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备战 2024 中考数学一轮复习
第一章函数
第 2 讲变量和函数其图象性质探究
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 2 讲变量和函数及其图象性质探究
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一 变量与变量之间的关系
考向二 用表格法表示函数
考向三 用图像表示函数
考向四 用关系式法表示函数
考向五 函数的取值
考向六 函数图像性质
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第 2 讲变量和函数及其图象性质探究
该版块内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，是非常基础也是非常重要的，年年
都会考查，分值为6分左右，预计2024年各地中考还将出现，在选填题中出现的可能性较
大.
→➊考点精析←
1．函数
（1）函数的定义
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都
有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
例如：在s=60t中，有两个变量；s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在
其取值范围内的每一个值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称 t是自变量，s是t的
函数．
对函数定义的理解，主要抓住以下三点：①有两个变量．②函数不是数，函数的本质是对
应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着
另一个变量数值的变化而变化．③函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思
即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量 x的不同取值，y
的值可以相同，如：函数y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1．④在某个变化过程
中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该
自变量的函数.
（2）函数取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围，函数自变量的取值范围的确
定必须考虑两个方面：①不同类型的函数关系式中自变量取值范围的求解方法；②当用函
数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际
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问题有意义．
（3）函数解析式及函数值
函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用
方法，这种式子叫做函数的解析式．
注意：①函数解析式是等式．②函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等
式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．③书写函数的解析式是有
顺序的．y=2x-1表示y是x的函数，若x=2y-1，则表示x是y的函数，即求y关于x的函
数解析式时，必须用含x的代数式表示y，就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的
代数式．④用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．
函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值 a，函数y所对应的值为b，即当
x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．
（4）函数的图象及其画法
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那
么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
画函数的图象，可以运用描点法，其一般步骤如下：
①列表：表中列举一些自变量的值及其对应的函数值，自变量的取值不应使函数值太大或
太小，以便于描点，点数一般以5到7个为宜．②描点：在直角坐标系中，以自变量的值
为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点．描点时，要注意横、纵
坐标的符号与点所在的象限（或坐标轴）之间的关系，描出的点大小要适中，位置要准确
③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
（5）函数的表示方法
函数的表示方法一般有三种：解析式法、列表法和图象法，表示函数关系时，要根据具体
情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要几种方法同时使用．
→➋真题精讲←
考向一 变量与变量之间的关系
1．（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水
深h与注水量v的函数关系的大致图象是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变
宽，再从函数的图象上看，选出答案．
【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，
再变宽．
则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
那么从函数的图象上看，
C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；
A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题
的关键．
4
2．（2020春•铁西区校级期中）在球的体积公式V= R3中，下列说法正确的是（ ）
3
π
4
A．V、 、R是变量， 为常量 B．V、 是变量，R为常量
3
π π
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4
C．V、R是变量， 、 为常量 D．以上都不对
3
π
【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数
值始终不变的量称为常量可得答案．
4 4
【解析】在球的体积公式V= R3中，V，R是变量， ， 是常量，
3 3
π π
故选：C．
3．（2020春•市北区期末）小明家距离学校8千米，今天早晨，小明骑车上学图中，自行
车出现故障，恰好路边有便民服务点，几分钟后车修好了，他以更快的速度匀速骑车到校
我们根据小明的这段经历画了一幅图象（如图），该图描绘了小明行驶的路程（千米）与
他所用的时间（分钟）之间的关系．请根据图象，解答下列问题：
（1）小明行了多少千米时，自行车出现故障？修车用了几分钟？
（2）小明从早晨出发直到到达学校共用了多少分钟？
（3）小明修车前、后的行驶速度分别是多少？
（4）如果自行车未出现故障，小明一直用修车前的速度行驶，那么他比实际情况早到或晚
到多少分钟？
【分析】
（1）根据自行车出现故障后路程s不变解答，修车的时间等于路程不变的时间；
（2）路程等于8千米时的时间即为用的时间；
（3）利用速度＝路程÷时间分别列式计算即可得解；
（4）求出未出故障需用的时间，然后用实际情况的时间减正常行驶的时间即可进行判断．
【解析】
（1）由图可知，小明行了3千米时，自行车出现故障，
修车用了15﹣10＝5（分钟）；
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（2）小明共用了30分钟到学校；
（3）修车前速度：3÷10＝0.3千米/分，
1
修车后速度：5÷15= 千米/分；
3
3 80
（4）8÷ = （分种），
10 3
80 10
30− = （分钟），
3 3
10
故他比实际情况早到 分钟．
3
考向二 用表格法表示函数
4．（2020春•郑州期末）一个学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时
间，他们得到如表数据：
支撑物的高度h（cm） 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑的时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
下列说法正确的是（ ）
A．当h＝70cm时，t＝1.50s
B．h每增加10cm，t减小1.23
C．随着h逐渐变大，t也逐渐变大
D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快
【分析】
根据函数的表示方法，可得答案．
【解答】
解；A、当h＝70cm时，t＝1.59s，故A错误；
B、h每增加10cm，t减小的值不一定，故B错误；
C、随着h逐渐升高，t逐渐变小，故C错误；
D、随着h逐渐升高，小车的时间减少，小车的速度逐渐加快，故D正确；
故选：D．
5．（2020春•南海区期末）某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度
关系的一些数据（如下表）：
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温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越高，声速越快
C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D．当温度每升高10℃，声速增加6m/s
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一
判断即可．
【解析】∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A正确；
∵根据数据表，可得温度越高，声速越快，
∴选项B正确；
∵342×5＝1710（m），
∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，
∴选项C错误；
∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6
（m/s），348﹣342＝6（m/s），
∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，
∴选项D正确．
故选：C．
考向三 用图像表示函数
6．（2019秋•萍乡期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
2 1
A．y＝3x+1 B．y= C．y=− x D．|y|＝x
x 2
【分析】
根据对于x的每一个确定的值，y是否有唯一的值与其对应进行判断．
【解析】
A、y＝3x+1，y是x的函数；
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2
B、y= ，y是x的函数；
x
1
C、y=− x，y是x的函数；
2
D、|y|＝x，对于x的每一个确定的值，y不是有唯一的值与其对应，
∴y不是x的函数；
故选：D．
7．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示
意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）
