 8k2 4
9
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了比例的性质和求分式的值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
17．（2021·山东滨州·统考三模）计算：
(1)已知关于x，y的多项式axy﹣3x2﹣2xy﹣bx2+y中不含二次项，求(a+b)2021的值．
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x y z x2−3xy+2z2
(2)若 = = ，求 的值；
3 4 5 3x2+2xy−z2
2 x
(3)解分式方程 + =2．
x−2 2−x
【答案】(1)－1
23
(2)
26
(3)无实数解
【分析】（1）合并同类项，让二次项的系数为0，求得a,b的值，再求(a+b)2021；
x y z
（2）设 = = =k，代入计算即可．
3 4 5
（3）去分母解分式方程，并验根即可；
【详解】（1）∵axy﹣3x2﹣2xy﹣bx2+y
＝（﹣3x2﹣bx2）+（axy﹣2xy）+y
＝（﹣3﹣b）x2+（a﹣2）xy+y
又∵关于x、y的多项式axy﹣3x2﹣2xy﹣bx2+y中不含二次项，
∴﹣3﹣b＝0，a﹣2＝0，
解得：b＝﹣3，a＝2，
则（a+b）2021＝（﹣3+2）2021＝﹣1；
x y z
（2）设 = = =k，
3 4 5
∴x＝3k，y＝4k，z＝5k，
x2−3xy+2z2
∴
3x2+2xy−z2
(3k) 2−3×3k×4k+2×(5k) 2
=
3×(3k) 2+2×3k×4k−(5k) 2
9k2−36k2+50k2
=
27k2+24k2−25k2
23
=
26
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（3）去分母得：2﹣x＝2（x﹣2），
解得：x＝2，
经检验：x＝2不是原方程的解，
故此分式方程无实数解．
【点睛】本题考查了整式的相关概念，比例性质及分式方程的解法，解题的关键运算法则的应用．
题型 06 理解黄金分割的概念
18．（2023·浙江嘉兴·统考二模）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开
后的长度之比约为0.618． 这个数据体现了数学中的（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．黄金分割
【答案】D
【分析】利用黄金分割比的意义解答即可．
−1+√5
【详解】解：∵黄金分割比为： ≈0.618，
2
∴动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618，体现了数学中的黄金分割，
故选D．
【点睛】本题考查了数学知识与自然界的联系，熟练掌握线段的黄金分割比是解题的关键．
19．（2023·宁夏银川·校考二模）主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．
若舞台长30米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP长为x)，则
x满足的方程是（ ）
A．(30−x) 2=30x B．x2=30(30−x) C．x(30−x)=302 D．以上都不对
【答案】A
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BP AP
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PBBC，
√5−1 √5−1
∴AC= AB= ×8=( 4√5−4 ) cm，
2 2
故答案为：4√5−4．
√5−1
【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为 是解题的关键．
2
题型 07 黄金分割的实际应用
21．（2023·山东菏泽·统考三模）黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、
和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图，在某校初三中考百日倒计时启动仪式的中，舞台AB的长为18米，
主持人站在点C处自然得体．已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为
米．（黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分
√5−1
割点．其比值是一个常数为 ）
2
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【答案】9√5−9
√5−1
【分析】由黄金分割点的定义得AC= AB，再代入AB的长计算即可．
2
【详解】∵由题意得，点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB=18米，AC＞BC，
√5−1 √5−1
∴AC= AB= ×18=9√5−9（米）．
2 2
故答案为：9√5−9．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是能够熟练地掌握黄金分割点的定义和黄金比值．
22．（2023·河南郑州·统考二模）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩
形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在
很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如下图，用黄金矩形
ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩
形CFGH……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已
√5+1
知AB= ，则阴影部分的面积为 ．
2
π
【答案】1−
4
【分析】根据黄金矩形的定义可得AD的长，从而得到DE的长，再由阴影部分的面积
=S −S ，即可求解．
正方形DEGF 扇形EGF
√5+1
【详解】解：∵四边形ABCD是黄金矩形，AB= ，
2
√5+1 √5−1 3+√5
∴AD= ÷ = ，
2 2 2
∵四边形ABFE是正方形，
√5+1
∴AE=AB= ，
2
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∴DE=AD−AE=1，
90π×12 π
∴阴影部分的面积=S −S =12− =1− ．
正方形DEGF 扇形EGF 360 4
π
故答案为：1−
4
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，理解黄金矩形的定义是解题的关键．
23．（2022·江西九江·统考模拟预测）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个
车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距
离为1.9m，则该车车身总长约为 m（保留整数）．
【答案】5
【分析】设该车车身总长为x m，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则
根据题意列方程x-0.618x=1.9，然后解方程即可．
【详解】解：设该车车身总长为x m，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，
∴x-0.618x=1.9，解得x≈5，
即该车车身总长约为5米．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比
例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
24．（2023·山西运城·校联考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种
是顶角为36°的等腰三角形，如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC．
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(1)实践与操作：利用尺规作∠B的平分线，交边AC于点D（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，
标明字母）；
(2)猜想与证明：请你利用所学知识，证明点D是边AC的黄金分割点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知AD=BC，再证△BCD∽△ACB，根据相似三角形的
性质即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，BD即为所求；
（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
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∴AD=BD，∠BDC=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠BCD=∠ACB，∠CBD=∠CAB，
∴△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴AD：AC=CD：AD，
∴AD2=CD⋅CA，
∴点D是边AC的黄金分割点．
【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟练掌握
相似三角形的性质和判定是解题的关键．
25．（2023·江西南昌·统考一模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一
种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6．
(1)求该女士下半身长x；
(2)为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度．（结果精确到0.1）
【答案】(1)该女士下半身x为99cm；
(2)她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm．
【分析】（1）列式计算即可求解；
（2）设需要穿的高跟鞋是ycm，列方程求解即可．
【详解】（1）解：x=165×0.6=99cm；
答：该女士下半身x为99cm；
（2）解：设需要穿的高跟鞋是ycm，则
99+ y=0.618(165+ y)，
解得：y≈7.8，
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答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键．
题型 08 由平行线分线段成比例判断式子正误
26．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，点E在CD边上，连接AE、BE，AE交
BD于点F．则下列结论正确的是（ ）．
AF CD AF DF DE DF AF AD
A． = B． = C． = D． =
FE DE FE BF CE BF FE BE
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质和平行线分线段成比例的性质进行解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
AF AB AF BF
∴ = ， = ，故B错误，不符合题意；
FE DE FE DF
AF CD
∴ = ，故A正确，符合题意；
FE DE
DE DF
如果AE∥BC，则有 = ，
CE BF
∵ AE和BC不平行，
DE DF
∴ ≠ ，故C错误，不符合题意；
CE BF
如果AD∥BE，则有△ADF∽△EBF
AF AD
∴ = ，
FE BE
∵AD和BE不平行，
AF AD
∴ ≠ ，故D错误，不符合题意；
FE BE
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故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质定理
是解题的关键．
27．（2022·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在BC的延长线上，点F在
