[23766631]备考2026中考数学真题2025分类精编精练7二次函数（含解析）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2026年中考复习（更新中）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 7 二次函数 姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________ 一 、选择题（本大题共10小题） （2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在 各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水 平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x （x＞0），则水流喷出的最大高度是（ ） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m （2025•威海）已知点（﹣2，y），（3，y），（7，y）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y，y，y 1 2 3 1 2 3 的大小关系是（ ） A．y＞y＞y B．y＞y＞y C．y＞y＞y D．y＞y＞y 1 2 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1 （2025•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且 这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A．图象的开口向下 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于﹣3 D．当x＝2时，y＜0 （2025•福建）已知点A（﹣2，y），B（1，y）在抛物线y＝3x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是 1 2 （ ） A．1＜y＜y B．y＜1＜y C．1＜y＜y D．y＜1＜y 1 2 1 2 2 1 2 1 （2025•广安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐 标是（﹣1，0），点B的坐标是（n，0），有下列结论：①abc＜0；②4a+c＞2b；③关于x的方程 ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，x＝n；④ ．其中正确的有（ ） 1 2 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2025•泸州）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点位于x轴下方，且x＝﹣1 时，y＞0，下列结论正确的是（ ） A．2a＝b B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣2b+4c＜0 D．8a+c＞0 （2025•南通）在平面直角坐标系xOy中，五个点的坐标分别为A（﹣1，5），B（1，2），C（2，1），D（3，﹣ 1），E（5，5）．若抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0）经过上述五个点中的三个点，则满足题意的a的值 不可能为（ ） A． B． C． D． （2025•广州）在平面直角坐标系中，两点A（x，y），B（x，y）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列 1 1 2 2 结论中正确的是（ ） A．当x＜0且y•y＜0时，则0＜x＜2 1 1 2 2 B．当x＜0且y•y＞0时，则0＜x＜2 1 1 2 2 C．当x＜x＜1时，则y＜y 1 2 1 2 D．当x＞x＞1时，则y＜y 1 2 1 2 （2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点 P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位： km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m， 81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（ ） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D．点（15，85）在该函数图象上 （2025•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之 间，顶点P的坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②对于任意实数m，都有am2+bm﹣a﹣b≥0； ③3b＜2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则n ． 其中所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 二 、填空题（本大题共8小题） （2025•广东）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），但不经过原点，则该二次函数的表达 式可以是 ．（写出一个即可） （2025•徐州）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有 正确结果的序号）． ①a； ②2a+b； ③c； ④b2﹣4ac； ⑤a﹣b+c． （2025•徐州）二次函数y＝x2+x+1的最小值为 ． （2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴相交于点A （0，2），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．给出以下4个结论： ①abc＜0； ②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2； 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最小值为 ； ④若点（x，y），（x，y）在抛物线上，满足x＜x 且x+x+2＞0，则一定有y＜y． 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 其中，所有正确结论的序号为 ． （2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始 位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的 水平距离OB为 m． （2025•上海）抛物线y＝3x2向下平移两个单位所得的抛物线解析式为 ． （2025•大庆）定义：若点A（m，n），点A（﹣m，﹣n）都在同一函数图象上，则称点A和点A 为该函数的一 1 1 组“奇对称点对”，记为[A，A]．规定：[A，A]与[A，A]为同一组“奇对称点对”．例如：点B（1， 1 1 1 2）和点B（﹣1，﹣2）都在一次函数y＝2x的图象上，则点B和点B 为一次函数y＝2x的一组“奇 1 1 对称点对”，记为[B，B]． 1 下列说法正确的序号为 ． ①点A（1，1），点A（﹣1，﹣1），则点A和点A 为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”； 1 1 ②反比例函数 有无数组“奇对称点对”； ③点C（1，2），点C（﹣1，﹣2），若[C，C]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”，则a＝2，b 1 1 ＝2； ④由函数y＝﹣x在x＜0范围内的图象与函数y＝﹣x2+2x﹣k（k＞0）在x≥0范围内的图象组成 一 个 新 的 函 数 图 象 ， 将 该 图 象 所 对 应 的 函 数 记 为 w 函 数 ， 其 解 析 式 可 写 为 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是 ． （2025•武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论： ①该函数图象经过点（﹣1，0）； ②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小； ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点； ④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1； ⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个． 