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备战 2024 中考数学一轮复习
第六章圆
第 1 讲圆的基本性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 1 讲圆的基本性质
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一圆周角圆心角
考向二扇形弧长及面积
考向二切线定理
第 1 讲圆的基本性质
→➊考点精析←
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的
弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
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2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦
的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦
之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是
直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如
圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通
过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)d<r 点在⊙O内；(2)d=r 点在⊙O上；(3)d>r 点在⊙O外．
⇔ ⇔ ⇔
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
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图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d<r
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的
情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切
点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线
与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l= ；扇形的面积S= = ．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面
周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S = ．圆锥的表面积：S =S +S =πrl+πr2=πr·
圆锥侧 圆锥表 圆锥侧 圆锥底
（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图
形的公式求解．
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→➋真题精讲←
题型一圆周角和圆心角
1．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中，若 ， ，则扇形
(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求得 ，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
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∴ ，
∴ ．
故选：B.
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理
是解题的关键．
3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，连接
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 是 的直径，得出 ，进而根据同弧所对的圆周角相等，得出
，进而即可求解．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点 在 上， 为 的中点．
若 ，则 等于（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：
点 在 上， 为 的中点，
，
，
，
根据圆周角定理可知 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是
解决问题的关键．
5．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，
．若 ， ，则 的度数与 的长分别为
（ ）
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A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
【答案】C
【分析】过点O作 于点E，由题意易得 ，然
后可得 ， ， ，进而可
得 ，最后问题可求解．
【详解】解：过点O作 于点E，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
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∴ ， ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角定理及三角函数，熟练掌握平行线的性质、
圆周角定理及三角函数是解题的关键．
6．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在 中，弦 相交于点P，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，可以得到 的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出
的度数．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出 的度数．
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7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣弧
上．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 互相垂直可得 所对的圆心角为 ，根据圆周角定理可得
，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
半径 互相垂直，
，
所对的圆心角为 ，
所对的圆周角 ，
又 ，
，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，
同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
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8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图， 内接于 ，圆的半径为7，
，则弦 的长度为___________．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，先根据圆周角定理可得
，再根据等腰三角形的三线合一可得 ， ，然
后解直角三角形可得 的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
，
，
，
， ，
∵圆的半径为7，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周
角定理和解直角三角形的方法是解题关键．
9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是
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上一点， ，则 ________ ．
【答案】35
【分析】由同弧所对的圆周角相等，得 再根据直径所对的圆周角为直角，
得 ，然后由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解： 是 所对的圆周角，
是 的直径，
，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握
圆周角定理是解本题的关键．
10．（2023·上海·统考中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，点C在 延长线上，
且 ．
(1)求 的半径；
(2)求 的正切值．
【答案】(1)5
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(2)
【分析】（1）延长 ，交 于点 ，连接 ，先根据圆周角定理可得 ，
再解直角三角形可得 ，由此即可得；
（2）过点 作 于点 ，先解直角三角形可得 ，从而可得 ，再利用
勾股定理可得 ，然后根据正切的定义即可得．
【详解】（1）解：如图，延长 ，交 于点 ，连接 ，
由圆周角定理得： ，
弦 的长为8，且 ，
，
解得 ，
的半径为 ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
的半径为5，
，
，
，
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，
，即 ，
解得 ，
， ，
则 的正切值为 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握解直角三
角形的方法是解题关键．
题型二切线定理
11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点C，
交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接 ，证明 ， ，可得 ，
从而可得 ．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 切 于点B，
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C.
