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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题13 二次函数的综合题
一、选择题
1.（ 2024四川泸州）已知二次函数 （x是自变量）的图象经过第一、二、四象
限，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2. （2024四川自贡）一次函数 ，二次函数 ，反比例函数
在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
1.（ 2024甘肃威武）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚
顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系
的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车
截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或
“不能”）．
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2.（ 2024广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心球沿一段抛
物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则 ______ ．
3. （2024四川德阳）如图，抛物线 的顶点 的坐标为 ，与 轴的一个交点位
于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则
；④若关于 的一元二次方程 无实数根，则 ．其中正确结论是______
（请填写序号）．
三、解答题
1. （2024甘肃临夏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两
点，与 轴交于点 ，作直线 ．
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（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 ，垂足为 ，请问线段 是
否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 下方），已知
，若线段 与抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
2.（ 2024甘肃威武）如图1，抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为 ．
点C为 的中点．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长．
（3）点D为线段 上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形 ．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接 ， ，求 的最小值．
3.（ 2024深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别
以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位
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置测量数据如下表所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．
（1）（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用水平
和竖直直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口
大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式 为
．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函数
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和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线段
的距离之和为10，求a的值．
4.（ 2024贵州省）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于
进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种
糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
5.（ 2024武汉市）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第
一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运
行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面
的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．其中，当火箭
运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
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6. （2024武汉市）抛物线 交 轴于 ， 两点（ 在 的右边），交 轴于点 ．
（1）直接写出点 ， ， 的坐标；
（2）如图（1），连接 ， ，过第三象限的抛物线上的点 作直线 ，交y轴于点 ．若
平分线段 ，求点 的坐标；
（3）如图（2），点 与原点 关于点 对称，过原点的直线 交抛物线于 ， 两点（点 在 轴下
方），线段 交抛物线于另一点 ，连接 ．若 ，求直线 的解析式．
7. （2024湖北省）如图1，二次函数 交 轴于 和 ，交 轴于 ．
（1）求 的值．
（2） 为函数图象上一点，满足 ，求 点的横坐标．
（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为 与 轴交于点 ，记 ，记 顶点
横坐标为 ．
①求 与 的函数解析式．
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②记 与 轴围成的图象为 与 重合部分（不计边界）记为 ，若 随 增加而增加，且
内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出 的取值范围．
8.（ 2024吉林省）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，
输入x的值为 时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y
的值为6．
（1）直接写出k，a，b的值．
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．
Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在 时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q
之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直
接写出m的取值范围．
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