其中正确的是 （填写序号）． 三 、解答题（本大题共6小题） （2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂 度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适 的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． （2025•大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2 个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元． 一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于 72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每 套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售 价为a元（65≤a≤72且a为整数）． （1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； （2）求当a为何值时，每天的利润W最大． （2025•南通）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动． 已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两 种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为450m2的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度 忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区 域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留 一个宽为3m的进出口（此处不用栅栏）． 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ （2025•浙江）已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）． （1）求a的值． （2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值． （3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l，l 之间． 1 2 若直线l，l 之间的距离为16，求n﹣m的最大值． 1 2 （2025•黑龙江）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A．点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点 坐标为（3，﹣4）． （1）求b与c的值． （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写 出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． （2025•湖北）抛物线y x+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的 顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求c的值； （2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求 的值； （3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）．过M，N分别作x轴的 垂线l，l，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l，l，直线l，l，l 与l 围成的 1 2 3 4 1 2 3 4 矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f． 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①求f关于t的函数解析式； ②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合．记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为 g．若f+g ，直接写出PQ的长． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 7 二次函数答案解 析 一 、选择题 【考点】二次函数的应用 【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值． 解：y＝﹣x2+2x （x﹣1）2+1 （x﹣1）2 ， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为 ，即2.75米， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度 中等． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称 轴越近、对应的函数值越小解答即可． 解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y），（3，y），（7，y）， 1 2 3 ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y＞y＞y． 2 1 3 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值 【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项 与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 解：由题意可得， ∵方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴ ， 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得0＜a＜3， ∴二次项系数a＞0，开口向上，故A不符合题意； ∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的对称轴为直线 ， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当x＝1时，y＝﹣3， ∴最小值为﹣3，故C不符合题意； 当x＝2时，y＝4a﹣4a+a﹣3＝a﹣3， ∵0＜a＜3， ∴此时y＜0，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征, 二次函数的图象和性质 【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 解：∵y＝3x2+bx+1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为 ， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴ ， ∵ ， ， ∴点A（﹣2，y）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于B（1，y）到对称轴的距离， 1 2 ∴1＜y＜y， 1 2 故选：A． 