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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 12 四边形综合题
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一 、选择题（本大题共5小题）
（2025•德阳）如图：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH
的面积为24．且HF＝6，则GH＝（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
（2025•大庆）如图，在正方形ABCD中， ，点E，F分别在线段AB，BC上， ，连接
EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四
边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S，S，S，S，S，若点P在运动中始终满足
0 1 2 3 4
3S＝S+S+S+S，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（ ）
0 1 2 3 4
A．2 B． C．4 D．2π
（2025•自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连
接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．4 2
（2025•广东）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB
＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（ ）
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A． B． C． D．
（2025•泸州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF＝DC，则AF的
长为（ ）
A． B． C． D．
二 、多选题（本大题共1小题）
（2025•潍坊）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∠B＝60°， ，点P在边BC、
CD上运动（不含B，D），过点P作PE⊥AB，垂足为点E．设BE的长度为x，△APE的面积为y，则下列
结论正确的是（ ）
A．边BC的长为6
B．P在BC上时，
C．P在CD上时，
D．y随x的增大而增大
三 、填空题（本大题共4小题）
（2025•徐州）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为
．
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（2025•山东）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB
为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是 ．
▱
（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，AB＝4 ，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，
连接EF．若BF＝3，则EF的长为 ．
（2025•眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A．D重合），∠CDP＝45°，点
F在射线DP上，且AE：DF＝1： ，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：
①sin∠BFE ，②AE2+CG2＝EG2，③△DEF的面积最大值是2，④若AE AD，则点G是线段CD的
中点．其中正确结论的序号是 ．
四 、解答题（本大题共8小题）
归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从
边的角度，平行四边形对边平行且相等，从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补，从对角线
的角度，平行四边形对角线互相平分，从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形．通过如此归
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纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙．
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质．
① ，
② ，
③ ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
BE∥AC，AE∥BD，试帮他判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．
（2025•山西）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线
段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB＝CD，则下
列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段．
【问题解决】
问题1：如图1，在矩形ABCD中，
AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB＝ °．
问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE＝CD，连接AD，BE．
求证：线段AD是线段BE的双关联线段．
证明：延长DA交BE于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°
∵∠BAC+∠BAE＝180°，∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BAE＝∠ACD（依据）．
∵AE＝CD，
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∴△ABE≌△CAD．
∴BE＝AD，∠E＝∠D．
……
任务：
（1）问题1中的∠ACB＝ °，问题2中的依据是 ，
（2）补全问题2的证明过程，
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作
图痕迹，不写作法，②作出一条即可）．
（2025•浙江）在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8．
（1）如图1，求sin∠BAC的值．
（2）如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于
点P，连接BP．
①当EF⊥AC时，求AE的长．
②求PA﹣PB的最小值．
（2025•吉林）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四
边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝
▱
DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一
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个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得
到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出 的值，如果不能，
说明理由．
（2025•扬州）如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
▱
（1）求证：四边形AFCE是菱形，
（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
（2025•吉林）如图，在△ABC中，AB＝3 ，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1