关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到
慢，最后不变，进而求解即可．
【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图
象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的
结论．
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8．（2023·湖南郴州·统考中考真题）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，
小方一家上午 开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．
车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离 与时间的函数
图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了
B．修车之前的平均速度是 /
C．车修好后的平均速度是 /
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的 倍
【答案】D
【分析】根据图象信息以及速度 路程÷时间的关系即可解决问题．
【详解】解：由图象可知途中修车花了 ，
修车之前的平均速度是 ÷ / ，
车修好后的平均速度是 ÷ / ,
∴
故A、B、C错误，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键．
9．（2023·浙江温州·统考中考真题）【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，
①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．
【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧
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用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）
如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．
【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（ ）
A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米
【答案】B
【分析】设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，
由题意及图象可知 ，然后根据“游玩行走速度恒定，经过每个景
点都停留20分钟．小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟”可进行求解．
【详解】解：由图象可知：小州游玩行走的时间为 （分钟），小温游玩行
走的时间为 （分钟）；
设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米，由图象
可得：
，
解得： ，
∴游玩行走的速度为 （米/秒），
由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为 ，
∴ ，
∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为
（米）；
故选B．
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【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信
息，找到它们之间的等量关系．
10．（2023·山东聊城·统考中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙
地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶
时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求
出交点的横坐标即可．
【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地
时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40，
设小亮对应函数图象的解析式为 ，
将 代入解析式得 ，解得 ，
小亮对应函数图象的解析式为 ，
设小莹对应函数图象的解析式为 ，
将 ， 代入解析式，得 ，
解得 ，
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小莹对应函数图象的解析式为 ，
令 ，得 ，
解得 ，
小亮与小莹相遇的时刻为8:28．
故选A．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函
数解析式，熟练运用数形结合思想．
考向四 用关系式法表示函数
11．（2023·山西·统考中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过 的物体，不挂物体时弹
簧的长为 ，每挂重 物体，弹簧伸长 ．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度
与所挂物体的质量 之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得
函数关系式．
【详解】解：由题意知： ；
故选：B．
【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键．
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考向五 函数的取值
12．（2019秋•涪陵区期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是﹣1，
则输出的y值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】由﹣1在﹣2＜x≤2之间，把x＝﹣1代入y＝﹣x2计算即可．
【解析】当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2＝﹣1．
故选：C．
13．（2020春•莱州市期末）自变量x与因变量y的关系如图，当x每增加1时，y增加
．
【分析】根据题意计算出x+1时y的值，然后求差即可．
【解析】当x增加1变为x+1，
则y变为y ＝2（x+1）+10＝2x+2+10＝2x+12，
1
∴y ﹣y＝2x+12﹣（2x+10）＝2x+12﹣2x﹣10＝2，
1
故答案为：2．
考向六 函数图像的性质
14．（2020春•青白江区期末）小江同学热爱体育锻炼，每周六上午他都先从家跑步到离
家较远的田园广场，在那里与同学打一段时间的羽毛球后再慢步回家．下面能反映小华同
学离家的距离y与所用时间x之间函数图象的是（ ）
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A． B．
C． D．
【分析】本题需先根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出
结果．
【解析】图象应分三个阶段，第一阶段：跑步到离家较远的田园广场，在这个阶段，离家
的距离随时间的增大而增大；
第二阶段：打了一会儿羽毛球，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变；
第三阶段：慢步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度小于
第一阶段的速度．
故选：D．
15．（2023·江苏扬州·统考中考真题）函数 的大致图像是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项．
【详解】解：函数 自变量 的取值范围为 ．
对于B、C，函数图像可以取到 的点，不符合题意；
对于D，函数图像只有 的部分，没有 的部分，不符合题意．
故选：A．
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【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图
像的特点，进而对错误选项进行排除．
16．（2023·湖北·统考中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往
铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为 （细实
线）表示铁桶中水面高度， （粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，
铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则 随时间 变化
的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解：根据图象知， 时，铁桶注满了水， ， 是一条斜线段， ，
是一条水平线段，
当 时，长方体水池开始注入水；当 时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面
高度比之开始变得平缓；当 时，长方体水池满了水，
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∴ 开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
观察函数图象，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据
分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
17．（2023·贵州·统考中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在
行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（ ）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象
如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速
度为
C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用
了
【答案】D
【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可．
【详解】解： 时， ，因此小星家离黄果树景点的路程为 ，故A选项错误，
不合题意；
时， ，因此小星从家出发第1小时的平均速度为 ，故B选项错误，不
合题意；
时， ，因此小星从家出发2小时离景点的路程为 ，故C选项错误，不合题
意；
小明离家1小时后的行驶速度为 ，从家出发2小时离景点的路程为 ，
还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了 ，故D选项正确，符合题
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意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数
的图象．
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