【点评】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根与系数的关系 【分析】根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得a＜0，c＞0，进而可判断b＞0， 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即可判断结论①； 当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，可判断结论②； 根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案． 解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴a＜0，c＞0， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ， ∴b＞0， ∴abc＜0，故结论①正确； 由函数的图象可得：当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故结论②错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，点A（﹣1，0），点B（n，0）， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣1，x＝n， ，故结论③④正确； 1 2 综上，结论正确的有3个， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图 象与性质是解题的关键． 【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点 【分析】根据对称轴计算公式可得 ，即b＝﹣2a，据此可判断A； 根据题意可得当x＝0时，y＜0，再由当x＝﹣1时，y＞0，可得抛物线与x轴的一个交点一定在直 线x＝﹣1和y轴之间，则抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间，据此可 判断B； 当x＝﹣2时，y＝4a+﹣2b+c＞0，再由b＝﹣2a，即可判断D； 二次函数与x轴的左交点在﹣1和0之间，当x 时不确定对应的y值的符号，据此可判断C． 解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1， ∴ ， ∴b＝﹣2a，故A选项中原结论错误，不符合题意； 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ∴当x＝0时，y＜0， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x＝﹣1和y轴之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相同的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当x＝0时，y＜0，且当x＝﹣1时，y＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x＝2和直线x＝3之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0， ∴4a+2•2a+c＞0，即8a+c＞0，故D选项中原结论正确，符合题意； ∵二次函数与x轴的左交点在﹣1和0之间， ∴当x 时不确定对应的y值的符号， 故C选项中原结论不正确，不符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，掌握以上 知识点是解题的关键． 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据已知点的坐标特征和抛物线的对称性得到：点A．E同时在抛物线上或同时不在抛物 线上，然后分四种情况利用待定系数法求得a的值，即可判断． 解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a＞0） ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2． ∵A（﹣1，5），E（5，5），且 2， ∴点A．E同时在抛物线上或同时不在抛物线上． 当抛物线过A．E、B时， 把B（1，2），A（﹣1，5）代入得 ， 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得a ； 当抛物线过A．E、C时， 把A（﹣1，5），C（2，1）代入得 ， 解得a ， 当抛物线过A．E、D时， 把A（﹣1，5），D（3，﹣1）代入得 ， 解得a ， 当抛物线过B、C、D时， 把C（2，1）代入解析式求得k＝1， ∴y＝a（x﹣2）2+1， 把B（1，2）代入得a+1＝2，解得a＝1， 把D（3，﹣1）代入得a+1＝﹣1，解得a＝﹣2， ∴B、C、D三点不能同时在抛物线上， 综上，a的值可能为 ， ， ，不可能为 ， 故选：C． 【点评】本题综合考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法 求二次函数解析式，二次函数图象的对称性，分类讨论是解题的关键． 【考点】二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征 【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析 各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0）， ∴抛物线的开口向上， 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则对称轴为直线 ， 把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a， ∴顶点为（1，﹣a）， ∵两点A（x，y）．B（x，y）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）， 1 1 2 2 ∴当x＜0目y•y＜0时，y＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方）， 1 1 2 1 故y＜0， 2 此时0＜x＜2，故A选项的结论正确； 2 当x＜x＜1时，抛物线在x＜1时递减， 1 2 故x 越大，y 越小， 2 2 即y＞y，故C选项的结论错误； 1 2 当x＜0且y•y＞0时，y＞0， 1 1 2 2 此时x 应满足x＜0或x＞2，故B选项的结论错误； 2 2 2 当x＞x＞1时，抛物线在x＞1时递增， 1 2 故x 越大，y 越大， 1 1 即y＞y，故D选项的结论错误； 1 2 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 【考点】二次函数的应用 【分析】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动到 点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到点B， 根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C的 纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判断D． 解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225， 当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了动点的函数图象、勾股定理、垂线段最短、等腰三角形的性质，解题时要熟 练掌握并能从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置是关键． 【考点】二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，等边三角形的性 质 【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，a ＜0，b＞0，c＞0，可得①符合题意； 结合当x＝1时，n＝a+b+c最大，当x＝m时，y＝am2+bm+c，可得②不符合题意； 由 ，a﹣b+c＞0，可得3b＜2c，可得③符合题意； 由 PH ＝ tan60°•AH ， 记 A ， B 的 横 坐 标 分 别 为 x ， x ， 可 得 1 2 ，结合n＝a+b+c＝c﹣a，可得a（a﹣c）＝ 3，可得④符合题意． 