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第 02 讲 函数及其图像
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=1，且经过
点 ， ，则 与 的大小为（ ）
(−1,y ) (2,y ) y y
1 2 1 2
A．y >y B．y 0
B．ax2+bx+c>0的解集是−10 x<−2
增大而减小，则m的取值范围是（ ）
8 8 8
A．− − D．− 0；②
b
− <0；③a+b+c<0；④当−30．
2a
其中所有正确结论的序号是（ ）
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A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（2023·江苏南通·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB的中点，E是边
AC上一个动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，DF交边BC于点F．设AE的长为x，△≝¿的面积为y，
s= y−6，则s与x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024·浙江宁波·二模）二次函数 y=x2−x+3 与坐标轴的交点个数为 个．
12．（2025·上海宝山·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 关于y轴对称的抛物线的表
xOy y=(x−1) 2+2
达式为 ．
13．（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形OABC和正方形ADEF中，点A、D均在x轴正半轴上，点C在
y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在同一个反比例函数图象上，若正方形ADEF的面积为4，且
BF=AF，则这个反比例函数的表达式为 ．
14．（2025·上海闵行·一模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点A、B在抛物线y=x2上，
点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和b(b>1)，b的值为 ．
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15．（2024·安徽安庆·二模）关于x的二次函数 的图象经过点 ．
y=ax2+(a−6)x−6 (6,0)
（1）a=
（2）若关于x的二次函数 的图象在 内与x轴只有一个交点，则m的取值
y=ax2+(a−6)x−6+m 1≤x≤6
范围是
1
16．（2024·四川达州·模拟预测）如图，一次函数y=x与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，过点A
x
作AB⊥OA交x轴于点B，作BA ∥OA交反比例函数图象于点A ，过点A 作A B ⊥A B交x轴于点
1 1 1 1 1 1
B ，再作B A ∥BA 交反比例函数图象于点A ，依次进行下去，……，则点A 的纵坐标为
1 1 2 1 2 2024
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·上海静安·一模）二次函数y=ax2+bx+c的部分图像如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标
是(6,0)，且对称轴是直线x=2．
(1)填空：① a与b的数量关系为：b= ；②图像与x轴的另一个交点坐标为 ．
(2)如果该函数图像经过点(0,−3)，求它的顶点坐标．
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18．（2025·上海青浦·一模）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表．
y=ax2+bx+c(a≠0) x y
x ⋯ 0 1 2 3 4 ⋯
y ⋯ 3 0 −1 0 3 ⋯
(1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标；
(2)设该抛物线与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求证：△ABC是
直角三角形．
19．（2025·湖南娄底·一模）如图，点A是坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点C在第一象限．AB=4，
∠CAB=30°，∠CBA=120°．
(1)求点C的坐标；
(2)点P是y轴上的一个动点，当点P处于何位置时，PB+PC的值最小？
m
20．（2025·广西柳州·一模）如图，直线y=kx+b（k，b为常数，k≠0）与双曲线y= （m为常数且
x
m≠0）相交于A(2,a)，B(−1,2)两点．
m
(1)求反比例函数y= 的解析式；
x
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m
(2)请直接写出关于x的不等式kx+b> 的解集；
x
(3)连接OA、OB，求△AOB的面积．
21．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形ABC的三个
顶点都在格点（网格线的交点）上，点P为腰AB上的一个格点，
k
反比例函数y= (x>0)的图象经过点P．
x
(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点P的两个格点，再画出
反比例函数的图象．
(3)将等腰三角形ABC向下平移，当点A落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
22．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(2,1)且与直线y=x+1的一个交点为
B(1,m)．
(1)求m的值；
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(2)判断抛物线y=ax2+bx+1的顶点是否在直线y=x+1上；
(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，使其顶点在直线y=x+1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大
值．
23．（2025·上海崇明·一模）已知抛物线y=x2−2x−3的顶点为P，与y轴相交与点Q．
(1)求点P、Q的坐标；
(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与x轴的另一个交点为M，求
sin∠OMQ的值．
24．（2023·江苏徐州·三模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，
k
且OA=3，OC=6，反比例函数y= (x>0)的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
x
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(1)如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k=______；②求△ODE的面积；
(2)如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
1
25．（2023·山东济南·二模）如图，二次函数y=− x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为
3
(8,0)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在x轴上方作x轴的平行线y =m，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足
1
分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，过点P向x轴作垂线，交
抛物线于点E，交直线AC于点F，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时
立即原速返回．当点E、F重合时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t>0)．问：以
A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
8