个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始
终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为
y（平方单位）．
（1）AC的长为 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
（2025•贵州）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点
（点E与点B不重合）．【问题解决】
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（1）如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC＝ 度，线段BP与线段AC的位置
关系是 ，
【问题探究】
（2）如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，探究线段BE与
线段EC的数量关系，并说明理由，
【拓展延伸】
（3）在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF，射线EF交射线BC于点G，若
BE＝2FG，AB＝5，求AP的长．
（2025•绥化）综合与实践
如图．在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边
作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若DG＝a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值 ．
【用数学的语言表达】
（3）设DE＝x，正方形AEFG的面积为S，请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值
范围）
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【备考 2026】中考数学真题 2025 分类精编精练 12 四边形综合题答
案解析
一 、选择题
【考点】中点四边形，三角形中位线定理,菱形的判定与性质,勾股定理
【分析】连接EG，HF交于点O，根据E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，证明四边形EFGH是菱
形，可得OH＝3，OG ，∠HOG＝90°，根据四边形EFGH面积，可求得EG，进而求得OG，根据勾
股定理可求出GH．
解：如图：连接EG，HF交于点O，
因为E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，
∴EH∥BD， ，
FG∥BD， ，
EF∥AC， ，
GH∥AC， ，
∵BD＝AC，
∴EH＝FG＝EF＝GH，
∴四边形EFGH是菱形．
∴EG⊥HF， ，OG ，
∴∠HOG＝90°，
∵四边形EFGH面积为24，HF＝6，
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∴24 ，
解得EG＝8，
∴OG 4，
在Rt△HOG中，
GH ，
故选：B．
【点评】本题考查中点四边形，熟练掌握中位线定理是解题的关键．
【考点】正方形的性质，三角形的面积，勾股定理，点的轨迹
【分析】由正方形的性质得AC＝6，AG＝CH＝1，求出GE＝1，GH＝4，求出S＝4，根据图形得S+S+S
0 1 2 3
＝S+S，根据3S＝S+S+S+S，得S＝4，可得点P的运动轨迹是△ACD中平行于AC的一条线段
0 4 0 1 2 3 4 4
MN，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，根据三角形面积公式求出OQ＝2，得到DQ＝1，从而求出
MN＝2．
解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝AB＝BC＝3 ，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴AC AB＝6，
∵EG⊥AC，FH⊥AC，
∴∠EGA＝∠EGC＝∠FHC＝∠FHG＝90°，
∴∠AEG＝∠HFC＝45°，
∴△AGE，△HFC为等腰直角三角形，
∴AG＝GE，HC＝HF，
∵AE＝CF ，
由勾股定理得AG＝GE＝HC＝HF＝1，BE＝BF，GH＝AC﹣AG﹣CH＝4，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠BEF＝45°，
∴∠GEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵∠EGH＝∠FHG＝90°，
∴四边形GEFH是矩形，
∴S＝EG•GH＝1×4＝4，
0
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∵S+S+S＝S+S，3S＝S+S+S+S，
1 2 3 0 4 0 1 2 3 4
∴S＝4，
4
∵动点P在△ACD内部及边界上运动，
∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，
则△DMN是等腰直角三角形，
如图，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，
则DO AC＝3，
∵S GH•OQ＝4，GH＝4，
4
∴OQ＝2，
∴DQ＝OD﹣OQ＝3﹣2＝1，
∴MN＝2，
即点P组成的图形长度为2，
故选：A．
【点评】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹，解决本题的关键是得到点P的运动
轨迹．
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M，构造△MDF∽△DBE，求出MD，取
MD中点为O，得到点F在以O圆心，半径为2 的圆上运动，连接OB，当F在线段OB上时，即O、F、
B三点共线时，BF取得最小值，即可解答．
解：∵2BE＝3DF，
∴ ，
如图，过点F作EF的垂线，过点D作BD的垂线，两垂线交于点M，
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∴∠FMD＝∠EDB，
∴△MDF∽△DBE，
∴ ，
∵正方形ABCD边长为6，
∴BD 6 ，
∴MD＝4 ，
取MD中点为O，
∴OD＝2 ，
∴点F在以O圆心，半径为2 的圆上运动，
连接OB，OF，
在Rt△BDO中，OB 4 ，
当F在线段OB上时，即O、F、B三点共线时，BF取得最小值，
∵OF+BF≥BO，
∴BF≥OB﹣OF＝4 2 ，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，相似三角形判定和
性质是解题的关键．
【考点】矩形的性质，解直角三角形
【分析】过点G作GM⊥BC于点M，根据矩形的性质及已知条件得BE＝EF＝CF＝4，进而得AB＝BF＝
8，则△ABF是等腰直角三角形，继而得∠BFA＝45°，同理证明△CDE是等腰直角三角形得∠CED
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＝45°，由此得△GEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形性质得GM＝EM＝FM＝2，则CM＝
6，然后在Rt△GMC中，根据正切函数的定义即可得出tan∠GCF的值．
解：过点G作GM⊥BC于点M，如图所示：
在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°，
∵点E，F是BC的三等分点，
∴BE＝EF＝CF BC＝4，
∴BF＝BE+EF＝8，
∴AB＝BF＝8，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴∠BFA＝45°，
同理：△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CED＝45°，
∴∠BFA＝∠CED＝45°，
∴△GEF是等腰直角三角形，
∵GM⊥EF，
∴GM＝EM＝FM EF＝2，
∴CM＝CF+MF＝4+2＝6，
在Rt△GMC中，tan∠GCF ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，理解矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形
