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备战 2024 中考数学一轮复习
第六章圆
第 1 讲圆的基本性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 1 讲圆的基本性质
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一圆周角圆心角
考向二扇形弧长及面积
考向二切线定理
第 1 讲圆的基本性质
→➊考点精析←
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的
弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
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2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦
的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦
之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是
直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如
圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通
过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)d<r 点在⊙O内；(2)d=r 点在⊙O上；(3)d>r 点在⊙O外．
⇔ ⇔ ⇔
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
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图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d<r
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的
情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切
点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线
与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l= ；扇形的面积S= = ．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面
周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S = ．圆锥的表面积：S =S +S =πrl+πr2=πr·
圆锥侧 圆锥表 圆锥侧 圆锥底
（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图
形的公式求解．
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→➋真题精讲←
题型一圆周角和圆心角
1．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中，若 ， ，则扇形
(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，连接
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点 在 上， 为 的中点．
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若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ， ，
．若 ， ，则 的度数与 的长分别为
（ ）
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
6．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在 中，弦 相交于点P，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在 中，半径 互相垂直，点 在劣弧
上．若 ，则 （ ）
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A． B． C． D．
8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图， 内接于 ，圆的半径为7，
，则弦 的长度为___________．
9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图， 内接于 ， 是 的直径，点 是
上一点， ，则 ________ ．
10．（2023·上海·统考中考真题）如图，在 中，弦 的长为8，点C在 延长线上，
且 ．
(1)求 的半径；
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(2)求 的正切值．
题型二切线定理
11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点C，
交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 为 的直径，直线 与 相切于点C，连
接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点 是 外一点， ， 分别与 相
切于点 ， ，点 在 上，已知 ，则 的度数是___________．
14．（2023·湖南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦， 与 相
切于点 ，连接 ，若 ，则 的大小为__________．
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15．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图， 分别与 相切于 两点，且
．若点 是 上异于点 的一点，则 的大小为___________．
16．（2023·四川·统考中考真题）如图， ，半径为2的 与角的两边相切，
点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设 ，
则t的取值范围是 _____．
17．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点，过点
作 的切线 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ．
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(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求 的长．
18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，
是 延长线上一点，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若直径 ，求 的长．
19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上，
，点 在线段 的延长线上，且 ．
(1)求证：EF与 相切；
(2)若 ，求 的长．
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题型三垂径定理
20．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中，
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了
计算圆弧长度的“会圆术”．如图， 是以点O为圆心、 为半径的圆弧，N是 的
中点， ．“会圆术”给出 的弧长 的近似值计算公式： ．当
， 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
22．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代
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单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱
半径R约为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 是 的直径，点D，M分别是弦 ，
弧 的中点， ，则 的长是________．
24．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图， 是一个盛有水的容器的横截面， 的半
径为 ．水的最深处到水面 的距离为 ，则水面 的宽度为_______ ．
25．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中
的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：
径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为
点 ， 寸， 寸，则直径 的长度是________寸．
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26．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，
与 轴相交于点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．
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