文档内容
专题一 《复数》讲义
知识梳理 . 复数
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋
bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋d⇔i共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：
向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量OZ.
3．复数的运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
②减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
③乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
题型一 . 复数的有关概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a R）为纯虚数，则z＝（ ）
16 ∈ 20
A． i B．6i C． i D．20
3 3
2．已知i是虚数单位，若z（1+3i）＝i，则z的虚部为（ ）
1 1 i i
A． B．− C． D．−
10 10 10 102i
3．已知复数z= （i虚数单位），则z⋅z=（ ）
1+i
1
A．√2 B．2 C．1 D．
2
a−i
4．若 =b+2i，其中a，b R，i是虚数单位，则a+b的值（ ）
i
∈
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
i−1
5．设复数z满足z= ，则|z|＝（ ）
1+i
A．1 B．√2 C．√3 D．2
1+z
6．设复数z满足 =i，则|z|＝（ ）
1−z
A．1 B．√2 C．√3 D．2
7．若复数z满足z（1﹣i）＝2i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为i B．z为实数 C．|z|=√2 D．z+z=2i
8．若复数Z的实部为1，且|Z|＝2，则复数Z的虚部是（ ）
A．−√3 B．±√3 C．±√3i D．√3i
题型二 . 复数的几何意义
(1−i) 2
1．已知i是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点在（ ）
1+i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设i是虚数单位，z的复数z的共轭复数，z＝1+2i，则复数z+i•z在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设a R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝（ ）
A．0∈ B．﹣1 C．1 D．√2
4．已知复数z＝3+4i3，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于第 象限．
5．在复平面内，O是坐标原点，向量 → 对应的复数是﹣2+i，若点A关于实轴的对称点为
OA
点B，则向量 → 对应的复数的模为 ．
OB
1
6．已知i为虚数单位，且复数z满足z−2i= ，则复数z在复平面内的点到原点的距离
1−i为（ ）
13 √26 √10 5
A． B． C． D．
2 2 2 2
题型三 . 复数的指数幂运算
2i
1．若复数z = （i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（
1+i7
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
a+i2016
2．已知a为实数，若复数z＝（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则 的值为（ ）
1+i
A．1 B．0 C．1+i D．1﹣i
3．已知复数z
(1+i) 3
（其中i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
=
(1−i) 2
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
4．已知复数z满足z•i2020＝1+i2019（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
1+i
5．设i是虚数单位，则复数z＝（ ）2013＝（ ）
1−i
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
z+2
6．已知复数z＝﹣1+i，则 =（ ）
z2+z
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
7．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（ ）
A．0 B．1 C．√2 D．2
1−i
8．当z=− 时，z100+z50+1的值等于 ．
√2
题型四 . 待定系数在复数中的应用——最值问题
1．若复数z满足3z+z=−4+2i，则z＝（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（ ）
A．25 B．5 C．√5 D．2+i3．设复数z满足|z |＝1，|z |＝2，z +z ＝﹣1+√3i，则|z ﹣z |＝ ．
1 2 1 2 1 2
4．已知z C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（ ）
A．2√∈2−1 B．2√2+1 C．√2 D．2√2
5．设复数z ，z 满足|z ﹣1|＝1，|z +3i|＝2，则|z ﹣z |的最大值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．3+2√3 B．2√10 C．3+√10 D．6
6．已知复数 z＝x+yi（x，y R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则 2x+4y 的最小值是
． ∈