CD的延长线上，连接BF、EF，BF交AD于G，EF交AD的延长线于点H，下列说法错误的是（ ）
FG DH DG FH GF HF GD DF
A． = B． = C． = D． =
BG CE AG EH BF EF BC CF
【答案】A
【分析】由四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，则
GF HF HF DH
△GHF∽△BEF， = ，可判断C的正误；由DH∥CE，可得△FDH∽△FCE， = ，
BF EF EF CE
FG DH DG FG
= ，可判断A的正误；由AB∥CD，可得△FDG∽△BAG， = ，由AH∥BE，可得
FB CE AG BG
FG FH DG FH GD DF
= ，即 = ，可判断B的正误；由AD∥BC，可得△FGD∽△FBC， = ，可判断
BG EH AG EH BC CF
D的正误．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴△GHF∽△BEF，
GF HF
∴ = ，C正确，故不符合要求；
BF EF
∵DH∥CE，
∴△FDH∽△FCE，
HF DH
∴ = ，
EF CE
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FG DH
∴ = ，A错误，故符合要求；
FB CE
∵AB∥CD，
∴△FDG∽△BAG，
DG FG
∴ = ，
AG BG
∵AH∥BE，
FG FH
∴ = ，
BG EH
DG FH
∴ = ，B正确，故不符合要求；
AG EH
∵AD∥BC，
∴△FGD∽△FBC，
GD DF
∴ = ，D正确，故不符合要求；
BC CF
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识．解题的
关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
28．（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）如图，平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD
分别交于点G、F，则下列说法错误的是（ ）
A．EA:CD=EG:CG B．CD:BE=CG:CE
C．EG:GC=AG:BC D．CF:GF=DA:DG
【答案】C
EA EG
【分析】根据平行四边形的性质，可得：AB=CD，AD∥BC ，AB∥CD，从而得到 = ，
AB GC
△AEG∼△BEC ，△DFG∼△BFC 即可判断．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AB=CD，AD∥BC ，AB∥CD，AD=BC，
EA EG
∴ = ，
AB GC
EA EG
∴ = ，故A选项正确，不符合题意；
CD GC
∵AD∥BC，
∴△AEG∼△BEC ，
EG AG
∴ = ，故C选项错误，符合题意；
EC BC
AB CG
∴ = ，
BE CE
CD CG
∴ = ，故B选项正确，不符合题意；
BE CE
∵AD∥BC ，AB∥CD ，
∴△DFG∼△BFC ，
CF BC
∴ = ，
GF DG
∵AD=BC，
CF AD
∴ = ，故D选项正确，不符合题意．
GF DG
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握
相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
题型 09 平行线分线段成比例（A 型）
29．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，
DE∥BC，AE=4，AD=3，CE=2，则BD的长为（ ）
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A．1.5 B．√2 C．√3 D．2
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵DE∥BC，
AD AE
∴ = ，
DB EC
∵AE=4，AD=3，CE=2，
3 4
∴ = ，
DB 2
解得：BD=1.5，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
30．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，
AD:DB=1:3，那么S :S 等于（ ）
△DEC △DBC
A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:4
【答案】D
【分析】根据题意得△ADE∼△ABC，S 与S 是同高，故底之比等于1:3，从而得出面积之比．
△DEC △DBC
【详解】解： DE∥BC，
△ADE∼△A∵BC，
∴DE:BC=AD:AB，
∴AD:DB=1:3，
∵
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AD:AB=1:4，
∴DE:BC=1:4，
∴S 和S 的高相同，
△DEC △DBC
∵S :S =1:4，
△DEC △DBC
∴故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．
题型 10 平行线分线段成比例（X 型）
31．（2022·广西贵港·统考一模）如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，
已知DE=2BC=4，CD=6，求BP的长（ ）
A．2√2 B．3 C．√13 D．√5
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例结合已知条件可知CP=2=BC，在根据勾股定理求出BC即可；
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
DP DE
∴ =
CP BC
又∵DE=2BC=4；
∴DP=2PC；
又∵CD=6；
∴CP=2；
在Rt△BCP中，∠C=90°，由勾股定理得：
BP=√BC2+CP2=√22+22=2√2，
故选：A
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【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及勾股定理，利用平行线分线段成比例求得CF=2是解题的关
键．
32．（2022·河南开封·统考二模）如图，直线l ∥l ∥l ，已知AE＝1，BE＝2，DE＝3，则CD的长为
1 2 3
（ ）
3 9 15
A． B． C．6 D．
2 2 2
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例求解即可．
【详解】解：∵直线l∥l∥l，
1 2 3
AE BE
∴ = ，
CE DE
∵AE=1，BE=2，DE=3，
1 2
∴ = ，
CE 3
3
∴CE= ，
2
3 9
∴CD=CE+DE= +3= ．
2 2
故选B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比
例．
33．（2023·河南安阳·统考一模）如图，在△OAB中，点C、D分别在边OB、OA的反向延长线上，且
CD∥AB．若OC=2，OB=4，OD=3，则OA的长为（ ）
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A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：∵CD∥AB，
OC OD
∴ = ，
OB OA
∵OC=2，OB=4，OD=3，
2 3
∴ = ，
4 OA
∴OA=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键．
题型 11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
34．（2022·宁夏银川·校考一模）如图，在
▱
ABCD中，AB=5，BC=8.E是边BC的中点，F是
▱
ABCD内一点，且∠BFC=90°. 连接AF并延长，交CD于点G.若，则DG的长为（ ）
5 3
A． B． C．3 D．2
2 2
【答案】D
【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再得到CG的长，进而得出DG的长．
【详解】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC=90°，
1
∴Rt△BCF中，EF= BC=4，
2
∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，
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∴F是AG的中点，
1
可得EF= (AB+CG)，
2
∴CG=2EF−AB=3，
又∵CD=AB=5，
∴DG=5−3=2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、梯形的中位线定理、直角三角形
斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．
1
35．（2022·四川绵阳·统考三模）在Rt ABC中，∠BCA＝90°，sinA＝ ，AB＝6，D是AB的中点，连接
3
△
CD，作DE⊥AC于E，则 CDE的周长为（ ）
△
A．4+2√2 B．6+2√2 C．4+√2 D．6+√2
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例可得D是AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线可得CD=3，根据
1 1
中位线的性质可得DE= AB，根据sinA＝ ，AB＝6，求得BC=2,在Rt△ABC中，勾股定理求得AC，
2 3
1
进而求得CE= AC，然后根据三角形的周长公式即可求解．
2
1
【详解】∵∠BCA＝90°，sinA＝ ，AB＝6，DE⊥AC，
3
BC 1
∴sinA= = ，DE//BC，
AB 3
∴BC=2，
∴AC=√AB2−BC2=4√2，
∵ D是AB的中点，
AD AE 1
∴ = =1，CD= AB=3，
DB EC 2
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1 1
∴CE= AC =2√2，DE= BC=1 ，
2 2
∴ CDE的周长为CD+DE+EC=3+1+2√2=4+2√2．
故△选A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质，根
据正弦求边长，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
36．（2022·四川宜宾·统考一模）如图，在 ▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD
FD
的延长线于点F，那么 的值是（ ）
FC
1 2 1 3
A． B． C． D．
3 3 2 4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质及E是AD边上的中点可知ED是△BFC的中位线，
FD
即可得 的值；
FC
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ED∥BC，ED＝BC，
∵点E是AD的中点，
∴ED是△BFC的中位线，
∴点D是FC的中点，
FD 1
∴ = ．
FC 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、中位线的性质，平行线分线段成比例，掌握平行四边形的性质、
中位线的性质，平行线分线段成比例等知识是解题的关键．
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题型 12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
37．（2023·浙江衢州·统考二模）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交
BC于点E，若BF:FD=3:1，BC=10，则CE的长为（ ）
10
A．3 B．4 C．5 D．
3
【答案】B
BE 3
【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到 = ,计算即可.