【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌
握基本图形的性质是解本题的关键．
12．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点C，连
接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，先根据圆的切线的性质可得 ，从而可得 ，再根
据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
直线 与 相切，
，
，
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，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解
题关键．
13．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点 是 外一点， ， 分别与 相
切于点 ， ，点 在 上，已知 ，则 的度数是___________．
【答案】
【分析】连接 ，根据切线的性质得出 ，根据四边形内角和得
出 ，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图 ，
∵ ， 分别与 相切于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得 是解题的关键．
14．（2023·湖南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， 与 相
切于点 ，连接 ，若 ，则 的大小为__________．
【答案】
【分析】证明 ，可得 ，结合 ，证明
，再利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：∵ 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记
基本图形的性质是解本题的关键．
15．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图， 分别与 相切于 两点，且
．若点 是 上异于点 的一点，则 的大小为___________．
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【答案】 或
【分析】根据切线的性质得到 ，根据四边形内角和为 ，得出
，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，当点 在优弧 上时，
∵ 分别与 相切于 两点
∴ ，
∵ ．
∴
∵ ，
∴ ，
当点 在 上时，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆
周角定理是解题的关键．
16．（2023·四川·统考中考真题）如图， ，半径为2的 与角的两边相切，
点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设 ，
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则t的取值范围是 _____．
【答案】
【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得 ，再求得
，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：设 与 两边的切点分别为D、G，连接 ，延长 交 于
点H，
由 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
如图，延长 交 于点Q，
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同理 ，
∵ ，
∴ ，
当 与 相切时， 有最大或最小值，
连接 ，
∵D、E都是切点，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∴ 的最大值为 ；
如图，
同理， 的最小值为 ；
综上，t的取值范围是 ．
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得 是解题
的关键．
17．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点
作 的切线 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质， 即可求解．
（2）根据 是 的切线，可得 ，在 中，勾股定理求得 ，
根据 ，可得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵ 于点 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 是 的切线， 是 的半径，
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∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，
是 延长线上一点，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若直径 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；
(2)根据已知条件可知 ，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关
系即可求得线段 的长度．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
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∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵在 中，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
又∵ ，
即 ，
解得 （取正值），
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∴ ，
【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和
判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．
19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上，
，点 在线段 的延长线上，且 ．
(1)求证：EF与 相切；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，结合已知推出 ，再证
明 ，推出 ，即可证明结论成立；
（2）设 半径为x，则 ，在 中，利用正弦函数求得半径的长，再在
中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 半径，
∴EF与 相切；
（2）解：设 半径为x，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
∴ 半径为4，则 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定
和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
题型三垂径定理
20．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中，
，则 （ ）
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A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】连接 ，由圆周角定理得 ，由 得， ，
，在 中，由 ，计算即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示，
，
，
，
，
， ，
在 中， ，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握
圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了
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计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的
中点， ．“会圆术”给出 的弧长 的近似值计算公式： ．当
， 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ,根据等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的三角函数，后
代入公式计算即可．
【详解】连接 ，根据题意， 是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的中点，
，
得 ，
∴点M，N，O三点共线，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
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∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理，特殊角的函数值，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
22．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代
单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱
半径R约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知， ， ，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到
，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R，
，
是半径，且 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故选：B.
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【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
23．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 是 的直径，点D，M分别是弦 ，
弧 的中点， ，则 的长是________．
【答案】4
【分析】根据圆周角定理得出 ，再由勾股定理确定 ，半径为 ，利用
垂径定理确定 ，且 ，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
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【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用
这些知识点是解题关键．
24．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图， 是一个盛有水的容器的横截面， 的半
径为 ．水的最深处到水面 的距离为 ，则水面 的宽度为_______ ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，依题意，得出
，进而在 中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，
∵水的最深处到水面 的距离为 ， 的半径为 ．
∴ ，
在 中，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
25．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中
的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：
径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为
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点 ， 寸， 寸，则直径 的长度是________寸．
【答案】26
【分析】连接 构成直角三角形，先根据垂径定理，由 垂直 得到点 为 的中
点，由 可求出 的长，再设出圆的半径 为 ，表示出 ，根据勾股定理建立
关于 的方程，求解方程可得 的值，即为圆的直径．
【详解】解：连接 ，
，且 寸，
寸，
设圆 的半径 的长为 ，则 ，
，
，
在直角三角形 中，根据勾股定理得：
，化简得： ，
即 ，
（寸）．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
26．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，
与 轴相交于点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
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(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，连接 ．
四边形 是矩形，
．
在 中， ，
．
点 为圆心， ，
．
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【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理
是解题的关键．
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