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2024年中考数学真题专题分类精选汇编（2025年中考复习全国通用）
专题20 圆
一、选择题
1.（ 2024江苏连云港）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放
开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A. 倾斜直线 B. 抛物线 C. 圆弧 D. 水平直线
【答案】C
【解析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的一段圆弧，
故选：C．
2.（ 2024四川凉山）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案
是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，
测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出 的长；设圆心为O，连接 ，在
中，可用半径 表示出 的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮
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子的直径长．
【详解】∵ 是线段 的垂直平分线，
∴直线 经过圆心，设圆心为 ，连接 ．
中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故选：C．
3. （2024四川泸州）如图， ， 是 的切线，切点为A，D，点B，C在 上，若
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线
是解题关键．
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根据圆的内接四边形的性质得 ，由 得 ，
由切线长定理得 ，即可求得结果．
【详解】如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， 是 的切线，根据切线长定理得，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
4.（ 2024内蒙古赤峰）如图， 是 的直径， 是 的弦，半径 ，连接 ，交 于
点E， ，则 的度数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得
，利用圆周角定理求得 ，再利用三角形的外角性质即
可求解．
【详解】解：∵半径 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5. （2024云南省）如图， 是 的直径，点 、 在 上．若 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接 ，由 可得
，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
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【详解】连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6. （2024甘肃临夏）如图， 是 的直径， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出 ．
由圆周角定理得到 ，由邻补角的性质求出 ．
，
，
．
故选：D．
7.（ 2024甘肃威武）如图，点A，B，C在 上， ，垂足为D，若 ，则 的度数是
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（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据 得到 ，根据 得到 ，根据直角三角形的两个
锐角互余，计算即可．
本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选A．
8.（ 2024湖南省）如图， ， 为 的两条弦，连接 ， ，若 ，则 的度数
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一
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半是解题的关键．根据圆周角定理可知 ，即可得到答案．
【详解】根据题意，圆周角 和圆心角 同对着 ，
，
，
．
故选：C．
9. （2024吉林省）如图，四边形 内接于 ，过点B作 ，交 于点E．若
，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先 根 据 得 到 ， 再 由 四 边 形 内 接 于 得 到
，即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 内接于 ，
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∴ ，
∴ ,
故选：C．
10. （2024四川宜宾）如图， 是 的直径，若 ，则 的度数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角
为直角得到 ，同弧或等弧所对的圆周角相等得到 ，进一步计算即可解
答．
【详解】 是 的直径，
，
，
，
，
故选：A．
11.（ 2024四川宜宾）如图， 内接于 ， 为 的直径， 平分 交 于 ．则
的值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅
助线为解题的关键．
作辅助线如图，先证明 ， ，从而可以得到旋转后的图形，再证明
是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∴ ，
∴ 绕 点逆时针旋转 ，则 三点共线，如图所示
∴ ，
∵由旋转可知 ，
∴ ，
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∴在等腰直角三角形 中， ，
∴ ．
故选：A
12. （2024武汉市）如图，四边形 内接于 ， ， ，
，则 的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长 至点E，使 ，连接 ，连接 并延长交 于点F，连接 ，即可证得
， 进 而 可 求 得 ， 再 利 用 圆 周 角 定 理 得 到
，结合三角函数即可求解．
【详解】延长 至点E，使 ，连接 ，连接 并延长交 于点F，连接 ，
∵四边形 内接于 ，
∴
∴
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∵
∴ ，
∴ 是 的直径，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴ ， ,
∵
∴
又∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定
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等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13.（ 2024上海市）在 中， ， ， ，点 在 内，分别以 为
圆心画，圆 半径为1，圆 半径为2，圆 半径为3，圆 与圆 内切，圆 与圆 的关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离
【答案】B
【解析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记
圆的位置关系是解决问题的关键．
【详解】 圆 半径为1，圆 半径为3，圆 与圆 内切，
圆 含在圆 内，即 ，
在以 为圆心、 为半径的圆与 边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到 位置时，圆 与圆 圆心距离 最大，为 ，
，
圆 与圆 相交，
故选：B．
14.（ 2024福建省）如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，切点为 ，且
为 的中点，则 等于（ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为 的中点，三角形
内角和可求出 ，再根据切线的性质即可求解．
【详解】∵ ， 为 的中点，
∴
∵
∴
∵直线 与 相切，
∴ ，
∴
故选：A．
二、填空题