EC 2
【详解】过点D作DH∥AE交BC于H,
CH CD BE BF 1
则 = =1, = = ，
HE DA EH FD 3
BE 3
∴ = ，
EC 2
∵BC=10,
∴CE=4,
故选:B.
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
38．（2023·浙江·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D为AB中点，BF⊥CD于
点E，交AC于点F，若AB=2，则AF=（ ）
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3√2 2√2 √5
A． B． C． D．1
4 3 3
【答案】B
1 AG AD 1
【分析】过点D作DG∥BF交AF于点G，由点D为AB中点，得到AD=BD= AB=1， = = ，
2 AF AB 2
则AF=2AG=2FG，由勾股定理得到AC=2√2，由BF⊥CD于点E，则∠BEC=90°，
BC CE 4√5
CD=√BD2+BC2=√5，再证△BCE∽△DCB，得到 = ，求得CE= ，由DG∥BF得到
CD BC 5
CF CE 4
= = ，进一步得到CF=4FG=2AF，进一步即可得到AF的长度．
CG CD 5
【详解】解：过点D作DG∥BF交AF于点G，
∵点D为AB中点，
1 AG AD 1
∴AD=BD= AB=1， = = ，
2 AF AB 2
∴AF=2AG=2FG，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=√AB2+BC2=2√2，
∵BF⊥CD于点E，
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∴∠BEC=90°，CD=√BD2+BC2=√5，
∴∠BEC=∠DBC=90°，
∵∠BCE=∠DCB，
∴△BCE∽△DCB，
BC CE
∴ = ，
CD BC
2 CE
∴ = ，
√5 2
4√5
解得CE= ，
5
∵DG∥BF，
4√5
∴CF CE 5 4，
= = =
CG CD √5 5
4 4
∴CF= CG= (CF+FG)，
5 5
∴CF=4FG=2AF，
1 2√2
∴AF= AC= ．
3 3
故选：B
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和
准确计算是解题的关键．
39．（2022·广西贵港·统考二模）如图，在△ABC中，D是AB边的中点，点E在BC边上，且
BE:CE=3:2，CD与AE交于点F，则DF:CF=（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：3 D．3：2
【答案】B
1
【分析】过点D作DH∥BC交AE于H，可得DH为△ABE的中位线，可得DH= BE，设BE=3x，则
2
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CE=2x，根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DH∥BC交AE于H，
AD AH
∴ = ，
DB HE
∵D是AB边的中点，
∴点H是AE的中点，
∴DH是△ABE的中位线，
1
∴DH= BE，
2
3
设BE=3x，则CE=2x，DH= x，
2
∵DH∥BC，
DH DF
∴ = ，
CE CF
3
x
∴ DF 2 3，
= =
CF 2x 4
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，三角形的中位线，过点D作DH∥BC，构造三角形的中位线
是解题的关键．
题型 13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
40．（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点E是CD的中点，EF垂直AB交AB延长线于点F，若
BG 1
= ，EF=2√5，则菱形ABCD的边长是（ ）
CG 3
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
14
A．3√5 B． √5 C．5 D．6
5
【答案】D
BG 1
【分析】过C作CM⊥AB延长线于M，根据 = ，设BG=x,CG=3x，由菱形的性质表示出
CG 3
2 8
DC=BC=4x，由平行线分线段成比例表示出BM=BF+FM= x+3x= x，根据勾股定理列方程计算
3 3
即可．
【详解】解：过C作CM⊥AB延长线于M，
BG 1
∵ = ，
CG 3
∴设BG=x,CG=3x，
∴DC=BC=4x，
∵点E是边CD的中点，
1
∴CE= CD=2x，
2
∵菱形ABCD，
∴CE∥AB，
∵EF⊥AB，CM⊥AB，
∴EF∥CM，
∴四边形EFMC是矩形，
∴CM=EF=2√5，MF=CE=2x，
∵GF∥CM，
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BF BG BF 1
∴ = ，即 = ，
FM GC 2x 3
2
∴BF= x，
3
2 8
∴BM=BF+FM= x+3x= x，
3 3
在Rt△BCM中，BM2+CM2=BC2，
∴ (8 x ) 2 +(2√5) 2=(4x) 2 ，解得x= 3 或x=− 3 （舍去），
3 2 2
3
∴CD=4x=4× =6．
2
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活
运用．属于拔高题．
k
41．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，在直角坐标系中，反比例函数y= 的图象恰
x
1
好经过△AOB的顶点及边AB上一点C且满足AC= AB，如果△AOB的面积为2，那么k的值是
3
（ ）
A．1 B．2 C．−1 D．−2
【答案】C
(k ) 4
【分析】过B作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E，设B ，n ，根据三角形的面积公式得到OA= ，则
n n
( 4 ) (k−8 n)
A − ，0 ，然后利用平行线分线段成比例定理求出AE和CE，求得C , ，代入反比例函数解
n 3n 3
析式即可得到结论．
【详解】解：过B作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E，
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k
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
x
(k )
∴设B ，n ，
n
∵△OAB的面积为2，
4
∴OA= ，
n
( 4 )
∴A − ，0 ，
n
1
∵BD∥CE，AC= AB，
3
AE CE AC 1
∴ = = = ，
AD BD AB 3
1 1
∴AE= AD，CE= BD，
3 3
1(k 4) k+4 n
∴AE= + = ，CE= ，
3 n n 3n 3
4 4 k+4 8−k
∴OE= −AE= − = ，
n n 3n 3n
(k−8 n)
∴C , ，
3n 3
k
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
x
k−8 n
∴ ⋅ =k，
3n 3
∴k=−1，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，三角形的面积计算，平行线分线段成比例，正确表示C点
的坐标是解题的关键．
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42．（2023·贵州贵阳·统考二模）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线
上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】C
【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行
线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
AB AD AB 1
则 = ，即 = ，
BC DE 4 2
解得：AB=2，
∴AC=2+4=6(cm)．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
k
43．（2023·广西贵港·统考三模）如图，点A在反比例函数y= （x>0）的图象上，点B在x轴负半轴上，
x
AC 1
直线AB交y轴于点C，若 = ，△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
BC 2
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A．4 B．6 C．10 D．12
【答案】D
1 1
【分析】根据三角形的面积公式可得S = S =6= |k|，进而求出答案．
△AOD 2 △AOB 2
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，
AC 1
∵OC∥AD， = ，
BC 2
OD 1
∴ = ，
OB 2
1 1
∴S = S =6= |k|，k>0，
△AOD 2 △AOB 2
∴k=12，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的前提，求
出△AOD的面积是正确解答的关键．
题型 14 理解相似图形的概念
44．（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）剪纸是我国传统的民间艺术，在创作时，将纸片进行一系
列操作，剪出图样后再展开，即可得到一由湖光倒影的美景．这体现了数学中的( )
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．图形的轴对称 B．图形的平移
C．图形的旋转 D．图形的相似
【答案】A
【分析】根据轴对称，平移，旋转，相似的特征来判断即可． 轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对
折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形
状、大小和方向完全相同；旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换；相似可以改变图形的大小，
但不改变形状．
【详解】解：根据图形可知，将这个图形上下对折，两边的部分能够完全重合，因此这体现了数学中图形
的轴对称，
故选：A．
【点睛】本题考查图形的对称、平移、旋转、相似等知识，掌握四者的特征是解题的关键．观察时要紧扣
图形变换特点，认真判断．
45．（2023·河南洛阳·统考一模）下列是关于两个图形相似的叙述，不正确的选项是（ ）
A．位置可以不同 B．大小可以不同 C．形状可以不同 D．颜色可以不同
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义判定即可．
【详解】解：两个图形相似，位置可以不同，大小可以不同，颜色可以不同，但是形状必须相同，
故选项C不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似图形的定义．相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似
图形，如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似．
46．（2021·四川成都·统考一模）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相
似图形的是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
题型 15 相似多边形
47．（2021·上海奉贤·统考一模）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个梯形
【答案】B
【分析】对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：两个菱形满足对应边成比例，但是对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似，故A不符
合题意；
两个正方形满足对应边成比例，对应角相等，所以两个正方形一定相似，故B符合题意；
两个矩形满足对应角相等，但是对应边不一定成比例，故C不符合题意；
两个梯形的对应边不一定成比例，对应角也不一定相等，故D不符题意；
故选：B.