解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①符合题意； ∵顶点P的坐标为（1，n）， ∴当x＝1时，n＝a+b+c最大， 当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c≥am2+bm+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0，故②不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和 （﹣1，0）之间，对称轴 为直线x＝1， ∴ ，a﹣b+c＞0， ∴ ， ， ∴3b＜2c，故③符合题意； 如图，△PAB为等边三角形， ∴PA＝AB＝PB，PH⊥AB，HA＝HB，∠PAB＝60°， ∴PH＝tan60°•AH， 记A，B的横坐标分别为x，x， 1 2 ∴n （x﹣1） （1﹣x）， 2 1 ∴2n ， 当y＝ax2+bx+c＝0，则x+x 2， ， 1 2 ∴ ， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵n＝a+b+c＝c﹣a， ∴ ， ∴a（a﹣c）＝3， ∴ ，故④符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的 利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键． 二 、填空题 【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 【分析】先由二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0），得到0＝﹣c2+bc+c，再由二次函数y＝ ﹣x2+bx+c的图象不经过原点，得到c≠0，从而得确定c﹣b＝1，若取b＝1，即可得到c＝2，从而 确定函数表达式． 解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（c，0）， ∴0＝﹣c2+bc+c， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象不经过原点， ∴c≠0， 则c﹣b＝1， 若取b＝1，则c＝2， ∴该二次函数的表达式可以是y＝﹣x2+x+2， 故答案为：y＝﹣x2+x+2（答案不唯一）． 【点评】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法 是解决问题的关键 【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点 【分析】根据抛物线与x轴（y轴）的交点，开口方向，对称轴及特殊点的函数值，逐一判断符号． 解：由图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0； 由图示知，对称轴x 1，故2a+b＜0； 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由图示知，抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0； 由图示知，抛物线与x轴有2个交点，b2﹣4ac＞0． 由图示知，当x＝﹣1时，抛物线在x轴的下方， ∴y＝a﹣b+c＜0， 综上所述，代数式的值为负数的是①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是根据图象与坐标轴的交点，开口方向，对 称轴，顶点坐标，特殊点的函数值进行判断． 【考点】二次函数的最值 【分析】先将二次函数解析式配成顶点式，再得出最小值． 解：∵y＝x2+x+1 ， ∴最小值为 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握顶点式是解题的关键． 【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，轴对称﹣最短路线问题 【分析】根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点O关于 对称轴的对称点O'，连接O'A，O'A的长即为OP+AP的最小值，勾股定理求出O'A的长，判断③，对 称性结合增减性，判断④即可． 解：由图象和题意可知：a＞0， ， 当x＝0时，y＝c＝2， ∴b＝2a＞0， ∴2a﹣b＝0，abc＞0；故①错误， 当x＝﹣1时，函数取得最小值为：a﹣b+c， ∴对于任意实数m，am2+bm+c+a≥a﹣b+c+a＝2a﹣b+c＝c＝2， ∴am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确； 作点O关于对称轴的对称点O'，连接O'A， 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则：O'（﹣2，0）， ∴当点P在O'A上时，OP+AP的值最小为O'A的长， ∵A（0，2）， ∴ ， ∴OP+AP的最小值为 ，故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点（x，y），（x，y）在抛物线上，满足x＜x 且x+x+2＞0， 1 1 2 2 1 2 1 2 ∴ ， ∴点（x，y）离对称轴远， 2 2 ∴y＜y，故④正确； 1 2 故答案为：②③④． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数 形结合的思想进行求解是解题的关键． 【考点】二次函数的应用 【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为 ， 令y＝0，求解即可， 解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得： ， 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 令y＝0，得 ， 解得：x＝8，x＝﹣2， 1 2 ∴OB为8m， 故答案为：8． 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法 和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据二次函数的平移法则进行平移即可． 解：∵抛物线y＝3x2向下平移两个单位， ∴y＝3x2﹣2， 故答案为：y＝3x2﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的平移，掌握二次函数平移法则是解题的关键． 【考点】二次函数的性质，根的判别式 【分析】根据点A（1，1），点A（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上，可判断①； 1 由 ， 都在反比例函数 上，结合a的取值，可判断②； 根据定义，将点代入，可判断③； 不妨设C和C是w函数的一组“奇对称点对”，即C和C 在w函数上，假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上， 1 那么C（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上，将C（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k，然 1 1 后结合一元二次方程的判别式求得答案． 