的判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
【考点】正方形的性质, 全等三角形的判定和性质，勾股定理,相似三角形的判定和性质
【分析】过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，先求出
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CE ，证明△BCE和△CDQ全等得CE＝DQ ，BE＝CQ＝1，证明△CPQ和△CBE相似得CP
，PQ ，则DP ，FP＝CP ，CF ，EF ，再证明四边形BCMN是矩形得MN＝BC＝2，
由三角形的面积公式的FN ，则FM ，再由勾股定理求出EM ，则AM ，最后在Rt△AFM中，
由勾股定理即可求出AF的长．
解：过点D作DQ⊥CE交CE于点P，交BC于点Q，过点F作MN⊥AB于点M，交CD于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠DCB＝90°，CD∥AB，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE AB＝1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE ，
∴∠DCP+∠BCE＝90°，
∵DQ⊥CE，
∴∠CDQ+∠DCP＝90°，
∴∠BCE＝∠CDQ，
在△BCE和△CDQ中，
，
∴△BCE≌△CDQ（ASA），
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∴CE＝DQ ，BE＝CQ＝1，
∵DQ⊥CE，∠B＝90°，
∴∠CPQ＝∠B＝90°，
又∵∠PCQ＝∠BCE，
∴△CPQ∽△CBE，
∴ ，
∴ ，
∴CP ，PQ ，
∴DP＝DQ﹣PQ ，
∵DF＝DC，DQ⊥CE，
∴FP＝CP ，
∴CF＝FP+CP ，
∴EF＝CE﹣CF ，
∵CD∥AB，MN⊥AB，
∴MN⊥CD，
∴∠MNC＝∠DCB＝∠B＝90°，
∴四边形BCMN是矩形，
∴MN＝BC＝2，
由三角形的面积公式得：S CD•FN DP•CF，
△DCF
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∴ ，
∴FN ，
∴FM＝MN﹣FN ，
在Rt△EFM中，由勾股定理得：EM ，
∴AM＝AE+EM ，
在Rt△AFM中，由勾股定理得：AF ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
二 、多选题
【考点】矩形的性质，解直角三角形，函数关系式，三角形的面积
【分析】作CF⊥AB，易得四边形ADCF为矩形，得到CD＝AF，进而得到BF＝AF，在Rt△BFC 中，求出
BC 的长，分点P在BC和点P在CD上两种情况，进行讨论，求出函数关系式，进行判断即可．
解：作CF⊥AB于点F，
∵AB∥CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形，
∴ ，
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∴BF＝AF＝3，
在Rt△BFC中， ，故A正确，
当点P在BC上时，
∵PE⊥AB，∠B＝60°，AB＝6，BE＝x，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣x， ，
∴ ，故B错误，
当点P在CD上时，
则 ，
∴ ，故C正确，
当 时，y随着x的增大而减小，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，动点的函数表达式，掌握矩形的判定和性质
是解题的关键．
三 、填空题
【考点】中点四边形，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理
【分析】由勾股定理可求AC的长，由三角形中位线定理可求EH＝FG BD ，EF＝HG AC ，
即可求解．
解：如图，连接AC，BD，
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC 5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝5，
∵E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点，
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∴EH＝FG BD ，EF＝HG AC ，
∴四边形EFGH的周长＝4 10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了矩形的性质，中点四边形，三角形中位线定理，勾股定理，灵活运用这些性质解
决问题是解题的关键．
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短
【分析】过M作MN⊥AP于N，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由勾股定理求出AC＝10，由
平行四边形的性质推出AM AB＝3，PQ＝2PM，得到MN：8＝3：10，求出MN＝2.4，由PM≥MN，得到
PQ≥2MN＝4.8，即可求出PQ的最小值．
解：如图，过M作MN⊥AP于N，
∴∠ANM＝∠ABC＝90°，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴MN：BC＝AM：AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC 10，
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴AM AB＝3，PQ＝2PM，
∴MN：8＝3：10，
∴MN＝2.4，
∵PM≥MN，
∴PQ≥2MN＝4.8，
∴PQ的最小值是4.8．
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故答案为：4.8．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短，关键是由平行四边
形的性质推出PQ＝2PM，判定△AMN∽△ACB，推出MN：BC＝AM：AC，由垂线段最短得到PM≥MN．
【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4 ，由勾股定理可求AO的长，
通过证明△EGD∽△AOD，可求EG AO＝2，DG DO＝4，由勾股定理可求解．
解：如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G，
∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4 ，
∴AO 4，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE，
∵EG⊥BD，
∴EG∥AC，
∴△EGD∽△AOD，
∴ ，
∴EG AO＝2，DG DO＝4，
∵BF＝3，
∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9，
∴EF ，
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故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造相似
三角形是解题的关键．
【考点】正方形的性质，解直角三角形，勾股定理
【分析】①在AB上截取AH＝AE，连接EH，设AE＝a，DF ，则AH＝AE＝a，HE ，∠BHE＝
∠EDF＝135°，BH＝ED，由此可依据“SAS”判定△BHE和△EDF全等，则BE＝FE，∠HBE＝∠FED，
再证明∠FED+∠AEB＝90°得∠BEF＝90°，由此得△BEF是等腰直角三角形，则∠BFE＝∠FBE＝
45°，进而得sin∠BFE＝sin45° ，据此可对结论①进行判断，
②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，证明△BAM和△BCG全等得AM＝CG，BM＝BG，则AE+CG
＝ME，证明∠MBE＝FBE＝45°，进而可依据“SAS”判定△MBE和△GBE全等，则ME＝EG，由此得
AE+CG＝EG，据此可对结论②进行判断，
③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，由（1）知设AE＝a，DF ，则ED＝4﹣a，证明△NDF