【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握多边形相似的判定是解题的关键．
48．（2019·河北邢台·校联考一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】D
【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．
【详解】作AE⊥BC于E，
则四边形AECD为矩形，
∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，
∴BE＝4，
由勾股定理得，AB＝√AE2+BE2＝5，
∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，
D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，
故选：D．
【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相
似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.
49．（2021·上海长宁·一模）下列命题中，说法正确的是（ ）
A．四条边对应成比例的两个四边形相似
B．四个内角对应相等的两个四边形相似
C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
D．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【答案】D
【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答．
【详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题；
C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；
D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大．
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题型 16 相似多边形的性质
50．（2022·河北石家庄·统考三模）对于题目：“在长为6，宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得
剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大
值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．
甲方案：如图1所示，最大值为16；
乙方案：如图2所示，最大值为16．
下列选项中说法正确的是（ ）
A．甲方案正确，周长和的最大值错误
B．乙方案错误，周长和的最大值正确
C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确
D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误
【答案】D
【分析】根据相似多边形对应边的比相等的性质分别求出两个小矩形纸片的长与宽，进而求解即可．
【详解】解：∵6：2=3：1，
∴三个矩形的长宽比为3：1，
甲方案：如图1所示，
3a+3b=6，
∴a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
乙方案：如图2所示，
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a+b=2，
周长和为2(3b+b)+2(3a+a)=8(a+b)=16；
如图3所示，
2
矩形①的长为2，则宽为2÷3= ；
3
2 16 16 16
则矩形②的长为6- = ，宽为 ÷3= ；
3 3 3 9
2 16 16 176
∴矩形①和矩形②的周长和为2(2+ )+2( + )= ；
3 3 9 9
176
∵ >16，
9
176
∴周长和的最大值为 ；
9
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，分别求出所剪得的两个小矩形纸片的长与宽是解题的关键．
51．（2022·山东淄博·统考二模）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩
形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．√2:1
【答案】D
【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
x
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，则对折后的矩形的长为y，宽为 ，根据得到的两个矩形都和原矩
2
x
形相似，有x:y= y: ，计算求解即可．
2
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
x
∴对折后的矩形的长为y，宽为 ，
2
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
x
∴x:y= y: ，
2
x2
∴y2= ，
2
解得x:y=√2:1．
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似多边形对应边成比例的性质．解题的关键在于表示出对折前后
的长与宽．
k
52．（2023·广东江门·统考一模）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y= 相交于点
x
D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【答案】D
【分析】过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，由双曲线的解析式可知S
矩形OEDF
=|k|，由于D点在矩
形的对角线OB上，可知矩形OEDF∽矩形OABC，并且相似比为OD:OB＝2:3，由相似多边形的面积比等
【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k
于相似比的平方可求出S =16，再根据在反比例函数y= 图象在第二象限，即可算出k的值．
矩形OEDF x
【详解】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
k
∵D点在双曲线y= 上，
x
∴S =|xy|=|k|，
矩形OEDF
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
S OD 2 4
∴ OEDF =( ) = ，
S OB 9
OABC
∵S =36，
矩形OABC
∴S =16，
矩形OEDF
∴|k|=16，
k
∵双曲线y= 在第二象限，
x
∴k=-16，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是过D点作坐标轴的垂线，构造矩形，再根据相似多边
形的面积的性质求出|k|．
53．（2019·浙江宁波·校联考三模）如图，▱ABCD∽▱EFGH，AB∥EF，记四边形ABFE、四边形BCGF、四
边形CDHG、四边形DAEH的面积分别S，S，S，S，若已知▱ABCD和▱EFGH的面积，则不用测量就可
1 2 3 4
知的区域的面积为（ ）
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A．S﹣S B．S+S C．S﹣S D．S+S
1 2 1 3 4 2 3 4
【答案】B
【分析】作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，得出CK＝FM+GN+HJ，四边形
EF HG GN EF HG GN
AEFB和四边形CDHG都是梯形，由▱ABCD∽▱EFGH，得出 ＝ ＝ ，设 ＝ ＝ ＝a，则
AB CD CK AB CD CK
1 1 1 1
EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，求出 S ABCD﹣ S EFGH＝ （1﹣a2）AB•CK，S+S＝ （1﹣
2 平行四边形 2 平行四边形 2 1 3 2
a2）AB•CK，即可得出结果．
【详解】
解：作CK⊥AB于K，GN⊥EF于N，FM⊥AB于M，HJ⊥CD于J，
∵四边形ABCD和四边形EFGH都是平行四边形，AB∥EF，
∴CK＝FM+GN+HJ，四边形AEFB和四边形CDHG都是梯形，
∵▱ABCD∽▱EFGH，
EF HG GN
∴ ＝ ＝ ，
AB CD CK
EF HG GN
设 = = =a ，
AB CD CK
∵AB＝CD，EF＝HG，
∴EF＝HG＝aAB，GN＝aCK，
1 1
S＝ （EF+AB）MF＝ （a+1）AB•MF，
1 2 2
1 1
S＝ （GH+CD）HJ＝ （a+1）AB•HJ，
3 2 2
1 1 1 1 1 1
S ABCD﹣ S EFGH＝ AB•CK﹣ EF•GN＝ （AB•CK﹣a•AB•a•CK）＝ （1﹣a2）
2 平行四边形 2 平行四边形 2 2 2 2
AB•CK，
1 1 1 1 1
S+S＝ （a+1）AB•MF+ （a+1）AB•HJ＝ （a+1）AB（MF+HJ）＝ （a+1）AB（CK﹣GN）＝
1 3 2 2 2 2 2
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1
（a+1）AB（1﹣a）CK＝ （1﹣a2）AB•CK，
2
1 1
∴S+S＝ S ABCD﹣ S EFGH；
1 3 2 平行四边形 2 平行四边形
故选B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质、平行四边形的性质、梯形面积与三角形面积以及平行四边形面积
的计算等知识；通过作辅助线得出大平行四边形AB边与小平行四边形EF边上高的差等于S、S 的高的和
1 2
是解决问题的关键．
题型 17 位似图形的识别
54．（2023·青海·统考一模）每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其
中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
【答案】C
【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解．
【详解】解：A选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
B选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
C选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
D选项，旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键．
55．（2022·贵州遵义·模拟预测）在如图所示的人眼成像的示意图中，可能没有蕴含的初中数学知识是（
）
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A．位似图形 B．相似三角形的判定C．旋转 D．平行线的性质
【答案】C
【分析】根据位似图形，相似三角形的判定，旋转的概念，平行线的性质逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵两棵树是相似图形，而且对应点的连线相交一点，对应边互相平行，
∴这两个图形是位似图形，
∴本题蕴含的初中数学知识有位似图形，相似三角形的判定，平行线的性质，
故选C．
【点睛】本题考查了位似图形，相似三角形的判定，旋转的概念，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是
解题关键．
题型 18 判断位似中心
56．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【分析】根据位似图形的性质即可判断；
【详解】解：根据位似图形的位似中心在对应点的连接线的交点处；
故选：A．