解：①将x＝1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝1+1﹣1＝1； 将x＝﹣1代入y＝x2+x﹣1，得到y＝（﹣1）2﹣1﹣1＝﹣1； 可知点A（1，1），点A（﹣1，﹣1）都在二次函数y＝x2+x﹣1上， 1 那么点A和点A 为二次函数y＝x2+x﹣1的一组“奇对称点对”；故①正确； 1 ②当x＝a（a≠0）代入 ，得到 ， 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当x＝﹣a代入 ，可得 ， ∴ ， 都在反比例函数 上， ∴ ， 为反比例函数 的一组奇对称点对”， ∵a可以取无数个不为0的数， ∴反比例函数 有无数组“奇对称点对”；故②正确； ③∵点C（1，2），点C（﹣1，﹣2），[C，C]为函数y＝ax2+bx﹣1的一组“奇对称点对”， 1 1 ∴点C（1，2），点C（﹣1，﹣2）都在函数y＝ax2+bx﹣1上， 1 ∴ ， ∴③错误； ④不妨设C和C是函数的一组“奇对称点对”，即C和C 在w函数上， 1 假设C（m，﹣m）在y＝﹣x上，那么C（﹣m，m）在y＝﹣x2+2x﹣k上， 1 将C（﹣m，m）代入y＝﹣x2+2x﹣k，得到m＝﹣m2﹣2m﹣k， 1 ∴m2+3m+k＝0， ∵ ，该函数有两组“奇对称点对”， ∴m2+3m+k＝0有两个不同的实数根m，m， 1 2 ∴32﹣4k＞0，m•m＞0， 1 2 ∴ （符合题意）， ∴ ， ∴④正确； 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了“奇对称点对”的定义，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的判别式， 熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【考点】抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐 标特征 【分析】把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝0，即可判断①； 当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，求出对称轴为直线x ，则可根据增减性判断②；利用判 别式的值可直接判断③； 由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，设另一个根为x，由韦达定理可知x 2 2 ，当a＞2时，有 ，进而可判断④； ⑤当a＞2时，对称轴为直线x 0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解， 将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象， 令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，其中只有一个最右侧交点横坐 标为正，其余都为负，即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，即判断⑤． 解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0， 故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确； 当a＝﹣1时，该二次函数开口向下， 对称轴为直线x ， 故当x 时，y随x的增大而减小， 因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0， ∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误； 由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1， 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设另一个根为x，由韦达定理可知 ， 2 ∴ ， 当a＞2时，有 ， 即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确； 当a＞2时，对称轴为直线x 0， 则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解， 将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象， 令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点， 其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负， 即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查了二次函数的图象、增减性质、对称性质、根的判别式、韦达定理、二次函数图象 的轴对称变换、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握以上内容并能数形结合分析题意是解 题关键． 三 、解答题 【考点】二次函数的应用 【分析】先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到（0，0.0015）、A（0.85，0.18），设该抛物 线的顶点式为y＝ax2+0.0015，将A（0.85，0.18）代入解方程即可得到答案． 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为（0，0.0015）， ， 即A（0.85，0.18）， 设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015， 将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015， 得0.18＝0.852a+0.0015， 解得 ， ∴该抛物线的表达式为 ． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数表达式，根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系， 并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【考点】二次函数的应用，二元一次方程组的应用 【分析】（1）依据题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，可得 ，进而可以计算得解； （2）依据题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元，故每套利润为 （a﹣60）元，又售价为72元 时销量80套，每降价1元销量增10套，从而故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a，则利润W＝（a﹣ 60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000，结合65≤a≤72且a为整数，最后 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 可以判断得解． 解：（1）由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元， ∴ ． ∴ ． 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元． （2）由题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元， ∴每套利润为 （a﹣60）元． ∵售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套， ∴故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a． ∴利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000． ∵65≤a≤72且a为整数， ∴当a＝70时，天的利润W最大． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运 用二次函数的性质是关键． 【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用 【分析】（1）设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m，根据题意得到x （60﹣2x）＝450，解方程即可得到结论； （2）设与墙平行的边的长度为 t m，花圃的面积为 S m2，根据题意得到函数解析式 ，根据二次函数的性质即可得到结论． 解：（1）设与墙垂直的边的长度为x m，则与墙平行的边的长度为 （60﹣2x）m， 根据题意得x（60﹣2x）＝450， 解得x＝x＝15， 1 2 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）设与墙平行的边的长度为t m，花圃的面积为S m2， 根据题意得 ， 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴当t＝33时，S有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【点评】本题考查了二次函数的应用，矩形的面积公式，正确地理解题意列出函数解析式是解题的 关键． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，中点得到x＝2x， C B 对称性得到 ，求出x，再代入函数解析式求出t的值即可； B （3）根据题意，易得要使n﹣m最大，则m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和 x＝n关于对称 轴对称，根据直线l，l 之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣ 1 2 4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，令x2﹣6x+5＝12，求出 x的值，进而确定m，n的值，进行求解即可． 解：（1）把（1，0）代入y＝x2﹣ax+5， 得：1﹣a+5＝0， 解得：a＝6； （2）由（1）知：y＝x2﹣6x+5， ∴对称轴为直线 ， ∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t， 又∵点B为线段AC的中点， ∴xc＝2xB， ∴ ， 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴xB＝2， ∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5， 得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3， ∴t＝﹣3； （3）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4）， 当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l，l 之间时，m，n为直线 1 2 与抛物线的交点， ∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称， 又∵直线l，l 之间的距离为16，为定值， 1 2 ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析 式为y＝16﹣4＝12，如图： ∴当x2﹣6x+5＝12时， 解得：x＝7，x＝﹣1， 1 2 即n＝7，m＝﹣1， ∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质， 是解题的关键． 【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【分析】（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解b，c； （2）先确定△OBC为等腰直角三角形，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4， 连接AD与BC 交于点E，则D（5，4），通过三线合一得到BC⊥AD，ED＝EA，由三角形面积公式可得 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，然后求出直线PD解析式，再与抛物线解析式联立求解． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（3，﹣4）， ∴y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5， ∴b＝﹣6，c＝5； （2）存在，理由如下：对于抛物线y＝x2﹣6x+5， 当y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1，x＝5， 1 2 当x＝0，y＝5， ∴OB＝OC＝5，AB＝5﹣1＝4， ∵∠COB＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD＝BA＝4， 连接AD与BC交于点E，则D（5，4）， ∴∠DBC＝90°﹣∠OBC＝45°＝∠OBC， ∴BC⊥AD，ED＝EA， 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P， ， ∴S ＝S ， △BCA △BCP 设直线BC：y＝mx+n， 则 ， 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴直线BC：y＝﹣x+5， ∵BC∥PD， ∴设直线PD：y＝﹣x+q，代入D（5，4）得：﹣5+q＝4， 解得：q＝9， ∴直线PD：y＝﹣x+9，与抛物线解析联立得： ， 整理得：x2﹣5x﹣4＝0， 解得： 或 ， ∴点P的横坐标为 或 ． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式 等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）一般式化为顶点式，求出T点坐标，根据P点横坐标，得到 ，进而求出PH， TH，进行求解即可； （3）①求出C点，B点坐标，分0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3三种情况，分别求出矩形的两条邻边长， 利用周长公式，列出函数关系式即可； ②根据PQ∥x轴，得到P，Q关于对称轴对称，进而求出Q点坐标，分0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t＜3三 种情况，求出g的函数关系式，再根据 ，分别求出满足题意的t的值，进而求出PQ的长 即可． 解：（1）把A（﹣1，0）代入 ， 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 得 ， ∴ ， （2）由（1）可知： ， ∴T（1，﹣2）， ∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t， ∴ ， ∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H， ∴PH＝1﹣t， ， ∴ ； （3）①当x＝0时， ，当 时，x＝﹣1，x＝3， 1 2 ∴ ，B（3，0）， 由（2）可知：T（1，﹣2）， ，对称轴为直线x＝1， ∴点 关于对称轴的对称点为 ， ∵P在第四象限， ∴0＜t＜3， 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当0＜t≤1时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为P，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t， ， ∴ ， 当1＜t≤2时，抛物线弧CP的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t， ， ∴ ， 当2＜t＜3时，抛物线弧CP的最高点为P，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t， ， ∴ ， 综上： ； ②∵PQ∥x轴， ∴P，Q关于对称轴对称， ∴ ， 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当0＜t≤l时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为T，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣ t， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： （舍去）或 ， ∴ ， 当1＜t≤2时，抛物线弧CQ的最高点为C，最低点为Q，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：2﹣ t， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： 或 （舍去）， ∴ ； 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当2＜t＜3时，抛物线弧CQ的最高点为Q，最低点为C，此时特征矩形的两条邻边的长分别为：t﹣ 2， ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， 解得： （舍去）或t ， ∴PQ＝t﹣2+t＝2t﹣2 2， 综上： 【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想 进行求解，是解题的关键． 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 33