1.（ 2024北京市）如图， 的直径 平分弦 （不是直径）.若 ，则 ___________
【答案】55
【解析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由垂径定理得到 ，由 得到 ，故 ．
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【详解】∵直径 平分弦 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
2.（ 2024江苏连云港）如图， 是圆的直径， 、 、 、 的顶点均在 上方的圆弧上， 、
的一边分别经过点A、B，则 __________ ．
【答案】90
【解析】本题考查圆周角定理，根据半圆的度数为 ，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解
即可．
∵ 是圆的直径，
∴ 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为 ，
∵ 、 、 、 所对的弧的和为半圆，
∴ ，
故答案为：90．
3. （2024陕西省）如图， 是 的弦，连接 ， ， 是 所对的圆周角，则 与
的和的度数是________．
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【答案】 ##90度
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题
的关键．根据圆周角定理可得 ，结合三角形内角和定理，
可证明 ，再根据等腰三角形的性质可知 ，由此即得
答案．
【详解】 是 所对的圆周角， 是 所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
4. （2024江苏苏州）如图， 是 的内接三角形，若 ，则 ______．
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【答案】 ##62度
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接 ，利用等腰三角形的
性质，三角形内角和定理求出 的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5. （2024山东枣庄）如图， 是 的内接三角形，若 ， ，则
________．
【答案】 ##40度
【解析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，利用圆周角定理求出
的度数，利用等边对等角、三角形内角和定理求出 的度数，利用平行线的性质求出
的度数，即可求解．
【详解】连接 ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6.（2024江苏苏州） 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由
六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是
的内心，若 ，则花窗的周长（图中实线部分的长度） ______．（结果保留 ）
【答案】
【解析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作 ，根据正多边形的性质得
出 为等边三角形，再由内心的性质确定 ，得出
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，利用余弦得出 ，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解
题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作 ，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵圆心C恰好是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为： ，
∴花窗的周长为： ，
故答案 为： ．
7. （2024江苏盐城）如图， 是 的内接三角形， ，连接 ，则
________ ．
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【答案】50
【解析】本题考查主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先根据圆周角定理计
算出 ，再根据等边对等角得出 ，最后利用三角形内角和定理即
可求出 ．
【详解】 ，
，
，
，
，
，
故答案为：50．
8. （2024四川眉山）如图， 内接于 ，点 在 上， 平分 交 于 ，连接
．若 ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的
判 定 和 性 质 ， 延 长 ， 交 于 ， 由 圆 周 角 定 理 可 得 ，
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，进而可证明 ，得到 ，即得
，利用勾股定理得 ，再证明 ，得到 ，据此即可求解，
正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长 ， 交于 ，
是 的直径，
， ，
平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
， ，
，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
，
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，
，
故答案为： ．
9. （2024重庆市B）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为切点．连接 交 于点
，点 是 上一点，连接 ， ，过点 作 交 的延长线于点 ．若 ，
， ，则 的长度是________； 的长度是________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】由直径所对的圆周角是直角得到 ，根据勾股定理求出 ，则
，由切线的性质得到 ，则可证明 ，解直角三角形即可求
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出 ；连接 ，由平行线的性质得到 ，再由 ，
，推出 ，得到 ，则 ．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ；
如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解
直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明 是解题的关键．
三、解答题
1.（2024湖北省） 中， ，点 在 上，以 为半径的圆交 于点 ，交
于点 ．且 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）连接 交 于点 ，若 ，求弧 的长．
【答案】（1）见解析 （2）弧 的长为 ．
【解析】（1）利用 证明 ，推出 ，据此即可证明结论成立；
（2）设 的半径为 ，在 中，利用勾股定理列式计算求得 ，求得 ，再求
得 ，利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
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在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
设 的半径为 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴弧 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式．正确引出辅助线解决问题是解
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题的关键．
2.（ 2024贵州省）如图， 为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在 的延长线上， 与半圆相切
于点C，与 的延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．
（1）写出图中一个与 相等的角：______；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
【答案】（1） （答案不唯一） （2） （3）