是等腰直角三角形得DN＝FN＝a，进而得△DEF的面积S ，由此得
当a＝2时，S为最大，最大值为2，据此可对结论③进行判断，
④设CG＝x，则DG＝4﹣x，根据AE AD 得DE ，由②知AE+CG＝EG ，在Rt△DEG中，
由勾股定理得 ，由此解出x＝2得CG＝DG＝2，据此可对结论④进行判断，
综上所述即可得出答案．
解：①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示：
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∵AE：DF＝1： ，
∴设AE＝a，DF ，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°，
∴AH＝AE＝a，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∴∠AEH＝∠AHE＝45°，
∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°，
由勾股定理得：HE ，
∴HE＝DF，
∵∠CDP＝45°，
∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°，
∴∠BHE＝∠EDF＝135°，
∵AB＝AD，AH＝AE，
∴AB﹣AH＝AD﹣AE，
即BH＝ED，
在△BHE和△EDF中，
，
△BHE≌△EDF（SAS），
∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED，
∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°，
∴∠FED+∠BEH＝45°，
∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°，
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即∠FED+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BFE＝∠FBE＝45°，
∴sin∠BFE＝sin45° ，
故结论①正确，
②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示：
∴∠MBF＝∠ABC＝90°，
∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC，
∴∠MBA＝∠GBC，
∵∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠C＝90°，
在△BAM和△BCG中，
，
∴△BAM≌△BCG（SAS），
∴AM＝CG，BM＝BG，
∴AE+CG＝AE+AM＝ME，
∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°，
∴∠ABE+∠GBC＝45°，
∴∠ABE+∠MBA＝45°，
即∠MBE＝45°，
∴∠MBE＝FBE＝45°，
在△MBE和△GBE中，
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，
∴△MBE≌△GBE（SAS），
∴ME＝EG，
∴AE+CG＝EG，
故结论②不正确，
③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示：
由（1）可知：设AE＝a，DF ，
∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a，
∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°，
∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°，
∴△NDF是等腰直角三角形，
∴DN＝FN，
由勾股定理得：DF √2DN，
∴DN＝FN DF a，
∴△DEF的面积S DE•FN ，
整理得： ，
∴当a＝2时，S为最大，最大值为2，
故结论③正确，
④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x，
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∵AE AD ，
∴DE＝AD﹣AE ，
由②可知：AE+CG＝EG，
∴EG ，
在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2，
∴ ，
解得：x＝2，
∴CG＝2，
∴DG＝4﹣x＝2，
∴CG＝DG＝2，
∴点G是线段CD的中点，
故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，理解正方形的性质，熟练掌握全
等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义和勾股定理是解决
问题的关键．
四 、解答题
【考点】直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论，
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
解：（1）①a2+b2＝c2，
②∠A+∠B＝90°，
③sinA ，cosA ，tanA ，
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故答案为：a2+b2＝c2，∠A+∠B＝90°，sinA ，cosA ，tanA ，
（2）四边形ADBE是菱形，
证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴BD＝AD AC，
∴四边形ADBE是菱形．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判
定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）设AC，BD的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明△AOB是等边三角形，由等边三角
形的性质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可∠AFB＝∠ACB＝60°，从而问题完成，
（3）作一个等边三角形即可完成．
（1）解：设AC，BD的交点为O，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，∠ABC＝90°，
∵对角线AC与BD互为双关联线段，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，
∴∠ACB＝90°﹣∠OAB＝30°，
故答案为：30，
问题2中的依据是：等角的补角相等，
故答案为：等角的补角相等，
（2）解：∵∠AFB是△AEF的外角，
∴∠AFB＝∠EAF+∠E，
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∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵∠EAF＝∠CAD，∠E＝∠D，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°，
即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°，
∵AD＝BE，
∴线段AD与线段BE是双关联线段，
（3）解：答案不唯一，
如图，线段CD即为所求．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，尺规作图等知识，掌握这些知识是解题的关键．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）先根据菱形的性质可得AC⊥BD， ，再根据勾股定理可得OB＝3，然后根
据正弦的定义求解即可得，
（2）①连接BD，设AC，BD交于点O，同理求出OB＝3，则BD＝6，证明EF∥BD，得到∠DBE＝∠FEB，
由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，则∠DEB＝∠DBE，据此可得DE＝DB＝6，即可得到AE＝AD+DE
＝11，
② 由 勾 股 定 理 得 ， 根 据 PA ＝ OA+OP ＝ 4+OP ， 可 求 出