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【点睛】本题主要考查位似图形的位似中心判断，掌握位似图形的性质是解题的关键．
57．（2021·河北邢台·统考一模）如图，若△ABC与△≝¿是位似图形，则位似中心可能是（ ）
A．O B．O C．O D．O
1 2 3 4
【答案】A
【分析】根据位似中心的定义判断即可．
【详解】如图所示，连接CF和BE并延长，相交于O 点，
1
∴可能的位似中心为O 点，
1
故选：A．
【点睛】本题考查位似图形的概念，掌握位似中心是对应点连线的交点是解题关键．
题型 19 根据位似的概念判断正误
58．（2022·湖北省直辖县级单位·校考一模）如图，以点O为位似中心，把 ABC放大2倍得到 A′B′C′，
则以下说法中错误的是（ ） △ △
A．AB∥A′B′ B． ABC ∽ A′B′C′
△ △
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C．AO：AA′＝1：2 D．点C、O、C′三点在同一直线上
【答案】C
【分析】根据位似图形的对应边平行，位似图形相似，对应顶点到位似中心的距离之比等于位似比，对应
顶点所在的直线经过位似中心，来判断．
【详解】A. AB∥A′B．位似图形的对应边平行，正确，不能选；
B. ABC ∽ A′B′C′．位似图形相似，正确，不能选；
C. △AO：AA′＝△1：2．对应顶点到位似中心距离的比等于位似比，不正确，能选；
D. 点C、O、C′三点在同一直线上．对应顶点所在的直线经过位似中心，正确，不能选．
故选C
【点睛】本题考查了位似三角形，熟练掌握位似图形的定义和性质是解决本题的关键．
59．（2021·四川成都·一模）如图，在△ABC外取一点O，连接OA，OB，OC，并取它们的中点分别为
D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF位似
②△ABC与△DEF周长比为2∶1
③△ABC与△DEF面积比为4∶1
④△ABC与△DEF是相似图形
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
1 1 1
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，DE＝ AB，DF＝ AC，EF＝ BC，根
2 2 2
据相似三角形的判定定理和性质定理、位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵D、E、F分别为OA、OB、OC的中点，
1 1 1
∴DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，DE＝ AB，DF＝ AC，EF＝ BC，
2 2 2
∴△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，
∴△ABC与△DEF位似，△ABC与△DEF周长比为2∶1，△ABC与△DEF面积比为4∶1，
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∴①②③④的说法都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质、三角形中位线定理是解题的
关键．
60．（2021·河北唐山·统考一模）如图，BC//ED，下列说法不正确的是（ ）
A．两个三角形是位似图形 B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D、点C与点E是对应位似点 D．AC:AB是相似比
【答案】D
【分析】根据位似变换的概念判断即可．
【详解】解：A、∵BC∥ED，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴△ADE与△ABC是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；
B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；
C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；
D、AC：AB不是相似比，AE：AC是相似比，本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念，果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，
对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
题型 20 求两个位似图形的相似比
61．（2023·重庆渝中·统考二模）如图，△ABC与△ A B C 位似，位似中心是点O，若OA:OA =1:2，
1 1 1 1
则△ABC与△ A B C 的面积比是（ ）
1 1 1
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A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9
【答案】C
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A B C ，AC//A C ，进而得出△AOC∽△A OC ，根
1 1 1 1 1 1 1
据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵ΔABC与△A B C 位似，
1 1 1
∴△ABC∽△A B C ，AC//A C ，
1 1 1 1 1
∴∠CAO=∠C A O，∠ACO=∠A C O，
1 1 1 1
∴△AOC∽△A OC ，
1 1
AC OA 1
∴ = = ，
A'C' OA' 2
∴ΔABC与△A B C 的面积比为1:4，
1 1 1
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应
边平行是解题的关键．
62．（2023·重庆·三模）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O是它们的位似中心，若
OA：OA'=2：3，则CD：C'D'的值为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9
【答案】B
【分析】根据位似变换的概念得到CD∥C'D'，得到△OCD∽△OC'D'，根据相似三角形的性质解答即
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可．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，
∴CD∥C'D'，
∴△OCD∽△OC'D'，
CD OD
=
∴
C'D' O'D'
OD OA 2
= =
∵
O'D' O' A' 3
CD 2
=
∴
C'D' 3
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换，熟记位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
63．（2023·广西梧州·统考二模）如图，已知△OAB，作射线OA，OB，分别在射线OA，OB上取点A ，
1
OA OB 1
B ，使 = = ，连接A B ，则△OAB与△OA B 的位似比是（ ）
1 OA OB 3 1 1 1 1
1 1
1 2
A． B． C．2 D．3
3 3
【答案】A
【分析】根据位似图形的定义，即可求解．
OA OB 1
= =
【详解】解：∵ ，
OA OB 3
1 1
1
∴△OAB与△OA B 的位似比是 ，
1 1 3
故选：A．
【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
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题型 21 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形
64．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,−1)、(2,1)．
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形并写出点
B 、C 的坐标；
1 1
(2)将△BOC绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△OB C ，并求出B点所经过的路线长．
2 2
【答案】(1)见解析，B 、C 的坐标分别为：(−6,2)，(−4,−2)
1 1
√10π
(2)见解析，
2
【分析】（1）利用位似图形的性质得出B，C点对应点 B 、C 的坐标即可；
1 1
（2）根据网格结构找出点C、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点C 、B 的位置，然后顺次连接即可，再
2 2
根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：B 、C 的坐标分别为：(−6,2)，(−4,−2)；
1 1
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90π×√10 √10π
（2）解：如图所示：△OB C 即为所求，B点所经过的路线长为： = ．
2 2 180 2
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题
的关键．
65．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图在7×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，已
知A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)如图1，将△ABC以点C为位似中心缩小，使缩小前、后对应边长的比为2:1，得到△A'B'C，画出
△A'B'C；
(2)如图2，点D也是格点，连接CD，在AC上画出点E，使∠ADE=∠BCD；
(3)如图3，在边AB，BC，AC上分别画出点F，G，H，使△FGH的周长最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
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【分析】（1）延长AC,BC分别交格点、格线于点A',B'，再连接A'B'，则△A'B'C即为所作；
（2）如图2，取格点M，连接DM交AC于E，根据边边边可证△MCD≅△ACB，可得
∠CDM=∠CBA，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠ADE=∠BCD，则点E即为所
求；
（3）平移线段CA到EK，在BA上取格点F，取格点L，连接FL，交EK于点R，则AC是FR的垂直平分
线，平移线段CB到PQ，取格点M，连接MF并延长交PQ于点N，则BC是FN的垂直平分线，连接NR，
分别交BC,AC于点G，H，连接GF,HF，则此时△FGH的周长最小．
【详解】（1）如图1， △A'B'C即为所作；
（2）如图2，取格点M，连接DM交AC于E，则点E即为所求；
（3）如图3，平移线段CA到EK，在BA上取格点F，取格点L，连接FL，交EK于点R，则AC是FR的
垂直平分线，平移线段CB到PQ，取格点M，连接MF并延长交PQ于点N，则BC是FN的垂直平分线，
连接NR，分别交BC,AC于点G，H，连接GF,HF，则此时△FGH的周长最小．点F，G，H即为所求．
【点睛】本题是网格作图题，主要考查了作位似图形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性
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质、平移的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，综合性较强，正确理解题意、熟练掌握
相关图形的性质是解题的关键．
题型 22 求位似图形的坐标
66．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，若