【解析】【分析】（1）利用等边对等角可得出 ，即可求解；
（2）连接 ，利用切线的性质可得出 ，利用等边对等角和对顶角的性质可得
出 ，等量代换得出 ，然后利用三角形内角和定理求出
，即可得证；
（3）设 ，则可求 ， ， ， ，在
中，利用勾股定理得出 ，求出x的值，利用
可求出 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
故答案为： （答案不唯一）；
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【小问2详解】
证明：连接 ，
，
∵ 是切线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ， （舍去）
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
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∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，解直角三角形的应用等知识，灵活运用
以上知识是解题的关键．
3.（ 2024甘肃临夏）如图，直线 与 相切于点 ， 为 的直径，过点 作 于点 ，延
长 交直线 于点 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）如果 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】【分析】（1）连接 ，根据切线的性质可得出 ，结合题意可证 ，即得出
，再根据等边对等角可得出 ，即得出 ，即 平
分 ；
（2）设 的半径为r，则 ， ．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求
解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ．
∵直线 与 相切于点 ，
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∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
【小问2详解】
解：设 的半径为r，则 ， ．
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为4．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判
定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键．
4. （2024北京市）如图， 是 的直径，点 ， 在 上， 平分 .
（1）求证： ；
（2）延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 的切线交 的延长线于点 .若
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， ，求 半径的长.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）根据题意，得 ，结合 ，得到 ，继而得到
，根据 平分 ，得到 ，继而得到 ，可证
；
（2）不妨设 ，则 ，求得
，证明 ， ，求得 ，取 的中点
M，连接 ，则 ，求得 ， ，结合切线性质，得到
，解答即可.
【小问1详解】
根据题意，得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
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∵ ， ，
不妨设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
取 的中点M，连接 ，
则
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
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解得 ，
故 半径的长为 .
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性
质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直
角三角形的相关计算是解题的关键.
5.（ 2024福建省）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，
，垂足为 的延长线交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）求证： ；
（3）求证： 与 互相平分．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
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【解析】（1）先证得 ，再在 中， ．在 中，
，可得 ，再证得结果；
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ，先证明 ，可得
，再证得 ，再由相似三角形的判定可得结论；
（3）如图，连接 ，由（2） ，可得 ，
从而得出 ，从而得出 ， 得出 ，再上平行线判
定得出 ，再证得 ，从而得出四边形 是平行四边形，最后由平行四边形的性
质可得结果．
【小问1详解】
，且 是 的直径，
．
，
在 中， ．
，
在中， ．
，
；
【小问2详解】
过点 作 ，交 延长线于点 ．
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．
，
，
．
，
，
，
， ，
．
，
，
，
，
．
【小问3详解】
如图，连接 ．
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是 的直径，
．
，
．
由（2）知， ，
，
，
．
．
，
．
由（2）知， ，
．
，
，
，
四边形 是平行四边形，
与 互相平分．
【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、
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相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知
识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等．
6. （2024 甘肃威武）如图， 是 的直径， ，点 E 在 的延长线上，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）当 的半径为2， 时，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接 ， ，证明 垂直平分 ，得出 ，证明 ，
得出 ，说明 ，即可证明结论；
（ 2 ） 根 据 是 的 直 径 ， 得 出 ， 根 据 勾 股 定 理 求 出
，根据三角函数定义求出 ，证明
，得出 即可．
【小问1详解】
证明：连接 ， ，如图所示：
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点O、B在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ 的半径为2，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，
平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
7.（ 2024深圳）如图，在 中， ， 为 的外接圆， 为 的切线， 为
的直径，连接 并延长交 于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接 并延长，交 于点 ，连接 ，易证 垂直平分 ，圆周角定理，切线的性质，推
出四边形 为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知 ，勾股定理求出 的长，设 的半径为 ，在 中，利用勾
股定理进行求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 并延长，交 于点 ，连接 ，
