文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 8 反比例函数
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共10小题）
（2025•山东）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若
函数y （x＞0）的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为（ ）
A．0＜x≤2 B．x≥2 C．0＜x≤4 D．x≥4
（2025•广州）若|k|＝﹣k（k≠0），则反比例函数y 的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
（2025•长春）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数
关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
（2025•浙江）已知反比例函数y .下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限
B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限
D．y随x的增大而增大
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2025•内蒙古）已知点A（m，y），B（m+1，y）都在反比例函数y 的图象上，则下列结论一定正确的
1 2
是（ ）
A．y＞y B．y＜y
1 2 1 2
C．当m＜0时，y＜y D．当m＜﹣1时，y＜y
1 2 1 2
（2025•宁夏）函数 和 的部分图象如图所示，点A在 的图象上，过点
A作AB∥y轴交x轴于点C，交 的图象于点B．若AC＝3BC，则 的值为（ ）
A．﹣3 B． D．3
（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩
形，函数y （x＞0）的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等，
②△MON与△MCN的面积可能相等，
③△MON一定是锐角三角形，
④△MON可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
（2025•绥化）如图，反比例函数y 经过A．C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点
D，连接OA．OC、AC．若S ＝4，CD：OB＝1：3，则k的值是（ ）
△ACO
A．﹣12 B．﹣9 C．﹣6 D．﹣3
（2025•烟台）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，反比例函数y （x＞0）的图象过点C
和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
（2025•宿迁）如图，点A．B在双曲线y （x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线
1
y （x＜0）交于点E，连接OA．OB，若S ＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k 的值为（ ）
2 △AOC 2
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13
二 、填空题（本大题共8小题）
（2025•福建）若反比例函数 的图象过点（﹣2，1），则常数k＝ ．
（2025•深圳）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数y 相交于点A和点
B．若A的横坐标为1，则B的坐标为 ．
（2025•成都）某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流IA．与电阻R（Ω）之间的函数关系
为I ，则电流I的值随电阻R值的增大而 （填“增大”或“减小”）．
（2025•武汉）在平面直角坐标系中，某反比例函数y 的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足
条件的k的值是 ．
（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x﹣1的图象与反比例函数y （k≠0）
的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC＝BC，则实
数k的值为 ．
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2025•陕西）如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，
则k的值为 ．
（2025•山东）取直线y＝﹣x上一点A（x，y），①过点A 作x轴的垂线，交y 于点A（x，y），②过点
1 1 1 1 2 2 2
A 作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A（x，y），如此循环进行下去．按照上面的操作，若点A 的坐标
2 3 3 3 1
为（1，﹣1），则点A 的坐标是 ．
2025
（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y 的图象交于A，B两点，
分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C
和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留π）
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
三 、解答题（本大题共8小题）
（2025•贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横
杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且
OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平
状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表：
点A与点 1 1.5 2 2.5 3
O的距离
l/m
拉力的大 300 200 150 120 a
小F/N
（1）表格中a的值是 ，
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐
标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象，
（3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
（2025•泸州）如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y 的图象的一个交点为A（2，6）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，
（2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y 的图象相交于点