A(1,1)，B(2,0)，D(4,0)，则点C的坐标为（ ）
A．(1,2) B．(2,2) C．(√2,√2) D．(2,1)
【答案】B
【分析】若两个图形△ABC和△≝¿以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是(x,y)，则在
△≝¿中，它的对应点的坐标是(kx,ky)或(−kx,−ky)，进而求出即可．
【详解】解：∵B(2,0),D(4,0)，
∴BO=2,DO=4，
∴BO:DO=1:2
∴相似比为1:2
∵A(1,1)，
∴点C的坐标为：(2,2)．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对
应点坐标之间的关系是解题的关键．
67．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点分别为
O(0,0),A(−3,0),B(−4,3)，△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点
C在第四象限的坐标为 ．
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(4 )( 1 )
【答案】 ,−1 / 1 ,−1
3 3
【分析】根据关于原点位似的关系和位似比，结合点B与点C位于位似中心的异侧，即可将点B的坐标都
1
乘以− 即可．
3
【详解】∵△ODC与△OAB是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
又∵点B与点C位于位似中心的异侧，B(−4,3)在第二象限，
1 4 1
∴−4× =− ,3× =1，
3 3 3
(4 )
∴C ,−1 ．
3
(4 )
故答案为： ,−1 ．
3
【点睛】本题考查坐标与图形的变化—位似变换．掌握点在坐标系中位似变换的规律是解题关键．
68．（2023·广东佛山·校考一模）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，
得到△A'B'O，若点A的坐标是(1,2)，则点A'的坐标是 ．
【答案】(−2,−4)或(2,4)
【分析】根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应乘以−2或2，
即可得出点A'的坐标．
【详解】解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以−2或2，
点A的坐标是(1,2)，
则点A'的坐标是(−2,−4)或(2,4)
故答案为：(−2,−4)或(2,4)．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或−k是解题关键．
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题型 23 求位似图形的线段长度
69．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O．
△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1，若OA'=2，则OA的长度为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．20
【答案】A
【分析】由△ABC与△A'B'C'位似，△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1，即可得OA:OA'=3:1，继而
求得答案．
【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1，
∴OA:OA'=3:1，，
∵OA'=2，
∴OA=6，
故选：A
【点睛】本题考查了位似的概念和性质，相似三角形的性质，熟知位似的概念，理解三角形的面积比等于
相似比的平方是解题关键．
70．（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）如图， ABC与 A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为
2：3．若AB＝4，则A'B'的长度为（ ） △ △
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
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【分析】利用位似的性质得到OA：OA′＝2：3，由AB＝4进而得出A'B'的长度．
【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，位似比为2：3，
AO 2 AB
∴ = = ，
OA' 3 A'B'
∵AB＝4，
4 2
∴ = ，
A'B' 3
∴A'B'的长度为：6．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键．
71．（2019·湖南永州·统考一模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴
1
于点B．将 AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ,得到 COD，则CD的长度是（ ）
2
△ △
A．1 B．2 C．2√5 D．√5
【答案】B
【分析】根据题意按照缩小的比例进行计算即可解答
【详解】解：∵点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B，
1
将 AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到 COD，
2
△ △
∴C(1，2)，则CD的长度是：2
故选：B
【点睛】此题考查三角形的性质，解题关键在于利用缩小比例进行计算
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题型 24 在坐标系中求位似图形的周长
72．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）如图所示，△ABC与△≝¿是位似图形，点O为位似中心．
若AD=3OA，△ABC的周长为5，则△≝¿的周长为（ ）
A．10 B．15 C．25 D．125
【答案】A
【分析】根据位似图形的概念得到AB∥ED，进而证明△OAB∼△ODE，根据相似三角形的性质解答即
可．
【详解】解： △ABC与△≝¿是位似图形，
△ABC∼△≝∵¿，
∴AB∥ED，
∴△OAB∼△ODE，
∴AB OA 1
= = ，
DE OD 2
∴
△ABC与△≝¿的周长比为1:2，
∴△ABC的周长为5，
∵△≝¿的周长为10．
∴【点睛】本题考查的是位似变换的概念，相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题
的关键．
73．（2023·四川成都·统考一模）如图，△ABC与△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，△≝¿是将
△ABC放大得到的．若AD=2OA，则△ABC与△≝¿的周长之比为（ ）
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A．1:2 B．1:4 C．1:3 D．1:9
【答案】C
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解．
【详解】解：∵ △ABC与△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，
∴ △ABC ∽△≝¿，
∵ AD=2OA，
∴ OA:OD=1:3，即△ABC与△≝¿的相似比为1:3，
∴ △ABC与△≝¿的周长之比为1:3，
故选C．
【点睛】本题考查位似图形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比．
74．（2023·重庆·模拟预测）如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，AD=2AO，若△ABC的周长
是5，则△≝¿的周长是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】B
AB
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△≝¿，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出 ，再根据
DE
相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿位似，AD=2AO，
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∴△ABC∽△≝¿，AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
AB OA 1
∴ = = ，
DE OD 3
∴△ABC的周长：△≝¿的周长=1:3，
∵△ABC的周长是5，
∴△≝¿的周长是15．
故选：B．
【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关
键．
题型 25 在坐标系中求位似图形的面积
75．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）如图，已知△ABC与△A B C 是位似图形，位
1 1 1
似中心是O，若△ABC与△A B C 的周长比为2:1，△A B C 的面积为3，则△ABC的面积为（ ）
1 1 1 1 1 1
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵△ABC与△A B C 是位似图形，△ABC与△A B C 的周长比为2:1，
1 1 1 1 1 1
∴△ABC与△A B C 的面积比为4:1
1 1 1
∵△A B C 的面积为3，
1 1 1
∴△ABC的面积为12，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
76．（2023·重庆九龙坡·重庆市杨家坪中学校考模拟预测）如图，△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，
位似比为2:3，若△ABC的面积为4，则△≝¿的面积是（ ）
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A．4 B．6 C．9 D．16
【答案】C
【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：解：∵△ABC与△≝¿位似，点O为位似中心，相似比为2:3，
∴△ABC与△≝¿的面积之比为4:9，
∵△ABC的面积为4，
∴△≝¿的面积是9，
故选C．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
77．（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点
O(0，0)，B(2，0)，已知△OAB'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OAB'的面积是△OAB面积
的4倍，则点A对应点A'的坐标为： ．
【答案】(−2，−2√3)或(2，2√3)
【分析】过A作AC⊥x轴于C，根据等边三角形的性质以及点B的坐标，可求出点A的坐标，再由面积比
可以得到位似比，从而根据位似变换的性质，求出A'的坐标．
【详解】解：∵等边三角形OAB的顶点O(0，0)，B(2，0)，
∴OA=OB=2，
过A作AC⊥x轴于C，
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∵△AOB是等边三角形，
1 √3
∴OC= OB=1，AC= OA=√3，
2 2
∴A(1，√3)，
∵ △OAB'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OAB'的面积是△OAB面积的4倍，
