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第五章四边形章节测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不
能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD
【答案】A
【分析】依据平行四边形的判定，依次分析判断即可得出结果．
【详解】解：A、当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符
合题意；
B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形
ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C、当BC∥AD，∠A＝∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边
形，能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边
形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解决问题的关键要熟记平行四边形的判定方法．
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形 中，连接 ，若 ，则
的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质可得 ，则 ，进而
即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．
3．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，若添加一个条
件，使四边形 为平形四边形，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A．根据 ， ，不能判断四边形 为平形四边形，故该
选项不正确，不符合题意；
B． ∵ ，∴ ，不能判断四边形 为平形四边形，故该选项不
正确，不符合题意；
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C．根据 ， ，不能判断四边形 为平形四边形，故该选项不正确，
不符合题意；
D．∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴四边形 为平形四边形，
故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关
键．
4.（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )
A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．
【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；
B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；
C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；
D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌
握各类特殊四边形的判定和性质．
5．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图， 的对角线 ， 相交于点 ，
的平分线与边 相交于点 ， 是 中点，若 ， ，则 的长为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
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【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定
可得 ，进而可得 ，再根据三角形的中位线解答即可.
【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
故选：A.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的
中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键.
6．（2023·上海·统考中考真题）在四边形 中， ．下列说法能
使四边形 为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．
【详解】A： ，
为平行四边形而非矩形
故A不符合题意
B： ，
为平行四边形而非矩形
故B不符合题意
C：
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为矩形
故C符合题意
D：
不是平行四边形也不是矩形
故D不符合题意
故选：C ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟
练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．
7．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的
关键．
8．（2021·安徽中考真题）在 中， ，分别过点B，C作 平分
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线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME．则下列结论错误的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设AD、BC交于点H，作 于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．由题意易证
，从而证明ME为 中位线，即 ，故判断B正确；又
易证 ，从而证明D为BG中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边
一半即可求出 ，故判断C正确；由 、
和 可证明 ．再由
、 和 可推出
，即推出 ，即 ，故判断D正确；假设
，可推出 ，即可推出 ．由于无法确定 的
大小，故 不一定成立，故可判断A错误．
【详解】
如图，设AD、BC交于点H，作 于点F，连接EF．延长AC与BD并交于点G．
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∵AD是 的平分线， ， ，
∴HC=HF，
∴AF=AC．
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，∠AEC=∠AEF=90°，
∴C、E、F三点共线，
∴点E为CF中点．
∵M为BC中点，
∴ME为 中位线，
∴ ，故B正确，不符合题意；
∵在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，即D为BG中点．
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∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，故C正确，不符合题意；
∵ ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵AD是 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D正确，不符合题意；
∵假设 ，
∴ ，
∴在 中， ．
∵无法确定 的大小，故原假设不一定成立，故A错误，符合题意．
故选A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线
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的判定和性质以及含 角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答
本题的关键．
9．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD中， ， ，过菱形ABCD
的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】
∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x， ，
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如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE= ，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE= ,
故选A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角
三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相
关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．
10．（2021·重庆中考真题）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，
，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，
MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则 的度数为（ ）
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A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出
的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用
相关性质，根据角的关系进行计算．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和是________度．
【答案】540
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【分析】根据n边形内角和为 求解即可．
【详解】五边形的内角和是 ．
故答案为：540．
【点睛】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为 是解题关键．
12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，
于点 ．请添加一个条件：______，使四边形 成为菱形．
【答案】 （荅案不唯一）
【分析】根据题意，先证明四边形 是平行四边形，根据 ，可得四边形
成为菱形．
【详解】解：添加条件
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴ ，
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∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
添加条件
在 与 中，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 成为菱形．
故答案为： （ 或 或 等）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的
关键．
13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内
角和为 ，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】
求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】
解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，
∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，
故答案为6或7．
【点睛】
本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的
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关键．
14．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在 中， ，矩形 的
顶点D、E在 上，点F、G分别在 、 上，若 ， ，且 ，
则 的长为________．
【答案】
【分析】
根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得 ，证明△ADG≌△BEF，得
到AD=BE= ，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【详解】
解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴AD+BE=AB-DE= = ，
∵AC=BC，
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∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE= = ，
在△BEF中， ，
即 ，
解得：x= 或 （舍），
∴EF= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，
等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．
15．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，三角形纸片 中， ，分
别沿与 平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形
纸片的周长是____________．
【答案】14
【分析】由平行四边形的性质推出 ， ，得到 ，