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
B，C，求S 的值．
△ABC
（2025•河南）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板
OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y
（x＞0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前
点D的坐标．
（2025•江西）如图，直线l：y x+m与反比例函数y （k≠0）的图象交于点A（6，2）．
（1）求一次函数和反比例函数解析式，
（2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接OA，OC，当∠1＝∠2时，求点
C的坐标及直线l平移的距离．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2025•青海）如图，直线y＝﹣x+b与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B，与反比例函数 （m为常
数，m≠0）的图象在第二象限交于点C（﹣1，a）．
（1）求反比例函数的解析式，
（2）求△BOC的面积．
（2025•遂宁）如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y （k≠0）的图象交
于A（﹣2，﹣2）、B（a，1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式，
（2）结合图形，请直接写出不等式 x＜0的解集，
（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．
（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，OA＝2，点B在反比例
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
函数 的图象上，△OBA为等边三角形，延长BO与反比例函数 的图象在第三象限
交于点C，连接CA并延长与反比例函数 的图象在第一象限交于点D．
（1）求反比例函数的表达式，
（2）求点D的坐标及△OAD的面积，
（3）在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出Q
点坐标，若不存在，请说明理由．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段
被分为中外比，这个点称为中外比点．
（1）如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求PN的长．
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y （k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC的边AB，
BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F．当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别
为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 8 反比例函数答案
解析
一 、选择题
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，反比例函数
的性质
【分析】由题意可设点B的坐标为（b，b），易得 b＝2，即点B的坐标为（2，2），再结合反比例函数
图象即可解答．
解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为（b，b），
∴b2＝4，解得：b＝2（已舍弃负值），
∴点B的坐标为 （2，2），
∵函数 的图象经过点B，
满足y≥2的x的取值范围为0＜x≤2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结
合思想是解题的关键．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数的图象
【分析】根据绝对值的性质得k＜0，再根据反比例函数的图象与k的关系即可得出答案．
解：∵|k|＝﹣k（k≠0），
∴k＜0，
∴反比例函数y 的图象在第二、四象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关
键．
【考点】反比例函数的应用
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当t＝25和t＝40时的函数值，根据反
比例函数的性质即可得到答案．
解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P （k≠0），
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把t＝60，P＝20代入解析式得：20 ，
解得：k＝1200，
∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P ，
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当t≥25时，P 48，
当t≤40时，P 30，
∴30≤t≤48，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
【考点】反比例函数的性质
【分析】根据反比例函数图象和性质判断即可．
解：∵反比例函数y ，k＝﹣7＜0，
∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，
故选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟悉反比例函数的图象是解题的关键．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0，
∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
A．若两点在同一分支上，m＜m+1，故y＜y，原说法错误，不符合题意，
1 2
B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y＞y，原说法错误，不符合题意，
1 2
C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y）所在象限，原说法错误，不符合题意，
2
D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y＜y，原说法正确，符合题意，
1 2
故选：D．
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象
【分析】连接OA．OB，由AC＝3BC、AB∥y轴得到S ＝3S ，根据反比例函数系数k的几何意义可
△OAC △OBC
得S ，继而求出S ，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
△OAC △OBC
解：如图，连接OA．OB，
由条件可知OC⊥AB，
∴S ＝3S ．
△OAC △OBC
由条件可知 ，
∴ ，
∴ 且k＜0，
2