∴ △OAB'与△OAB位似为2:1，
∴点A的对应点A'的坐标是(1×2，√3×2)或(1×(−2)，√3×(−2))，即(2，2√3)或(−2，−2√3)，
故答案为：(2，2√3)或(−2，−2√3)．
【点睛】本题主要考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
1．（2023·青海西宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大
1
于 AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法
2
错误的是（ ）
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1
A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD= AB
2
1
C．DE= BC D．S :S =1:4
2 △ADE 四边形DBCE
【答案】D
【分析】根据直线PQ是AC的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定
和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线PQ是AC的垂直平分线，
∴点E是AC的中点，AD=CD，
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
AD AE
∴ = =1，
BD CE
即点D是AB的中点，
1
∴CD= AB，
2
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是AB的中点，点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= BC，
2
故选项正确，不符合题意；
D．∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
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∴
S
△ADE=
(DE) 2
=
(1) 2
=
1
，
S BC 2 4
△ABC
∴S :S =1:3，
△ADE 四边形DBCE
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中
位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
2．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长
线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
GF AG EG BG 1+x x
【分析】由平行四边形的性质可得 = ， = ，设GF为x可得 =1+ ，解之即可．
FC CD EC CD 3 4
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
GF AG EG BG
∴ = ， = ，
FC CD EC CD
设GF为x，
∵EF=1，EC=3，
∴EG=1+x，BG=AG+CD，
x AG 1+x AG+CD AG
∴ = ， = =1+ ，
4 CD 3 CD CD
1+x x
∴ =1+ ，
3 4
即8−x=0，
得x=8，
∴GF=8．
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故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
a 3
3．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若 = ，则ab=（ ）
2 b
3 2
A．6 B． C．1 D．
2 3
【答案】A
【分析】根据等式的性质即可得出结果．
【详解】解：等式两边乘以2b，得ab=6，
故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．
4．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为
A(1,2),B(2,1),C(3,2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形
△A'B'C'，则顶点C'的坐标是（ ）
A．(2,4) B．(4,2) C．(6,4) D．(5,4)
【答案】C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵△ABC的位似比为2的位似图形是△A'B'C'，且C(3,2)，
∴C'(2×3,2×2)，即C'(6,4)，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
5．（2022·山东威海·统考中考真题）由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝
∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
△
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4 4 4 3
A．（ ）3 B．（ ）7 C．（ ）6 D．（ ）6
3 3 3 4
【答案】C
【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为
6
(2√3)
△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG= x，再由相似三角形的性质求解即可．
3
【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
1
OA 2√3x (2√3)
则OB= = =x ，
cos30° 3 3
2
OB 4x (2√3)
∴OC= = =x ，
cos30° 3 3
3
OC 8√3x (2√3)
∴OD= = =x ，
cos30° 9 3
…
6
(2√3)
∴OG=x ，
3
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6
OG (2√3)
∴ = ，
OA 3
∴
S
△GOH =
(2√3) 12
=
(4) 6
，
S 3 3
△AOB
∵S =1，
△AOB
(4) 6
∴S = ，
△GOH 3
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出
相应边的比值规律是解题关键．
6．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直
线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB=3，则线段BC的长是（ ）
2 3
A． B．1 C． D．2
3 2
【答案】C
【分析】过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，根据题意得AD=2DE，然
后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点A作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D、E，
根据题意得AD=2DE，
∵BD∥CE，
AB AD
∴ = =2，
BC DE
又∵AB=3，
1 3
∴BC= AB=
2 2
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故选：C
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．
7．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=4，以A为圆心，AD的长为半
1
径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于 DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作
2
射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为 ．
【答案】4
【分析】由尺规作图可知，射线AF是∠BAD的角平分线，由于AD=AE=4，结合等腰三角形“三线合
一”得M是DE边中点，再由MN∥AB，根据平行线分线段成比例定理得到N是边BC中点，利用梯形中
1
位线的判定与性质得到MN= (DC+EB)即可得到答案．
2
【详解】解：由题意可知AD=AE=4，射线AF是∠BAD的角平分线，
∴由等腰三角形“三线合一”得M是DE边中点，
∵ MN∥AB，
BN EM
∴由平行线分线段成比例定理得到 = =1，即N是边BC中点，
NC MD
∴ MN是梯形BCDE的中位线，
1
∴ MN= (DC+EB)，
2
在 ▱ABCD中，CD=AB=6，BE=AB−AE=6−4=2，则MN=4，
故答案为：4．
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【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分
线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性
质是解决问题的关键．
8．（2023·浙江·统考中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是
一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
【答案】2
√2
【分析】根据题意得出a=√2b,c= b，进而即可求解．
2
a b
【详解】解：∵ = =√2
b c
√2
∴a=√2b,c= b
2
a √2b
= =2
∴c √2 ，
b
2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
9．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，
支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为 ．
【答案】(80√5−160)cm
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．
√5−1
其比值是一个无理数，用分数表示为 ，由此即可求解．
2
【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80−x，
80−x √5−1
∴ = ，解方程得，x=120−40√5，
80 2
【68淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
点D是靠近点A的黄金分割点，设AD= y，则BD=80−y，
80−y √5−1
∴ = ，解方程得，y=120−40√5，
80 2
∴C,D之间的距离为80−x−y=80−120+40√5−120+40√5=80√5−160，
故答案为：(80√5−160)cm．
【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．
10．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，△ABO的顶点坐标是A(2,6)，B(3,1)，O(0,0)，以点O为位
1
似中心，将△ABO缩小为原来的 ，得到△A'B'O，则点A'的坐标为 ．
3
(2 ) ( 2 )( 2 ) (2 )
【答案】 ,2 或 − ,−2 / − ,−2 或 ,2
3 3 3 3
【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．
1
【详解】解：∵以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的 ，得到△A'B'O，A(2,6)，
3
(1 1 ) (2 )
∴当△A'B'O在第一象限时，点A'的坐标为 ×2, ×6 ，即 ,2 ；
3 3 3