，根据 ，可推出当OP有最小值时， 有
最小值，即此时 有最大值，即当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值，过点B作BH⊥AD
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于H，BT⊥FE于T，由等面积法可得 ，则由轴对称的性质可得 ，由勾股定理
得 ，则当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短可知 ，故当点
P与点T重合时，BP有最小值，最小值为 ，据此求解即可．
解：（1）如图，设AC，BD交于点O，
∵在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，
∴AC⊥BD， ，
∴ ，
∴ ，
（2）①如图，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ，BD＝2OB，AD＝AB＝5，
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∴ ，
∴BD＝6，
∵EF⊥AC，AC⊥BD，
∴EF∥BD，
∴∠DBE＝∠FEB，
由轴对称的性质可得∠AEB＝∠FEB，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴DE＝DB＝6，
∴AE＝AD+DE＝11，
②在 Rt△BOP中，由勾股定理得 ，
∵PA＝OA+OP＝4+OP，
∴PA﹣PB＝4+OP
，
∵ ，
∴要使 PA﹣PB的值最小，则 要最大，
∴ 要有最小值，
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又∵ 的值随着OP的值增大而增大，
∴ 的值随着OP的值增大而增大，
∴当OP有最小值时， 有最小值，即此时 有最大值，
∴当OP有最小值时，PA﹣PB有最小值，
如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，
∵ ，
∴ ，
∴由轴对称的性质可得 ，
在Rt△POB中，由勾股定理得 ，
∴当PB有最小值时，OP有最小值，
由垂线段最短可知 ，
∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为 ，
∴ ，
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∴ ．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等
等，解（2）的关键在于把求出 PA﹣PB的最小值转换成求出OP的最小值，进而转换成求出PB的最
小值．
【考点】四边形综合题
【分析】【探究发现】由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE＝GE，DF＝GF，而DF＝DE，故GE＝DE
＝DF＝GF，从而四边形DEGF是菱形，
【探究证明】同【探究发现】可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的
中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE＝BM，AD∥NH，又DE＝FG，FG∥AD，故FG＝DE＝BM＝
HN，FG∥NH，从而四边形GFHN是平行四边形，
【探究提升】若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时，
过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，设AT＝x，则AE＝2x，可得AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，求
出AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，即可得 ，当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB
于W，设AD＝y，求出AB y，即可得 ．
【探究发现】解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形，
【探究证明】证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
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∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DE AD，BM BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形，
【探究提升】解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩
形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴AT AE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ET x＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
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∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KN GK x＝3x，
∵BN＝BM BC AD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴ ，
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NH y，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GN y，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EG y，GW＝AE y，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GW y，
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∴AB＝AW+WN+BN y y y y，
∴ ，
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时， 的值为 或 ．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及平行四边形，矩形，菱形等边三角形等知识，解题的关键是
掌握菱形，平行四边形的判定定理．
【考点】菱形的判定与性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，相似三角形
的判定和性质，勾股定理
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，再根据平
行四边形性质得AD∥BC得∠OAE＝∠OCF，由此可依据“ASA”判定△OAE和△OCF全等得EA＝
FC，进而得EA＝EC＝FA＝FC，然后根据菱形的判定即可得出结论，
（2）（2）证明△CDE和△CBA相似，利用相似三角形的性质即可得出DE的长．
（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴EA＝FC，
∴EA＝EC＝FA＝FC，
∴四边形AFCE是菱形，
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5，
∴CD＝AB＝3，∠D＝∠B，
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∵四边形AFCE是菱形，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝∠BCA，
又∵∠D＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴DE
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解平
行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性
质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，勾股定理