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数 （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数 （k≠0）图象上任
意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．熟练掌握该知识点是关键．
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，等边三
角形的判定，矩形的性质
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】设点M坐标为 ，点N坐标为 ，则 ，OA＝BC＝a，BN＝b， ，CN
＝a﹣b， ，可用a，b表示出 ， ，即可判断①，用a，b表示出
， ，可知当△MON 与△MCN 的面积相等时，M，N重合，与题意不符，可
判断②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M，N是反比例函数图象上的动
点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解．
解：设点M坐标为 ，点N坐标为 ，
则A（a，0）， ， ，
∴ ，OA＝BC＝a，BN＝b， ，CN＝a﹣b， ，
∴ ，
，
∴S ＝S ，故结论①正确，
△COM △CON
，
，
当△MON与△MCN的面积相等时， ，即a＝b，
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当a＝b时，M，N重合，与题意不符，故结论②错误，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM＝60°且对称轴都为直线y＝x，△MON可能
是等边三角形，故④正确，
如图：
当M，N在y＝x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误，
综上，①④正确、②③错误．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，图形结合是
解题的关键．
【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】延长DC，BA交于点E，设CD＝a（a＞0），则OB＝3a，求出 ， ，进而得到
，证明四边形OBED是矩形，再求出 ，CE＝2a，得到 ，
根据S ﹣S ﹣S ﹣S ＝S 建立方程求解即可．
矩形OBED △DOC △AOB △AEC △ACO
解：延长DC，BA交于点E，
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设CD＝a（a＞0），
∵CD：OB＝1：3，
∴OB＝3a，
∵AB⊥y轴，CD⊥x轴，
∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a，
∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∵反比例函数 经过A．C两点，
∴ ．
∵∠EDO＝∠DOB＝∠EBO＝90°，
∴四边形OBED是矩形， ，DE＝OB＝3a，
∴ ，CE＝DE﹣CD＝2a，
∴ ，
∴ ，
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵S ＝4，
△ACO
∴S ﹣S ﹣S ﹣S ＝S ，
矩形OBED △DOC △AOB △AEC △ACO
即 ，
∴k＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，中心对称，反比例函数的性质
【分析】先证明AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3，设C（x，y），可得 ，xy 求解x＝1，过
C作CH⊥AO于H，再进一步求解即可．
解：∵菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA＝3，
∴AM＝CM，OC＝OA＝BC＝AB＝3，
∴A（3，0），
设C（x，y），
∴M（ ， ），
∴xy ，
解得：x＝1，
过C作CH⊥AO于H，
∴OH＝1， ，
∴ ，
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
故选：D．
【点评】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全
等三角形的判定与性质
【分析】过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足
为F，连接OE，HF，BH，AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF＝DH，证明△AHD≌△CFB
（AAS），则AD＝BC，再证明△EKD≌△AHD（AAS），则S ＝S ，ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，则
△EKD △AHD
，由AG∥y轴，得到 ，则 ，
则S ＝S ﹣S ＝1，则可求 ，即可求解k 的值．
△ADH △AOD △AHO 2
解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为
F，连接OE，HF，BH，AF，
由条件可知 ，
∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴，
∴S ＝S ＝S ＝S ，
△OAH △AHF △OBF △BFH
由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等，
∴AB∥FH，
∴四边形DHFB为平行四边形，
∴BF＝DH，
∵AH∥x轴，
∴∠DAH＝∠BCF，
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠AHD＝∠CFB＝90°，
∴△AHD≌△CFB（AAS），
∴AD＝BC，
在△EKD和△AHD中，
，
∴△EKD≌△AHD（AAS），
∴S ＝S ，AD＝ED，
△EKD △AHD
∵AB＝3BC，
∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，
∴ ，
∴ ，
∵AG∥y轴，
∴ ，
∴ ，
∴S ＝S ﹣S ＝5﹣4＝1，
△ADH △AOD △AHO
∴S ＝S ＝1，
△EKD △AHD
∴ ，
∵双曲线 经过第二象限，
∴k＝﹣12，
2
故选：C．
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例
函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键．
二 、填空题
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
解：∵反比例函数 的图象过点（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据A的横坐标为1，求出a的值，进而求出A点坐标，再根据对称性求出点B的坐标即可．
解：令 ，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y＝ax与反比例函数 相交于点A和点B，A的横坐
标为1， ，
∴a＝1，
∴y＝x，
∴当x＝1时，y＝x＝1，
∴A（1，1），