( 1 1 ) ( 2 )
当△A'B'O在第三象限时，点A'的坐标为 − ×2,− ×6 ，即 − ,−2 ；
3 3 3
(2 ) ( 2 )
综上可知，点A'的坐标为 ,2 或 − ,−2 ，
3 3
(2 ) ( 2 )
故答案为： ,2 或 − ,−2 ．
3 3
【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算．
11．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在
线段OA'上．若OA:A A'=1:2，则△ABC和△A'B'C'的周长之比为 ．
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【答案】1:3
【分析】根据位似图形的性质即可求出答案．
【详解】解：∵OA:A A'=1:2，
∴OA:OA'=1:3，
设△ABC周长为l ，设△A'B'C'周长为l ，
1 2
∵△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，
l OA 1
∴ 1= = ．
l OA' 3
2
∴l :l =1:3．
1 2
∴△ABC和△A'B'C'的周长之比为1:3．
故答案为：1:3．
【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．
12．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 位似，原点O是
1 1 1
AB
位似中心，且
=3．若A(9,3)，则A
点的坐标是 ．
A B 1
1 1
【答案】(3,1)
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设A (m,n)
1
AB
∵△ABC与△A B C 位似，原点O是位似中心，且 =3．若A(9,3)，
1 1 1 A B
1 1
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3
∴位似比为 ，
1
9 3 3 3
∴ = ， = ，
m 1 n 1
解得m=3，n=1，
∴A (3,1)
1
故答案为：(3,1)
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
13．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，
点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°．则点C'的坐标为 ．（结果用含a，b的
式子表示）
【答案】(6−2a,−2b)
【分析】过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D'垂足分别为D,D'，根据题意得出AD'=2AD，则
AD=a−2,CD=b，得出D'(2−2a+4,0)，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D'垂足分别为D,D'，
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2，点A是位似中心，A(2,0)
∴AD'=2AD
∵C(a,b)，
∴AD=a−2,CD=b,
∴A'D=2a−4,C'D'=2b，
∴D'(2−2a+4,0)
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∴C' (6−2a,−2b)
故答案为：(6−2a,−2b)．
【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
14．（2022·江苏镇江·统考中考真题）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡
杆，也异于称杆衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把
被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的
物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 倍．
【答案】1.2
【分析】设被称物的重量为a，砝码的重量为1，根据图中可图列出方程即可求解．
【详解】解：设被称物的重量为a，砝码的重量为1，依题意得，
2.5a=3×1，
解得a=1.2，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握杠杆的原理是解题的关键．
15．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD
于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3√3，则△ABC的周长为 ．
【答案】5√3
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．证明
AB=3AD，设AD=CD=a，证明ET=CT，设ET=CT=b，则BE=3b，求出a+b，可得结论．
【详解】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．
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∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM=FN，
1
⋅AB⋅FM
S BF 2
∴ ΔABF = = =3，
S DF 1
ΔADF ⋅AD⋅FN
2
∴AB=3AD，
设AD=DC=a，则AB=3a，
∵AD=DC，DT//AE，
∴ET=CT，
BE BF
∴ = =3，
ET DF
设ET=CT=b，则BE=3b，
∵AB+BE=3√3，
∴3a+3b=3√3，
∴a+b=√3，
∴ΔABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=5√3，
故答案为：5√3．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解
决问题．
16．（2023·江苏徐州·统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解
到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，
谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以
考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
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(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ；
(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好
若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】(1)32:27
(2)①符合，图见详解；②图见详解
【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；
（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行
线所截线段成比例可进行作图．
【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32−12)=8π；环的“肉”的面积为
π×(32−1.52)=6.75π，
∴它们的面积之比为8π:6.75π=32:27；
故答案为32:27；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则
1
分别以A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分
2
线，线段AB,AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径
画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
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由作图可知满足比例关系为1:2:1的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半
径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于
点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段
成比例是解题的关键．
17．（2023·山东枣庄·统考中考真题）问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是
BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交
AB,AC,BC于点E，G，F，H．
猜想证明：
(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．
问题解决；
(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交
AB,BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．
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【答案】(1)四边形AEDG是菱形，理由见解析
(2)30
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和折叠的性质，得到AE=DE=DG=AG，即可得出结论．
（2）先证明四边形AMKG为平行四边形，过点H作HE⊥CG于点E，等积法得到CG⋅HE的积，推出
四边形MKGA的面积=CG⋅HE，即可得解．
【详解】（1）解：四边形AEDG是菱形，理由如下：
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
1
∴AD⊥BC,BD=CD= BC，
2
∵将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，
1 1
∴EF⊥BC,GH⊥BC,BE=DE,CG=CD,BF=FD= BD,CH=DH= CD，
2 2
∴EF∥AD，
BF BE
∴ = =1，
FD AE
1
∴BE=AE= AB，
2
1
同法可得：CG=AG= AC，
2
∴AE=DE,AG=DG，
∵AB=AC，
∴AE=DE=DG=AG，
∴四边形AEDG是菱形；
（2）解：∵折叠，
∴∠GDC=∠C,∠MHB=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠GDC=∠B,∠MHB=∠C，
∴MH∥AC,DG∥AB，
∴四边形AMKG为平行四边形，
∵AB=AC=17，BC=30，
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1 15 1 17
由（1）知：BD=CD= BC=15，DH=CH= ，DG=AG= AB= ，
2 2 2 2
√ (17) 2 (15) 2
∴GH= − =4，
2 2
过点H作HE⊥CG于点E，
1 1
∵S = CH⋅HG= CG⋅HE，
△CHG 2 2
15
∴CG⋅HE= ×4=30，
2
∵四边形MKGA的面积=AG⋅HE，AG=CG，
∴四边形MKGA的面积=CG⋅HE=30．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，平行线分线段对应成比例，菱形的判定，平行四边形
的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
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