【分析】（1）当B，D重合时，通过勾股定理分别求出AP，CP即可求解，
（2）将正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之
和来求解即可，
（3）根据正方形APDE的对称中心与点B重合时，得出 再利用勾股定理求解即可．
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP， ，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
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∴ ，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7，
（2）当D在线段AB上运动时， （0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP′//BP，
∴∠CFP′＝∠CBP，∠CP′F＝∠CPB，
∴△CFP′∽△CBP，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴y＝S +S x2 （x﹣3） （x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）′
△APD 梯形PP′FB
∴ ，
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（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴ ，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【点评】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方形的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题
的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）根据菱形的性质证明△ABC为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案，
（2）如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ＝60°
＝∠BQE，BE＝EQ，求解∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°，∠EQC＝150°﹣60°＝
90°，可得∠ECQ＝90°﹣60°＝30°，进一步可得结论，
（3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H，证明△HAB﹣△BEG，可得 ，设FG＝x，
则EF＝BE＝2x，可得 ，证明△APH﹣△CPB，再进一步解答即可，如图，当P在线段OC上时，
延长AD交BP于H，同理可得：△BAH﹣△GEB，设BE＝EF＝2m，而BE＝2FG，则GF＝EG＝m，可得AH
＝10，证明△APH﹣△CPB，再进一步可得答案．
解：（1）在菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点P与线段AC的中点O重合，
∴ ，
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∴BP⊥AC，
故答案为：30，BP⊥AC，
（2）CE＝2BE，
理由：如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ，
∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，∠AEB＝∠BQC．
∴△BEQ为等边三角形，
∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ，
∵点E在线段BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，
∴∠AEB＝150°，∠BEC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°，
∴∠EQC＝150°﹣60°＝90°，
∴∠ECQ＝90°﹣60°＝30°．
∴CE＝2EQ＝2BE，
（3）如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H，
∵AH∥BC，
∴∠AHB＝∠CBH，
∵∠ABC＝60°，∠BAD＝120°＝∠BEG，
∴△HAB∽△BEG，
∴ ，
设FG＝x，则EF＝BE＝2x，
∴EG＝3x，
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∴ ，
∴ ，
∵AD∥BC，
∴△APH∽△CPB，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝5， ，
如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H，
同理可得：∠H＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°，
∴△BAH∽△GEB，
设BE＝EF＝2m，而BE＝2FG，则GF＝EG＝m，
∴ ，
∴AH＝10，
同理：△APH∽△CPB， 2， ，
综上：AP的长为2或 ．
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【点评】本题是四边形的综合题，考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相
似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本
题的关键．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）证明△BAE≌△DAG（SAS），导角即可得解，
（2）由题易知tan∠CMB＝tan∠DMG ，所以求出用a表示出DM即可，连接AC交BC于点O，易
证△CMO∽△GMD，利用相似比求出DM即可得解，
（3）分类讨论，解△ADE即可得解．
解：（1）BD⊥DG，理由如下，
在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°﹣∠DAE，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠ADG+∠ADB＝90°，即∠BDG＝90°，
∴BD⊥DG，
（2）连接AC交BD于点O，则∠COD＝90°，
∵正方形边长为8，
∴AC＝BD ，
∴OC＝OD＝4 ，
∴OM＝OD﹣DM＝4 DM，
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∵∠COM＝∠GDM＝90°，∠CMO＝∠GMD，
∴△CMO∽△GMD，
∴ ，即 ，
解得DM ，
∵∠BDG＝90°，
∴tan∠CMB＝tan∠DMG a ，
故答案为： ，
（3）当点E在线段BD上时，如图，过E作EK⊥AD于点K，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝45°，
∴△DEK为等腰直角三角形，
∴DK＝EK＝DE•sin45° x，
∴AK＝AD﹣DK＝8 x，
在Rt△AKE中，AE2＝EK2+AK2
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＝（ ）2+（8 x）2
＝x2﹣8 x+64，
∴S＝AE2＝x2﹣8 x+64，
当点E在BD延长线上时，如图，过E作EL⊥AD交AD延长线于点L，
同理可得EL＝DL x，
∴AL＝AD+DL＝8 x，
在Rt△ALE中，AE2＝EL2+AL2
＝（ x）2+（8 x）2
＝x2+8 x+64，
∴S＝AE2＝x2+8 x+64，
综上，S与x的函数解析式为S＝x2﹣8 x+64或S＝x2+8 x+64．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，相似
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三角形的判定和性质等内容，分类讨论是解题的关键．
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