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点A，B关于原点对称，
∴B（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运
用．
【考点】反比例函数的应用
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】依据题意，由用电器的电流IA．与电阻R（Ω）之间的函数关系为I ，则I是R的反比例
函数，且k＝36＞0，从而可以判断得解．
解：由题意，∵用电器的电流IA．与电阻R（Ω）之间的函数关系为I ，
∴I是R的反比例函数，且k＝36＞0．
∴电流I的值随电阻R值的增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质
是关键．
【考点】反比例函数的性质，反比例函数的图象
【分析】根据反比例函数图象分布确定k的取值范围，在k的取值范围内选取一个数即可．
解：∵反比例函数y 的图象分别位于第一、第三象限，
∴k＞0，
不妨令k＝1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题勾股定理，解一元二次方程
【分析】求出点B的坐标为（﹣1，0），设点A坐标为（m，﹣m﹣1），根据AC＝BC，得到2m2+8m+16＝
10，解方程并进一步即可得到点A坐标为（﹣3，2），利用待定系数法即可求出实数k的值．
解：当y＝0时，0＝﹣x﹣1，解得x＝﹣1，
∴点B的坐标为 （﹣1，0），
∵点C坐标为（0，3），
∴ ，
设点A坐标为（m，﹣m﹣1），
∴AC2＝（m﹣0）2+（﹣m﹣1﹣3）2＝2m2+8m+16，
∵AC＝BC，
∴AC2＝BC2，
∴2m2+8m+16＝10，
解得m＝﹣3，m＝﹣1（不合题意，舍去），
1 2
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴m＝﹣3，
∴点A坐标为（﹣3，2），
∴ ，
解得 k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据
AC＝BC和勾股定理列方程是解题的关键．
【考点】求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】先根据题意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）代入
进行计算，即可作答．
解：∵过原点的直线与反比例函数 的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，
∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，
∴m＝3，n＝3，
∴A（3，3），
把A（3，3）代入 ，
得 ，
解得k＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的
点的性质，掌握以上性质是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】需要根据给定的操作步骤，依次求出前几个点的坐标，找出坐标变化的循环规律，再利用
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
循环规律计算出A 的坐标．涉及到一次函数y＝﹣x与反比例函数y 的交点求解，以及对循
2025
环周期的判断和应用．
解：已知A（1，﹣1），过点A 作x轴的垂线，交y 于点A，
1 1 2
∵作x轴垂线时，横坐标不变，
∴A 的横坐标x＝1，
2 2
把x＝1代入y ，得y 1，
2
∴A（1，1）．
2
过点A 作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A，作y轴垂线时，纵坐标不变，
2 3
∴A 的纵坐标为y＝1，
3 3
把y＝1代入y＝﹣x，得1＝﹣x，即x＝﹣1，
3
∴x＝﹣1，
3
∴A（﹣1，1），
3
过点A 作y轴的垂线，交y 于点A，
3 4
作x轴垂线时，横坐标不变，
∴A 的横坐标x＝﹣1，
4 4
把x＝﹣1代入y ，得y 1，
4
∴A（﹣1，﹣1），
4
过点A 作y轴的垂线，交y＝﹣x于点A，
4 5
作y轴垂线时，纵坐标不变，
∴A 的纵坐标y＝﹣1，
5 5
把y＝﹣1代入y＝﹣x，得﹣1＝﹣x，即x＝1，
5
∴A（1，﹣1），
5
∴观察可得，每4个点为一个循环周期，
∴2025÷4＝506…1，
∴A 坐标与A 相同，
2025 1
∴A 的坐标为（1，﹣1），
2025
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，通过求函数交点来确定点的坐标，熟练掌握以
上知识点是解题的关键．
【考点】切线的性质，反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】根据题意得到AC＝BD＝1，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得∠OAC
＝60°，利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积
和．
解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵半径为1，
∴AC＝BD＝1，
∴A点的纵坐标为1，
把y＝1代入y ，求得x ，
∴A（ ，1），
∴OC ，AC＝1，
∴tan∠OAC ，
∴∠OAC＝60°，
∴第一象限中阴影的面积S ，
1
同理，第一象限中阴影的面积S ，
2
∴S ．
阴影
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为： ．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的
坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，求得∠OAC＝60°是解题的关键．
三 、解答题
【考点】反比例函数的应用
【分析】（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300，即可得到答案，
（2）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到
这个函数的图象，
（3）根据反比例函数的性质即可得到答案．
解：（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300，
∴3a＝300，
∴a＝100，
故答案为：100，
（2）画出F与l的函数图象如图所示：
（3）当OA的长增大时，拉力F减小，理由如下：
∵F、l都是正数，
∴这条曲线是反比例函数的一支，
∵FL＝300，
∴其函数表达式为F ，
∵k＞0，
∴在第一象限内，F随l的增大而减小，
即当OA的长增大时，拉力F是减小．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与L的积为定值
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
从而得出函数关系式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案，
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线BC解析式为y＝2x﹣10，则可求出B（﹣1，
﹣12），C（6，2），过点A作ATⅡy轴交直线BC于T，则T（2，﹣6），再根据S ＝S +S 列式求
