文档内容
第四章 平面向量综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5分）（2024·广西柳州·一模）对于非零向量⃗a，⃗b，“⃗a+⃗b=0⃗”是“⃗a//⃗b”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（5分）（2024·广东·模拟预测）已知等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若
⃗DF=3⃗EF，则⃗AF=（ ）
1 3 1 5
A． ⃗AB+ ⃗AC B． ⃗AB+ ⃗AC
2 4 2 6
1 1 3
C． ⃗AB+⃗AC D． ⃗AB+ ⃗AC
2 2 2
3．（5分）（2025·安徽合肥·一模）已知向量→ → →，满足→ → → →，且 → ， → ， → ，
a,b,c a+b+c=0 |a|=1 |b|=2 |c|=√3
则→与→的夹角为（ ）
a b
π π 5π 2π
A． B． C． D．
6 3 6 3
4．（5分）（2024·重庆·一模）已知平面向量 ，且 ，则 的值为（ ）
⃗a=(1,−2),⃗b=(4,−3) (λ⃗a+⃗b)⊥⃗a λ2
A．−2 B．− C．2 D．6
3
5．（5分）（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
⃗e ⃗e ⃗AB=⃗e +2⃗e
1 2 1 2
， ，则（ ）
⃗BC=−3⃗e +2⃗e ⃗DA=3⃗e −6⃗e
1 2 1 2
A．A、B、C三点共线 B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线
π
6．（5分）（2025·黑龙江·模拟预测）若向量⃗a，⃗b满足|⃗a−⃗b|=1，|⃗a+2⃗b|=√3，⃗a，⃗b的夹角为 ，则
2
（ ）
|⃗b|=
1 √3 2 √6
A． B． C． D．
3 3 3 3
7．（5分）（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力F ,F ,F 作用于一点，且处于平衡状态.若
1 2 3
√6−√2
|F |=1N,|F |= N,F 与F 的夹角为45°，则F 与F 夹角的余弦值为（ ）
1 2 2 1 2 3 1
√6+√2 √6+√2 √6−√2 √6−√2
A．− B． C．− D．
4 4 4 4
8．（5分）（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A ,A ,⋯,A 的边上，点M在边A A 上，
1 2 8 1 2
则 的取值范围是（ ）
⃗A M⋅⃗A N
1 1
A．[−4−2√2,2√2] B．[−4,4+2√2]
C．[−2√2,4+2√2] D．[−2√2,4]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（6分）（2024·陕西西安·一模）下列关于平面向量的说法中错误的是（ ）
A．设 ， 为非零向量，若 ，则
⃗a ⃗b |⃗a+⃗b|=|⃗a−⃗b| ⃗a⊥⃗b
B．设⃗a，⃗b为非零向量，若⃗a⋅⃗b>0，则⃗a,⃗b的夹角为锐角
C．设 ， ， 为非零向量，则
⃗a ⃗b ⃗c (⃗a⋅⃗b)⋅⃗c=⃗a⋅(⃗b⋅⃗c)
D．若点G为△ABC的外心，则⃗GA+⃗GB+⃗GC=0⃗
10．（6分）（2025·河北邯郸·二模）已知向量 ， ，则（ ）
⃗a=(x−1,x−2) ⃗b=(x−2,2)
A．“x=−1”是“⃗a⊥⃗b”的必要不充分条件
B．“x=2”是“⃗a⊥⃗b”的充分不必要条件
C．“x=3−√3”是“⃗a//⃗b”的充分不必要条件
D．“x=−3+√3”是“⃗a//⃗b”的必要不充分条件
1
11．（6分）（2024·四川眉山·一模）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，⃗BD= ⃗BC，点P在以CD
3
为直径的半圆上（含端点），设⃗AP=x⃗AB+ y⃗AC，则（ ）
1 2
A．y的值不可能大于1 B．⃗AD= ⃗AC+ ⃗AB
3 3
1
C．⃗AP⋅⃗AB的最小值为 D．⃗AP⋅⃗AB的最大值为1
3
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2025·上海·模拟预测）已知 ，若 ，则 ．
⃗a=(2,1),⃗b=(1,x) ⃗a∥⃗b x=
13．（5分）（2025·江西新余·一模）已知向量 ，若 与 是共
⃗a=(1,−2),⃗b=(−1,1),⃗c=(−2,m) ⃗b+⃗c ⃗a+3⃗b线向量，则实数m= .
14．（5分）（2024·全国·模拟预测）如图所示，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F在BC上且
CF=2FB，AF与DE交于点M，则cos∠DMF= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形ABCDEF的中心，写出满足条件的向量.
(1)与⃗OA相等的向量；
(2)与⃗OB相等的向量；
(3)与⃗OC的模相等且平行的向量（除⃗OC外）.
16．（15分）（2024·四川德阳·一模）平面向量⃗e ，⃗e 满足
1 2
π
|⃗e |=|⃗e |=1,⟨⃗e ,⃗e ⟩= ,⃗a=⃗e +t⃗e ,⃗b=t⃗e +⃗e
1 2 1 2 2 1 2 1 2
(1)若⃗b在⃗a上的投影向量恰为⃗a的相反向量，求实数t的值；
(2)若 为钝角，求实数t的取值范围．
⟨⃗a,⃗b⟩17．（15分）（2024·天津河北·模拟预测）已知向量 ， ， ．
⃗a=(3,4) ⃗b=(1,x) ⃗c=(1,2)
(1)若 ，求 的值；
⃗a⊥⃗b |⃗b|
(2)若 ，求向量 与 的夹角的余弦值．
⃗c∥(⃗a−2⃗b) ⃗a−2⃗b ⃗a
18．（17分）（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，
2π
∠ADC= ，E为CD中点，且⃗AF=λ⃗AD(0≤λ≤1)，.设⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b.
3
1
(1)当λ= 时，用⃗a，⃗b表示⃗AE，⃗BF；
2
(2)若⃗AN⊥⃗BN，求实数λ的值；
(3)求⃗BF⋅⃗FE的取值范围.
19．（17分）（23-24高一下·江苏连云港·期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AB的中点，
点F在线段BD上且是靠近B点的一个三等分点，AF交ED于点G，EC交AD于点O．(1)用⃗AB和⃗AD表示⃗AF；
(2)若⃗EG=λ⃗ED，求实数λ；
(3)过点O的直线与边AB，BC分别交于点S，T，设四边形DEST的面积为S ，梯形AEDC的面积为S ，
1 2
求S 的最小值．
1
S
2