，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，由题意得 ，四边形 是平行四边形，
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∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵四边形 平行四边形，
∴平行四边形 纸片的周长是 ，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题．
16．（2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形 中， ，则
的长为___________．
【答案】10
【分析】由菱形 中， ，易证得 是等边三角形，根据等边三角形的性
质即可得解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
故答案为：10．
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【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记菱形的性质并推出等边
三角形是解题的关键．
17．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM
的度数是 ．
【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等
腰三角形和邻补角的定义即可解答．
【解析】因为五边形ABCDE是正五边形，
(5−2)⋅180°
所以∠C= =108°，BC＝DC，
5
180°−108°
所以∠BDC= =36°，
2
所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，
故答案为：144°．
18．（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，
则菱形ABCD的面积为 ．
【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案．
【解析】∵OA＝1，OB＝2，
∴AC＝2，BD＝4，
1
∴菱形ABCD的面积为 ×2×4＝4．
2
故答案为：4．
19．（2021·云南中考真题）如图，在 中，点D，E分别是 的中点，
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与 相交于点F，若 ，则 的长是______．
【答案】9
【分析】
根据中位线定理得到DE= AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到 ，求
出EF，可得BE．
【详解】
解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE= AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ ，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性
质证明△DEF∽△ABF．
20．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形 中，点E，F，G，H分别是
， ， ， 上的点，且 ，若菱形的面积等于24， ，
则 ___________________．
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【答案】6
【分析】连接 ，交 于点O，由题意易得 ， ， ， ，则
有 ，然后可得 ，设 ，则有 ，
进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：连接 ，交 于点O，如图所示：
∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
设 ，则有 ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
同理可得 ，即 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为6．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相
似三角形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·四川自贡·统考中考真题）在平行四边形 中，点E、F分别在边 和
上，且 ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】平行四边形的性质得到 ，进而推出 ，得到四边形
是平行四边形，即可得到 ．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
∴
四边形 是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的
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关键．
22．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且 ．
请用尺规完成基本作图：作出 的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交
AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕
迹，不写作法）
【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析．
【分析】
根据角平分线的作法作出 的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出 .
,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性质得出 ，从而可
得出结论．
【详解】
解：如图，AE即为 的角平分线，
猜想：DF=3BF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∴
∵AC=2AB
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∴AO=AB
∵AE是 的角平分线
∴
∴
∴ ．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质
是解答此题的关键．
23．（2021·四川广安市·中考真题）如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边
、 的延长线上，且 ．连接 、 ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】
根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
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，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等
的条件．
24．（2023·重庆·统考中考真题）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发
现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直
平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等
得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作 的垂直平分线交 于点E，交 于点F，垂足为点O．（只保留作
图痕迹）
已知：如图，四边形 是平行四边形， 是对角线， 垂直平分 ，垂足为点
O．
求证： ．
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ① ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ② ．
又 __________ _ ③ ．
∴ ．
∴ ．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线 中点的直线与平行四边形一组对边相交
形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
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过平行四边形对角线中点的直线 ④ ．
【答案】作图：见解析； ； ； ；被平行四边形一组对边所截，截得
的线段被对角线中点平分
【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．
【详解】解：如图，即为所求；
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ．
又 ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ； ； ；
由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段
被对角线中点平分，
故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，
熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．
25．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
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【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明 ，则可得到AE
＝CF；
（2）连接BF，DE，由 ，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行
四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】
证明：（1）∵四边形 是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
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∵四边形 是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形 是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形 是菱形
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟
悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．
26．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别
为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的
性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．
【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
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∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
27．（2020•扬州）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交
▱
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AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
3
（1）若OE= ，求EF的长；
2
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
3
【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF= ，进而得出EF的长；
2
（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠FCO＝∠EAO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
3
∴OE＝OF= ，
2
∴EF＝2OE＝3；
（2）四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
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28．（2020•青岛）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和
▱
DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可
以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；
（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明 ABCD是菱形，从而可以得到
▱
AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边
形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
{
AD=CB
∠ADE=∠CBF，
DE=BF
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
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∵DE＝BF，
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．
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