△ABC △ABT △ACT
解即可．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过A（2，6），
∴6＝2×2+b，
∴b＝2，
∴一次函数解析式为 y＝2x+2，
∵反比例函数 的图象经过A（2，6），
∴ ，
∴m＝12，
∴反比例函数解析式为 ，
（2）将一次函数y＝2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数 的图象相交于点
B，C，
∴直线BC解析式为y＝2x+2﹣12＝2x﹣10，
联立 ，
解得 或 ，
∴B（﹣1，﹣12），C（6，2），
如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于T，
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵A（2，6），
∴点T的横坐标为2，
在y＝2x﹣10中，当x＝2时，y＝2×2﹣10＝﹣6，
∴T（2，﹣6），
∴AT＝6﹣（﹣6）＝12，
∴S ＝S +S
△ABC △ABT △ACT
＝18+24
＝42．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函
数解析式是解题的关键．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，等腰直角三角形，坐标与图形变化﹣旋转，反比例函数图象
上点的坐标特征
【分析】（1）把C的坐标为（2，2）代入反比例函数 ，即可得到答案，
（2）求解CO2＝22+22＝8，证明AC＝CO，求解 ，如图，△OAB旋转到△OEF的位
置，D点对应G点，可得OE＝OA＝4，结合D的对应点G在 的图象上，可得EG＝1，进一步求解
即可．
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数 的图象
经过点C，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为： ，
（2）∵C（2，2），
∴CO2＝22+22＝8，
∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°，
∴AC＝CO， ，
如图，△OAB旋转到△OEF的位置，D点对应G点，
∴OE＝OA＝4，
∵D的对应点G在 的图象上，
∴y＝1，
G
∴EG＝1，
由旋转可得：AD＝GE＝1，
∴D（﹣1，4）．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，
理解题意是解本题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数
解析式
【分析】（1）将点A（6，2）代入一次函数和反比例函数解析式求解即可，
（2）根据∠1＝∠2以及反比例函数的图象的对称性可求出点C的坐标，进而利用待定系数法可求
出直线l平移后图象对应的表达式，从而求出直线l向上平移的距离．
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解：（1）将点A（6，2）代入一次函数和反比例函数解析式得： ， ，
解得：m＝﹣2，k＝12，
∴一次函数和反比例函数解析式分别为y ， ，
（2）∵∠1＝∠2，反比例函数的图象关于直线y＝x对称，
∴点A与点C关于直线y＝x对称，
∵A（6，2）
∴C（2，6），
设直线l平移后的直线对应的表达式为 ，
将点C（2，6）代入得： ，
解得：n ，
∵ ，
∴点C的坐标为（2，6），直线l向上平移的距离为 ．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，图形的平移与对称性质，准确运用函数的
性质和相关知识是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式
【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可，
（2）根据点的坐标及三角形面积的计算公式代入数据计算即可．
解：（1）把点A（1，0）代入y＝﹣x+b中，
得0＝﹣1+b，
b＝1，
∴一次函数解析式为 y＝﹣x+1，
把点C（﹣1，a）代入y＝﹣x+1 中，
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
得a＝1+1＝2，
∴点C的坐标为（﹣1，2），
把C（﹣1，2）代入 中，
得 ，m＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y ，
（2）过C点作CH⊥y轴于点H，
∵C（﹣1，2），
∴CH＝1，
把 x＝0 代入y＝﹣x+1 得，y＝1．
∴B（0，1），
∴OB＝1，
∴ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）根据待定系数法即可得到答案，
（2）根据图象和A，B两点坐标可得出不等式 x＜0的x的取值范围，
（3）根据直线AB的解析式和题意设出另一条直角边的解析式，然后分两种情况分别讨论即可求
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
得P的坐标．
解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在反比例函数y （k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的解析式为y ，
又∵B（a，1）在反比例函数y 的图象上，
∴a＝4，
∴B（4，1），
把A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入y＝mx+n（m≠0）得：
，
解得 ，
∴一次函数解析式为y x﹣1，
（2）解方程组 得 ， ，
∴不等式 x＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞2，
（3）∵P（0，b）是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为y
x﹣1，
∴设另一条直角边的解析式为y＝﹣2x+b，
当直角顶点是A时，则有﹣2＝﹣2×（﹣2）+b，
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得b＝﹣6，
当直角顶点是B时，则有1＝﹣2×4+b，
解得b＝9，
∴点P的坐标是（0，﹣6）或（0，9）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，求不等式的解集，直角
三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）作BF⊥x轴于点F，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为
，再利用待定系数法求解即可，
（2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为 ，利用待定系数法求
得直线AC的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可，
（3）先求得∠ACB＝30°，∠BAC＝90°，分当DQ⊥x轴和当DQ⊥AD时两种情况讨论，据此求解即
可．
解：（1）作BF⊥x轴于点F，
∵△OBA为等边三角形，OA＝2，
∴OB＝2，OF＝AF＝1，
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