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∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）知四边形 为矩形， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 的半径为 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ；
即： 的半径为 ．
8.（ 2024广西）如图，已知 是 的外接圆， ．点D，E分别是 ， 的中点，连接
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并延长至点F，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
【解析】【分析】（1）先证明 ， ，再证明 ，可得 ，
，再进一步解答即可；
（2）如图，连接 ，证明 ，可得 过圆心，结合 ，证明 ，从而可得结
论；
（3）如图，过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ，可得 ，求
解 ，可得 ，求解 ，设 半径 为，可得
，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴ 过圆心，
∵ ，
∴ ，
而 为半径，
∴ 为 的切线；
【小问3详解】
解：如图，过 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
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设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 半径为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的
判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
9. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图， 内接于 ， 为 的直径， 于点D，将
沿 所在的直线翻折，得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点F．
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（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接 ，由折叠的性质得 ， ，再证明
，推出 ，据此即可证明 是 的切线；
（2）先求得 ，在 中，求得 ，再利用扇形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 沿直线 翻折得到 ，
∴ ， ，
∵ 是 的半径，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 于点C，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，综合
三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
10. （2024湖南省）【问题背景】
已知点 A 是半径为 r 的 上的定点，连接 ，将线段 绕点 O 按逆时针方向旋转
得到 ，连接 ，过点A作 的切线l，在直线l上取点C，使得 为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当 时， ；
【问题探究】
（2）以线段 为对角线作矩形 ，使得边 过点E，连接 ，对角线 ， 相交于点F．
①如图2，当 时，求证：无论 在给定的范围内如何变化， 总成立：
②如图3，当 ， 时，请补全图形，并求 及 的值．
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【答案】（1） ；①证明见解析；②补全图形见解析， ，
【解析】【分析】（1）可证 是等边三角形，则 ，由直线l是 的切线，得到
，故 ；
（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明 ，则 ，而 ，由
，得到 ；
②过点O作 于点G， 于点H，在 中，先证明点E在线段 上，
，由等腰三角形的性质得 ，根据互余关系可得
，可求 ，解 ，求得 ，可证明
，故在 中， ．
【详解】解：（1）由题意得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
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∵直线l是 的切线，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②补全图形如图：
过点O作 于点G， 于点H，
在 中， ，
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∴由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在线段 上，
∴在 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴设 ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，
∴在 中，
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∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴在 中， ．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直
角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
11.（ 2024内蒙古赤峰）如图， 中， ， ， 经过B，C两点，与斜边 交
于点E，连接 并延长交 于点M，交 于点D，过点E作 ，交 于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 根据直径所对的圆周角是直角
求出 ，得 ， ，由 可得 ，从
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而可证明 是 的切线；
（2）由 得 ，即 ，证明 ，得 ，
由 得 ，故可得 ，由勾股定理求出 ，得 ，由
勾股定理求出 ， ，根据 求出 ，进一步求出
【小问1详解】
证明：连接 ，延长 ，交 于点 ，连接 如图，
∵
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵ 是 的直径，
∴
∴
∴
∴
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∵
∴ 即
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在等腰直角三角形 中， ,
∴ ，
解得， ，
∴ ，
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∴
在 中，
∴ ，
又 ，
∴
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定
理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．
12. （2024四川眉山）如图， 是 的直径，点 在 上，点 在 的延长线上，
， 平分 交 于点 ，连结 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）当 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握
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切线的判定是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求
得 ，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到 ，求得 ，连接 ，根据角平
分线的定义得到 ，求得 ，得到 ，根据等腰直角三角形的性质即
可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的半径，
是 的切线；
【小问2详解】
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解： ， ，
，
，
，
，
，
连接 ，
平分 ，
，
，
，
是 的直径，
，
．
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