∵点B在反比例函数 的图象上，
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ，
（2）∵延长BO与反比例函数 的图象在第三象限交于点C，
∴点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为 ，
∵OA＝2，
∴点A的坐标为（2，0），
设直线AC的解析式为y＝k'x+b，
∴ ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为 ，
联立得 ，
解得x＝3或x＝﹣1（舍去），
经检验，x＝3是原方程的解，
∴点D的坐标为 ，
∴ ，
（3）是，理由如下：
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵△OBA为等边三角形，点C与点B关于原点对称，
∴OA＝OB＝OC，∠BOA＝∠BAO＝60°，
∴ ，
∴∠BAC＝90°，
当DQ⊥x轴时，
∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠DQA＝∠BAC＝90°，
∴△DQA∽△BAC，
∵点D的坐标为 ，
∴点O的坐标为（3，0），
当DQ⊥AD时，
∠DAQ＝∠OAC＝30°＝∠BCA，∠QDA＝∠BAC＝90°，
∴△QDA∽△BAC，
∵点D的坐标为 ，点A的坐标为（2，0），
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点O的坐标为 ，
综上，点Q的坐标为（3，0）或 ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边
三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键
【考点】反比例函数综合题
【分析】（1）设PN＝x，根据题意 ，得 ，解一元二次方程，即可求解，
（2）①作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，②过点B作BF⊥AB，且BF＝BD，③连接AF，④以
点F为圆心，BF为半径，画弧，交AF于点G，⑤以点A为圆心，AG为半径，画弧，交AB于点C，点C
即为线段AB的中外比点．设BD＝x，根据勾股定理求得AF ，继而求得 ，
，分别代入 、 ，即可求证点C为线段AB的中外比点，
（3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，分三种情况讨论：①当
△OED＝90°时，证得△COE≌△BED，设点E（m，n），则D（m+n，n﹣m），根据点D、E在反比例函数
的图象上，可构建方程n2﹣mn﹣m2＝0，解得 ，分别求得BE、CE、BC、
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
BD、AD、AB的值，即可求证．设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0），利用待定系数法求得直线OB
的函数解析式为 ，联立方程组，求得点F的坐标，即可求证，②当∠ODE＝90°，同理可证
点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点，③当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反
比例函数不符．
解：（1）设PN＝x，则MP＝MN﹣PN＝2﹣x，
根据题意，得： ，即 ，
整理，得：x2﹣6x+4＝0，解得： ， ，
∵ ，
∴ 舍去，
∴ ，
（2）如图所示，点C为所求．
设BD＝x，
∴根据题意，得：AD＝BD＝BF＝FG＝x，AB＝2x，
∴ ，
∴ ， ，
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ， ，
∴ ，
∴点C为线段AB的中外比点．
（3）当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下：
第一种情况：当△OED＝90°，则OE＝ED，
∴∠OEC+∠DEB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCE＝∠EBD＝90°，
∴∠COE+∠OEC＝90°，
∴∠COE＝∠DEB，
∴△COE≌△BED（AAS），
设点E（m，n），
∴OC＝EB＝n，CE＝BD＝m，则D（m+n，n﹣m），
∵点D、E在反比例函数 的图象上，
得： ，
由①得：k＝mn，将其代入②，得： ，
整理，得：n2﹣mn﹣m2＝0，
解得： ，
∴ （舍去），
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ， ， ，
∴ ，CE＝m， ，BD＝m， ， ，
∵ ， ， BD2 ＝ m2 ，
，
∴ ， ，
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数 的图象上， ，
∴ ，
∴反比例函数为 ，
∵ ，
设直线OB的函数解析式为y＝ax（a≠0），
将点 ，O（0，0）代入，得： ，
∴直线OB的函数解析式为 ，
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
联立方程组 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点F为OB的中外比点．
第二种情况：当∠ODE＝90°，则OD＝DE，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD＝∠EBD＝90°，
∴∠ODA+∠DOA＝90°，
∴∠EDB＝∠DOA，
∴△OAD≌△DBE（AAS），
设点D（a，b），
∴OA＝DB＝a，AD＝BE＝b，则E（a﹣b，a+b），
∵点D、E在反比例函数 的图象上，
得： ，
由①得：k＝ab，将其代入②，得： ，
整理，得：b2+ab﹣a2＝0，
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得： ，
∴ ， （舍去），
∴ ， ， ，
∴ ， ，BC＝a，BD＝a， ， ，
∴ ， ，
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数 的图象上， ，
∴ ，
∴反比例函数为 ，
∵ ，
设直线OB的函数解析式为y＝gx（g≠0），
将点 ，O（0，0）代入，得： ，
∴直线OB的函数解析式为 ，
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
联立方程组， ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴点F为OB的中外比点．
第三种情况：当∠EOD＝90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况
不存在．
∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等
三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函
数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握
相关知识点是解题关键．
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
42
